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专题05 函数的基本性质（单调性、奇偶性、对称性、周期性）（考点清单）
目录
TOC \o "1-3" \h \u HYPERLINK \l "_Toc29900" 一、思维导图 2
HYPERLINK \l "_Toc3004" 二、知识回归 2
HYPERLINK \l "_Toc902" 三、典型例题讲与练 6
HYPERLINK \l "_Toc30789" 考点清单01函数图象识别与应用 6
HYPERLINK \l "_Toc4066" 【期末热考题型1】函数图象识别 6
HYPERLINK \l "_Toc2288" 考点清单02函数的单调性 7
HYPERLINK \l "_Toc14796" 【期末热考题型1】判断并证明函数的单调性 7
HYPERLINK \l "_Toc19" 【期末热考题型2】求函数的单调区间 8
HYPERLINK \l "_Toc23513" 【期末热考题型3】求复合函数的单调区间 9
HYPERLINK \l "_Toc20776" 【期末热考题型4】根据函数单调性求参数 10
HYPERLINK \l "_Toc23048" 考点清单03函数的奇偶性 10
HYPERLINK \l "_Toc15600" 【期末热考题型1】判断函数的奇偶性 10
HYPERLINK \l "_Toc13264" 【期末热考题型2】利用函数奇偶性求参数，求值 11
HYPERLINK \l "_Toc26584" 【期末热考题型3】利用函数奇偶性解不等式 12
HYPERLINK \l "_Toc23409" 考点清单04函数的对称性和周期性 12
HYPERLINK \l "_Toc1159" 【期末热考题型1】函数的对称性和周期性 12
HYPERLINK \l "_Toc9428" 考点清单05函数单调性、奇偶性、对称性、周期性综合应用 13
HYPERLINK \l "_Toc15279" 【期末热考题型1】函数单调性、奇偶性、对称性、周期性综合应用 13
HYPERLINK \l "_Toc28811" 考点清单06利用函数奇偶性求解析式 14
HYPERLINK \l "_Toc924" 【期末热考题型1】利用函数奇偶性求解析式 14
HYPERLINK \l "_Toc7086" 考点清单07分段函数的单调性问题 14
HYPERLINK \l "_Toc27930" 【期末热考题型1】求分段函数的单调区间 14
HYPERLINK \l "_Toc17310" 【期末热考题型2】根据分段函数的单调性求参数 15
HYPERLINK \l "_Toc22696" 【期末热考题型3】解分段函数不等式 16
HYPERLINK \l "_Toc9470" 考点清单08分段函数的值域或最值问题 16
HYPERLINK \l "_Toc24075" 【期末热考题型1】分段函数的值域或最值问题 16
HYPERLINK \l "_Toc22374" 考点清单09二次函数的最值问题 17
HYPERLINK \l "_Toc16835" 【期末热考题型1】不含参数的二次函数最值问题 17
HYPERLINK \l "_Toc29582" 【期末热考题型2】含参数的二次函数最值问题 18
HYPERLINK \l "_Toc28408" 考点清单10恒成立与能成立问题 19
HYPERLINK \l "_Toc24588" 【期末热考题型1】恒成立与能成立问题 19
HYPERLINK \l "_Toc25031" 考点清单11二元变量问题 20
HYPERLINK \l "_Toc8416" 【期末热考题型1】二元变量问题 20
HYPERLINK \l "_Toc3366" 考点清单12抽函数函数的综合问题 22
HYPERLINK \l "_Toc10325" 【期末热考题型1】抽象函数的综合问题 22
一、思维导图
二、知识回归
知识回顾1：函数的图象
1.1、函数图象的平移变换（左“+”右“-”；上“+”下“-”）
①
②
③
④
注：左右平移只能单独一个加或者减，注意当前系数不为1,需将系数提取到外面.
1.2、函数图象的对称变换
①的图象的图象；
②的图象的图象；
③的图象的图象；
1.3、函数图象的翻折变换（绝对值变换）
①的图象的图象；
（口诀；以轴为界，保留轴上方的图象；将轴下方的图象翻折到轴上方）
②的图象的图象.
（口诀；以轴为界，去掉轴左侧的图象，保留轴右侧的图象；将轴右侧图象翻折到轴左侧；本质是个偶函数）
知识回顾2：函数的单调性
2.1增函数
一般地，设函数的定义域为，区间，如果，当时，都有，
那么就称函数在区间上单调递增.（如图：图象从左到右是上升的）
特别地，当函数在它的定义域上单调递增时，称它是增函数(increasing function).
2.2减函数
一般地，设函数的定义域为，区间，如果，当时，都有，
那么就称函数在区间上是单调递减.（如图：图象从左到右是下降的）
特别地，当函数在它的定义域上单调递增时，称它是减函数(decreasing function).
知识回顾3：函数的奇偶性
3.1偶函数：一般地，设函数的定义域为，如果，都有，且，那么函数就叫做偶函数.
3.2奇函数：一般地，设函数的定义域为，如果，都有，且，那么函数就叫做奇函数.
知识回顾4：函数奇偶性的判断
4.1定义法：
（1）先求函数的定义域，判断定义域是否关于原点对称.
（2）求，根据与的关系，判断的奇偶性：
①若是奇函数
②若是偶函数
③若既是奇函数又是偶函数
④若既不是奇函数也不是偶函数
4.2图象法：
（1）先求函数的定义域，判断定义域是否关于原点对称.
（2）若的图象关于轴对称是偶函数
（3）若的图象关于原点对称是奇函数
4.3性质法：
，在它们的公共定义域上有下面的结论：
偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数
偶函数 奇函数 不能确定 不能确定 奇函数 奇函数
奇函数 偶函数 不能确定 不能确定 奇函数 奇函数
奇函数 奇函数 奇函数 奇函数 偶函数 偶函数
知识回顾5：幂函数的图象与性质
5.1、五个幂函数的图象(记忆五个幂函数的图象）
当时，我们得到五个幂函数：
；；；；
5.2、五个幂函数的性质
定义域
值域
奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非偶 奇函数
单调性 在上单调递增 在上单调递减在单调递增 在上单调递增 在单调递增 在上单调递减在上单调递减
定点
三、典型例题讲与练
01函数图象识别与应用
【期末热考题型1】函数图象识别
【解题方法】特殊值法，单调性，奇偶性
【典例1】（2023上·辽宁辽阳·高一统考期中）函数的部分图象大致为（ ）
A． B． C． D．
【典例2】（2023上·山西·高三统考阶段练习）函数的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【专训1-1】（2023上·安徽合肥·高三合肥一中校考阶段练习）函数的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【专训1-2】（2023上·河北邢台·高三校联考阶段练习）函数在区间上的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
02函数的单调性
【期末热考题型1】判断并证明函数的单调性
【解题方法】定义法
【典例1】（2023上·四川成都·高一统考期中）已知，
(1)求的解析式；
(2)若，试用定义证明在其定义域上是单调函数．
【典例2】（2023上·广东深圳·高一深圳市高级中学校考期中）已知函数是定义在上的偶函数，当时，．
(1)求函数的解析式；
(2)若（且），试讨论函数的单调性，并加以证明．
【专训1-1】（2023上·广东·高二校联考期中）已知函数，且.
(1)求实数的值；
(2)判断在上的单调性，并用定义法证明.
【专训1-2】（2023上·福建福州·高一福建师大附中校考期中）已知函数是定义在上的奇函数，且．
(1)求实数的值
(2)判断的单调性，并用定义证明：
【期末热考题型2】求函数的单调区间
【解题方法】图象法
【典例1】（2022上·甘肃兰州·高三兰州市第五十五中学校考开学考试）函数的单调增区间是（ ）
A．和 B．和
C．和 D．和
【典例2】（2023·全国·高一专题练习）（1）根据如图所示，写出函数在每一单调区间上函数是单调递增还是单调递减；

（2）写出的单调区间．
【专训1-1】（2023上·江西抚州·高一统考期中）函数的单调递减区间是（ ）
A． B．
C． D．
【专训1-2】（2023上·天津宝坻·高一天津市宝坻区第一中学校考阶段练习）已知函数，则的单调递增区间为 .
【期末热考题型3】求复合函数的单调区间
【解题方法】同增异减；
【典例1】（2021上·上海徐汇·高一上海中学校考期末）函数的单调递减区间为 ．
【典例2】（2023·全国·高一课堂例题）已知函数在定义域上单调递减，则的定义域是 ，单调递减区间是 ．
【专训1-1】（2023上·浙江宁波·高一校联考期中）已知函数的单调递增区间为 .
【专训1-2】4．（2023上·北京·高一北京市十一学校校考期末）函数的单调递减区间是 .
【期末热考题型4】根据函数单调性求参数
【解题方法】图象法
【典例1】（2023上·海南省直辖县级单位·高一校考期中）已知函数在区间上单调递增，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【典例2】（2023上·福建福州·高一福州三中校考期中）已知函数满足对于任意实数，都有成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【专训1-1】（2023上·浙江宁波·高一校联考期中）函数在上是减函数，则实数的取值范围是 .
【专训1-2】（2023上·吉林长春·高一东北师大附中校考期中）若函数与在区间上都是减函数，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
03函数的奇偶性
【期末热考题型1】判断函数的奇偶性
【解题方法】定义法，图象法
【典例1】（2023上·北京海淀·高三统考期中）下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递增的是（ ）
A． B． C． D．
【典例2】（2023上·河北石家庄·高一鹿泉区第一中学校考期中）下列函数中，与函数的奇偶性相同，且在上单调性也相同的是（　　）
A． B． C． D．
【专训1-1】（2023上·陕西咸阳·高三校考阶段练习）下列函数中为奇函数且在上单调递增的是（ ）
A． B．
C． D．
【专训1-2】（2023上·山西临汾·高一统考期中）下列函数中既为减函数，又为奇函数的是（ ）
A． B．
C． D．
【期末热考题型2】利用函数奇偶性求参数，求值
【解题方法】奇偶性定义
【典例1】（2023上·河南南阳·高一校考阶段练习）函数为奇函数，则实数a的值是（ ）
A． B． C． D．
【典例2】（2023上·江苏连云港·高三统考期中）已知，若，则 .
【专训1-1】（2023上·江苏盐城·高一盐城市田家炳中学校联考期中）已知函数，且，则（ ）
A．0 B． C． D．
【专训1-2】（2023上·浙江杭州·高一校联考期中）已知函数，是偶函数，则 ．
【专训1-3】（2023上·江西南昌·高一南昌二中校考期中）已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则 ．
【期末热考题型3】利用函数奇偶性解不等式
【解题方法】奇偶性+单调性
【典例1】（2023上·贵州六盘水·高三校联考阶段练习）已知函数，若，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【典例2】（2023上·广东深圳·高一深圳市高级中学校考期中）已知是定义在上的偶函数，且在上递减，则不等式的解集是 ．
【专训1-1】（2023上·山东临沂·高一校考期中）已知偶函数在区间单调递增，则满足的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【专训1-2】（2023上·江西南昌·高一南昌二中校考期中）已知，若恒成立，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
04函数的对称性和周期性
【期末热考题型1】函数的对称性和周期性
【解题方法】公式法
【典例1】（多选）（2023上·安徽·高一和县第一中学校联考期中）定义在上的函数满足：，且是偶函数，则（ ）
A．函数的图象关于直线对称 B．函数的图象关于直线对称
C．D．
【典例2】（多选）（2023上·浙江杭州·高二杭十四中校考期中）已知函数是定义域为R的偶函数，是奇函数，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C．是以4为周期的函数 D．的图象关于对称
【专训1-1】（2023上·上海嘉定·高三上海市育才中学校考期中）若是定义在R上的函数，且满足为偶函数，为奇函数，则= ．
【专训1-2】（2023上·山东潍坊·高三统考期中）已知函数是上的偶函数，为奇函数，若，则 .
05函数单调性、奇偶性、对称性、周期性综合应用
【期末热考题型1】函数单调性、奇偶性、对称性、周期性综合应用
【解题方法】图象法+公式+定义
【典例1】（多选）（2023上·浙江宁波·高一校联考期中）已知函数满足对任意的，都有，，若函数的图象关于点对称，且对任意的，，，都有，则下列结论正确的是（ ）
A．的图象关于直线对称 B．是偶函数
C． D．
【典例2】（2023·四川绵阳·四川省绵阳南山中学校考一模）已知函数是R上的奇函数，对任意，都有成立，当，且时，都有，有下列命题：
①； ②函数图象关于直线对称；
③函数在上有5个零点；④函数在上为减函数．
则以上结论正确的是 ．
【专训1-1】（多选）（2023上·辽宁沈阳·高一校联考期中）定义在R上的偶函数满足，且在上是增函数，则下列说法正确的是（ ）
A．的图象关于直线对称 B．
C．在上为减函数 D．
【专训1-2】（多选）（2023上·福建福州·高三校联考期中）设函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，.若，则下列关于的说法正确的有（ ）
A．的一个周期为 B．是函数的一条对称轴
C．时， D．
06利用函数奇偶性求解析式
【期末热考题型1】利用函数奇偶性求解析式
【解题方法】奇偶性定义
【典例1】（2023上·辽宁大连·高一校联考期中）已知函数为定义在R上的奇函数，且当时，，则时， ．
【典例2】（2023上·江苏宿迁·高一江苏省泗阳中学校考期末）定义在上的奇函数，当时，，当时， ．
【专训1-1】（2023上·上海·高一上海市市西中学校考期中）已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，那么当时， .
【专训1-2】（2023上·吉林辽源·高一校联考期末）函数是定义在上的奇函数，当时，．
(1)计算，；
(2)求的解析式．
07分段函数的单调性问题
【期末热考题型1】求分段函数的单调区间
【解题方法】图象法
【典例1】（2023上·河南信阳·高一校考阶段练习）函数的单增区间为（ ）
A． B．
C． D．
【典例2】（2023上·江苏南京·高一南京市第九中学校考阶段练习）函数的单调递减区间是
【专训1-1】（2022·高三课时练习）设函数，则函数的递减区间是 .
【期末热考题型2】根据分段函数的单调性求参数
【解题方法】图象法
【典例1】（2023上·云南大理·高三云南省下关第一中学校考期中）已知函数，满足对任意的实数，都有成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【典例2】（2023·全国·模拟预测）已知函数，，则“”是“函数在R上单调递增”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【专训1-1】（2023上·江苏南京·高一南京航空航天大学附属高级中学校考期中）若函数在上单调递减，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【专训1-2】（2022上·江西·高三宁冈中学校考期中）若函数满足对任意的，都有成立，则实数a的取值范围是（ ）
B． C． D．
【期末热考题型3】解分段函数不等式
【解题方法】图象法
【典例1】（2023·全国·模拟预测）已知函数则的解集为 ．
【典例2】（2022上·广东佛山·高一校联考期中）设函数,若，则的取值范围是 .
【专训1-1】（2023上·内蒙古包头·高三统考开学考试）设函数则满足的的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【专训1-2】（2023上·天津河北·高三统考期中）已知函数则满足的的取值范围是 .
08分段函数的值域或最值问题
【期末热考题型1】分段函数的值域或最值问题
【解题方法】图象法
【典例1】（2023上·云南昆明·高一云南师大附中校考期中）给定函数.，用表示，中的较小者，记为，则的最大值为（ ）
A．-3 B．2 C．3 D．
【典例2】（2023上·北京·高一北京市陈经纶中学校考期中）设函数，若存在最小值，则实数的一个可能取值为 ；实数的取值范围是 .
【专训1-1】（2023上·上海宝山·高一上海市吴淞中学校考期中）若函数的最小值为，则实数的取值范围是 .
【专训1-2】（2023上·贵州六盘水·高一校考阶段练习）已知函数.
(1)画出函数的图象；
(2)求函数的值域.
09二次函数的最值问题
【期末热考题型1】不含参数的二次函数最值问题
【解题方法】配方法+图象法
【典例1】（2023·江苏·高一专题练习）函数的值域为（　　）
A．
B．
C．
D．
【典例2】（2023上·北京·高一北京八中校考期中）已知函数在区间上的最大值为，则等于（ ）
A． B． C． D．或
【专训1-1】（2023上·浙江台州·高一校联考期中）已知，，则的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【期末热考题型2】含参数的二次函数最值问题
【解题方法】图象法+分类讨论
【典例1】（2023上·湖北孝感·高一期中）已知函数的图象过点，且满足．
(1)求函数的解析式；
(2)设函数在上的最小值为，求的值域．
【典例2】（2023上·广东广州·高一广州空港实验中学校考期中）已知函数是定义在R上的偶函数，且当时，
(1)求
(2)求函数的解析式
(3)若函数，求函数的最小值．
【专训1-1】（2023上·北京西城·高一北京铁路二中校考期中）设，其中．
(1)当时，求函数的图象与直线交点的坐标；
(2)若函数在上不具有单调性，求的取值范围：
(3)当时，求函数的最小值．
【专训1-2】（2023上·山东泰安·高一泰安一中校考期中）已知关于x的不等式的解集为或
(1)求实数b，c的值；
(2)求函数在上的最小值.
10恒成立与能成立问题
【期末热考题型1】恒成立与能成立问题
【解题方法】判别法+变量分离法
【典例1】（2023上·河北邯郸·高一校联考期中）已知函数.
(1)若，求在区间上的最大值和最小值；
(2)若在上恒成立，求a的取值范围.
【典例2】（2023上·北京·高一清华附中校考期中）已知二次函数最小值为，且是其一个零点，都有．
(1)求的解析式；
(2)求在区间上的最小值；
(3)是否存在实数满足：对，都有恒成立？若存在，求实数的取值范围；若不存在，请说明理由．
【专训1-1】（2023上·北京·高一北京市第一六一中学校考期中）若二次函数对任意实数都满足，最小值为，且.
(1)求的解析式；
(2)若在区间上，的图象恒在的上方，求实数的取值范围.
11二元变量问题
【期末热考题型1】二元变量问题
【解题方法】变量分离法+最值法
【典例1】（2023上·重庆沙坪坝·高一重庆南开中学校考阶段练习）已知函数，且满足.
(1)判断在上的单调性，并用定义证明：
(2)设，若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围.
【典例2】（2023上·重庆·高一重庆市忠县忠州中学校校联考期中）已知是定义在上的函数，若满足且．
(1)求的解析式；
(2)设函数，若对都有成立，求的取值范围．
【专训1-1】（2023上·青海海南·高一海南藏族自治州高级中学校联考期中）已知函数，．
(1)若是关于的方程的一个实数根，求函数的值域；
(2)若对任意，存在，使得，求实数的取值范围．
【专训1-2】（2023上·浙江金华·高一浙江金华第一中学校考期中）已知函数
(1)解不等式；
(2)求在区间上的值域；
(3)对任意，总存在，使得成立，求a的取值范围
12抽函数函数的综合问题
【期末热考题型1】抽象函数的综合问题
【解题方法】赋值法
【典例1】（2023上·重庆·高一重庆市忠县忠州中学校校联考期中）已知定义在上的函数满足：①对任意的，都有；②当且仅当时，成立．
(1)求；
(2)判断并证明的单调性；
(3)若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围．
【典例2】（2023上·河南郑州·高一郑州外国语学校校考期中）已知函数的定义域为，对任意都有，且时，．
(1)求；
(2)求证：函数在上单调递增；
(3)若，，解关于x的不等式．
【专训1-1】（2023上·黑龙江哈尔滨·高一哈九中校考期中）已知定义在上的函数满足、，；，.
(1)求的值；
(2)证明是上的增函数；
(3)若，求的取值范围.
参考答案：
【期末热考题型1】函数图象识别
【典例1】
【答案】B
【详解】由已知，，
则，
故是奇函数，图象关于原点对称，故C项错误；
当时，，则，
故AD项错误，应选B.
又设，且，
则，
故，则有，
即，故在上单调递减.
综上，函数图象的性质与选项B中图象表示函数的性质基本一致.
故选：B.
【典例2】
【答案】B
【详解】的定义域为R.
是偶函数，排除D；
又，排除A；
当时，，，
，
在上单调递增，排除C．
故选：B．
【专训1-1】
【答案】B
【详解】的定义域为，
又，
故为奇函数，其函数图象关于原点对称，故CD错误；
当时，，且，则；
当时，，且，则.
故当，，故排除A.
故选：B.
【专训1-2】
【答案】C
【详解】由于，所以，所以为偶函数，故排除AB,
由于，故当时，，故排除D，
故选：C
【期末热考题型1】判断并证明函数的单调性
【典例1】
【答案】(1)
(2)证明见解析
【详解】（1）令，则，，
因为，所以，
所以.
（2）由题意知，定义域为
任取，则，
因为，所以，
所以，则，即，
所以在定义域上是单调递减函数.
【典例2】
【答案】(1)
(2)答案及证明见解析
【详解】（1）解：由题意，∵函数是定义在上的偶函数，
当时，，
∴当时，，则，
∴.
（2）证明：∵由指数函数的图象与性质知，当且时，对，，
∴，，
设，则
，
当时，，则，即，
函数单调递减；
当时，，则，即，
函数单调递增；
综上知，当时，函数单调递减；当时，函数单调递增.
【专训1-1】
【答案】(1)
(2)递增，证明见解析
【详解】（1），且，
，解得：；
（2）由（1）得：在递增，
证明如下：
设任意，
则
，
，
，
，
在上单调递增.
【专训1-2】
【答案】(1)
(2)在上单调递增，证明见解析
【详解】（1）由已知可得，.
因为函数是定义在上的奇函数，
所以有，即，
所以有在上恒成立，
所以，，.
又，所以，
所以.
所以，.
（2）在上单调递增.
，且设，
则.
因为，且，
所以，，，，
所以，，
所以，在上单调递增.
【期末热考题型2】求函数的单调区间
【典例1】
【答案】C
【详解】解：由，
则为偶函数，的图像关于轴对称.
当时，，对称轴为，所以在上递增，在递减；
则当时，在递增，在递减，
则有的递增区间为.
故选：C
【典例2】
【答案】（1）函数在上是单调递减，在上是单调递增；（2）单调减区间为；单调增区间为．
【详解】（1）由函数图象易知函数在上是单调递减，在上是单调递增；
（2）根据题意可知，当或时，，
此时;
当时，，此时，
所以可得
先画出其图象如图所示：
由图可知，的单调减区间为，单调增区间为.
【专训1-1】
【答案】B
【详解】解析：，作出图象，
可以得到函数的单调递减区间是．
故选：B.
【专训1-2】
【答案】，
【详解】当时，，
函数图像对称轴方程为，开口向下，此时的单调递增区间为；
当时，，
函数图像对称轴方程为，开口向下，此时的单调递增区间为.
综上，的单调递增区间为，.
故答案为：，
【期末热考题型3】求复合函数的单调区间
【典例1】
【答案】
【详解】因为复合函数是由与复合而得，
而在上单调递减，
所以的单调减区间即为的单调增区间，
因为开口向下，对称轴为，
所以的单调增区间.
则答案为：.
【典例2】
【答案】
【详解】∵的定义域为，∴，即，解得．
故函数的定义域为．
令，则．
当时，单调递减，则单调递增；
当时，单调递增，则单调递减．
故的单调递减区间为．
故答案为：；.
【专训1-1】
【答案】
【详解】令，解得，故函数定义域为，
其中，
故在上单调递增，在上单调递减，
其中在上单调递增，
由复合函数单调性可知，的单调递增区间为.
故答案为：
【专训1-2】
【答案】
【详解】 的定义域为，解得，
或,
求原函数的单调递增区间, 即求函数的减区间,
, 可知单调递减区间为,
综上可得, 函数单调递增区间为 .
令 , 由 , 得或,
函数 的定义域为 ,
当 时, 内层函数 为增函数,而外层函数 为减函数,
函数 的单调递减区间是 .
故答案为:.
【期末热考题型4】根据函数单调性求参数
【典例1】
【答案】D
【详解】当时，满足题意；
当时，函数的图象开口向上，
对称轴为直线，因为函数在区间上单调递增，
则，所以
当时，函数的图象开口向下，因为函数在区间上单调递增，
所以不满足题意.
综上所述，的取值范围是.
故选：D.
【典例2】
【答案】D
【详解】依题意，对于任意实数，都有成立，
不妨设，则，
所以在上单调递减，
所以，解得.
故选：D
【专训1-1】
【答案】
【详解】当时，在上是减函数，符合题意；
当时，为一元二次函数，对称轴为，
因为函数在上是减函数，
所以，解得，
综上，，
所以实数的取值范围是，
故答案为：.
【专训1-2】
【答案】B
【详解】因为的对称轴为，开口向下，且在上为减函数，
所以，
因为，且在上为减函数，
所以在上恒成立，即在上恒成立，可得，
综上，.
故选：B.
【期末热考题型1】判断函数的奇偶性
【典例1】
【答案】D
【详解】A选项，的定义域为，定义域不关于原点对称，故不是偶函数，A错误；
B选项，的定义域为R，且，故为奇函数，B错误；
C选项，设，因为，
故在上不单调递增，C错误；
D选项，的定义域为R，且，故为偶函数，
又当时，，在上单调递增，故满足要求，D正确.
故选：D
【典例2】
【答案】C
【详解】函数为偶函数，在上单调递增，
函数为奇函数，故A错；
函数为偶函数，在上单调递减，故B错；
函数为偶函数，在上单调递增，故C正确；
函数为奇函数，故D错.
故选：C.
【专训1-1】
【答案】B
【详解】对于A选项，函数为偶函数，A不满足条件；
对于B选项，令，则该函数的定义域为，
，所以，函数为奇函数，
且函数在上单调递增，B满足条件；
对于C选项，函数为奇函数，且该函数在上单调递减，C不满足条件；
对于D选项，函数为非奇非偶函数，D不满足条件.
故选：B.
【专训1-2】
【答案】C
【详解】A选项，，
因为，
故不是奇函数，A项错误；
B选项，，
由，
可知不是减函数，故B项错误；
C选项，，
定义域为，，
则，则是奇函数；
由图象可知既是减函数，又是奇函数，故C项正确；
D选项，，由，
则不是奇函数，故D项错误．
故选：C.
【期末热考题型2】利用函数奇偶性求参数，求值
【典例1】
【答案】A
【详解】函数的定义域为，
由奇函数的定义可知，则，则，
当时，，定义域为，则，
满足要求，所以.
故选：A.
【典例2】
【答案】0
【详解】令，，则，
因为，
所以为奇函数，
由，得，
所以，则，
所以.
故答案为：0
【专训1-1】
【答案】D
【详解】令，，则，
所以为奇函数，
则，又，所以，即，
所以，
所以.
故选：D
【专训1-2】
【答案】4
【详解】因为函数，是偶函数，
则，解得，可知，
且，即，
整理得，结合的任意性可得，即，
所以.
故答案为：4.
【专训1-3】
【答案】/0.5
【详解】因为函数是定义在上的奇函数，当时，，
所以，解得，
所以当时，，
所以，
故答案为：
【期末热考题型3】利用函数奇偶性解不等式
【典例1】
【答案】C
【详解】令，易知为奇函数且在上单调递增.
化简，
即，
所以，解得，
故选：C
【典例2】
【答案】
【详解】解：因为是定义在上的偶函数，且在上递减，
所以在上递增，
不等式等价于，
所以，解得，
所以不等式的解集是.
故答案为：
【专训1-1】
【答案】A
【详解】因为偶函数在区间上单调递增，
所以在区间上单调递减，故越靠近轴，函数值越小，
因为，
所以，解得：．
故选：A.
【专训1-2】
【答案】C
【详解】的定义域为，
因为，所以为偶函数，
所以可化为，
当时，，
因为和在上递增，
所以在上递增，
所以由，得在上恒成立，
所以，化简得在上恒成立，
所以，解得，
即的取值范围为，
故选：C
【期末热考题型1】函数的对称性和周期性
【典例1】
【答案】BCD
【详解】的图象关于点对称，故A错误；
是偶函数函数的图象关于直线对称，
故B正确；
因为，代入中，
得到，进而，因此，
故C正确；
由此得到，
所以，故D正确.
故选：BCD.
【典例2】
【答案】ACD
【详解】对于A项，由是奇函数，可得函数关于点对称，
所以有，故A项正确；
对于B项，无法求出的值，故B项错误；
对于C项，函数是定义域为R的偶函数，所以有.
又函数关于点对称，
所以，
所以有，
所以，，
所以有，所以是以4为周期的函数，故C项正确；
对于D项，因为,所以也是函数的对称轴.
又是以4为周期的函数，所以的图象关于对称，故D项正确.
故选：ACD.
【专训1-1】
【答案】0
【详解】根据题意，是定义在R上的函数，
由为偶函数，有，即，
由为奇函数，即为奇函数，有，
即，且，
综合得，
变形可得，
，
故是周期为4的周期函数，
则.
故答案为：0.
【专训1-2】
【答案】
【详解】是奇函数，故，且，
偶函数，故，
则， ，函数周期为，
，故，，即，
，，，，
故，.
故答案为：.
【期末热考题型1】函数单调性、奇偶性、对称性、周期性综合应用
【典例1】
【答案】AC
【详解】对于A、B项，由已知函数的图象关于点对称，
可得，的图象关于点对称.
又定义域为R，所以是奇函数，故B项错误.
由是奇函数，可得.
又由已知可得，，
所以有，所以的图象关于直线对称，故A项正确；
对于C项，由可得，，
所以有，
所以的周期为4，所以.
又是奇函数，所以.
由代入可得，，
所以，，故C项正确；
对于D项，由的周期为4，可得.
又的图象关于直线对称，
所以，，，
所以，.
由对任意的，，，都有，
可得，.
所以，，都有，
所以，在上单调递增.
所以，，即有，故D项错误.
故选：AC.
【典例2】
【答案】①②
【详解】根据题意，函数是上的奇函数，则；
由得，即
所以是函数的一条对称轴；
又由为奇函数，则，
变形可得，则有，
故函数是周期为4的周期函数，
当，且时，都有，
则函数在区间上为增函数，又由是上的奇函数，
则在区间上单调递增；
据此分析选项：
对于①，，则，
，故①正确；
对于②，是函数的一条对称轴，且函数是周期为4的周期函数，则是函数的一条对称轴，又由函数为奇函数，则直线是函数图象的一条对称轴，故②正确；
对于③，函数在上有7个零点：分别为，，，0，2，4，6，故③错误；
对于④，在区间上为增函数且其周期为4，函数在上为增函数，故④错误；
故答案为：①②．
【专训1-1】
【答案】AC
【详解】由，得，即函数是周期为2的周期函数，
对于A，因为，所以的图象关于直线对称，故A正确；
对于B，因为函数的周期为2，所以，故B错误；
对于C，由是偶函数，在上是增函数，得在上是减函数，故C正确；
对于D，由的周期为2，在上是增函数，
得，在上是增函数.
又，所以，故D错误.
故选：AC.
【专训1-2】
【答案】ABD
【详解】对于，因为为奇函数，所以，且，函数图象关于点对称，
因为偶函数，所以，函数图象关于直线对称，
，即，
所以，令，则，
所以，所以，故的一个周期为，故正确；
对于，图象关于直线对称，的一个周期为，所以直线是函数的一个对称轴，故正确；
对于，，∵当时，，，，
又，所以，解得，
因为，所以，
当时，，故不正确；
因为，故正确.
故选：.
【期末热考题型1】利用函数奇偶性求解析式
【典例1】
【答案】
【详解】假设，则根据为奇函数，
得：，又的定义域为，，综上可得：.
故答案为：
【典例2】
【答案】
【详解】因为函数为奇函数，所以，解得.
设，则，所以，
又为奇函数，所以，
即当时，.
故答案为：
【专训1-1】
【答案】
【详解】设，则：，
所以：，
又因为：是定义在上的奇函数，
所以：，
所以：.
故答案为：.
【专训1-2】
【答案】(1)，；
(2)
【详解】（1）函数是定义在上的奇函数，则，．
（2）令，则，则，
又函数是奇函数，，所以，
所以．
【期末热考题型1】求分段函数的单调区间
【典例1】
【答案】D
【详解】.
因为，，
所以的增区间是．
故选：D
【典例2】
【答案】和
【详解】由题意可知：的定义域为，
可得，
作出的图象，

由图象可知函数的单调递减区间是和.
故答案为：和.
【专训1-1】
【答案】
【详解】因为，所以，
所以函数的递减区间是.
故答案为：.
【期末热考题型2】根据分段函数的单调性求参数
【典例1】
【答案】D
【详解】因为函数满足对任意的实数，都有成立，
不妨设，则，则，即，
则函数在上为减函数，则，解得，
因此，实数的取值范围是，
故选：D．
【典例2】
【答案】A
【详解】第一步：研究函数，的单调性
易知函数在R上单调递增，
函数在上单调递增，在上单调递减．
第二步：数形结合，将函数在R上单调递增进行转化
在同一平面直角坐标系中作出函数，的图象如图所示．
由图象可知，函数的图象始终在的下方，
所以，要使函数在R上单调递增，则．
第三步：判断充要关系
因为“”是“”的充分不必要条件，则“”是“函数在R上单调递增”的充分不必要条件．
故选：A．
【专训1-1】
【答案】C
【详解】因为函数在上单调递减，
则
即，
得，
故选：C.
【专训1-2】
【答案】A
【详解】因为对任意的，都有，故为增函数.
故当时为增函数，故，即.
又当时为增函数，且对称轴为，故，即.
又当时，，即.
综上有.
故选：A
【期末热考题型3】解分段函数不等式
【典例1】
【答案】
【详解】的图象如下，

依题意，的图象关于直线对称，且在上单调递减，
令，则为偶函数，且在上单调递减，
故．
故答案为：.
【典例2】
【答案】
【详解】（i）当，即时，，，
由得，即，
因为，所以恒成立，所以；
（ii）当，即时，，，
由得，即，即恒成立，
所以；
（iii）当，即时，，，
由得，即，所以，
综上所述：的取值范围是.
故答案为：
【专训1-1】
【答案】B
【详解】当时，，则不成立；
当时，，
由，得，得，与矛盾，舍去，
当时，，
由，得，则，得．
综上，满足的的取值范围是．
故选：B．
【专训1-2】
【答案】
【详解】当时，即，则；
当时，即，解得，即，
故满足的的取值范围是，
故答案为：
【期末热考题型1】分段函数的值域或最值问题
【典例1】
【答案】B
【详解】令，解得，

所以，

由图象可得：在上单调递增，在单调递减，
所以的最大值为.
故选：B.
【典例2】
【答案】 （只需满足即可）
【详解】①当时，则，函数在上为增函数，
此时，函数不存在最小值，不合乎题意；
②当时，，
当时，，当且仅当时，等号成立，此时，函数的最小值为；
当时，函数在上为减函数，
函数在上单调递减，在上单调递增，
若函数存在最小值，则，即，解得，此时，；
③当时，函数在上为减函数，
函数在上为增函数，
若函数存在最小值，则，即，该不等式无解.
综上所述，实数的取值范围是.
故答案为：（只需满足即可）；.
【专训1-1】
【答案】
【详解】由在上递减，在上递增，
若，则最小值为，不满足题设，
所以，
在上，，当且仅当时等号成立，
所以最小值，则，可得.
综上，.
故答案为：
【专训1-2】
【答案】(1)图象见解析；
(2).
【详解】（1）依题意，当时，，则函数在上的图象是抛物线在的部分，
当时，，则函数在上的图象是直线在的部分，
当时，，则函数在上的图象是抛物线在的部分，如图，
（2）当时，的取值集合为，
当时，的取值集合为，
当时，的取值集合为，
所以函数的值域为.
【期末热考题型1】不含参数的二次函数最值问题
【典例1】
【答案】B
【详解】
函数对称轴为，作出函数的图象，观察图象可知
，，
所以函数的值域为
故选：B.
【典例2】
【答案】C
【详解】由函数，对称轴的方程为，
当时，则时，函数取得最大值，不满足题意；
当时，可函数在区间上单调递减，
所以当时，函数取得最大值，最大值为，
解得或（舍去）.
故选：C.
【专训1-1】
【答案】C
【详解】，，开口向上，对称轴为，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
当时，函数取得最小值为，
结合对称性，当时，函数取得最大值为5，
所以的取值范围为.
故选：C.
【期末热考题型2】含参数的二次函数最值问题
【典例1】
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由题可得，，所以，
又因为，
所以二次函数的对称轴为，解得，
所以.
（2）由（1）知，，对称轴，
当，即时，
函数在上单调递减，
则函数的最小值；
当，即时，
函数在上单调递减，单调递增，
则函数的最小值；
当时，
函数在上单调递增，
则函数的最小值；
所以，
（i）当时，单调递减，所以；
（ii）当时，；
（iii）当时，单调递增，所以；
综上，的值域为.
【典例2】
【答案】(1)；
(2)
(3)
【详解】（1）因为函数是定义在R上的偶函数，且当时，，
则，.
（2）设，则，所以，因为函数是定义在R上的偶函数，
所以，则时，，
所以.
（3）当时，，所以，
对称轴为，
当时，即时，；
当时，即时，；
当时，即时，；
综上所述，.
【专训1-1】
【答案】(1)，
(2)
(3)答案见解析
【详解】（1）当时，，
联立方程，解得：或，
即交点坐标为和.
（2）函数在上单调递增，在上单调递减；
又函数在上不具有单调性，
所以，即.
（3）函数在上单调递增，在上单调递减；
当时,在上单调递增，的最小值．
当时,在上单调递减，的最小值．
当时,在上单调递增，在上单调递减,的最小值．
当,的最小值．
当,的最小值．
当,的最小值．
【专训1-2】
【答案】(1)，
(2)
【详解】（1）由已知得关于的方程的两根1，3，
由韦达定理，，∴.
（2）由（1）得，
图象的对称轴直线，，
当即时，在上单调递减，
∴；
当即时，在上单调递减，在上单调递增，
（或由二次函数的性质得）∴；
当时，在上单调递增，
∴；
综上，.
【期末热考题型1】恒成立与能成立问题
【典例1】
【答案】(1)最大值为3，最小值为2
(2)
【详解】（1）当时，，，
令，则，，开口向上，对称轴为，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以当，即时，函数也就是取得最小值，，
当，即时，函数取得最大值，.
（2）在上恒成立，即，令，
原不等式可化为，对任意的成立，
可转化为，对任意的成立，
因为，
当且仅当，即时等号成立，
所以即可，
所以实数的取值范围为.
【典例2】
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）因为对都有，
所以关于直线对称，
又因为二次函数的最小值为，
所以可设二次函数的解析式为，
又因为是其一个零点，
所以，解得，
所以的解析式为.
（2）由（1）可知，函数在上单调递减，在上单调递增，
所以，当时，，
当时，，
.
（3）因为对，都有恒成立，
由（2）可知，对，恒成立，
即或，
解得，
故存在实数符合题意，实数的取值范围.
【专训1-1】
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为函数满足，
所以函数的对称轴为，
又因为最小值为，
故可设二次函数的解析式为，
又因为，
所以，解得，
所以.
（2）由题意可知：的图象在区间上恒在的上方，
所以在上恒成立，
即在上恒成立，
令，所以在上恒成立，
又，
所以在上单调递减，所以，
所以，即实数的取值范围为.
【期末热考题型1】二元变量问题
【典例1】
【答案】(1)单调递增，证明见解析；
(2)
【详解】（1）由函数满足，
可得，解之得，则，
在上单调递增，证明如下：
设任意，且，则
，
由，可得，
又，，
则，则，
则在上单调递增.
（2）对任意的，由在上单调递增，
可得，即，
则在上的值域为
对称轴，
当时，在上为增函数，
值域为，
由题意可得，则，解之得；
当时，在上为减函数，
值域为，
由题意可得，则，解之得，
综上，实数的取值范围为.
【典例2】
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）解：因为是定义在上的函数，若满足，
所以函数为奇函数，所以，解得，所以，
又因为，可得，解得，所以，
此时满足，
所以函数的解析式为.
（2）解：对都有成立，即为，
不妨设，则，
因为，所以，
所以，即，
所以函数在上为单调递增函数，最小值为，
又由在上恒成立，只需在上恒成立，
令，当且仅当时，即时，等号成立，
所以，解得，即实数的取值范围为.
【专训1-1】
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由是关于的方程的一个实数根，可得,
即，解得；
所以，由二次函数性质可得；
即可得函数的值域为；
（2）根据题意可知，需满足；
当时，由二次函数性质可知；
当时，若时，；
可得，解得，所以；
当时，，
可得，解得或，所以；
当时，，
可得，解得，所以；
综上可得实数的取值范围是.
【专训1-2】
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）由题意，，即可得，
即，解得，
即不等式的解集为.
（2）因为为增函数，
所以时，，
即函数的值域为.
（3）由（2）知，任意，总存在，使得成立，
即在上的最小值，
对，
①当，即时，在上单调递增，
故不成立；
②当，即时，在上单调递增，
故，解得，又，故无解；
③当，即时，的对称轴时，
在上单调递增，
故，解得，故，
当对称轴时，成立.
综上，.
【期末热考题型1】抽象函数的综合问题
【典例1】
【答案】(1)
(2)单调递增，证明见解析
(3)
【详解】（1）令，则，
解得；
（2）函数在上单调递增，
证明：任取，
则，
所以，
因为，
所以，则，
所以，即，
所以函数在上单调递增；
（3）由（2）函数在上单调递增，
所以不等式恒成立，即恒成立，，
当恒成立时，，又，所以，
当恒成立时，，
令，则，且，
所以，
当时，，
所以，
综合得
【典例2】
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)
【详解】（1）令，，则，
即，
由可知.
（2）令，则，
即.
若，则，所以.
总之，.
，
又所以,
由且可知，所以；
可得，即，
所以在上单调递增.
（3）令，则，
所以为偶函数，
又，
当时，，
此时，解得，
当时，，可得或；
此时成立，所以符合不等式.
综上，原不等式的解为.
【专训1-1】
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)
【详解】（1）解：令，得到，解得.
（2）解：、，，则，所以，，
则
，即，
所以是上的增函数.
（3）解：因为是上的增函数，且，所以，解得.
因此，实数的取值范围是.
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