资源简介

第六章 平面向量及其应用
6.4.3 余弦定理、正弦定理
学案
学习目标
1.借助向量的运算，探究三角形边长与角度的关系.
2.掌握余弦定理、正弦定理.
3.能用余弦定理、正弦定理解决简单的实际问题.
知识汇总
1.余弦定理：三角形中任意一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍.即，，.
2.解三角形的定义：一般地，三角形的三个角，，和它们的对边，，叫做三角形的三个元素.已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形.
3.正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对应的角的正弦比相等，即.
习题检测
1.在中，角所对边分别为，则下列结论正确的是( )
A. B.
C. D.
2.在中，已知，则( )
A. B. C.1 D.2
3.在中，若内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列有关正弦定理及其变形错误的是( )
A. B.
C. D.
4.在中，角的对边分别为，，的外接圆半径为，则a的值为( )
A.1 B.2 C. D.
5.小明同学为了估算位于哈尔滨的索菲亚教堂的高度，在索菲亚教堂的正东方向找到一座建筑物AB，高为m，在它们之间的地面上的点M（B，M，D三点共线）处测得楼顶A，教堂顶C的仰角分别是15°和60°，在楼顶A处测得塔顶C的仰角为30°，则小明估算索菲亚教堂的高度为( )
A.20m B.30m C. D.
6.（多选）在中，给出下列4个命题，其中正确的命题是( )
A. 若，则 B. 若则
C.若，则 D. 若则
7.明孝陵位于江苏省南京市玄武区紫金山南麓独龙阜玩珠峰下，东毗中山陵，南临梅花山，位于钟山风景名胜区内，其占地面积达170余万平方米，是中国规模最大的帝王陵寝之一.明孝陵景区共有8个门，1号门位于植物园路，4号门在1号门的南偏东的492m处，8号门在4号门的东偏北方向，且1号门在8号门的西偏南方向，则1号门到8号门的距离约为______m.(结果精确到整数部分，参考数据：取，，，)
8.在锐角中，内角A，B，C的边分别对应a，b，c，若，则的取值范围是______.
9.在中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，，，，则_________________.
10.在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足，则角__________．
11.如图，在中，已知点D在边上， ，，，，则的长为__________.
12.记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为，，，则________.
13.记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则__________.
14.如图，保定市某中学在实施“五项管理”中，将学校的“五项管理”做成宣传牌（CD），放置在教学楼的顶部(如图所示)，该中学数学活动小组在山坡的坡脚A处测得宣传牌底部D的仰角为，沿该中学围墙边坡AB向上走到B处测得宣传牌顶部C的仰角为.已知山坡AB的坡度为，，.
（1）求点B距水平面AE的高度BH；
（2）求宣传牌CD的高度.(结果保留根号).
答案解析
1.答案：C
解析：由余弦定理的结构特征易知选C.
2.答案：B
解析：∵，∴，∴.故选B.
3.答案：B
解析：在中，由正弦定理得，则，，.
对于A，，故A正确；
对于B，当，时，，此时，故B错误；
对于C，，故C正确；
对于D，，故D正确.
故选B.
4.答案：B
解析：由及余弦定理，可得，故，因为，所以，又的外接圆半径R为，所以.
5.答案：D
解析：，
由题意知：，，所以，
在中，，
在中，由正弦定理得，
所以，
在中，.
故选：D.
6.答案：ABD
解析：由大角对大边知，若，则，由正弦定理得，所以，
故A正确；同理B正确；当，时，，，故C错误；若，
则，，即，所以，故D正确.
7.答案：2112
解析：记1号门的位置为A，4号门的位置为B，8号门的位置为C，
则根据条件可得，.
在中，由正弦定理得，
得.
故答案：2112
8.答案：
解析：因为，由正弦定理得，，
，化简得，
在中，则，则，
所以锐角中，，
，
故答案为：.
9.答案：2
解析：由余弦定理得到，
即，故
由正弦定理可得：.
故答案为：2.
10.答案：
解析：由题意得，
而，
由正弦定理化简得，
故，，得
故答案为：.
11.答案：
解析：∵，且，∴，∴，在中，由余弦定理，得
12.答案：
解析：由题意，，
所以，，
所以，解得(负值舍去).
故答案为：.
13.答案：或
解析：因为，，由余弦定理，
所以，所以，
所以.
故答案为：
14.答案：（1）见解析
（2）
解析：（1）由于，所以，
设，，则，
所以.
（2）过点B作，垂足为F，则，，
在中，，
又，，
故宣传牌CD的高度为.

展开更多......

收起↑