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第五章 圆
第二节 与圆有关的位置关系
考点分布 考查频率 命题趋势
考点1 点、直线与圆的位置关系 ☆☆ 吉林中考中，有关与圆有关的位置关系部分，每年考查1~3道题,分值为3~9分，通常以选择题、填空题和解答题的形式考查。对于这部分的复习，需要熟练掌握点、直线与圆的位置关系、切线的性质与判定、三角形的外接圆与内切圆等考点。
考点2 切线的性质与判定 ☆☆☆
考点3 三角形的外接圆与内切圆 ☆
■考点一　点、直线与圆的位置关系
判定一个点P是否在⊙O上
　　设⊙O的半径为，OP=，则有
　　点P在⊙O 外；　点P在⊙O 上；点P在⊙O 内.
判定几个点在同一个圆上的方法
　　当时，在⊙O 上.
3．直线和圆的位置关系
　　设⊙O 半径为R，点O到直线的距离为.
　　(1)直线和⊙O没有公共点直线和圆相离.
　　(2)直线和⊙O有唯一公共点直线和⊙O相切.
　　(3)直线和⊙O有两个公共点直线和⊙O相交.
4.圆和圆的位置关系
　　设的半径为，圆心距.
　　(1)和没有公共点，且每一个圆上的所有点在另一个圆的外部外离
　　 　.
　　(2)和没有公共点，且的每一个点都在内部内含
　　(3)和有唯一公共点，除这个点外，每个圆上的点都在另一个圆外部外切.
　　(4)和有唯一公共点，除这个点外，的每个点都在内部内切.
　　(5)和有两个公共点相交.
■考点二　切线的性质与判定
切线的判定：
①经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
②到圆心的距离等于圆的半径的直线是圆的切线.
2.切线的性质：
①圆的切线垂直于过切点的半径.
②经过圆心作圆的切线的垂线经过切点.
③经过切点作切线的垂线经过圆心.
3.切线长：从圆外一点作圆的切线，这一点和切点之间的线段的长度叫做切线长.
4.切线长定理：从圆外一点作圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.
■考点三　三角形的外接圆与内切圆
1．三角形的外接圆相关概念
经过三角形各顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做三角形的外心，这个三角形叫做圆的内接三角形．外心是三角形三条垂直平分线的交点，它到三角形的三个顶点的距离相等．
2．三角形的内切圆
与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．内心是三角形三条角平分线的交点，它到三角形的三条边的距离相等．
3．三角形的内心、外心、重心、垂心
　　(1)三角形的内心：是三角形三条角平分线的交点，它是三角形内切圆的圆心，在三角形内部，它到三角形三边的距离相等，通常用“I”表示.
　　(2)三角形的外心：是三角形三边中垂线的交点，它是三角形外接圆的圆心，锐角三角形外心在三角形内部，直角三角形的外心是斜边中点，钝角三角形外心在三角形外部，三角形外心到三角形三个顶点的距离相等，通常用O表示.
　　(3)三角形重心：是三角形三边中线的交点，在三角形内部；它到顶点的距离是到对边中点距离的2倍，通常用G表示.
　　(4)垂心：是三角形三边高线的交点.
4.三角形的外心与内心的区别：
名称 确定方法 图形 性质
外心(三角形外接圆的圆心) 三角形三边中垂线的交点 (1)OA=OB=OC；(2)外心不一定在三角形内部
内心(三角形内切圆的圆心) 三角形三条角平分线的交点 (1)到三角形三边距离相等；(2)OA、OB、OC分别平分∠BAC、∠ABC、∠ACB； (3)内心在三角形内部.
■易错提示
1.点和圆的位置关系和点到圆心的距离的数量关系是相对应的，即知道位置关系就可以确定数量关系；知道数量关系也可以确定位置关系.
2. 任何一个三角形都有且只有一个内切圆，但任意一个圆都有无数个外切三角形；
3.解决三角形内心的有关问题时，面积法是常用的，即三角形的面积等于周长与内切圆半径乘积的一半，即(S为三角形的面积，P为三角形的周长，r为内切圆的半径).
4. 圆与圆的位置关系，既考虑它们公共点的个数，又注意到位置的不同，若以两圆的公共点个数 分类，又可以分为：相离(含外离、内含)、相切(含内切、外切)、相交；
　　5.内切、外切统称为相切，唯一的公共点叫作切点；
　　6.具有内切或内含关系的两个圆的半径不可能相等，否则两圆重合.
7.切线长是指圆外一点和切点之间的线段的长，不是“切线的长”的简称.切线是直线，而非线段.
8.切线长定理包含两个结论：线段相等和角相等.
■考点一　点、直线与圆的位置关系
◇典例1： （吉林省长春市2023-2024学年九年级上学期期末数学试题）已知点是外一点，且的半径为，则的长可能为( )
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了点与圆的位置关系：若半径为，点到圆心的距离为，则有当时，点在圆外；当时，点在圆上，当时，点在圆内．根据点在圆外，点到圆心的距离大于圆的半径可对各选项进行判断．
【详解】解：点是外一点，
，
的长可能为，
故选：D．
◆变式训练
1．（2023上·山东临沂·九年级统考期中）已知的半径为10，，则点P与的位置关系是（ ）
A．点P在内 B．点P在上 C．点P在外 D．不确定
【答案】A
【分析】本题考查了点与圆的位置关系，根据题意得的半径为10，则点P到圆心O的距离小于圆的半径，则根据点与圆的位置关系可判断点P在内．
【详解】解：∵，
∴,
则点P在内，
故选：A．
2．（2023上·湖南长沙·九年级校联考阶段练习）已知的半径是，点到同一平面内直线的距离为，则直线与的位置关系是（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．无法判断
【答案】A
【分析】本题考查了直线与圆的位置关系．熟练掌握，则直线与圆相交，则直线与圆相切，则直线与圆相离，是解题的关键．
根据直线与圆相交，进行判断作答即可．
【详解】解：由题意知，，
∵，
∴直线与的位置关系是相交，
故选：A．
■考点二　切线的性质与判定
◇典例2：（2023上·湖北武汉·九年级武汉市第一初级中学校考阶段练习）如图，在中，，，为中点，则当最大时，的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了圆的切线的性质，勾股定理，三角形中位线性质；取的中点，点在以点为圆心，为半径的圆上，点在以点为圆心，为半径的圆上，当与相切时，最大，即，然后运用勾股定理求解即可；解题的关键是掌握点、的运动轨迹．
【详解】解：如图，取的中点，
，，为中点，
，
点在以点为圆心，为半径的圆上，
点在以点为圆心，为半径的圆上，
∵当与相切时，最大，
，
，
故选：D．
◆变式训练
1．（2023上·江苏连云港·九年级统考期中）下列命题中正确的是（ ）
A．半圆不是弧 B．经过半径一端且与这条半径垂直的直线是圆的切线
C．平面内三点确定一个圆 D．三角形的外心到三角形的各个顶点的距离相等．
【答案】D
【分析】本题考查圆的基本知识，圆的切线的定义，确定圆的条件，三角形的外心等，根据相关定义或性质逐项判断即可．
【详解】解：半圆是弧，故A选项命题不正确；
B，经过半径的非圆心一端，并且垂直于这条半径的直线，是圆的一条切线，故B选项命题不正确；
C，平面内不在同一直线上的三点确定一个圆，故C选项命题不正确；
D，三角形的外心到三角形的各个顶点的距离相等，故D选项命题正确；
故选D．
2．（2023上·重庆·九年级校考期中）如图，是的一条弦，过点O作于点E，过点E作于点C，过点B作的切线交CE的延长线于点D．若，的半径为，则的长为（ ）
A．9 B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查勾股定理，垂径定理，切线的性质，直角三角形角所对直角边等于斜边一半，根据垂径定理得到，即可得到，即可得到，，，即可得到答案；
【详解】解：∵，，
∴，，
∴，
∴，
∵，，
∴，，
∴，，
∴，
故选：D．
■考点三　三角形的外接圆与内切圆
◇典例3：（2023上·河北邢台·九年级校联考期中）已知是的内心，，为平面上一点，点恰好又是的外心，则的度数为（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了三角形的内心和三角形外心的性质，三角形内角和定理，利用三角形内心的性质得分别是的角平分线，进而求出的大小，再利用三角形外心的性质得出等于的一半，即可得出答案，牢记以上知识点得出各角之间的关系是解题的关键．
【详解】解：连接，

∵是的内心，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵点又是的外心，
∴，
故选：．
◆变式训练
1．（2023下·河北承德·九年级校联考阶段练习）两直角边的长分别为和，则其内心与外心的距离为（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】D
【分析】先根据题意画出图形，的内心是三角形角平分线的交点，外心是斜边的中点，求出，根据面积法求出，进而得出，可得，根据勾股定理即可得出答案．
【详解】解：如图所示：的内心是三角形角平分线的交点，外心是斜边的中点，

设，，
∴，
∵的内心是三角形角平分线的交点，外心是斜边的中点，
∴，，
根据三角形的面积可得：，
∴，即，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴内心与外心的距离为，
故选：D．
【点睛】本题考查三角形的内心与外心，勾股定理，得出三角形的内心与外心的位置是解题的关键．
2．（2023·山东泰安·校考二模）如图，点I为的内心，连接并延长交的外接圆于点D，若，点E为弦的中点，连接，若，则的长为（　　）
A．5 B． C．4 D．
【答案】C
【分析】由已知条件可得到，过点D作于F，连接，可得四边形为平行四边形，可得，即可求出IE的长．
【详解】解：连接，如图，
∵I为的内心，
∴，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
过点D作于F，连接，
∴，
在中，由勾股定理得，，
∵点E为弦的中点
∴为的中位线，
∴，，
∴四边形为平行四边形，
∴，
故选C．
【点睛】本题是三角形外接圆和内切圆综合，考查了平行四边形的性质与判定，三角形中位线定理，等腰三角形的性质与判定，内心等等，正确作出辅助线构造平行四边形是解题的关键．
1．（2022·吉林·统考中考真题）如图，在中，，，．以点为圆心，为半径作圆，当点在内且点在外时，的值可能是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【分析】先利用勾股定理可得，再根据“点在内且点在外”可得，由此即可得出答案．
【详解】解：在中，，，，
，
点在内且点在外，
，即，
观察四个选项可知，只有选项C符合，
故选：C．
【点睛】本题考查了勾股定理、点与圆的位置关系，熟练掌握点与圆的位置关系是解题关键．
2．（2023·吉林长春·统考一模）如图，在中，，图中所作直线与射线交于点D，点D在边上，根据图中尺规作图痕迹，判断以下结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由图中尺规作图痕迹可得为的平分线，为线段的垂直平分线，结合角平分线和线段垂直平分线的定义与性质逐项分析即可．
【详解】解：由图中尺规作图痕迹可得，为的平分线，为线段的垂直平分线，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，故B选项错误，D选项正确；
∵，，
假设，
∴，
∴，
∵为线段的垂直平分线，
∴，
故假设不成立，则，
同理，，故A、C选项都错误；
故选：D．
【点睛】本题考查作图-基本作图、角平分线的定义与性质、线段垂直平分线的定义与性质，熟练掌握角平分线和线段垂直平分线的定义与性质是解答本题的关键．
3．（2022·吉林长春·校考模拟预测）有下列说法：①任意三点确定一个圆；②圆的两条平行弦所夹的弧相等；③任意一个三角形有且仅有一个外接圆；④平分弦的直径垂直于弦；⑤直径是圆中最长的弦，其中错误的个数有（　　）
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】A
【分析】根据圆的确定条件，圆心角、弧、弦的关系，三角形的外接圆的定义，垂径定理逐项判断即可．
【详解】解：不在同一直线上的三点确定一个圆，故①错误；
圆的两条平行弦所夹的弧相等，故②正确；
任意一个三角形有且仅有一个外接圆，故③正确；
平分弦（非直径）的直径垂直于弦，故④错误；
直径是圆中最长的弦，故⑤正确．
综上可知错误的个数有2个．
故选A．
【点睛】本题考查圆的确定条件、垂径定理、圆心角、弧、弦的关系等知识，解题关键是熟记相关知识点，准确进行判断．
4．（2021·吉林长春·统考中考真题）如图，AB是的直径，BC是的切线，若，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据切线的性质，得∠ABC=90°，再根据直角三角形的性质，即可求解．
【详解】解：∵AB是的直径，BC是的切线，
∴AB⊥BC，即∠ABC=90°，
∵，
∴=90°-35°=55°，
故选C．
【点睛】本题主要考查切线的性质以及直角三角形的性质，掌握圆的切线的性质定理，是解题的关键．
5．（2023·吉林松原·校联考二模）如图，四边形内接于，是的直径，与相切于点，若，则的度数为（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据题意可知，，据此即可求得答案．
【详解】∵四边形内接于，
∴．
∴．
∵与相切于点，
∴．
∴．
故选：B．
【点睛】本题主要考查圆内接四边形的性质和圆的切线的性质，牢记圆内接四边形的性质（圆内接四边形的对角互补）和圆的切线的性质（圆的切线垂直于过切点的半径）是解题的关键．
6．（2023·吉林长春·长春市第八十七中学校考三模）将一个含有的直角三角板按如图所示的位置摆放，一个顶点与的圆心重合，一条直角边与相切，切点为．将绕点按顺时针方向旋转得到，使点落在上，边交线段于点．则为（ ）

A．60° B．65° C．85° D．90°
【答案】D
【分析】根据题意，得出是等边三角形，然后得出，根据，可得，即可求解．
【详解】解：如图所示，连接，

∵一条直角边与相切，切点为
∴点在上，
∵将绕点按顺时针方向旋转得到，使点落在上，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∵
∴，
故选：D．
【点睛】本题考查了旋转的性质，切线的性质，圆的性质，等边三角形的性质与判定，直角三角形的两个锐角互余，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
7．（2023·吉林·统考一模）如图，是的直径，为上一点，过点的切线与的延长线交于点，若，则的度数是（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】连接，由切线性质得到，根据等边对等角得到，结合外角，通过等量代换即可得到，从而计算出的度数．
【详解】解：如图连接,

是的直径，为上一点，是的切线，
，，
，，
，，
，
，
,
故选：C．
【点睛】本题考查了圆切线的性质，三角形外角性质，等腰三角形性质等知识，适当添加辅助线并采用等量代换是解题关键．
8．（2022·吉林长春·校联考模拟预测）如图，是的直径，与相切于点A，与相交于点C，若，则的度数是（　　）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先根据切线的性质得到，再利用直角三角形的两个锐角互余和圆周角定理得到求解即可．
【详解】解：∵与相切于点A，
∴，即，
∵，
∴，
∵，
∴．
故选：B．
【点睛】本题考查了切线的性质、圆周角定义以及直角三角形的两个锐角互余，熟练掌握切线的性质和圆周角定理是解答的关键．
9．（2023·吉林长春·统考一模）如图，四边形的两边、与相切于、两点，点在上，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】连接，由、与相切，可得，再由即可求解；
【详解】解：连接，
∵、与相切，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
故选：B．
【点睛】本题主要考查圆周角定理、圆切线的性质，掌握相关知识并正确做出辅助线是解题的关键．
10．（2023·吉林长春·统考一模）如图，是的直径，是弦，垂直于过点的切线，垂足为点．若，则的大小为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】连接，根据切线的性质可得出，从而可证，进而得出．最后根据等边对等角即得出．
【详解】解：如图，连接．
由题意可知为的切线，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴．
故选A．
【点睛】本题考查切线的性质，平行线的判定和性质，等腰三角形的性质．连接常用的辅助线是解题关键．
11．（2023·吉林长春·长春市解放大路学校校考模拟预测）如图，是的直径，点P在的延长线上，与相切于点A，连接，若，则的度数是（　　）
A．65° B．60° C．55° D．50°
【答案】A
【分析】先由切线的性质得到，再由三角形内角和定理和对顶角相等得到，再根据等边对等角结合三角形内角和定理求出即可得到答案．
【详解】解：∵与相切于点A，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，即，
故选A．
【点睛】本题主要考查了切线的性质，三角形内角和定理，等边对等角，灵活运用所学知识是解题的关键．
12．（2023·吉林延边·统考一模）如图，是的直径，是的切线，点B为切点，线段与交于点D．点E是上的动点（不与点B、D重合）．若，则的度数可能是 ．

【答案】（答案不唯一）
【分析】先求出的度数，再根据圆周角定理推出的取值范围，即可得出答案．
【详解】连接，如图，

∵线段与交于点D，
∴．
∵，
∴．
∴．
∵点E是上的动点（不与点B、D重合），
∴．
故答案是：（答案不唯一）．
【点睛】本题主要考查了圆的切线的性质，三角形内角和，圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
13．（2021·吉林长春·校考一模）如图，点O是边上一点，与边相切于点D，与线段相交于点E．若点P是上一点，且，则的度数为 度．
【答案】
【分析】连接，根据切线的性质可得，再由圆周角定理可得，即可求解．
【详解】解∶如图，连接，
∵与边相切于点D，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】此题考查了切线的性质，圆周角定理，熟练掌握切线的性质是解本题的关键．
14．（2022·吉林长春·统考一模）如图，在中，，点I为的内心．将平移到的位置，点A的对应点为点I，则图中阴影部分图形的周长为 ．
【答案】5
【分析】连接BI、CI，由点I为△ABC的内心，得出BI平分∠ABC，则∠ABI=∠CBI，由平移得AB∥D’I，则∠ABI=∠BID’，推出∠CBI=∠BID’，得出BD’=D’I，同理可得CE’=E’I，△D’IE’的周长=D’E’+D’I+E’I=D’E’+BD’+CE’=BC=5，即可得出结果．
【详解】解：连接BI、CI，如图所示：
∵点I为△ABC的内心，
∴BI平分∠ABC，
∴∠ABI=∠CBI，
由平移得：AB∥D’I，
∴∠ABI=∠BID’，
∴∠CBI=∠BID’，
∴BD’=D’I，
同理可得：CE’=E’I，
∴△D’IE’的周长=D’E’+D’I+E’I=D’E’+BD’+CE’=BC=5，
即图中阴影部分的周长为5，
故答案为：5
【点睛】本题考查了三角形内心的定义、平移的性质及角平分线的定义等知识，熟练掌握三角形的内心是角平分线的交点是解题的关键．
15．（2022·吉林长春·统考模拟预测）如图，为的内接三角形，为的直径，切于点B，交的延长线于点D．若，则的大小为 度.
【答案】50
【分析】连接OB，由等边对等角可得出，再根据切线的性质可得出，从而可求出，又可求出，最后由三角形内角和定理即可求出．
【详解】如图，连接OB．
∵，
∴．
∵切于点B，
∴，
∴．
∵，
∴．
故答案为：50．
【点睛】本题考查切线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理．连接常用的辅助线是解题关键．
16．（2023·吉林松原·统考一模）如图，是的直径，是的切线，连接交于点C，点D在上，，求证：．
【答案】见解析
【分析】根据切线的性质得到，根据圆周角定理得到，根据等腰三角形的判定定理证明结论．
【详解】证明：∵是的切线，是的直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查的是切线的性质、圆周角定理，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．
17．（2023·吉林长春·统考中考真题）【感知】如图①，点A、B、P均在上，，则锐角的大小为__________度．

【探究】小明遇到这样一个问题：如图②，是等边三角形的外接圆，点P在上（点P不与点A、C重合），连结、、．求证：．小明发现，延长至点E，使，连结，通过证明，可推得是等边三角形，进而得证．
下面是小明的部分证明过程：
证明：延长至点E，使，连结，
四边形是的内接四边形，
．
，
．
是等边三角形．
，
请你补全余下的证明过程．
【应用】如图③，是的外接圆，，点P在上，且点P与点B在的两侧，连结、、．若，则的值为__________．
【答案】感知：；探究：见解析；应用：．
【分析】感知：由圆周角定理即可求解；
探究：延长至点E，使，连结，通过证明，可推得是等边三角形，进而得证；
应用：延长至点E，使，连结，通过证明得，可推得是等腰直角三角形，结合与可得，代入即可求解．
【详解】感知：
由圆周角定理可得，
故答案为：；
探究：
证明：延长至点E，使，连结，
四边形是的内接四边形，
．
，
．
是等边三角形．
，
，
∴，，
，
是等边三角形，
，
，
即；
应用：
延长至点E，使，连结，
四边形是的内接四边形，
．
，
．
，
，
∴，，
，
是等腰直角三角形，
，
，
即，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形对角互补，邻补角，全等三角形的判定和性质，等边三角形、等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理解直角三角形；解题的关键是做辅助线构造，进行转换求解．
1．（2023上·黑龙江绥化·九年级校考阶段练习）下列说法正确的是（ ）
A．三点确定一个圆 B．经过圆心的直线是圆的对称轴
C．平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧 D．三角形的外心到三角形三个边距离相等
【答案】B
【分析】本题考查了圆的性质，垂径定理逆定理，确定圆的条件等知识，熟悉圆的概念和简单性质是解题关键．根据圆的性质、垂径定理逆定理，确定圆的条件即可解题．
【详解】解：三个不在同一条直线上的点确定一个圆，A错误；
经过圆心的直线是圆的对称轴，B正确；
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧，C错误；
三角形的外心到三角形三个顶点距离相等，D错误；
故选B．
2．（2023上·江苏无锡·九年级无锡市东林中学校考期中）下列说法中，正确的是（ ）
A．长度相等的弧是等弧 B．三点确定一个圆
C．平分弦的直径垂直于这条弦 D．弦的垂直平分线必经过圆心
【答案】D
【分析】本题考查了等弧的定义、确定圆的条件、垂径定理等知识；熟练掌握等弧的定义、确定圆的条件、垂径定理、三角形的内心性质是解题的关键．由等弧的定义、确定圆的条件、垂径定理分别对各个选项进行判断即可．
【详解】解：∵在同圆或等圆中，长度相等的弧是等弧，
∴选项A不正确；
∵不在同一条直线上的三个点确定一个圆，
∴选项B不正确；
∵平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，
∴选项C不正确；
∵弦的垂直平分线必经过圆心，
∴选项D正确；
故选：D．
3．（2023上·浙江温州·九年级校联考期中）已知的半径是，点A在外，则的长可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查点与圆的位置关系，根据点在圆外，只需点到圆心的距离大于圆的半径即可．
【详解】解：∵的半径是，点A在外，
∴，则选项D符合题意，
故选：D．
4．（2023上·浙江台州·九年级校考阶段练习）数学活动课上，九（1）班同学在研究（）和等腰（）的外接圆时，有以下发现：
小明说“当时，这两个三角形的外接圆是等圆”；
小刚说“当，时，这两个三角形的外接圆是等圆”．
你认为说法正确的是（ ）
A．小明对小刚不对 B．小刚对小明不对
C．小明小刚都对 D．小明小刚都不对
【答案】A
【分析】本题主要考查了三角形外接圆的性质、等腰三角形的性质、三角形全等的判定与性质、三角形内角和定理、三角形三边关系，记外接圆圆心为（如图1），外接圆圆心为（如图2），设，则，，证明，，再证明，即可判断小明的说法，画出图形，利用三角形三边关系即可判断小刚的说法，得到答案，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
【详解】解：如图，
，
记外接圆圆心为（如图1），外接圆圆心为（如图2），
设，则，
为等腰三角形，
在底边的垂直平分线上，
由等腰三角形的三线合一可得：平分，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，故小明说法正确，
如图，当，时，由三角形三边关系可得：，故小刚说法错误，
故选：A．
5．（2023上·浙江温州·九年级校联考期中）如果三角形的外心在三角形的外部，那么这个三角形一定是（ ）
A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．等边三角形
【答案】A
【分析】本题考查了三角形的外接圆与外心，掌握外心的形成和性质是本题突破的关键，根据外心的形成和性质直接判断即可．
【详解】解：三角形的外心是三条边的垂直平分线的交点，外心的性质是到三角形三个顶点的距离相等，如果一个三角形的外心在三角形的外部，说明有一个圆周角大于，那么这个三角形一定是钝角三角形，
故选：C．
6．（2024上·安徽六安·九年级校考阶段练习）如图，，，分别与相切于点，，，与，分别相交于，两点，若，则的度数为（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据切线长定理可得，，然后由等边对等角与三角形外角的性质，求得，，继而求得的度数．
【详解】解：∵分别切于交于两点，
∴，，
∴，，
∴，，
∴，，即，，
∵，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查了切线长定理，等腰三角形的判定和性质，三角形外角的性质以及三角形内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌握切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分这两条切线的夹角．
7．（2023上·山东德州·九年级校考阶段练习）如图，边长为2的等边的内切圆的半径为（ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】D
【分析】本题考查了三角形的内切圆与内心：三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角．等边三角形的性质，勾股定理．设为等边的内切圆，连接的延长线交于H，如图，利用内心的性质得平分，平分，再根据等边三角形的性质得，，则，然后利用勾股定理计算出即可．
【详解】解：设为等边的内切圆，连接的延长线交于H，如图，
∵为等边三角形，
平分，平分，
∵为等边三角形，
，
，
，
在中，，
，
即内切圆的半径为．
故选：D．
8．（2023上·河南商丘·九年级校考阶段练习）如图所示，是的切线，A、B为切点，，点C是上不同于A、B的任意一点，则的度数为（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】C
【分析】本题考查了切线的性质，圆周角定理，以及四边形的内角和定理，熟练掌握切线的性质是解本题的关键．
连接，，当在优弧上时与在弧上时，分别求出的度数即可．
【详解】解：如图示，连接，，
、是的切线，
，，
，
，
，
当在优弧上时，；
当在劣弧上时，，
则的度数为或．
故选：C．
9．（2023上·浙江绍兴·九年级校联考期中）如图中的数轴可以度量图中圆的直径，则此直径是（）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了圆的切线及数轴的定义，根据“数轴上两点的距离等于右边的数减去左边的数”即可得到答案．
【详解】解：图中圆的直径为，
故选：B．
10．（2024上·天津南开·九年级统考期末）如图，点P是外一定点，连接线段，与交于点A.按照如下尺规作图的步骤进行操作：
①分别以P，O为圆心，以大于长为半径画弧，两弧交于点M，N，作直线，交于点B；
②以点为圆心，以为半径作，与交于点Q，R两点；
③连接，，，，，线段与相交于点C.
则下列说法中不一定正确的是（ ）
A．，均为的切线 B．
C． D．
【答案】C
【分析】该题主要考查了尺规作图，圆周角定理，圆与圆位置关系，切线证明，圆内接四边形等知识点，解题的关键是理解题意；
根据作图得出为的直径，根据圆周角定理和切线证明可判断A，根据Q、O、R、P在上，运用圆内接四边形可判断B，根据圆与圆位置关系及三角形面积可判断D，根据圆周角定理可判断C；
【详解】解：根据作图可得：为的直径，Q、O、R、P在上，
是的半径，
，均为的切线，故A正确；
Q、O、R、P在上，
Q、O、R、P四点共圆，是的内接四边形，
，故B正确；
由作图可知，为与的圆心连线，为与的公共弦，
，
，故D正确；
所对圆心角为，所对圆周角为，
不一定等于，
不一定等于，故C不一定正确；
故选：C．
11．（2023上·广东韶关·九年级统考阶段练习）如图，，分别切于，两点，如果，，那么的长为（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】此题考查了切线长定理和等边三角形的性质与判定，根据、为圆的切线，可得，由可证得为等边三角形，然后根据等边三角形的性质解答即可，解题的关键是熟练掌握切线长定理和等边三角形的性质与判定的应用．
【详解】∵、分别切于、，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
故选：．
12．（2023·河北石家庄·统考模拟预测）如图，将折叠，使边落在边上，展开后得到折痕．将再次折叠，使边落在边上，展开后得到折痕，，交于点．则以下结论一定成立的是（ ）
A． B．
C．点到三边的距离相等 D．点到三个顶点的距离相等
【答案】C
【分析】根据是折痕，可知平分，平分，点为的内接圆的圆心，由此即可求解．
【详解】解：∵是折痕，
∴平分，平分，点为的内接圆的圆心，如图所示，
于，于，于，
选项， 的度数无法确定，与的数量关系也不确定，故选项不符合题意；
选项， 的长度不确定，的数量关系也不确定，故选项不符合题意；
选项，根据角平分的性质可得，，即点到三边的距离相等，故选项符合题意；
选项， ，故选项不符合题意；
故选：．
【点睛】本题主要考查三角形与圆的知识的综合，理解并掌握角平分线的性质，内切圆的知识是解题的关键．
13．（2022上·湖北武汉·九年级校考阶段练习）如图，不等边内接于，I是其内心，，，，内切圆半径为（ ）
A．4 B． C． D．
【答案】A
【分析】延长交于点，连接，交于点，利用圆周角定理，以及内心是三角形三条角平分线的交点，证明是等腰三角形，过点作，证明，得到，利用切线长定理，求出的长，过点作，连接，设，利用勾股定理，求出的高，进而求出的面积，再利用的面积等于的周长与内切圆半径乘积的一半，求出内切圆的半径即可．
【详解】解：延长交于点，连接，交于点，
则：，
∵I是内心，
∴，
∴，
∴，
即：，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
过点作，
则：，
又∵，，
∴，
∴，
∴，
∵I是内心，
∴，
∴，
如图2：过点作，连接，设，则：，
则：，
即：，
解得：，
∴；
∴
设的半径为
则：
∴，
即：，
解得：；
故选A．
【点睛】本题考查三角形的内切圆和内心．熟练掌握内心是三角形角平分线的交点，合理的添加辅助线，是解题的关键．同时考查了圆周角定理，垂径定理，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，以及切线长定理．本题的综合性强，难度大，对学生的思维量要求较高．
14．（2023·陕西西安·高新一中校考一模）在中，若两直角边长为、，则它的外接圆的面积为 ．
【答案】/平方厘米
【分析】此题考查的是求三角形的外接圆的面积，掌握圆周角为直角所对的弦是直径是解决此题的关键．
根据题意，写出已知条件并画出图形，然后根据勾股定理即可求出，再根据圆周角为直角所对的弦是直径即可得出结论．
【详解】如图，已知：，，
由勾股定理得： ，
∵，
∴是的直径，
∴这个三角形的外接圆直径是，半径为，
∴面积为，
故答案为：．
15．（2023上·福建泉州·九年级福建省泉州市培元中学校考阶段练习）在平面直角坐标系中，点，以原点为圆心，为半径作．若在内，设线段的长度为，则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了点与圆的位置关系，勾股定理，二次函数的最值问题，先求出，再利用勾股定理得到，根据二次函数的性质求出有最小值，再由点P在内得到，据此可得答案．
【详解】解：∵在平面直角坐标系中，点，
∴，
∵，
∴
，
∵，
∴当时，有最小值，即有最小值，
∵在内，
∴，
∴
故答案为：．
16．（江苏省南京市2023-2024学年九年级上学期期末数学试题）如图，四边形内接于，是的直径，过点C作的切线交的延长线于点P，若，则 ．
【答案】115
【分析】本题考查了切线的性质，圆内接四边形的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握切线的性质是解题的关键．连接，根据切线的性质和圆内接四边形的性质即可得到答案．
【详解】解：连接，
是的切线，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
17．（2023上·山东烟台·九年级统考期末）如图，平面直角坐标系中，点的坐标为，与轴相切于点，点在轴上，与相切于点．若，则点的坐标为 ．
【答案】或
【分析】本题考查了圆的切线的性质、矩形的判定和性质、勾股定理等知识，解题关键是把所求的线段放在直角三角形中利用勾股定理求解和已知圆的切线作半径．连接，过点A作轴，利用根据圆的切线性质可知为直角三角形，，利用直角三角形中角的性质和勾股定理分别求出的长度，进而求出的长度即可求得答案．
【详解】解：如图，过点A作轴于点D，连接，
∵轴，轴，
∴四边形为矩形．
∴．
∵与x轴相切，
∴为的半径．
∵点A坐标为，
∴，
∵是切线，
∴．
∵，
∴．
在中，根据勾股定理，得
∴当点P在y轴的正半轴上，则
∴点P坐标为
∴当点P在y轴的负半轴上，则，
∴点P坐标为
综上，点P坐标为或
故答案为：或
18．（2023上·江苏苏州·九年级苏州市振华中学校校考阶段练习）如图，点是的内心，的延长线和的外接圆相交于点，与相交于点，则下列结论：①；②若，则；③若点为的中点，则；④．其中一定正确的选项是 ．
【答案】①③④
【分析】利用三角形内心的性质得到，则可对①进行判断；直接利用三角形内心的性质对②进行判断；根据圆周角定理，等弧和等弦的关系及等腰三角形的性质可对③进行判断；通过证明得到，则可对④进行判断．
【详解】解：∵点是的内心，
∴平分，
∴，故①正确；
如图，连接，，
∵点是的内心，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，故②不正确；

∵，
∴，
∴，
∵点为的中点，
∴，
∴，故③正确；
∵点是的内心，
∴平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，故④正确，
∴一定正确的是①③④，
故答案为：①③④．
【点睛】本题考查三角形内心，圆周角定理，等弧与等弦的关系，等腰三角形的性质与判定，三角形的内角和定理与三角形外角的性质．掌握三角形的内心的定义是解题的关键．
19．（2023上·陕西西安·九年级西安市曲江第一中学校考阶段练习）如图，在 ，，尺规作图：求作，使得经过三点． （保留作图痕迹，不写作法）
【答案】见解析
【分析】此题主要考查三角形的外接圆以及尺规作线段的垂直平分线，掌握直角三角形外接圆的圆心就是它的斜边中点是解题的关键．作的垂直平分线，找到的中点，则以为直径作圆就是三角形的外接圆．
【详解】解：如图所示，即为所求．
20．（2023上·山东济南·九年级期末）如图，在中，，点是边上一点，以为直径的与边相切于点，与边交于点，过点作于点，连接
(1)求证：；
(2)若， ，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查了切线的性质，锐角三角函数的定义，角平分线的判定与性质等知识，熟练运用切线的性质是解题的关键．
（1）连接，易证，继而结合已知证明，然后利用角平分线的性质即可证得；
（2）由，设，，根据的长可求得的值，再根据即可求得答案．
【详解】（1）如图，连接，
与相切，
，且，
，
，
，
，
，且，，
；
（2），
设，，
，
，
，
，
．
21．（2023上·安徽芜湖·九年级校联考阶段练习）如图，为半圆O的直径，C是半圆O上一点，D是的中点，过点D作直线，直线l，垂足为F，的延长线交直线l于点E．
(1)求证：直线l是的切线．
(2)若的半径为1，求的值．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）如图所示，连接，根据弧与弦之间的关系得到，则垂直平分线，进而证明直线，由此即可证明结论；
（2）如图，过点D作，垂足为M，由直径所对的圆周角是直角得到，进而证明，进一步推出，则由角平分线的性质得到，同理可得，再证明，进而证明，得到，即可推出．
【详解】（1）证明：如图所示，连接．
∵D是的中点，
∴，
∴，
又∵，
∴点O和点D都在线段的垂直平分线上，即垂直平分线，
∴．
又∵直线，
∴直线，
∵是的半径，
∴直线l是的切线．
（2）解：如图，过点D作，垂足为M，
由（1）得，
∵为半圆O的直径，
∴，
∴，
∴，即，
∵，
∴．
又∵，
∴．
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴．
同理可得，
∵D是的中点，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，即．
【点睛】本题主要考查了切线的判定，等边对等角，三角形内角和定理，全等三角形的性质与判定，线段垂直平分线的判定与性质，平行线的判定，圆周角定理，角平分线的性质等等，正确作出辅助线是解题的关键．
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第五章 圆
第二节 与圆有关的位置关系
考点分布 考查频率 命题趋势
考点1 点、直线与圆的位置关系 ☆☆ 吉林中考中，有关与圆有关的位置关系部分，每年考查1~3道题,分值为3~9分，通常以选择题、填空题和解答题的形式考查。对于这部分的复习，需要熟练掌握点、直线与圆的位置关系、切线的性质与判定、三角形的外接圆与内切圆等考点。
考点2 切线的性质与判定 ☆☆☆
考点3 三角形的外接圆与内切圆 ☆
■考点一　点、直线与圆的位置关系
判定一个点P是否在⊙O上
　　设⊙O的半径为，OP=，则有
　　 ；　 ； .
判定几个点在同一个圆上的方法
　　当时，在⊙O 上.
3．直线和圆的位置关系
　　设⊙O 半径为R，点O到直线的距离为.
　　(1)直线和⊙O没有公共点 .
　　(2)直线和⊙O有唯一公共点 .
　　(3)直线和⊙O有两个公共点 .
4.圆和圆的位置关系
　　设的半径为，圆心距.
　　(1)和没有公共点， 外离
　　 　.
　　(2)和没有公共点， 内含
　　(3)和有唯一公共点，除这个点外， 外切.
　　(4)和有唯一公共点，除这个点外， 内切.
　　(5)和 相交.
■考点二　切线的性质与判定
切线的判定：
① 是圆的切线.
② 是圆的切线.
2.切线的性质：
①圆的切线 于过切点的半径.
②经过圆心作圆的切线的 经过切点.
③经过 作切线的垂线经过 .
3.切线长：从圆外一点作圆的切线，这 叫做切线长.
4.切线长定理：从圆外一点作 ，它们的切线长相等， 平分两条切线的夹角.
■考点三　三角形的外接圆与内切圆
1．三角形的外接圆相关概念
经过三角形各顶点的圆叫做 ，外接圆的圆心叫做 ，这个三角形叫做 ．外心是三角形三条垂直平分线的交点，它到三角形的三个顶点的距离 ．
2．三角形的内切圆
与三角形各边都相切的圆叫做 ，内切圆的圆心叫做 ，这个三角形叫做圆的 ．内心是三角形三条角平分线的交点，它到三角形的三条边的距离相等．
3．三角形的内心、外心、重心、垂心
　　(1)三角形的内心：是 ，它是三角形内切圆的圆心，在三角形内部，它到三角形三边的距离相等，通常用“I”表示.
　　(2)三角形的外心：是 ，它是三角形外接圆的圆心，锐角三角形外心在三角形内部，直角三角形的外心是斜边中点，钝角三角形外心在三角形外部，三角形外心到三角形三个顶点的距离相等，通常用O表示.
　　(3)三角形重心：是 ，在三角形内部；它到顶点的距离是到对边中点距离的2倍，通常用G表示.
　　(4)垂心：是 .
4.三角形的外心与内心的区别：
名称 确定方法 图形 性质
外心(三角形外接圆的圆心) 三角形三边中垂线的交点 (1)OA=OB=OC；(2)外心不一定在三角形内部
内心(三角形内切圆的圆心) 三角形三条角平分线的交点 (1)到三角形三边距离相等；(2)OA、OB、OC分别平分∠BAC、∠ABC、∠ACB； (3)内心在三角形内部.
■易错提示
1.点和圆的 和点到圆心的距离的 是相对应的，即知道位置关系就可以确定 ；知道数量关系也可以确定 .
2. 任何一个三角形都 内切圆，但任意一个圆都有 外切三角形；
3.解决三角形内心的有关问题时，面积法是常用的，即三角形的面积等于 ，即 (S为三角形的面积，P为三角形的周长，r为内切圆的半径).
4. 圆与圆的位置关系，既考虑它们公共点的个数，又注意到位置的不同，若以两圆的公共点个数 分类，又可以分为： ；
　　5. 统称为相切， 叫作切点；
　　6. 不可能相等，否则两圆 .
7.切线长是指 ，不是“切线的长”的简称.切线是 ，而非 .
8.切线长定理包含两个结论： 相等和 相等.
■考点一　点、直线与圆的位置关系
◇典例1： （吉林省长春市2023-2024学年九年级上学期期末数学试题）已知点是外一点，且的半径为，则的长可能为( )
A． B． C． D．
◆变式训练
1．（2023上·山东临沂·九年级统考期中）已知的半径为10，，则点P与的位置关系是（ ）
A．点P在内 B．点P在上 C．点P在外 D．不确定
2．（2023上·湖南长沙·九年级校联考阶段练习）已知的半径是，点到同一平面内直线的距离为，则直线与的位置关系是（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．无法判断
■考点二　切线的性质与判定
◇典例2：（2023上·湖北武汉·九年级武汉市第一初级中学校考阶段练习）如图，在中，，，为中点，则当最大时，的长为（ ）
A． B． C． D．
◆变式训练
1．（2023上·江苏连云港·九年级统考期中）下列命题中正确的是（ ）
A．半圆不是弧 B．经过半径一端且与这条半径垂直的直线是圆的切线
C．平面内三点确定一个圆 D．三角形的外心到三角形的各个顶点的距离相等．
2．（2023上·重庆·九年级校考期中）如图，是的一条弦，过点O作于点E，过点E作于点C，过点B作的切线交CE的延长线于点D．若，的半径为，则的长为（ ）
A．9 B． C． D．
■考点三　三角形的外接圆与内切圆
◇典例3：（2023上·河北邢台·九年级校联考期中）已知是的内心，，为平面上一点，点恰好又是的外心，则的度数为（ ）

A． B． C． D．
◆变式训练
1．（2023下·河北承德·九年级校联考阶段练习）两直角边的长分别为和，则其内心与外心的距离为（ ）
A．2 B． C． D．
2．（2023·山东泰安·校考二模）如图，点I为的内心，连接并延长交的外接圆于点D，若，点E为弦的中点，连接，若，则的长为（　　）
A．5 B． C．4 D．
1．（2022·吉林·统考中考真题）如图，在中，，，．以点为圆心，为半径作圆，当点在内且点在外时，的值可能是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
2．（2023·吉林长春·统考一模）如图，在中，，图中所作直线与射线交于点D，点D在边上，根据图中尺规作图痕迹，判断以下结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·吉林长春·校考模拟预测）有下列说法：①任意三点确定一个圆；②圆的两条平行弦所夹的弧相等；③任意一个三角形有且仅有一个外接圆；④平分弦的直径垂直于弦；⑤直径是圆中最长的弦，其中错误的个数有（　　）
A．个 B．个 C．个 D．个
4．（2021·吉林长春·统考中考真题）如图，AB是的直径，BC是的切线，若，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
5．（2023·吉林松原·校联考二模）如图，四边形内接于，是的直径，与相切于点，若，则的度数为（ ）

A． B． C． D．
6．（2023·吉林长春·长春市第八十七中学校考三模）将一个含有的直角三角板按如图所示的位置摆放，一个顶点与的圆心重合，一条直角边与相切，切点为．将绕点按顺时针方向旋转得到，使点落在上，边交线段于点．则为（ ）

A．60° B．65° C．85° D．90°
7．（2023·吉林·统考一模）如图，是的直径，为上一点，过点的切线与的延长线交于点，若，则的度数是（ ）

A． B． C． D．
8．（2022·吉林长春·校联考模拟预测）如图，是的直径，与相切于点A，与相交于点C，若，则的度数是（　　）

A． B． C． D．
9．（2023·吉林长春·统考一模）如图，四边形的两边、与相切于、两点，点在上，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
10．（2023·吉林长春·统考一模）如图，是的直径，是弦，垂直于过点的切线，垂足为点．若，则的大小为（ ）．
A． B． C． D．
11．（2023·吉林长春·长春市解放大路学校校考模拟预测）如图，是的直径，点P在的延长线上，与相切于点A，连接，若，则的度数是（　　）
A．65° B．60° C．55° D．50°
12．（2023·吉林延边·统考一模）如图，是的直径，是的切线，点B为切点，线段与交于点D．点E是上的动点（不与点B、D重合）．若，则的度数可能是 ．

13．（2021·吉林长春·校考一模）如图，点O是边上一点，与边相切于点D，与线段相交于点E．若点P是上一点，且，则的度数为 度．
14．（2022·吉林长春·统考一模）如图，在中，，点I为的内心．将平移到的位置，点A的对应点为点I，则图中阴影部分图形的周长为 ．
15．（2022·吉林长春·统考模拟预测）如图，为的内接三角形，为的直径，切于点B，交的延长线于点D．若，则的大小为 度.
16．（2023·吉林松原·统考一模）如图，是的直径，是的切线，连接交于点C，点D在上，，求证：．
17．（2023·吉林长春·统考中考真题）【感知】如图①，点A、B、P均在上，，则锐角的大小为__________度．

【探究】小明遇到这样一个问题：如图②，是等边三角形的外接圆，点P在上（点P不与点A、C重合），连结、、．求证：．小明发现，延长至点E，使，连结，通过证明，可推得是等边三角形，进而得证．
下面是小明的部分证明过程：
证明：延长至点E，使，连结，
四边形是的内接四边形，
．
，
．
是等边三角形．
，
请你补全余下的证明过程．
【应用】如图③，是的外接圆，，点P在上，且点P与点B在的两侧，连结、、．若，则的值为__________．
1．（2023上·黑龙江绥化·九年级校考阶段练习）下列说法正确的是（ ）
A．三点确定一个圆 B．经过圆心的直线是圆的对称轴
C．平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧 D．三角形的外心到三角形三个边距离相等
2．（2023上·江苏无锡·九年级无锡市东林中学校考期中）下列说法中，正确的是（ ）
A．长度相等的弧是等弧 B．三点确定一个圆
C．平分弦的直径垂直于这条弦 D．弦的垂直平分线必经过圆心
3．（2023上·浙江温州·九年级校联考期中）已知的半径是，点A在外，则的长可能是（ ）
A． B． C． D．
4．（2023上·浙江台州·九年级校考阶段练习）数学活动课上，九（1）班同学在研究（）和等腰（）的外接圆时，有以下发现：
小明说“当时，这两个三角形的外接圆是等圆”；
小刚说“当，时，这两个三角形的外接圆是等圆”．
你认为说法正确的是（ ）
A．小明对小刚不对 B．小刚对小明不对
C．小明小刚都对 D．小明小刚都不对
5．（2023上·浙江温州·九年级校联考期中）如果三角形的外心在三角形的外部，那么这个三角形一定是（ ）
A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．等边三角形
6．（2024上·安徽六安·九年级校考阶段练习）如图，，，分别与相切于点，，，与，分别相交于，两点，若，则的度数为（ ）

A． B． C． D．
7．（2023上·山东德州·九年级校考阶段练习）如图，边长为2的等边的内切圆的半径为（ ）
A．1 B． C．2 D．
8．（2023上·河南商丘·九年级校考阶段练习）如图所示，是的切线，A、B为切点，，点C是上不同于A、B的任意一点，则的度数为（ ）
A． B． C．或 D．或
9．（2023上·浙江绍兴·九年级校联考期中）如图中的数轴可以度量图中圆的直径，则此直径是（）
A． B． C． D．
10．（2024上·天津南开·九年级统考期末）如图，点P是外一定点，连接线段，与交于点A.按照如下尺规作图的步骤进行操作：
①分别以P，O为圆心，以大于长为半径画弧，两弧交于点M，N，作直线，交于点B；
②以点为圆心，以为半径作，与交于点Q，R两点；
③连接，，，，，线段与相交于点C.
则下列说法中不一定正确的是（ ）
A．，均为的切线 B．
C． D．
11．（2023上·广东韶关·九年级统考阶段练习）如图，，分别切于，两点，如果，，那么的长为（ ）

A． B． C． D．
12．（2023·河北石家庄·统考模拟预测）如图，将折叠，使边落在边上，展开后得到折痕．将再次折叠，使边落在边上，展开后得到折痕，，交于点．则以下结论一定成立的是（ ）
A． B．
C．点到三边的距离相等 D．点到三个顶点的距离相等
13．（2022上·湖北武汉·九年级校考阶段练习）如图，不等边内接于，I是其内心，，，，内切圆半径为（ ）
A．4 B． C． D．
14．（2023·陕西西安·高新一中校考一模）在中，若两直角边长为、，则它的外接圆的面积为 ．
15．（2023上·福建泉州·九年级福建省泉州市培元中学校考阶段练习）在平面直角坐标系中，点，以原点为圆心，为半径作．若在内，设线段的长度为，则的取值范围是 ．
16．（江苏省南京市2023-2024学年九年级上学期期末数学试题）如图，四边形内接于，是的直径，过点C作的切线交的延长线于点P，若，则 ．
17．（2023上·山东烟台·九年级统考期末）如图，平面直角坐标系中，点的坐标为，与轴相切于点，点在轴上，与相切于点．若，则点的坐标为 ．
18．（2023上·江苏苏州·九年级苏州市振华中学校校考阶段练习）如图，点是的内心，的延长线和的外接圆相交于点，与相交于点，则下列结论：①；②若，则；③若点为的中点，则；④．其中一定正确的选项是 ．
19．（2023上·陕西西安·九年级西安市曲江第一中学校考阶段练习）如图，在 ，，尺规作图：求作，使得经过三点． （保留作图痕迹，不写作法）
20．（2023上·山东济南·九年级期末）如图，在中，，点是边上一点，以为直径的与边相切于点，与边交于点，过点作于点，连接
(1)求证：；
(2)若， ，求的长．
21．（2023上·安徽芜湖·九年级校联考阶段练习）如图，为半圆O的直径，C是半圆O上一点，D是的中点，过点D作直线，直线l，垂足为F，的延长线交直线l于点E．
(1)求证：直线l是的切线．
(2)若的半径为1，求的值．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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