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第五章 圆
第三节 与圆有关的计算
考点分布 考查频率 命题趋势
考点1 正多边形和圆 ☆☆ 吉林中考中，有关与圆有关的计算部分，每年考查1~3道题,分值为3~9分，通常以选择题、填空题和解答题的形式考查。对于这部分的复习，需要熟练掌握正多边形和圆、弧长、扇形面积的计算和圆柱、圆锥的相关计算等考点。
考点2 弧长、扇形面积的计算 ☆
考点3 圆柱、圆锥的相关计算 ☆
■考点一　正多边形和圆
1.正多边形中心：正多边形的外接圆的圆心叫做这个 ．
2.正多边形半径：正多边形外接圆的半径叫做 ．
3.正多边形中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做 ．
4.正多边形边心距：正多边形中心到正多边形的一边的距离叫做 ．
5.正多边形内角、中心角、半径、边长、边心距、周长、面积的关系
■考点二　弧长、扇形面积的计算
1.弧长公式:
2.扇形面积公式: S=
S扇形面积= πRl
(n:圆心角R:扇形多对应的圆的半径l:扇形弧长S:扇形面积)
■考点三　圆柱、圆锥的相关计算
圆柱:
圆柱侧面展开图
S表= = 。
(2)圆柱的体积: 。
2.圆锥
(1)圆锥侧面展开图是一个扇形，扇形的半径等于圆锥的 ，扇形的弧长等于圆锥的 ．
(2)若圆锥的底面半径为r，母线长为l，则这个扇形的半径为l，扇形的弧长为 ，
圆锥的侧面积为 ．圆锥的表面积： ．
■易错提示
1.有关正多边形的计算问题，通常都要构造以正多边形的半径、正多边形的边心距、正多边形的半个边围成的直角三角形借助勾股定理和三角函数来解决。
2.对于扇形面积公式，关键要理解圆心角是1°的扇形面积是圆面积的，
即；
　　3.在扇形面积公式中，涉及三个量：扇形面积S、扇形半径R、扇形的圆心角，知道其中的两个量就可以求出第三个量.
4.扇形面积公式，可根据题目条件灵活选择使用，它与三角形面积公式有点类似，可类比记忆；
5.扇形两个面积公式之间的联系：.
6.在求不规则图形的面积时，注意利用割补法与等积变化方法归为规则图形，再利用规则图形的公式求解．
■考点一　正多边形和圆
◇典例1： （2023上·山东滨州·九年级统考期中）如图，六边形是的内接正六边形，设正六边形的面积为的面积为，则（ ）
A．2 B．1 C． D．
◆变式训练
1．（2023上·江苏常州·九年级校考期中）如图，在平面直角坐标系中，将边长为1的正六边形绕点顺时针旋转个，得到正六边形，则正六边形的顶点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023上·浙江嘉兴·九年级校联考期中）如图，在圆内接正六边形中，分别交于点，则的度数为（）
A． B． C． D．
■考点二　弧长、扇形面积的计算
◇典例2：（2020上·江苏苏州·九年级统考期中）如图，在扇形中，，，若弦，则的长为（　　）
A． B． C． D．
◆变式训练
1．（2023上·陕西延安·九年级校联考阶段练习）传统服饰日益受到关注，如图1为明清时期女子主要裙式之一的马面裙，该款裙子可以近似地看作扇环，如图2所示，其中，长度为米，长度为米，则裙长AB为（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
2．（2023上·浙江温州·九年级校考阶段练习）如图，正方形的边长为4，以为直径的半圆交对角线于点E，则阴影部分的面积是（ ）
A． B． C． D．
■考点三　圆柱、圆锥的相关计算
◇典例3：（2023上·河南信阳·九年级校考阶段练习）一个圆锥的底面半径是，侧面积是，则圆锥的母线长是（ ）
A． B． C． D．
◆变式训练
1．（2023上·河北廊坊·九年级廊坊市第四中学校考阶段练习）如图所示，矩形纸片中，，把它分割成正方形纸片和矩形纸片后，分别裁出扇形和半径最大的圆，恰好能作为一个圆锥的侧面和底面，则的长为（ ）
A． B． C． D．
2．（2023上·河北廊坊·九年级廊坊市第四中学校考阶段练习）已知底面半径是，母线长为，为母线中点，现在有一只蚂蚁从底边一点出发．在侧面爬行到点，则蚂蚁在圆锥侧面爬行最短距离（ ）
A． B． C． D．6
1．（2022·吉林长春·模拟预测）如图，正五边形内接于，过点作的切线交对角线的延长线于点，则下列结论不成立的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·吉林松原·统考一模）如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，P为弧DE上的一点（点P不与点D重合），则∠CPD等于（ ）
A．36° B．40° C．60° D．72°
3．（2022·吉林长春·统考模拟预测）如图，边长为2的正六边形放置于平面直角坐标系中，边在x轴正半轴上，顶点F在y轴正半轴上，将正六边形绕原点O旋转，则旋转后顶点D的坐标为（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·吉林·统考一模）图1是等边三角形铁丝框，按图2方式变形成以A为圆心，长为半径的扇形（图形周长保持不变），则所得扇形的圆心角的度数是（ ）
A．． B．． C．． D．．
5．（2022·吉林长春·统考一模）如图，圆心重合的两圆半径分别为4、2，，则阴影部分图形的面积为（ ）
A．4π B． C．8π D．16π
6．（2022·吉林长春·统考模拟预测）如图，在边长为2的等边中，按下列步骤作图：①分别以点A和点C为圆心、大于一半的长为半径作圆弧，两弧相交于点D；②作射线，与边相交于点；③以点B为圆心，长为半径作圆弧，交边于点F.则图中阴影部分（扇形）的面积为（ ）
A． B． C． D．
7．（2022·吉林长春·校联考一模）如图，四边形是的内接四边形．，，则弧的长为（ ）
A． B． C． D．
8．（2022·吉林·统考中考真题）第二十四届北京冬奥会入场式引导牌上的图案融入了中国结和雪花两种元素．如图，这个图案绕着它的中心旋转角后能够与它本身重合，则角可以为 度．（写出一个即可）
9．（2022·吉林长春·统考中考真题）跳棋是一项传统的智力游戏．如图是一副跳棋棋盘的示意图，它可以看作是由全等的等边三角形和等边三角形组合而成，它们重叠部分的图形为正六边形．若厘米，则这个正六边形的周长为 厘米．
10.（2023·吉林长春二模）如图，点O是ΔABC边AB上的一点，以0为圆心, 0B长为半径作圆, 分别交AB.BC于F E , ⊙0与边AC相切于点D ,点D为弧EF的中点.
(1)求证: AC⊥BC .
(2)若OB=2，∠DBC= 22.50，则阴影部分的图形面积为____ ( 结果保留π) .
1．（2022上·吉林·九年级吉林省实验校考期中）如图，正六边形内接于，点在上，则的大小为（　　）
A．60° B．45° C．30° D．15°
2．（2024上·天津南开·九年级统考期末）如图，正五边形内接于，P为上一点，连接，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
3．（2023上·河南信阳·九年级校考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正六边形的中心与原点重合，轴，将六边形绕点逆时针旋转，每次旋转，则第2024次旋转结束时，点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
4．（2023上·河北邢台·九年级校考阶段练习）已知一个三角形的内心与外心重合，若它的内切圆的半径为2，则它的外接圆的面积为（ ）
A． B． C． D．
5．（2023上·黑龙江哈尔滨·九年级校考阶段练习）如图，正六边形内接于，半径为，则这个正六边形的边心距的长为（ ）
A． B． C． D．
6．（吉林省长春市2023-2024学年九年级上学期期末数学试题）如图，在圆形纸板上裁剪两个扇面具体操作如下：作的任意一条直径，以点为圆心、长为半径作圆，与相交于点、；以点为圆心、长为半径作圆，与相交于点、；连结、、、，得到两个扇形，并裁剪下来．若的半径为，则剩余纸板（图中阴影部分图形）的面积为（ ）
A． B． C． D．
7．（2023上·江苏无锡·九年级校考阶段练习）如图，中，，点是边上的一点，与、分别相切于点、，点为上一点，连接，若四边形是菱形，则图中阴影部分面积是（ ）
A． B． C． D．
8．（2023上·内蒙古呼和浩特·九年级校考期中）正方形的边长为，以各边为直径在正方形内画半圆，则图中阴影部分的面积是（ ）

A． B． C． D．
9．（2023上·浙江宁波·九年级宁波市第七中学校考期中）如图，直径的半圆绕点按顺时针方向旋转，此时A到了点的位置，则图中阴影部分的面积是（ ）
A． B． C． D．
10．（2023上·河北衡水·九年级校考期末）如图，在扇形中，，点为弦上一动点（不与两点重合），连接并延长交于点，当为最大值时，的长为（ ）
A． B． C． D．
11．（2023上·浙江湖州·九年级校考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，A点坐标为，点坐标为，点为线段的中点，点绕原点顺时针旋转，那么点的对应点坐标及旋转经过的路径长为（ ）
A． B． C． D．
12．（2023上·河北石家庄·九年级石家庄市第二十五中学校考期中）如图，半圆O的直径为10，点C、D在圆弧上，连接，两弦相交于点E．若，则阴影部分面积为（ ）
A． B． C． D．
13．（2023上·山东日照·九年级日照市新营中学校考期中）如图，四边形ABCD是边长为的正方形，曲线是由多段的圆心角所对的弧组成的．其中，的圆心为，半径为：的圆心为，半径为的圆心为，半径为的圆心为，半径为…，，，，的圆心依次为A、B、C、循环，则的长是（ ）
A． B． C． D．
14．（2023上·黑龙江哈尔滨·九年级哈尔滨德强学校校考阶段练习）正六边形的边心距为，则正六边形的半径为 ．
15．（2023上·江苏连云港·九年级统考期末）如图，正五边形内接于圆，连接，交于点F，则的度数为 ．
16．（2023上·江苏盐城·九年级校联考阶段练习）如图，在中，．将边绕点B顺时针旋转得线段，再将边绕点C顺时针旋转得线段，连接，则图中阴影部分的面积是 ．
17．（2015上·江苏扬州·九年级阶段练习）已知圆锥的底面半径为，母线长为，则这个圆锥的侧面积为 ．
18．（北京市昌平区2023-2024学年九年级上学期期末数学试题）在2022年北京冬奥会开幕式和闭幕式中，一片“雪花”的故事展现了“世界大同，天下一家”的主题，让世界观众感受了中国人的浪漫．如图，作出“雪花”图案（正六边形）的外接圆，已知正六边形的边长是4，则长为 ．
19．（2024上·宁夏吴忠·九年级校考期末）如图，平面直角坐标系中，正六边形的顶点、在轴上，顶点在轴上，若，求中心的坐标．
20．（2024上·吉林延边·九年级统考期末）如图，将含角的直角三角板放入半圆中，，，，三点恰好在半圆上，延长到点，作直线，使得·
(1)求证：是半圆的切线.
(2)若，求阴影部分的面积.
21．（2023上·浙江杭州·九年级校考阶段练习）如图1，四边形内接于为直径，过点C作于点E，连接AC．
(1)求证：；
(2)如图2，连结，若，，求与弧围成阴影部分的面积．
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第五章 圆
第三节 与圆有关的计算
考点分布 考查频率 命题趋势
考点1 正多边形和圆 ☆☆ 吉林中考中，有关与圆有关的计算部分，每年考查1~3道题,分值为3~9分，通常以选择题、填空题和解答题的形式考查。对于这部分的复习，需要熟练掌握正多边形和圆、弧长、扇形面积的计算和圆柱、圆锥的相关计算等考点。
考点2 弧长、扇形面积的计算 ☆
考点3 圆柱、圆锥的相关计算 ☆
■考点一　正多边形和圆
1.正多边形中心：正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心．
2.正多边形半径：正多边形外接圆的半径叫做正多边形半径．
3.正多边形中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形中心角．
4.正多边形边心距：正多边形中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距．
5.正多边形内角、中心角、半径、边长、边心距、周长、面积的关系
■考点二　弧长、扇形面积的计算
1.弧长公式:
2.扇形面积公式: S=
S扇形面积= πRl
(n:圆心角R:扇形多对应的圆的半径l:扇形弧长S:扇形面积)
■考点三　圆柱、圆锥的相关计算
圆柱:
圆柱侧面展开图
S表=S侧 +2S底 = 2πrh + 2πr2
(2)圆柱的体积: V =πr2h
2.圆锥
(1)圆锥侧面展开图是一个扇形，扇形的半径等于圆锥的母线，扇形的弧长等于圆锥的底面周长．
(2)若圆锥的底面半径为r，母线长为l，则这个扇形的半径为l，扇形的弧长为2πr，
圆锥的侧面积为S圆锥侧=．圆锥的表面积：S圆锥表=S圆锥侧+S圆锥底=πrl+πr2=πr(l+r)．
■易错提示
1.有关正多边形的计算问题，通常都要构造以正多边形的半径、正多边形的边心距、正多边形的半个边围成的直角三角形借助勾股定理和三角函数来解决。
2.对于扇形面积公式，关键要理解圆心角是1°的扇形面积是圆面积的，
即；
　　3.在扇形面积公式中，涉及三个量：扇形面积S、扇形半径R、扇形的圆心角，知道其中的两个量就可以求出第三个量.
4.扇形面积公式，可根据题目条件灵活选择使用，它与三角形面积公式有点类似，可类比记忆；
5.扇形两个面积公式之间的联系：.
6.在求不规则图形的面积时，注意利用割补法与等积变化方法归为规则图形，再利用规则图形的公式求解．
■考点一　正多边形和圆
◇典例1： （2023上·山东滨州·九年级统考期中）如图，六边形是的内接正六边形，设正六边形的面积为的面积为，则（ ）
A．2 B．1 C． D．
【答案】A
【分析】本题考查正多边形和圆，三角形的面积，全等三角形的判定，关键是由正六边形的性质证明．连接、、、，由正六边形的性质得到、、、、、把圆六等分，推出，得到、是等边三角形，由证明，得到的面积的面积，同理：的面积的面积，的面积的面积，因此的面积的面积的面积的面积，即可得到答案．
【详解】解：连接、、、，
六边形是的内接正六边形，
、、、、、把圆六等分，
，
，
、是等边三角形，
，，
，
的面积的面积，
同理：的面积的面积，的面积的面积，
的面积的面积的面积的面积，
，
．
故选：A．
◆变式训练
1．（2023上·江苏常州·九年级校考期中）如图，在平面直角坐标系中，将边长为1的正六边形绕点顺时针旋转个，得到正六边形，则正六边形的顶点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】如图，以为圆心，为半径作，将边长为1的正六边形绕点O顺时针旋转i个，即把绕点O顺时针旋转i个，求出与重合，而关于原点成中心对称，利用正六边形的性质与勾股定理求出的坐标，利用关于原点成中心对称，从而可得答案．
【详解】解：如图，以为圆心，为半径作，
将边长为1的正六边形绕点O顺时针旋转i个45°，
即把绕点O顺时针旋转i个45°，
旋转后的对应点依次记为，
周角，
绕点O顺时针旋转次回到原位置，
与重合，而关于原点成中心对称，
连接，
正六边形，
，
，
，
∴，
∴，
，
，
∴，
故选：A．
【点睛】本题考查的是旋转的性质，正六边形的性质，勾股定理，坐标与图形性质，求出与重合，而关于原点成中心对称是解题的关键．
2．（2023上·浙江嘉兴·九年级校联考期中）如图，在圆内接正六边形中，分别交于点，则的度数为（）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查正多边形和圆，等腰三角形的性质，熟练掌握正六边形的性质是解题关键．
根据正六边形的性质和等腰三角形的性质即可得到结论．
【详解】解：在圆内接正六边形中，
故选：B．
■考点二　弧长、扇形面积的计算
◇典例2：（2020上·江苏苏州·九年级统考期中）如图，在扇形中，，，若弦，则的长为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查平行线的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握平行线的性质与等边对等角的等腰三角形的性质是解题的关键．
先根据平行线的性质求得，，再由等腰三角形的性质，即可求解．
【详解】解：连接，如图，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴的长．
故选：C．
◆变式训练
1．（2023上·陕西延安·九年级校联考阶段练习）传统服饰日益受到关注，如图1为明清时期女子主要裙式之一的马面裙，该款裙子可以近似地看作扇环，如图2所示，其中，长度为米，长度为米，则裙长AB为（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
【答案】B
【分析】本题考查通过弧长计算半径，熟练掌握弧长公式是解题关键．
通过的长度算出，通过的长度算出，两者相减即可．
【详解】∵米，，
∴，
∴米，
∵米，，
∴，
∴米，
∴米．
故选：B．
2．（2023上·浙江温州·九年级校考阶段练习）如图，正方形的边长为4，以为直径的半圆交对角线于点E，则阴影部分的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查求不规则图形的面积，利用三角形的面积减去扇形的面积即可得出结果．
【详解】解：∵正方形，边长为4，
∴，
∵以为直径的半圆交对角线于点E，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴阴影部分的面积；
故选：D．
■考点三　圆柱、圆锥的相关计算
◇典例3：（2023上·河南信阳·九年级校考阶段练习）一个圆锥的底面半径是，侧面积是，则圆锥的母线长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了圆锥侧面积公式的灵活运用，圆锥的侧面积底面半径母线长，根据此公式计算即可，熟练掌握公式是解此题的关键．
【详解】解：设圆锥的母线长为，
由题意得：，
解得：，
圆锥的母线长是，
故选：C．
◆变式训练
1．（2023上·河北廊坊·九年级廊坊市第四中学校考阶段练习）如图所示，矩形纸片中，，把它分割成正方形纸片和矩形纸片后，分别裁出扇形和半径最大的圆，恰好能作为一个圆锥的侧面和底面，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查圆锥展开图扇形弧长等于底面圆的周长，根据圆锥展开图扇形弧长等于底面圆的周长列式求解即可得到答案；
【详解】解：设，由题意可得，
，
解得：，
故选：B．
2．（2023上·河北廊坊·九年级廊坊市第四中学校考阶段练习）已知底面半径是，母线长为，为母线中点，现在有一只蚂蚁从底边一点出发．在侧面爬行到点，则蚂蚁在圆锥侧面爬行最短距离（ ）
A． B． C． D．6
【答案】B
【分析】本题考查圆锥的扇形弧长等于底面圆周长及两点间线段最短，根据扇形弧长等于底面圆周长求出圆心角，从而得到展开图中的的度数，结合两点间线段距离最短及勾股定理求解即可得到答案；
【详解】解：∵底面半径是，母线长为，
∴，
∴侧面扇形圆心角为：，
∴，
∵为母线中点，
∴，
由两点间线段距离最短得，
，
故选：B．
1．（2022·吉林长春·模拟预测）如图，正五边形内接于，过点作的切线交对角线的延长线于点，则下列结论不成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】连接，根据正五边形的性质求出各个角的度数，结合平行线的判定方法，再逐个判断即可．
【详解】五边形是正五边形，
，，
，
，
，
，故A不符合题意；
，
，故B不符合题意；
连接，过点A作于点H，则，
，，
，
，故C符合题意；
连接，
五边形是正五边形，
，
，
，
相切于，
，
，
，
，
，故D不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查切线的性质、圆周角定理、正多边形与圆、等腰三角形的性质和判定、平行线的判定等知识点，能综合运用定理进行推理是解题的关键．
2．（2022·吉林松原·统考一模）如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，P为弧DE上的一点（点P不与点D重合），则∠CPD等于（ ）
A．36° B．40° C．60° D．72°
【答案】A
【分析】连接OC，OD．求出∠COD的度数，再根据圆周角定理即可解决问题．
【详解】解：如图，连接OC，OD．
∵ABCDE是正五边形，
∴∠COD==72°，
∴∠CPD=∠COD=36°，
故选：A．
【点睛】本题考查正多边形和圆、圆周角定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识．
3．（2022·吉林长春·统考模拟预测）如图，边长为2的正六边形放置于平面直角坐标系中，边在x轴正半轴上，顶点F在y轴正半轴上，将正六边形绕原点O旋转，则旋转后顶点D的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】如图，连接AD，BD．首先确定点D的坐标，再根据中心对称即可求解．
【详解】如图，连接AD，BD．
在正六边形ABCDEF中，AB=2，则AD=4，∠ABD=90°，
∴BD=，
在Rt△AOF中，AF=1，∠OAF=60°，
∴∠OFA=30°，
∴OA=AF=，
∴OB=OA+AB=，
∴D，
将正六边形绕原点O旋转，则旋转后顶点D的坐标为，
故选A
【点睛】本题考查了正多边形与圆，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，中心对称，掌握以上知识是解题的关键．
4．（2023·吉林·统考一模）图1是等边三角形铁丝框，按图2方式变形成以A为圆心，长为半径的扇形（图形周长保持不变），则所得扇形的圆心角的度数是（ ）
A．． B．． C．． D．．
【答案】D
【分析】根据题意的长就是边的长，由弧长公式即可求解．
【详解】解：设，
，
，
解得：，
圆心角的度数为：
故选：D．
【点睛】本题考查了弧长公式的应用，掌握公式和理解图形变化前后对应关系是解题的关键．
5．（2022·吉林长春·统考一模）如图，圆心重合的两圆半径分别为4、2，，则阴影部分图形的面积为（ ）
A．4π B． C．8π D．16π
【答案】C
【分析】阴影部分的面积是一个环形，可用大圆中角所对的扇形的面积减去小圆中角所对的面积来求得．根据扇形的面积求解即可．
【详解】解：，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了扇形面积公式，关键是找出图中的关系和熟记公式．
6．（2022·吉林长春·统考模拟预测）如图，在边长为2的等边中，按下列步骤作图：①分别以点A和点C为圆心、大于一半的长为半径作圆弧，两弧相交于点D；②作射线，与边相交于点；③以点B为圆心，长为半径作圆弧，交边于点F.则图中阴影部分（扇形）的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据作图方法判断BD是线段AC的垂直平分线，在根据等边三角形的性质可知∠CBE=30°，根据等边三角形的边长求出BE的长度，则阴影部分扇形的面积，利用扇形面积公式可求．
【详解】根据作图方法可知BD是线段AC的垂直平分线，
∴BE⊥AC，AE=EC，
∴根据等边三角形的性质有∠EBC=∠ABC=30°，
∵等边三角形的边长为2，
∴BC=2，EC=1，
∴利用勾股定理有BE=，
∴扇形BEF所在圆的半径为，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质、垂直平分线的尺规作图以及求解扇形的面积等知识，求出∠EBC=30°和BE=是解答本题的关键．
7．（2022·吉林长春·校联考一模）如图，四边形是的内接四边形．，，则弧的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据圆内接四边形的性质求出∠A的度数，根据圆周角定理求出∠BOD的度数，利用弧长公式计算即可．
【详解】解：∵四边形是的内接四边形．，
∴∠A=180°-∠BCD=60°，
∴∠BOD=120°，
∴弧的长为．
故选：D
【点睛】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理以及弧长的计算，掌握圆内接四边形的对角互补、弧长公式是解题的关键．
8．（2022·吉林·统考中考真题）第二十四届北京冬奥会入场式引导牌上的图案融入了中国结和雪花两种元素．如图，这个图案绕着它的中心旋转角后能够与它本身重合，则角可以为 度．（写出一个即可）
【答案】60或120或180或240或300（写出一个即可）
【分析】如图（见解析），求出图中正六边形的中心角，再根据旋转的定义即可得．
【详解】解：这个图案对应着如图所示的一个正六边形，它的中心角，
，
角可以为或或或或，
故答案为：60或120或180或240或300（写出一个即可）．
【点睛】本题考查了正多边形的中心角、图形的旋转，熟练掌握正多边形的性质是解题关键．
9．（2022·吉林长春·统考中考真题）跳棋是一项传统的智力游戏．如图是一副跳棋棋盘的示意图，它可以看作是由全等的等边三角形和等边三角形组合而成，它们重叠部分的图形为正六边形．若厘米，则这个正六边形的周长为 厘米．
【答案】54
【分析】设AB交EF、FD与点N、M，AC交EF、ED于点G、H，BC交FD、ED于点O、P，再证明△FMN、△ANG、△BMO、△DOP、△CPH、△EGH是等边三角形即可求解．
【详解】设AB交EF、FD与点N、M，AC交EF、ED于点G、H，BC交FD、ED于点O、P，如图，
∵六边形MNGHPO是正六边形，
∴∠GNM=∠NMO=120°，
∴∠FNM=∠FMN=60°，
∴△FMN是等边三角形，
同理可证明△ANG、△BMO、△DOP、△CPH、△EGH是等边三角形，
∴MO=BM，NG=AN，OP=PD，GH=HE，
∴NG+MN+MO=AN+MN+BM=AB，GH+PH+OP=HE+PH+PD=DE，
∵等边△ABC≌等边△DEF，
∴AB=DE，
∵AB=27cm，
∴DE=27cm，
∴正六边形MNGHPO的周长为：NG+MN+MO+GH+PH+OP=AB+DE=54cm，
故答案为：54．
【点睛】本题考查了正六边的性质、全等三角形的性质以及等边三角形的判定与性质等知识，掌握正六边的性质是解答本题的关键．
10.（2023·吉林长春二模）如图，点O是ΔABC边AB上的一点，以0为圆心, 0B长为半径作圆, 分别交AB.BC于F E , ⊙0与边AC相切于点D ,点D为弧EF的中点.
(1)求证: AC⊥BC .
(2)若OB=2，∠DBC= 22.50，则阴影部分的图形面积为____ ( 结果保留π) .
[知识点]圆周角定理,切线的性质定理，求扇形面积，其他不规则图形的面积
[答案] (1)证明见解析
(2)2-
[分析] (1) 连接OD,如图所示，根据切线性质、圆周角定理及等腰三角形等边对等角得到∠CBD+∠BDC=90°即可得到答案;
(2)由(1)得∠ABD= ∠DBC=22.5°， ∠A0D=45°=∠A.根据OB=2,得到AD=0D=2.从而由
S阴影=SΔAOD- S扇形OFD=2-；即可得到答案
[详解] (1) 证明:连接OD,如图所示:
⊙0与边AC相切于点D,
OD⊥AC.则∠ODB+ ∠BDC= 900。
点D为弧EF的中点,
∠OBD=∠CBD,
OB= OD,
∠ODB=∠OBD,
∠ODC=∠CBD.
∠CBD+∠BDC=90°，即AC⊥BC;
(2)解:由(1)得∠ABD=∠DBC=22.50，
∠AOD=45°，
∠A=45° ,
OB= 2,
AD=OD=2,即SΔAOD=2.
S明影= 2-,
故答案为: 2-,
[点睛]本题考查圆综合，涉及切线性质、圆周角定理、扇形面积公式以及求阴影部分面积，熟练掌握圆的性质及不规则图形面积是解决问题的关键.
1．（2022上·吉林·九年级吉林省实验校考期中）如图，正六边形内接于，点在上，则的大小为（　　）
A．60° B．45° C．30° D．15°
【答案】C
【分析】由正六边形的性质得出，由圆周角定理求出．
【详解】解：连接，，
∵多边形是正六边形，
∴，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查了正六边形的性质，圆周角定理，熟练掌握知识点是解题的关键．
2．（2024上·天津南开·九年级统考期末）如图，正五边形内接于，P为上一点，连接，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查的是正多边形和圆，掌握正多边形的中心角的计算公式是解题的关键．
【详解】解：连接、，
∵是圆内接五边形，
∴，
∴，
故选B．
3．（2023上·河南信阳·九年级校考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正六边形的中心与原点重合，轴，将六边形绕点逆时针旋转，每次旋转，则第2024次旋转结束时，点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了正多边形的性质、坐标与图形变化—旋转、勾股定理、等边三角形的判定与性质，连接、，设交轴于点，由正多边形的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理求出，再根据旋转的性质得出第次旋转结束时，点的坐标为，第次旋转结束时，点的坐标为，第次旋转结束时，点的坐标为，第次旋转结束时，点的坐标为，从而得到次为一个循环，由此即可得出答案，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
【详解】解：如图，连接、，设交轴于点，
，
边长为2的正六边形的中心与原点重合，轴，
，轴，，，
是等边三角形，，
，，
，
，
将六边形绕点逆时针旋转，每次旋转，
第次旋转结束时，点的坐标为，
第次旋转结束时，点的坐标为，
第次旋转结束时，点的坐标为，
第次旋转结束时，点的坐标为，
…，
为次一个循环，
，
第2024次旋转结束时，点的坐标为，
故选：D．
4．（2023上·河北邢台·九年级校考阶段练习）已知一个三角形的内心与外心重合，若它的内切圆的半径为2，则它的外接圆的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据题意判断三角形是等边三角形，作出图形，根据内切圆的半径为2求出外接圆的半径，利用圆面积公式即可求出答案．本题考查了正多边形与圆、等边三角形的性质、含角的直角三角形的性质，熟练掌握等边三角形的性质是解题的关键．
【详解】解：∵一个三角形的内心与外心重合，
∴该三角形是等边三角形，
根据题意，如图，是等边三角形，其内心外心均为点O，连接OB，过点O作于点D，则，
∵，平分，
∴，
在中，
，
∴的外接圆半径为4，
∴它的外接圆的面积为，
故选：D
5．（2023上·黑龙江哈尔滨·九年级校考阶段练习）如图，正六边形内接于，半径为，则这个正六边形的边心距的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了正多边形和圆，正六边形的性质，垂径定理，勾股定理，等边三角形的性质，熟练掌握正六边形的性质，证明三角形是等边三角形，运用垂径定理求出是解答本题的关键．
连接，，证明是等边三角形，得到，由垂径定理求出，再利用勾股定理求出．
【详解】解：如图，连接，，
，，
是等边三角形，
，
，
，
故选：．
6．（吉林省长春市2023-2024学年九年级上学期期末数学试题）如图，在圆形纸板上裁剪两个扇面具体操作如下：作的任意一条直径，以点为圆心、长为半径作圆，与相交于点、；以点为圆心、长为半径作圆，与相交于点、；连结、、、，得到两个扇形，并裁剪下来．若的半径为，则剩余纸板（图中阴影部分图形）的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】连接，，将图中阴影部分面积拼补为扇形与扇形面积之和，进一步利用扇形的面积公式从而求出阴影部分的面积，即可求解．
本题考查扇形的面积；通过拼补将阴影部分的面积转化为扇形的面积是解题的关键．
【详解】解：连接，，
∵弓形，的面积与弓形，的面积相等，弓形，的面积与弓形，的面积相等，
图中阴影部分的面积，
，
、、、都是正三角形，
∴，
∴，
阴影部分的面积
故选：B．
7．（2023上·江苏无锡·九年级校考阶段练习）如图，中，，点是边上的一点，与、分别相切于点、，点为上一点，连接，若四边形是菱形，则图中阴影部分面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查的是切线的性质，菱形的性质、扇形面积计算、圆周角定理，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径、弧长公式是解题的关键．根据菱形的性质得到，根据圆周角定理得到，根据切线的性质得到，求出，根据直角三角形的性质、扇形面积公式计算，得到答案．
【详解】解：∵四边形是菱形，
∴，
由圆周角定理得：，
∵与、分别相切于点、，
∴，
∴，
，
，
，，
，
，，
，
，
故选：A．
8．（2023上·内蒙古呼和浩特·九年级校考期中）正方形的边长为，以各边为直径在正方形内画半圆，则图中阴影部分的面积是（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了扇形的面积计算公式，熟记“”是解题关键．观察图像可得4个阴影部分的面积等于四个半圆的面积减去正方形的面积即可求解．
【详解】解：由图像可知：
4个阴影部分的面积等于四个半圆的面积减去正方形的面积，
，
，
故选：A．
9．（2023上·浙江宁波·九年级宁波市第七中学校考期中）如图，直径的半圆绕点按顺时针方向旋转，此时A到了点的位置，则图中阴影部分的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了扇形面积公式的应用，扇形面积公式为，阴影面积为旋转后为直径的半圆面积加旋转后扇形面积减去旋转前为直径的半圆面积，则阴影面积为旋转后的扇形面积，由扇形面积公式计算即可．
【详解】解：∵直径的半圆，绕B点顺时针旋转，
，
又，
，
，
，
，
故选：D．
10．（2023上·河北衡水·九年级校考期末）如图，在扇形中，，点为弦上一动点（不与两点重合），连接并延长交于点，当为最大值时，的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查的是垂线段最短的应用，垂径定理的应用，求解弧长，先过作交于，交弧于，可得此时最短，则最长，即为的位置，为的位置，再结合垂径定理与弧长公式可得答案．
【详解】解：如图，过作交于，交弧于，
此时最短，则最长，即为的位置，为的位置，
∴，，
∵，
∴的长度为：，
即的长度为：；
故选B
11．（2023上·浙江湖州·九年级校考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，A点坐标为，点坐标为，点为线段的中点，点绕原点顺时针旋转，那么点的对应点坐标及旋转经过的路径长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了利用弧长公式求某点运动路径长，平面直角坐标系中线段中点坐标，用勾股定理解三角形，掌握利用弧长公式求某点运动路径长是解题关键．根据题意得出C点坐标为，用勾股定理计算得出距离为5，点C旋转经过的路径长为以点O为圆心OC为半径圆心角为的弧长，可得．
【详解】解：∵A点坐标为，B点坐标为，点C为线段的中点，
∴点C坐标为，即，
∴，
点C绕原点O顺时针旋转，如下图所示：
作轴于点E，轴于点F，
由旋转得：，
，
点C旋转经过的路径长为弧形，
∴点C旋转经过的路径长．
故选：C．
12．（2023上·河北石家庄·九年级石家庄市第二十五中学校考期中）如图，半圆O的直径为10，点C、D在圆弧上，连接，两弦相交于点E．若，则阴影部分面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，圆周角和弧之间的关系，扇形的面积，连接、，根据，得出，得出，根据即可求得．
【详解】连接、，
是直径，
，
，
，
的度数为，
，
．
故选：B．
13．（2023上·山东日照·九年级日照市新营中学校考期中）如图，四边形ABCD是边长为的正方形，曲线是由多段的圆心角所对的弧组成的．其中，的圆心为，半径为：的圆心为，半径为的圆心为，半径为的圆心为，半径为…，，，，的圆心依次为A、B、C、循环，则的长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】此题主要考查了弧长的计算，弧长的计算公式：，曲线是由一段段90度的弧组成的，半径每次比前一段弧半径，得到，，得出半径，再计算弧长即可．
【详解】解：由图可知，曲线是由一段段90度的弧组成的，半径每次比前一段弧半径，
，，，，
，，，，
，
，，
故的半径为，
的弧长．
故选：A．
14．（2023上·黑龙江哈尔滨·九年级哈尔滨德强学校校考阶段练习）正六边形的边心距为，则正六边形的半径为 ．
【答案】1
【分析】本题考查正六边形的性质，等边三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质和勾股定理．正确的画出图形并连接辅助线是解题关键．
如图，连接，过点O作于点H．由正六边形的性质可证明是等边三角形，即得出．再由，结合含30度角的直角三角形的性质和勾股定理可求出的长，即为这个正六边形的半径．
【详解】解：如图，连接，过点O作于点H．
∵此六边形是正六边形，
∴．
∵，
∴是等边三角形，
∴，
由题意可知，
设，则，
∵在中，，
∴，
解得：或（舍），
∴，即这个正六边形的半径为1．
故答案为：1．
15．（2023上·江苏连云港·九年级统考期末）如图，正五边形内接于圆，连接，交于点F，则的度数为 ．
【答案】/108度
【分析】本题考查了正多边形与圆的性质，根据正五边形的性质可知，所以四边形为平行四边形，然后根据正五边形内角和定理，求出，即可求出，根据正五边形的性质得出四边形为平行四边形是解题的关键．
【详解】解：∵五边形为正五边形，
∴
∴四边形为平行四边形，
∴
故答案为：．
16．（2023上·江苏盐城·九年级校联考阶段练习）如图，在中，．将边绕点B顺时针旋转得线段，再将边绕点C顺时针旋转得线段，连接，则图中阴影部分的面积是 ．
【答案】/
【分析】如图，作于，由勾股定理得，，由旋转的性质可得，，，证明，则，根据，计算求解即可．
【详解】解：如图，作于，
由勾股定理得，，
由旋转的性质可得，，，
∴，，
∵，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，扇形的面积等知识．正确的表示阴影部分的面积是解题的关键．
17．（2015上·江苏扬州·九年级阶段练习）已知圆锥的底面半径为，母线长为，则这个圆锥的侧面积为 ．
【答案】
【分析】本题考查了圆锥的计算，根据圆锥的侧面积底面周长母线长，把相应数值代入即可求解．
【详解】解：圆锥的侧面积．
故答案为：．
18．（北京市昌平区2023-2024学年九年级上学期期末数学试题）在2022年北京冬奥会开幕式和闭幕式中，一片“雪花”的故事展现了“世界大同，天下一家”的主题，让世界观众感受了中国人的浪漫．如图，作出“雪花”图案（正六边形）的外接圆，已知正六边形的边长是4，则长为 ．
【答案】
【分析】本题考查了正多边形的性质，弧长公式，先根据中心角定义求出的度数，然后证明是等边三角形，可求出圆的半径，最后根据弧长公式求解即可．
【详解】解∶如图，
∵正六边形的边长是4，
∴，，
∴是等边三角形，
∴，
∴．
故答案为：．
19．（2024上·宁夏吴忠·九年级校考期末）如图，平面直角坐标系中，正六边形的顶点、在轴上，顶点在轴上，若，求中心的坐标．
【答案】
【分析】本题考查了正多边形的性质，勾股定理，平面直角坐标系等知识，连接、，过点P作轴于Q，证明是等边三角形，求出，然后利用含的直角三角形的性质求出、，利用勾股定理求出，即可求解．
【详解】解：连接、，过点P作轴于Q，
∵六边形是正六边形，，
∴，，，，
∴，是等边三角形，，
∴，，，
∴，
∴，
∴中心的坐标为．
20．（2024上·吉林延边·九年级统考期末）如图，将含角的直角三角板放入半圆中，，，，三点恰好在半圆上，延长到点，作直线，使得·
(1)求证：是半圆的切线.
(2)若，求阴影部分的面积.
【答案】(1)见解析；
(2).
【分析】（1）由等腰三角形的性质得进而证明得，即可得到结论；
（）根据图示，可知是等边三角形，根据扇形的面积公式计算出扇形的面积，的面积，由此即可求解阴影部分的面积．
【详解】（1）证明：如图，连接，
∵，
∴是的直径，即在上，
∵
∴
∴
∵
∴
∴，
∴是半圆的切线；
（2）解：∵
∴
∵，
∴是等边三角形，
∵，
∴，
∴，，
∴．
【点睛】本题主要考查扇形面积，垂径定理，圆周角定理，掌握垂径定理，扇形面积公式是解题的关键．
21．（2023上·浙江杭州·九年级校考阶段练习）如图1，四边形内接于为直径，过点C作于点E，连接AC．
(1)求证：；
(2)如图2，连结，若，，求与弧围成阴影部分的面积．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查了圆周角定理、勾股定理、扇形的面积公式等知识点，灵活运用相关知识是解本题的关键．
（1）先判断出，然后用等角的余角相等即可证明结论；
（2）求出和，再利用面积公式计算即可．
【详解】（1）证明：∵四边形是的内接四边形，
∴，
∵为的直径，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴与弧围成阴影部分的面积为：．
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