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第五章 圆
第一节 圆的有关概念及性质
考点分布 考查频率 命题趋势
考点1 圆的有关概念及性质 ☆ 吉林中考中，有关圆的有关概念及性质部分，每年考查1~3道题,分值为3~9分，通常以选择题、填空题和解答题的形式考查。对于这部分的复习，需要熟练掌握圆的有关概念及性质、垂径定理及其计算、圆周角定理及圆内接多边形等考点。
考点2 垂径定理及其计算 ☆☆
考点3 圆周角定理及圆内接多边形 ☆☆☆
■考点一　圆的有关概念及性质
1．圆的定义
　　(1)线段OA绕着它的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的封闭曲线，叫做圆.
　　(2)圆是到定点的距离等于定长的点的集合.
细节剖析：
　 ①圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；确定一个圆应先确定圆心，再确定半径，二者缺一不可；
　②圆是一条封闭曲线.
2．圆的性质
　　(1)旋转不变性：圆是旋转对称图形，绕圆心旋转任一角度都和原来图形重合；圆是中心对称图形，对称中心是圆心.
　　 　在同圆或等圆中，两个圆心角，两条弧，两条弦，两条弦心距，这四组量中的任意一组相等，那么它所对应的其他各组分别相等.
　　(2)轴对称：圆是轴对称图形，经过圆心的任一直线都是它的对称轴.
　　(3)垂径定理及推论：
　　 　①垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.
　　 　②平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.
　　 　③弦的垂直平分线过圆心，且平分弦对的两条弧.
　　 　④平分一条弦所对的两条弧的直线过圆心，且垂直平分此弦.
　　 　⑤平行弦夹的弧相等.
3．两圆的性质
　　(1)两个圆是一个轴对称图形，对称轴是两圆连心线.
　　(2)相交两圆的连心线垂直平分公共弦，相切两圆的连心线经过切点.
4．与圆有关的角
　　(1)圆心角：顶点在圆心的角叫圆心角.
　　 　圆心角的性质：圆心角的度数等于它所对的弧的度数.
　　(2)圆周角：顶点在圆上，两边都和圆相交的角叫做圆周角.
　　 　圆周角的性质：
　　 　①圆周角等于它所对的弧所对的圆心角的一半.
　　 　②同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等.
　　 　③90°的圆周角所对的弦为直径；半圆或直径所对的圆周角为直角.
　　 　④如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形.
　　 　⑤圆内接四边形的对角互补；外角等于它的内对角.
■考点二　垂径定理及其计算
1.圆的对称性
圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴，圆有无数条对称轴.圆也是中心对称图形，圆心是它的对称中心；圆还具有旋转不变性。
2．垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
方法点拨：
关于垂径定理的计算常与勾股定理相结合，解题时往往需要添加辅助线，一般过圆心作弦的垂线，构造直角三角形．
3．垂径定理推论
（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；
（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．
■考点三　圆周角定理及圆内接多边形
1.圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角。
2.圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半
3.推论：同弧或等弧所对圆周角相等，
①半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径。
②在同圆或等圆中，两个圆周角、两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，它们所对应的其余各组量也相等。
4.圆内接多边形：如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆.
5.圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补。
■易错提示
1.圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；确定一个圆应先确定圆心，再确定半径，二者缺一不可；
　2.圆是一条封闭曲线.
3.直径是圆中通过圆心的特殊弦，也是圆中最长的弦，即直径是弦，但弦不一定是直径.
　　4.半圆是弧，而弧不一定是半圆；
　　5.无特殊说明时，弧指的是劣弧.
6.等弧成立的前提条件是在同圆或等圆中，不能忽视；
7.圆中两平行弦所夹的弧相等.
8.圆心角、弧和弦之间的关系必须在同圆或等圆中才成立．
9.圆虽然不是直线形图形，但圆的问题解决除了借助圆自身的性质之外，更多的还得借助三角形，四边形的知识。
■考点一　圆的有关概念及性质
◇典例1：（2023上·黑龙江大庆·六年级统考期末）圆的半径是一条（　　）
A．直线 B．射线 C．线段 D. 弧
【答案】C
【分析】本题考查了圆的半径的定义“连接圆心和圆上任意一点的线段，叫做半径”，据此选择答案即可．
【详解】解：连接圆心和圆上任意一点的线段，叫做半径，
故选：C．
◆变式训练
1．（2023上·河北石家庄·九年级校考阶段练习）如图，在中，，点D是半径为4的上一动点，点M是的中点，则的最大值是（ ）
A．7 B．6 C． D．
【答案】A
【分析】本题考查直角三角形斜边的中线的性质，三角形的中位线定理，三角形的三边关系等知识，如图，取的中点，连接，．利用直角三角形斜边中线的性质，三角形的中位线定理求出，，再利用三角形的三边关系即可解决问题．
【详解】解：如图，取的中点，连接，．
，，，
，
点是的中点，
，
点是的中点，点是的中点，
，
，
，
即的最大值是7．
故选：A．
2．（2021上·河北石家庄·九年级石家庄市第十七中学校考期中）如图，的半径为2，圆心M的坐标为，点P是上的任意一点，，且与x轴分别交于A、B两点，若点A、点B关于原点O对称，则的最大值为（　　）
A．9 B．10 C．12 D．14
【答案】D
【分析】本题考查直角三角形斜边中线的性质，圆外一点到圆上一点距离的最大值，连接，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，可得，当点P为线段的延长线与的交点时，取最大值，由此即可求解．
【详解】解：如图，连接，
点A、点B关于原点O对称，
，
为斜边上的中线，
，
点P是上的任意一点，
当点P为线段的延长线与的交点时，取最大值，如图：
的半径为2，圆心M的坐标为，
的最大值,
的最大值为，
故选D．
■考点二　垂径定理及其计算
◇典例2：（2023上·广西南宁·九年级校考阶段练习）“圆材埋壁”是我国古代数学名著《九章算术》中的一个问题：今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问：径几何？大意是：如图，为的直径，弦，垂足为点E，寸，寸，则直径为（）
A．13寸 B．18寸 C．24寸 D．26寸
【答案】D
【分析】本题考查了垂径定理和勾股定理，正确作出辅助线构造直角三角形是关键．连接构成直角三角形，先根据垂径定理，由垂直得到点为的中点，由可求出的长，再设出圆的半径为，表示出，根据勾股定理建立关于的方程，解方程直接可得的值，即为圆的直径．
【详解】连接，
∵，且寸，
∴寸，
设圆的半径的长为，则
∵，
∴，
在直角三角形中，根据勾股定理得：，
化简得：，
即，
∴(寸)，
故选：D．
◆变式训练
1．（2023上·湖南长沙·九年级校联考阶段练习）把半径为的球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，若，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查垂径定理，涉及到圆的基本性质，勾股定理等知识，掌握求弦长通常运用垂径定理构造直角三角形的方法是解题的关键．
设球心为，过作交于，交于，连接，结合题意可解得，，根据勾股定理求得，最后由垂径定理求得结果．
【详解】解：如图，设球心为，过作交于，交于，连接，
由题意可知是矩形，，
，
，
，
，
，，
，
，
故选：D．
2．（2023上·浙江绍兴·九年级校联考期中）绍兴是著名的“桥乡”，其中有一座美丽的圆弧形石拱桥——古纤道太平桥（如图），已知桥拱的顶部C距水面的距离为，桥弧所在的圆的半径为，则水面的宽度是（）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了勾股定理，垂径定理，熟练掌握定理，准确计算是解题的关键．
【详解】如图，连接,
∵，，，
∴，，
∴,
∴,
故选A．
■考点三　圆周角定理及圆内接多边形
◇典例3：（2023上·重庆九龙坡·九年级重庆实验外国语学校校考期中）如图，内接于，是的直径，于点F，，，连接，，则的长度为（ ）
A． B．5 C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了垂径定理，圆周角定理，勾股定理，等知识．连接交于点G，根据垂径定理可得，再由，可得，从而得到，设的半径为r，则，在中，由勾股定理求出r，然后在中，根据勾股定理，即可求解．
【详解】解：如图，连接交于点G，
∵是的直径，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
设的半径为r，则，
在中，，
∴，
解得：，
∴，
在中，．
故选：A
◆变式训练
1．（2023上·浙江杭州·九年级校考阶段练习）如图，的直径垂直弦于点E，且，，则（　　）
A．8 B．4 C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了垂径定理，圆周角定理，勾股定理，熟记垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解题的关键．连接，如图，先计算出，，再根据垂径定理得到，然后利用勾股定理计算出，从而得到的长．
【详解】解：连接，如图，
，
，
，
，
，
，
在中，，
．
故选：C．
2．（2023上·浙江宁波·九年级校考期中）如图，点A、B在上，点C在弧上，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】题目主要考查圆周角定理及圆内接四边求角度，三角形内角和定理，根据题意得出弧所对的圆周角的度数为：，然后确定，再由三角形内角和定理即可求解，熟练掌握圆周角定理及内接四边形的性质是解题关键．
【详解】解：∵，
∴弧所对的圆周角的度数为：，
∴，
∵，
∴∠ABC=270
故选：C．
1．（2023·吉林长春·校考二模）下列命题中是真命题的是（ ）
A．确定事件发生的概率为1 B．平分弦的直径垂直于弦
C．两边及其一边的对角对应相等的两个三角形全等 D．正多边形都是轴对称图形
【答案】D
【分析】根据概率的求法、垂径定理、轴对称图形的概念和三角形判定的判定定理进行判断即可．
【详解】解：A、确定事件发生的概率为1或0，则原命题为假命题，故本选项不符合题意；
B、平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，则原命题为假命题，故本选项不符合题意；
C、两边及其夹角对应相等的两个三角形全等，则原命题为假命题，故本选项不符合题意；
D、正多边形都是轴对称图形，原命题为真命题，故本选项符合题意；
故选：D
【点睛】本题考查的是命题的真假判断，掌握概率的求法、垂径定理、轴对称图形的概念和三角形确定的判定定理是解题的关键．
2．（2023·吉林松原·校联考三模）如图，在中，A、B是圆上的两点，已知，直径，连接，则等于（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据等腰三角形的性质和平行线的性质求解即可．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，，
∴，，
则，
故选：A．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质、平行线的性质、圆的基本知识，熟练掌握等边对等角是解答的关键．
3．（2023·吉林长春·统考一模）如图，点P是外一点，分别以O、P为圆心，大于长为半径作圆弧，两弧相交于点M和点N，直线交于点C，再以点C为圆心，以长为半径作圆弧，交于点A，连接交于点B，连接．若，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】连接，根据作图痕迹，直线垂直平分，，利用线段垂直平分线性质和等腰三角形的等边对等角求得，，再利用三角形的外角性质和三角形的内角和定理求得即可．
【详解】解：连接，根据作图痕迹，直线垂直平分，，
则，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查基本尺规作图-作垂线、等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质、三角形的外角性质和三角形的内角和定理，熟练掌握等腰三角形的性质，得到直线垂直平分是解答的关键．
4．（2023·吉林·统考中考真题）如图，，是的弦，，是的半径，点为上任意一点（点不与点重合），连接．若，则的度数可能是（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据圆周角定理得出，进而根据三角形的外角的性质即可求解．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，
∴的度数可能是
故选：D．
【点睛】本题考查了圆周角定理，三角形的外角的性质，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
5．（2022·吉林长春·统考中考真题）如图，四边形是的内接四边形．若，则的度数为（ ）

A．138° B．121° C．118° D．112°
【答案】C
【分析】由圆内接四边形的性质得，再由圆周定理可得．
【详解】解：∵四边形ABCD内接于圆O，
∴
∵
∴
∴
故选：C
【点睛】本题主要考查了圆内接四边形的性质和圆周角定理，熟练掌握相关性质和定理是解答本题的关键
6．（2021·吉林·统考中考真题）如图，四边形内接于，点为边上任意一点（点不与点，重合）连接．若，则的度数可能为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由圆内接四边形的性质得度数为，再由为的外角求解．
【详解】解：∵四边形内接于，
∴，
∵，
∴，
∵为的外角，
∴，只有D满足题意．
故选：D．
【点睛】本题考查圆内接四边形的性质，解题关键是熟练掌握圆内接四边形对角互补．
7．（2023·吉林松原·统考二模）如图，在中，所对的圆周角，若为上一点，，则的度数为（ ）

A． B． C．或 D．或
【答案】A
【分析】由圆周角定理求出，再由，则．
【详解】解：∵，
∴，
又，P为上一点，
∴．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了圆周角定理，熟知圆周角定理是解题的关键．
8．（2023·吉林松原·校联考三模）如图，点A，B，C，D，E都是上的点，，，则 ．

【答案】116
【分析】连接、，根据圆内接四边形的性质求出，根据圆心角、弧、弦之间的关系定理求出，根据圆内接四边形的性质计算，得到答案．
【详解】解：连接、，

∵点A、C、D、E都是上的点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵点A、B、C、E都是⊙O上的点，
∴，
∴，
故答案为：116．
【点睛】本题考查的是圆内接四边形的性质、等腰三角形的性质、掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．
9．（2023·吉林松原·校联考二模）如图，等边是的内接三角形，若的半径为2，则的边长为 ．

【答案】
【分析】先在图上作出边心距对应的线段，连接，在直角中，，求出的长即可．
【详解】解：是的内接正三角形；
，
过作于，连接，则长为边心距，如下图，

在直角中，，，
，
，
，
故答案为．
【点睛】本题考查了圆内接三角形的性质，等边三角形的性质，掌握基本概念是解题的关键．
10．（2023·吉林长春·校考三模）如图，四边形的两边相切于两点，点上，若，则的度数为

【答案】/65度
【分析】连接，由与相切，可得，再由即可求解．
【详解】解：连接，如下图

与相切，
，
．
故答案为．
【点睛】本题主要考查圆周角定理、切线的性质，掌握相关知识并正确作出辅助线是解题的关键．
11．（2022·吉林长春·校考模拟预测）一个圆周上有个点：，，，，，以它们为顶点连三角形，使每个点恰好是一个三角形的顶点，且各个三角形的边都不相交．问：有多少种连法？
【答案】55
【分析】利用递推的方法，根据三角形的定义，结合图表依次推出圆上有3个点，6个点，9个点和12个点连成三角形的种数，进而得出结论．
【详解】解：（1）如果圆上只有3个点，那么只有一种连法；
（2）如果圆上有6个点，除所在三角形的三顶点外，剩下的三个点一定只能在在三角形的一条边所对应的圆弧上，表1给出这时有可能的连法有3种．
（3）如果圆上有9个点，考虑所在的三角形．此时，其余的6个点可能分布在：
①A1所在三角形的一个边所对的弧上；②也可能三个点在一个边所对应的弧上，另三个点在另一边所对的弧上；
在表2中用“”号表示它们分布在不同的边所对的弧；如果是情形①，则由（2），
这六个点有三种连法；如果是情形②，则由①，每三个点都只能有一种连法；共有12种连法．
（4）最后考虑圆周上有12个点．同样考虑所在三角形，剩下9个点的分布有三种可能：
①9个点都在同一段弧上；
②有6个点是在一段弧上，另三点在另一段弧上；
③每三个点在所在三角形的一条边对应的弧上．得到表3；
共有种．
所以共有55种不同的连法．
【点睛】本题主要考查了计数方法，利用递推的方法，依次推出圆上有3个点，6个点，9个点和12个点连成三角形的种数，即采用了化难为易的方法解答，要注意各个三角形的边都不相交这个要求．
12．（2022·吉林长春·统考一模）阅读理解：辅助线是几何解题中沟通条件与结论的桥梁，在众多类型的辅助线中，辅助圆作为一条曲线型辅助线，显得独特而隐蔽．
例如：在图(1)中，，求证：．(请写出证明过程)
证明：
方法运用：如图(1)已知，，，则∠CAD的度数为______．
方法拓展：
如图(2)在矩形ABCD中，，，E是AB边的中点，F是线段BC边上的动点，将沿EF所在直线折叠得到，连结，则的最小值是______．
【答案】88°；．
【分析】(1)同一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，故∠BAC=2∠BDC．
(2)由AB=AC=AD，可得B，C，D在以A为圆心，AB为半径的圆上，然后由圆周角定理，证得∠CAD=2∠CBD，∠BAC=2∠BDC，继而可得∠CAD=2∠BAC．
(3)当∠BFE=∠，点在DE上，此时的值最小，根据勾股定理求出DE，根据折叠的性质可知，DE-即为所求．
【详解】(1) 证明：以A点为圆心，AB为半径画圆，
∴AB=AC=AD，
∴B、C、D点都在圆A上，
∴∠DBC=∠DAC，∠BDC=∠BAC．
(2)解：∵，
∴B，C，D三点在以A为圆心，AB为半径的圆上，
∴∠CAD=2∠CBD，，
∵∠CBD=2∠BDC，∠BAC=44°，
∴∠CAD=2∠BAC=88°
∠CAD的度数为88°．
(3)如图，当∠BFE=∠，点在DE上时，此时的值最小，
根据折叠的性质△EBF≌△,
∴⊥，
∴=EB，
∵E是AB边的中点，AB=4，
∴AE==2，
∵AD=6，
∴DE=，
∴．
的最小值是．
【点睛】本题主要考查圆周角定理、折叠的性质、全等三角形的判定与性质、两点之间线段最短的综合运用，确定点在何位置时，的值最小，注意得到B,C,D在以A为圆心，AB为半径的圆上是解决问题的关键．
13．（2023·吉林长春·东北师大附中校考三模）【提出问题】（1）如图①，在中，，，为此三角形内的一点，且，，，将绕点顺时针旋转至，则两点间的距离为______，的度数为______．
【探究问题】（2）如图②，在四边形中，，，探究线段之间的数量关系，并写出解答过程．

【解决问题】（3）如图③是某圆形公园的设计示意图．已知四边形是内接四边形，为直径，，交于点，于点，于点，按设计要求，阴影部分是室内活动区，若，，则阴影部分的面积为______．
【答案】（1），（2），理由见详解（3）2000
【分析】（1）根据旋转的性质，可得，，利用等腰直角三角形的性质和勾股定理的逆定理可获得答案；
（2）延长至点，使，连接，利用（1）的解题思路，构造，利用等腰直角三角形的性质可得结论；
（3）延长至点，使，连接，结合（2）解题思路，易得平分，，为等腰直角三角形，可证明四边形为正方形，求得，再结合为等腰直角三角形，，可求得，利用可得，易得，然后由即可获得答案．
【详解】解：（1）如图，连接，

∵将绕点C沿顺时针方向旋转至，
∴，，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
故答案为：，；
（2）．理由如下：
延长至点，使，连接，如图，

∵，
∴，
∴四点在同一个圆上，
∴，
∴
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴， ，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴；
（3）如图，延长至点，使，连接，如图，

结合（2）可知，平分，，为等腰直角三角形，
又∵，，
∴，
∵，，，
∴四边形为正方形，
∵，
∴，
∴，
∵为等腰直角三角形，，
∴，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为：2000．
【点睛】本题主要考查了正方形的判定与性质、三角形的全等判定与性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理及逆定理、角平分线的性质定理、圆内接四边形的性质等知识，综合性很强，利用旋转构造全等三角形是解题的关键．
1．（2023上·吉林长春·九年级校考期中）已知的半径是，则中最长的弦长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了圆的基本性质．根据圆中最长的弦为直径，即可求解．
【详解】解：∵的半径是，
∴中最长的弦长直径是．
故选：D
2．（2023上·江苏宿迁·九年级校联考期中）下列说法中，正确的是（ ）
A．半圆是弧，弧也是半圆 B．长度相等的弧是等弧
C．弦是直径 D．在一个圆中，直径是最长的弦
【答案】D
【分析】本题考查圆的基本概念辨析．根据弧：圆上两点及其所夹的部分；弦：连接圆上两点形成的线段，逐一进行判断即可．
【详解】解：A、半圆是弧，但弧不一定是半圆，故选项错误；
B、在同圆或等圆中，长度相等的弧是等弧，故选项错误；
C、弦不一定是直径，故选项错误；
D、在一个圆中，直径是最长的弦，故选项正确；
故选D．
3．（2023上·江苏宿迁·九年级统考期中）如图，在矩形中，，动点分别从点同时出发，以相同的速度分别沿向终点移动，当点到达点时，运动停止，过点作直线的垂线，垂足为点，在这个移动过程中点经过的路径长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】连接，交于点，取中点，连接，根据直角三角形斜边中线的性质，可以得出的轨迹，从而求出经过的路程长．
【详解】解：连接，交于点，取中点，连接，如图所示：
，
，
在与中，
，
，
，，共线，
，是中点，
在中，，则，
的轨迹为以为圆心，1为半径的圆弧，则
当与重合时，；当与重合时，与重合；
走过的路程为，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了轨迹长度的求解，涉及矩形的性质、动点轨迹、与圆有关的位置关系等知识，根据矩形的性质以及直角三角形斜边中线的性质确定的轨迹是本题解题的关键．
4．（2023上·内蒙古呼和浩特·九年级校考期中）下列命题错误的有（ ）个
A．弧长相等的两段弧是等弧；
B．过弦的中点的直径平分弦所对的两条弧；
C．圆是轴对称图形，任何一条直径都是它的对称轴；
D．如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点在同一个圆上．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】本题根据等弧的定义、垂径定理、圆的对称性以及四点共圆的判定逐项判断即可．
【详解】解：A、在同圆或等圆中，弧长相等的两段弧是等弧，故A错误，符合题意．
B、过弦（弦不能是直径）的中点的直径平分弦所对的两条弧，故B 错误，符合题意．
C、圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴，故C错误，符合题意．
D、如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点在同一个圆上，D正确，不符合题意．
综上所述，符合题意的总共有3个，
故选：C．
5．（2023上·江苏常州·九年级校考期中）已知点在半径为5的上运动，是的一条弦且，则使的面积为8的点共有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】本题考查垂径定理和勾股定理，熟练掌握垂径定理是解题的关键，根据的面积可将高求出，即上的点到的距离为高的点都符合题意．
【详解】解：过圆心向弦作垂线，再连接半径，
设的高为，
∵，
∴，
∴弦心距，
∵，
∴过圆心向所在的半圆作弦心距为1的弦与的两个点符合要求；
∵，
∴将弦心距延长与相交，交点也符合要求，
∴符合要求的点有3个，
故选：C．
6．（2023上·黑龙江佳木斯·九年级统考期末）为了测量一个铁球的直径，将该铁球放入工件槽内，测得的有关数据如图所示（单位：），则该铁球的直径为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了垂径定理的应用、勾股定理，连接交于点D，根据垂径定理求出，根据勾股定理计算即可．
【详解】解：连接交于点D，
由题意得，，则，
设圆的半径为，则，
在中，，
即，
解得：，
则该铁球的直径为，
故选：D．
7．（2023上·黑龙江绥化·九年级统考期末）如图，经过五边形的四个顶点，若弧等于，，，则弧的度数为（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，多边形内角与外角，连接，由半径相等得到，，都为等腰三角形，根据，，求出与的度数，根据的度数确定出度数，进而求出的度数，即可确定出的度数．
【详解】解：连接，

∵，
∴，，，皆为等腰三角形，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
则度数为．
故选：B．
8．（2023上·新疆乌鲁木齐·九年级校考期末）如图所示，是的直径，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了弧与圆心角的关系．由，可求得，继而可求得的度数；然后再根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理来求的度数．
【详解】解：∵，，
∴，
∴．
又∵，
∴，
∴．
故选：A．
9．（2023上·浙江杭州·九年级校考阶段练习）下列有关圆的一些结论，其中正确的是（　　）
A．任意三点可以确定一个圆
B．相等的圆心角所对的弧相等
C．平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧
D．圆内接四边形对角互补
【答案】D
【分析】本题考查了圆心角、弧、弦的关系定理，垂径定理的推论，半圆与弧的定义，圆内接四边形的性质，熟练掌握定义与性质是解题的关键．根据确定圆的条件、圆心角、弧、弦的关系定理、垂径定理、圆内接四边形的性质进行判断即可得到正确结论．
【详解】解：A、不共线的三点确定一个圆，故本选项不符合题意；
B、在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故本选项不符合题意；
C、平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故本选项不符合题意；
D、圆内接四边形对角互补，故本选项符合题意．
故选：D．
10．（2023上·浙江温州·九年级校联考期中）阿基米德折弦定理：如图1，与是的两条弦（即折线是圆的一条折弦），，点M是的中点，于点N，则点N是折弦的中点，即．如图2，半径为4的圆中有一个内接矩形，，点M是的中点，于点N，若矩形的面积为20，则线段的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查圆与勾股定理的综合应用；连接，，，根据圆周角定理，结合已知条件易证得为的直径，，则，再根据弧、弦、圆心角的关系及等腰直角三角形的性质可求得，然后根据同弧所对的圆周角相等及勾股定理可得，，设，，其中，利用勾股定理及矩形面积公式列得方程，解方程求得，的长度，再结合可证得，则，最后利用勾股定理列得方程，解方程求出或，再进一步分析即可得到答案．
【详解】解：如图，连接，，，
四边形为矩形，
，
为的直径，，
的半径为4，
，
点为的中点，
，
，
∴，
，，
设，，其中，
则，
解得：或 舍去，
即，，
，，
，
，
，
，
，
解得：或，
∴或，
当时，，
当时，，
∵，
∴，
∴．
故选：A．
11．（2023上·福建福州·九年级校考阶段练习）如图，点A，B，C，D，E在上，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了圆周角定理，弦与弧之间的关系，根据弦与弧之间的关系得到，再根据同圆中等弧所对的圆周角是圆心角度数的一半可得．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
故选D．
12．（2023上·江苏无锡·九年级校考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，与轴相切于点A，与轴交于点，连接并延长交于点D，交y轴于点E，连接并延长交x轴于点F，已知点D的坐标为，且点A是的中点，则点B的横坐标为（ ）
A． B．8 C．9 D．
【答案】C
【分析】本题考查的是直径所对的圆周角是直角，坐标与图形，勾股定理的应用， 由中点坐标含义先求解 连接证明 设再利用勾股定理建立方程，再解方程即可．熟练地利用圆周角定理建立直角三角形是解本题的关键．
【详解】解：连接 为的中点，
∴，
设
∵为直径，
∴
∴
∵，，，
∴，
∴ ，
解得：
∴的坐标为： ，横坐标为9，
故选：C．
13．（2022上·上海黄浦·八年级上海市黄浦大同初级中学校考期末）在直角坐标平面内，到点的距离是10的轨迹是 ．
【答案】以点为圆心，10为半径的圆
【分析】本题考查圆的定义，根据到定点为定长的点的轨迹为圆，即可得出结果．
【详解】解：到点的距离是10的轨迹是以点为圆心，10为半径的圆；
故答案为：以点为圆心，10为半径的圆．
14．（2023上·江苏盐城·九年级校考阶段练习）已知点为外一点，点到上的点的最长距离为6，最短距离为1，则的半径为 ．
【答案】
【分析】画出图形，先表示距离，再确定最值条件．本题考查求圆的半径，确定A到圆上的点的最大距离和最小距离对应的线段是求解本题的关键．
【详解】解：如图：连接并延长交于点B，C两点，
点到上的点的最长距离为6，此时的线段一定经过的直径，且远点P的直径端点是距离最大值点，近点P的直径端点是距离最小值点，则，
∴，
∴．
故答案为：．
15．（2023上·吉林白城·九年级统考期末）如图，某地新建一座石拱桥，桥拱是圆弧形，它的跨度为，拱高为， 则桥拱所在圆的半径长为 .
【答案】/50米
【分析】此题考查垂径定理、勾股定理等知识，熟练掌握垂径定理是解题的关键．
观察图形，根据已知以及垂径定理可得；然后再在中利用勾股定理求出的长，即可解答．
【详解】解：，，
，
在中，
，
．
桥拱所在圆的半径长为：．
故答案为：．
16．（2023上·黑龙江大庆·九年级统考期末）如图，点A是半圆上的一个三等分点，点是的中点，是直径上一动点，的半径是2，则的最小值为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了圆心角的性质，轴对称的性质，勾股定理，解题的关键是作点A关于的对称点，连接交于P，则点P即是所求作的点，根据勾股定理求出结果即可．
【详解】解：如图，作点A关于的对称点，连接交于P，则点P即是所求作的点，

根据轴对称的性质可知，，
∴，
∵两点之间线段最短，
∴ 此时最小，即最小，
∴的最小值为的长，
∵A是半圆上一个三等分点，
∴，
又∵点B是的中点，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得：
，
∴的最小值是．
故答案为：．
17．（2023上·甘肃定西·九年级统考期末）如图，四边形内接于，若四边形是平行四边形，则 ．
【答案】/60度
【分析】本题考查圆内接四边形，圆周角定理，平行四边形的性质，由平行四边形的性质，得，由圆周角定理可知，，可知，在结合内接四边形对角互补可知，即可求解，熟练掌握相关图形的性质是解决问题的关键．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，
由圆周角定理可知，，
则，
又∵四边形是圆的内接四边形，
∴，即：，
∴，
故答案为：．
18．（2024上·吉林延边·九年级统考期末）石拱桥是我国古代人民勤劳和智慧的结晶（如图①），赵州桥是我国古代石拱桥的代表，图②是根据该石拱桥画出的几何图形，桥的主桥拱是圆弧形，表示为，桥的跨度（弧所对的弦长），设所在圆的圆心为O，，为半径，半径，垂足为D.拱高（弧的中点到弦的距离）．
(1)直接写出与的数量关系；
(2)求这座石拱桥主桥拱的半径．
【答案】(1)
(2)这座石拱桥主桥拱半径约为
【分析】此题考查垂径定理和勾股定理，是重要考点，根据题意利用勾股定理列出方程是解题关键．
（1）根据垂径定理即可得出结论；
（2）设主桥拱半径为，在中，根据勾股定理列出方程，即可得出答案．
【详解】（1）解：∵半径，
∴．
（2）解:设主桥拱半径为，
∵，，，
∴，，
在中，由勾股定理，得，
即，
解得，
因此，这座石拱桥主桥拱半径约为．
19．（2023上·浙江杭州·九年级校考阶段练习）如图，是的直径，点C，D是上的两点，且，求证：．
【答案】见解析
【分析】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系，掌握在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等是解题的关键．
先根据得出，再由平行线的性质得出，故可得出，据此即可证明结论．
【详解】证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
20．（2023上·全国·九年级专题练习）如图，以为直径的经过的顶点C，，分别平分和，的延长线交于点D，连接．
(1)判断的形状，并证明你的结论；
(2)若， ，求的长．
【答案】(1)为等腰直角三角形．证明过程见解答部分
(2)8
【分析】（1）由角平分线的定义、结合等量代换可得，即；然后再根据直径所对的圆周角为即可解答；
（2）如图：连接，，，交于点．先说明垂直平分．进而求得、、的长，设，则．然后根据勾股定理列出关于t的方程求解即可．
【详解】（1）解：为等腰直角三角形，证明如下：
证明：∵平分，平分，
∴，．
∵，，
∴．
∴．
∵为直径，
∴．
∴是等腰直角三角形．
（2）解：如图：连接，，，交于点．
∵，
∴．
∵，
∴垂直平分．
∵是等腰直角三角形，，
∴．
∵，
∴．
设，则．
在和中，．解得，．
∴．
∴．
【点睛】本题主要考查了角平分线的定义、等腰三角形的判定与性质、勾股定理的应用、垂直平分线的判定与性质、圆的性质等知识点，灵活运用相关知识成为解答本题的关键．
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第五章 圆
第一节 圆的有关概念及性质
考点分布 考查频率 命题趋势
考点1 圆的有关概念及性质 ☆ 吉林中考中，有关圆的有关概念及性质部分，每年考查1~3道题,分值为3~9分，通常以选择题、填空题和解答题的形式考查。对于这部分的复习，需要熟练掌握圆的有关概念及性质、垂径定理及其计算、圆周角定理及圆内接多边形等考点。
考点2 垂径定理及其计算 ☆☆
考点3 圆周角定理及圆内接多边形 ☆☆☆
■考点一　圆的有关概念及性质
1．圆的定义
　　(1)线段OA绕着它的一个端点O ，另一个端点A所形成的 ，叫做圆.
　　(2)圆是到 .
细节剖析：
　 ①圆心确定圆的 ，半径确定圆的 ；确定一个圆应先确定 ，再确定 ，二者缺一不可；
　②圆是一条 .
2．圆的性质
　　(1)旋转 圆是 ，绕圆心旋转任一角度都和原来图形 ；圆是 图形，对称中心是 .
　　 　在 中，两个圆心角，两条弧，两条弦，两条弦心距，这四组量中的任意一组 ，那么它所对应的其他各组分别相等.
　　(2)轴对称：圆是 ， 都是它的对称轴.
　　(3)垂径定理及推论：
　　 　①垂直于弦的直径 这条弦，并且平分弦所对的 .
　　 　②平分弦(不是直径)的直径 于弦，并且平分弦所对的 .
　　 　③弦的垂直平分线过 ，且平分弦对的两条弧.
　　 　④平分一条弦所对的两条弧的直线过圆心，且 此弦.
　　 　⑤ 相等.
3．两圆的性质
　　(1)两个圆是一个 图形，对称轴是 .
　　(2)相交两圆的连心线 公共弦，相切两圆的连心线经过 .
4．与圆有关的角
　　(1)圆心角： 叫圆心角.
　　 　圆心角的性质： 等于它所对的弧的度数.
　　(2)圆周角：顶点在 叫做圆周角.
　　 　圆周角的性质：
　　 　①圆周角等于它 .
　　 　② 所对的圆周角相等；在 中，相等的圆周角所对的弧相等.
　　 　③90°的圆周角所对的弦为 ；半圆或直径所对的圆周角为 .
　　 　④如果三角形 ，那么这个三角形是直角三角形.
　　 　⑤圆内接四边形的 互补；外角等于它的 .
■考点二　垂径定理及其计算
1.圆的对称性
圆是 ， 都是它的对称轴，圆有 条对称轴.圆也是 是它的对称中心；圆还具有 。
2．垂径定理：垂直于弦的直径 ，并且平分 ．
方法点拨：
关于垂径定理的计算常与勾股定理相结合，解题时往往需要添加辅助线，一般 ，构造 ．
3．垂径定理推论
（1）平分弦（不是直径）的直径 ，并且平分弦所对的 ；
（2）弦的垂直平分线经过 ，并且 ．
■考点三　圆周角定理及圆内接多边形
1.圆周角的定义：顶点在 ，并且两边都与圆 的角叫做圆周角。
2.圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于
3.推论： 所对圆周角相等，
①半圆(或直径)所对的圆周角是 ，90°的圆周角所对的弦是 。
②在同圆或等圆中，两个 中有一组量相等，它们所对应的其余各组量也相等。
4.圆内接多边形：如果一个多边形的所有顶点 ，这个多边形叫做 ，这个圆叫做这个多边形的 .
5.圆内接四边形的性质：圆内接四边形的 。
■易错提示
1.圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；确定一个圆应先确定圆心，再确定半径，二者缺一不可；
　2.圆是一条封闭曲线.
3.直径是圆中通过圆心的特殊弦，也是圆中最长的弦，即直径是弦，但弦不一定是直径.
　　4.半圆是弧，而弧不一定是半圆；
　　5.无特殊说明时，弧指的是劣弧.
6.等弧成立的前提条件是在同圆或等圆中，不能忽视；
7.圆中两平行弦所夹的弧相等.
8.圆心角、弧和弦之间的关系必须在同圆或等圆中才成立．
9.圆虽然不是直线形图形，但圆的问题解决除了借助圆自身的性质之外，更多的还得借助三角形，四边形的知识。
■考点一　圆的有关概念及性质
◇典例1：（2023上·黑龙江大庆·六年级统考期末）圆的半径是一条（　　）
A．直线 B．射线 C．线段 D. 弧
◆变式训练
1．（2023上·河北石家庄·九年级校考阶段练习）如图，在中，，点D是半径为4的上一动点，点M是的中点，则的最大值是（ ）
A．7 B．6 C． D．
2．（2021上·河北石家庄·九年级石家庄市第十七中学校考期中）如图，的半径为2，圆心M的坐标为，点P是上的任意一点，，且与x轴分别交于A、B两点，若点A、点B关于原点O对称，则的最大值为（　　）
A．9 B．10 C．12 D．14
■考点二　垂径定理及其计算
◇典例2：（2023上·广西南宁·九年级校考阶段练习）“圆材埋壁”是我国古代数学名著《九章算术》中的一个问题：今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问：径几何？大意是：如图，为的直径，弦，垂足为点E，寸，寸，则直径为（）
A．13寸 B．18寸 C．24寸 D．26寸
◆变式训练
1．（2023上·湖南长沙·九年级校联考阶段练习）把半径为的球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，若，则的长为（ ）
A． B． C． D．
2．（2023上·浙江绍兴·九年级校联考期中）绍兴是著名的“桥乡”，其中有一座美丽的圆弧形石拱桥——古纤道太平桥（如图），已知桥拱的顶部C距水面的距离为，桥弧所在的圆的半径为，则水面的宽度是（）
A． B． C． D．
■考点三　圆周角定理及圆内接多边形
◇典例3：（2023上·重庆九龙坡·九年级重庆实验外国语学校校考期中）如图，内接于，是的直径，于点F，，，连接，，则的长度为（ ）
A． B．5 C． D．
◆变式训练
1．（2023上·浙江杭州·九年级校考阶段练习）如图，的直径垂直弦于点E，且，，则（　　）
A．8 B．4 C． D．
2．（2023上·浙江宁波·九年级校考期中）如图，点A、B在上，点C在弧上，若，则（ ）
A． B． C． D．
1．（2023·吉林长春·校考二模）下列命题中是真命题的是（ ）
A．确定事件发生的概率为1 B．平分弦的直径垂直于弦
C．两边及其一边的对角对应相等的两个三角形全等 D．正多边形都是轴对称图形
2．（2023·吉林松原·校联考三模）如图，在中，A、B是圆上的两点，已知，直径，连接，则等于（ ）

A． B． C． D．
3．（2023·吉林长春·统考一模）如图，点P是外一点，分别以O、P为圆心，大于长为半径作圆弧，两弧相交于点M和点N，直线交于点C，再以点C为圆心，以长为半径作圆弧，交于点A，连接交于点B，连接．若，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·吉林·统考中考真题）如图，，是的弦，，是的半径，点为上任意一点（点不与点重合），连接．若，则的度数可能是（ ）

A． B． C． D．
5．（2022·吉林长春·统考中考真题）如图，四边形是的内接四边形．若，则的度数为（ ）

A．138° B．121° C．118° D．112°
6．（2021·吉林·统考中考真题）如图，四边形内接于，点为边上任意一点（点不与点，重合）连接．若，则的度数可能为（ ）
A． B． C． D．
7．（2023·吉林松原·统考二模）如图，在中，所对的圆周角，若为上一点，，则的度数为（ ）

A． B． C．或 D．或
8．（2023·吉林松原·校联考三模）如图，点A，B，C，D，E都是上的点，，，则 ．

9．（2023·吉林松原·校联考二模）如图，等边是的内接三角形，若的半径为2，则的边长为 ．

10．（2023·吉林长春·校考三模）如图，四边形的两边相切于两点，点上，若，则的度数为______

（2022·吉林长春·校考模拟预测）一个圆周上有个点：，，，，，以它们为顶点连三角形，使每个点恰好是一个三角形的顶点，且各个三角形的边都不相交．问：有多少种连法？
12．（2022·吉林长春·统考一模）阅读理解：辅助线是几何解题中沟通条件与结论的桥梁，在众多类型的辅助线中，辅助圆作为一条曲线型辅助线，显得独特而隐蔽．
例如：在图(1)中，，求证：．(请写出证明过程)
证明：
方法运用：如图(1)已知，，，则∠CAD的度数为______．
方法拓展：
如图(2)在矩形ABCD中，，，E是AB边的中点，F是线段BC边上的动点，将沿EF所在直线折叠得到，连结，则的最小值是______．
13．（2023·吉林长春·东北师大附中校考三模）【提出问题】（1）如图①，在中，，，为此三角形内的一点，且，，，将绕点顺时针旋转至，则两点间的距离为______，的度数为______．
【探究问题】（2）如图②，在四边形中，，，探究线段之间的数量关系，并写出解答过程．

【解决问题】（3）如图③是某圆形公园的设计示意图．已知四边形是内接四边形，为直径，，交于点，于点，于点，按设计要求，阴影部分是室内活动区，若，，则阴影部分的面积为______．
1．（2023上·吉林长春·九年级校考期中）已知的半径是，则中最长的弦长是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023上·江苏宿迁·九年级校联考期中）下列说法中，正确的是（ ）
A．半圆是弧，弧也是半圆 B．长度相等的弧是等弧
C．弦是直径 D．在一个圆中，直径是最长的弦
3．（2023上·江苏宿迁·九年级统考期中）如图，在矩形中，，动点分别从点同时出发，以相同的速度分别沿向终点移动，当点到达点时，运动停止，过点作直线的垂线，垂足为点，在这个移动过程中点经过的路径长是（ ）
A． B． C． D．
4．（2023上·内蒙古呼和浩特·九年级校考期中）下列命题错误的有（ ）个
A．弧长相等的两段弧是等弧；
B．过弦的中点的直径平分弦所对的两条弧；
C．圆是轴对称图形，任何一条直径都是它的对称轴；
D．如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点在同一个圆上．
A．1 B．2 C．3 D．4
5．（2023上·江苏常州·九年级校考期中）已知点在半径为5的上运动，是的一条弦且，则使的面积为8的点共有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
6．（2023上·黑龙江佳木斯·九年级统考期末）为了测量一个铁球的直径，将该铁球放入工件槽内，测得的有关数据如图所示（单位：），则该铁球的直径为（ ）
A． B． C． D．
7．（2023上·黑龙江绥化·九年级统考期末）如图，经过五边形的四个顶点，若弧等于，，，则弧的度数为（ ）

A． B． C． D．
8．（2023上·新疆乌鲁木齐·九年级校考期末）如图所示，是的直径，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
9．（2023上·浙江杭州·九年级校考阶段练习）下列有关圆的一些结论，其中正确的是（　　）
A．任意三点可以确定一个圆
B．相等的圆心角所对的弧相等
C．平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧
D．圆内接四边形对角互补
10．（2023上·浙江温州·九年级校联考期中）阿基米德折弦定理：如图1，与是的两条弦（即折线是圆的一条折弦），，点M是的中点，于点N，则点N是折弦的中点，即．如图2，半径为4的圆中有一个内接矩形，，点M是的中点，于点N，若矩形的面积为20，则线段的长为（ ）
A． B． C． D．
11．（2023上·福建福州·九年级校考阶段练习）如图，点A，B，C，D，E在上，，则（ ）
A． B． C． D．
12．（2023上·江苏无锡·九年级校考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，与轴相切于点A，与轴交于点，连接并延长交于点D，交y轴于点E，连接并延长交x轴于点F，已知点D的坐标为，且点A是的中点，则点B的横坐标为（ ）
A． B．8 C．9 D．
13．（2022上·上海黄浦·八年级上海市黄浦大同初级中学校考期末）在直角坐标平面内，到点的距离是10的轨迹是 ．
14．（2023上·江苏盐城·九年级校考阶段练习）已知点为外一点，点到上的点的最长距离为6，最短距离为1，则的半径为 ．
15．（2023上·吉林白城·九年级统考期末）如图，某地新建一座石拱桥，桥拱是圆弧形，它的跨度为，拱高为， 则桥拱所在圆的半径长为 ．
16．（2023上·黑龙江大庆·九年级统考期末）如图，点A是半圆上的一个三等分点，点是的中点，是直径上一动点，的半径是2，则的最小值为 ．
17．（2023上·甘肃定西·九年级统考期末）如图，四边形内接于，若四边形是平行四边形，则 ．
18．（2024上·吉林延边·九年级统考期末）石拱桥是我国古代人民勤劳和智慧的结晶（如图①），赵州桥是我国古代石拱桥的代表，图②是根据该石拱桥画出的几何图形，桥的主桥拱是圆弧形，表示为，桥的跨度（弧所对的弦长），设所在圆的圆心为O，，为半径，半径，垂足为D.拱高（弧的中点到弦的距离）．
(1)直接写出与的数量关系；
(2)求这座石拱桥主桥拱的半径．
19．（2023上·浙江杭州·九年级校考阶段练习）如图，是的直径，点C，D是上的两点，且，求证：．
20．（2023上·全国·九年级专题练习）如图，以为直径的经过的顶点C，，分别平分和，的延长线交于点D，连接．
(1)判断的形状，并证明你的结论；
(2)若， ，求的长．
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