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2024年青岛市市南区第五十九中学期末考试
九年级数学试题
一、单选题（本题满分30分，共有10道小题，每小题3分）
1．如果将抛物线y＝x2+2先向左平移1个单位，再向下平移1个单位，那么所得新抛物线的表达式是（　　）
A．y＝（x﹣1）2+2 B．y＝（x+1）2+1 C．y＝x2+1 D．y＝（x+1）2﹣1
2．在一个不透明的盒子中，装有绿色、黑色、白色的小球共有60个，除颜色外其他完全相同，一同学通过多次摸球试验后发现其中摸到绿色球、黑色球的频率稳定在和，盒子中白色球的个数可能是（　　）
A．24个 B．18个 C．16个 D．6个
3．若关于x的方程有两个不相等的实数根，则下列选项中，满足条件的实数a，c的值可以是（ ）
A．， B．， C．， D．，
4．反比例函数图象经过点、、，则a、b、c的大小关系是（　　）
A． B． C． D．
5．沿正方体相邻的三条棱的中点截掉一个角，得到如图所示的几何体，则他的主视图是（ ）

A． B． C． D．
6．在正方形网格中，的位置如图所示，则的值为（ ）
A． B． C． D．
7．蜂巢结构精巧，其巢房横截面的形状均为正六边形．如图是部分巢房的横截面图，图中7个全等的正六边形不重叠且无缝隙，将其放在平面直角坐标系中，点均为正六边形的顶点．若点的坐标分别为，则点的坐标为（ ）

A． B． C． D．
8．如图所示，是一个几何体的俯视图和正视图（主视图），则该几何体的表面积为（ ）

A． B．
C． D．
9．如图，在正方形和正方形中，点G在上，，，H是的中点，那么的长为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，点E在正方形外，连接、、，过点A作的垂线交于点F．若，，则下列结论：①；②；③点B到直线的距离为；④=40．其中正确的结论有（ ）个

A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题（本题满分18分，共有6道小题，每小题3分）
11．已知，则 ．
12．计算： ．
13．由于手机市场的迅速成长，某品牌的手机为了赢得消费者，在一年之内连续两次降价，从5980元降到4698元，如果每次降低的百分率相同，求每次降低的百分率是多少？设这个降低百分率为，则根据题意，可列方程： ．
14．如图，小明在A时测得某树的影长为3米，B时又测得该树的影长为12米，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为 米.
15．一个几何体由几个大小相同的小立方块搭成，从正面和上面看到的这个几何体的形状如图所示，若组成这个几何体的小立方块的个数为，则的最小值与最大值的和为 ．
16．二次函数（）的图象如图所示，对称轴是直线，下列结论：①；②方程（）必有一个根大于2且小于3；③若，是抛物线上的两点，那么；④；⑤对于任意实数，都有，其中正确的结论是 ．
三、作图题，用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹（本题满分4分）
17．如图，有一块三角形的铁皮．
求作：以∠B为一个内角的菱形BEFG，使顶点F在AC边上．
要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹．
四、解答题
18．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．
(1)求的取值范围；
(2)当时，用配方法解方程．
19．4张相同的卡片分别写有数字1，2，3，4，将卡片的背面朝上，洗匀后从中任意抽取1张，将卡片上的数字作为被减数；一只不透明的袋子中装有标号为1，2，3的3个小球，这些球除标号外都相同，搅匀后从中任意摸出一个球，将摸到的球的标号作为减数．
（1）求这两个数的差为0的概率；（用列表法或树状图说明）
（2）如果游戏规则规定：当抽到的这两个数的差为非负数时，则甲获胜；否则，乙获胜．你认为这样的规则公平吗？如果不公平，请设计一个你认为公平的规则，并说明理由．
20．心理学家研究发现，一般情况下，一节课分钟中，学生的注意力随教师讲课的变化而变化．开始上课时，学生的注意力逐步增强，中间有一段时间学生的注意力保持较为理想的稳定状态，随后学生的注意力开始分散．经过实验分析可知，学生的注意力指标数y随时间x（分钟）的变化规律如下图所示（其中、分别为线段，为双曲线的一部分）：
(1)求出y与x之间的函数关系；
(2)开始上课后第5分钟时与第分钟时相比较，何时学生的注意力更集中？
(3)一道数学竞赛题，需要讲分钟，为了效果较好，要求学生的注意力指标数最低达到，那么经过适当安排，老师能否在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目？说明理由．
21．如图，某高楼顶部有一信号发射塔，在矩形建筑物的A、C两点处测得该塔顶端F的仰角分别为，矩形建筑物宽度m，高度m．计算该信号发射塔顶端到地面的高度（结果精确到1m）．（参考数据：）

22．如图，在平面直角坐标系中，一次函数（）的图象与反比例函数（）的图象相交于，两点．

(1)求一次函数和反比例函数的解析式，并直接写出一次函数的值大于反比例函数的值时的取值范围；
(2)若点在轴上，位于原点右侧，且，求．
23．如图，在矩形中，点G，H是对角线上的两点，且，过的中点O作交于点E，交于点F．

(1)求证：；
(2)若，请你判断四边形的形状，并说明理由．
24．某水果批发商场经销一种水果，如果每千克盈利5元，每天可售出200千克． 经市场调查发现，在进价不变的情况下，若每千克涨价1元，销售量将减少10千克
设每千克涨价x元，销售量为y千克
(1)求出y与x的函数关系；
(2)当涨价多少元时，该商场每天获得的利润最大？最大利润为多少元？
(3)现该商场要保证每天盈利1500元，同时又要让顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？
(4)为了在该批水果保质期内尽快销售完，且又要保证每天盈利不低于1500元，那么涨价多少元时可使销售量最大？最大销售量是多少？
25．在中，，，，依次作正方形，正方形，正方形，…，正方形，顶点，，，…，在边上，顶点，，，…，在边上．
【探究】
(1)正方形的边长为______；
(2)正方形的边长______；
(3)写出正方形的边长______（用含的代数式表示）．
26．已知，在菱形中，对角线，相交于点，，．延长至点，使，连接．点从点出发，沿方向向点运动，速度为，过点作垂足为点交于点；点从点出发，沿方向向点运动，速度为，过点作，交于点，当点停止运动时，点也停止运动，设运动时间为（），解答下列问题：
(1)当时，求的值；
(2)设六边形的面积为，求与的函数关系式；
(3)是否存在某一时刻，使点在的平分线上？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．
参考答案与解析
1．B
【分析】先求出平移后的抛物线的顶点坐标，再利用顶点式抛物线解析式写出即可．
【详解】抛物线的顶点坐标为，
向左平移1个单位，向下平移1个单位后的抛物线的顶点坐标为，
∴平移后的抛物线的解析式为．
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，根据规律利用点的变化确定函数解析式是解题的关键．
2．B
【分析】根据题意，可以得到白球的频率，然后用球的总数乘这个频率，即可估计出白球的个数．
【详解】解：由题意可得，
盒子中白色球的有：（个），
故选：B．
【点睛】本题考查利用频率估计概率，解答本题的关键是明确题意，计算出白球的个数．
3．C
【分析】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
利用根的判别式的意义得到，然后对各选项进行判断即可．
【详解】解：∵方程有两个不相等的实数根，，
A、若，不符合题意；
B、若，不符合题意；
C、若，符合题意；
D、若，不符合题意．
故选：C．
4．A
【分析】先根据函数解析式中的比例系数k确定函数图象所在的象限，再根据各象限内点的坐标特点及函数的增减性解答．
【详解】解：∵反比例函数中，，
∴此函数图象在二、四象限，
∵ ，
∴点在第二象限，
∵函数图象在第二象限内为增函数，
∴，
∵，
∴在第四象限，
∴，
∴ 的大小关系是，
故选：A．
【点睛】本题考查了由反比例函数图象的性质判断函数图象上点的坐标特征，同学们应重点掌握．关键是根据反比例函数的增减性解题．
5．C
【分析】据主视图是从正面看到的图形判定即可．
【详解】该几何体的主视图是，
，
故选C．
【点睛】本题主要考查了几何体的三种视图和学生的空间想象能力，正确掌握观察角度是解题关键．
6．C
【分析】连接．利用格点和勾股定理求出，，，利用勾股定理的逆定理可证是直角三角形，再利用正切的定义即可求出的值．
【详解】解：如图，连接．
，，，
，
是直角三角形，，
，，
，
故选C．
【点睛】本题考查勾股定理与格点问题，勾股定理的逆定理，正切的定义等，解题的关键是利用格点构造直角三角形．
7．A
【分析】连接，设正六边形的边长为a，由正六边形的性质及点P的坐标可求得a的值，即可求得点M的坐标．
【详解】解：连接，如图，设正六边形的边长为a，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∵点P的坐标为，
∴，
即；
∴，，
∴点M的坐标为．
故选：A．

【点睛】本题考查了坐标与图形，正六边形的性质，勾股定理，含30度角直角三角形的性质等知识，掌握这些知识是解题的关键．
8．A
【分析】本题主要考查几何体的三视图判断几何体形状及表面积的计算，根据三视图判断出几何的构成是关键．
先根据主视图和俯视图可知该几何体的地步是四棱柱，上面是圆柱体，再根据几何体的表面积公式计算可得．
【详解】解：根据主视图和俯视图可知该几何体的底部是四棱柱，上面是圆柱体，
∴几何体的表面积为，
故选：A．
9．A
【分析】连接、，如图，根据正方形的性质得，，，，则，再利用勾股定理计算出，然后根据直角三角形斜边上的中线求CH的长．
【详解】解：连接、，如图，
∵四边形和四边形都是正方形，，，
∴，，，，
∴，
在中，，
∵H是的中点，
∴ ．
故选A．
【点睛】本题考查了正方形的性质：正方形的四条边都相等，四个角都是直角；正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质．两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形．也考查了直角三角形斜边上的中线性质及勾股定理，二次根式的化简．
10．D
【分析】由正方形的性质可知，，得出，结合题意可得出，即证明，从而可用“”证明，故①正确；根据等腰直角三角形的性质得出，结合全等的性质可得，进而即可求出，故②正确；过点B作，交延长线于点G，则的长即为点B到直线的距离．根据勾股定理可求出，从而可求出．又易证为等腰直角三角形，即得出，故③正确；由全等的性质可得，即得出，结合三角形的面积公式即可求出，故④正确．
【详解】∵四边形是正方形，
∴，，
∴．
∵，
∴，
∴．
又∵，
∴，故①正确；
∵，
∴．
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，故②正确；
如图，过点B作，交延长线于点G，则的长即为点B到直线的距离．

∵，，
∴．
∵，，
∴．
∵，
∴，
∴，故③正确；
∵，
∴，
∴．
∵，，
∴，故④正确．
故选D．
【点睛】本题考查正方形的性质，勾股定理，三角形全等的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质等知识．熟练掌握上述知识，并能够正确作出辅助线是解题关键．
11．
【分析】依据比例的性质，即可得到a=b，再代入分式化简计算即可．
【详解】解：∵，
∴a=5a-5b，
∴a=b，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了比例的性质，解题时注意：内项之积等于外项之积．
12．1
【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握几个特殊角的三角函数值．
将特殊角的三角函数值代入求解．
【详解】解：
故答案为：1．
13．5980（1－）2＝4698
【分析】根据原售价×(1-降低率） =降低后的售价，然后列出方程求解即可．
【详解】解：由题意可得：5980（1－x）2＝4698，
故答案为：5980（1－x）2＝4698．
【点睛】本题考查一元二次方程的应用，解题关键是根据原售价×(1-降低率) =降低后的售价列出方程．
14．6
【分析】根据题意，画出示意图，易得：Rt△EDC∽Rt△FDC，进而可得；即DC2=ED FD，代入数据可得答案．
【详解】根据题意，作△EFC，
树高为CD，且∠ECF=90°，ED=3，FD=12，
易得：Rt△EDC∽Rt△DCF，
有，即DC2=ED×FD，
代入数据可得DC2=36，
DC=6，
故答案为6．
15．26
【分析】利用俯视图，在上面写出最多或最少时小正方体的个数，可得结论．
【详解】解：最多有：（个，最少有：（个，
（个，
∴n的最小值与最大值的和为26．
故答案为：26．
【点睛】本题考查三视图，解题的关键是理解三视图的定义，属于中考常考题型．
16．①②⑤
【分析】①根据函数图象分别判断a、b、c的正负，求出的正负；
②将方程转化为函数与x轴的交点，利用已知交点和对称轴找出另一交点的范围；
③根据二次函数图象的性质：当图象开口向上，离对称轴越近的点y值越小；
④用a来表示改变函数解析式，根据图象，令，得到，即，因为，所以得出；
⑤化简不等式，用a表示b，根据及不等式的性质得到只含有m的不等式，解不等式即可．
【详解】解：①根据图象可知，
∵对称轴是直线，
，即，，．故①正确．
②方程，即为二次函数与x轴的交点，
根据图象已知一个交点，关于对称，
∴另一个交点．
故②正确．
③∵对称轴是直线，
，
∴点离对称轴更近，，
故③错误．
④，，，
根据图象，令，，，，，
故④错误．
⑤，，
即证：，，
∴m为任意实数，恒成立．
故⑤正确．
综上①②⑤正确．
【点睛】本题以二次函数为背景考查了二次函数图象与系数的关系，考察查学生在函数图象中数形结合的能力．运用待定系数法，二次函数图象与x轴的交点，利用图象求出a、b、c的范围以及用特殊值法代入解析式中得到特殊的式子是解决问题关键．这类题型是中考常考题，很有参考价值．
17．见解析
【分析】作BF平分∠ABC交AC于F，作线段BF的垂直平分线交AB于G，交BC于E．
【详解】解：如图，四边形BEFG即为所求作．
【点睛】本题考查作图 应用与设计作图，解题的关键是是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
18．(1)且
(2)，
【分析】（1）根据题意，可得，注意一元二次方程的系数问题，即可解答，
（2）将代入，利用配方法解方程即可．
【详解】（1）解：依题意得：，
解得且；
（2）解：当时，原方程变为：，
则有：，
，
，
方程的根为，．
【点睛】本题考查了根据根的情况判断参数，用配方法解一元二次方程，熟练利用配方法解一元二次方程是解题的关键．
19．（1）；（2）不公平，规则及理由见解析
【分析】（1）利用树状图法列举出所有可能，进而求出概率；
（2）利用概率公式进而得出甲、乙获胜的概率即可得出答案．
【详解】解：（1）列表如下：
1 2 3 4
1 0 1 2 3
2 ﹣1 0 1 2
3 ﹣2 ﹣1 0 1
∵共有12种等可能的结果，其中两个数的差为0的情况占3种，
∴P（两个数的差为0）＝．
（2）∵两个数的差为非负数的情况有9种，
∴P（甲获胜）＝，P（乙获胜）＝．
∵P（甲获胜）＞P（乙获胜），
∴这样的规则不公平
可将规则改为：两个数的差为正数时，甲获胜，否则，乙获胜．
此时P（甲获胜）＝P（乙获胜）＝．
【点睛】本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个参与者取胜的概率，概率相等就公平，否则就不公平．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
20．(1)；
(2)第分钟注意力更集中；
(3)能达到，理由见解析．
【分析】本题考查了函数的应用．解题的关键是根据实际意义列出函数关系式，从实际意义中找到对应的变量的值，利用待定系数法求出函数解析式，再根据自变量的值求算对应的函数值．
（1）分别从图象中找到其经过的点，利用待定系数法求得函数的解析式即可；
（2）根据上题求出的和的函数表达式，再分别求第5分钟和第30分钟的注意力指数，最后比较判断；
（3）分别求出注意力指数为时的两个时间，再将两时间之差和比较，大于则能讲完，否则不能．
【详解】（1）解：当时，设线段所在的直线的解析式为，
把代入得，，
∴．
当时，，
当时，
设C、D所在双曲线的解析式为，
把代入得，，
∴，
∴y与x之间的函数关系为：；
（2）当时，，
当时，
∴，
∴第分钟注意力更集中．
（3）能达到；
令，
∴，
∴，
令，
∴，
∴
∵，
∴经过适当安排，老师能在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目．
21．120m
【分析】延长交于点，设，分别解和，用含的式子表示出的长，利用，求出的值，进一步计算即可．
【详解】解：延长交于点，由题意，可知：，四边形为矩形，

∴，
设，则：，
在中，，
在中，，
∴，
∴，
∴．
答：该信号发射塔顶端到地面的高度为120m．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用．解题的关键是构造直角三角形．
22．(1)一次函数的关系式为；或
(2)
【分析】本题考查一次函数和反比例函数图象的交点，掌握一次函数、反比例函数图象上点的坐标特征是正确解答的关键．
（1）把点代入可求出的值，确定反比例函数关系式；进而求出点的坐标，再把点，点代入一次函数，求出，的值，进而确定一次函数关系式；然后根据两个函数的图象和交点坐标可直观得出一次函数的值大于反比例函数的值时的取值范围；
（2）根据三角形的面积公式进行计算即可．
【详解】（1）反比例函数的图象过，
，
反比例函数的关系式为，
又也在反比例函数的图象上，
，
点，
一次函数的图象过点，点，
，
解得，
一次函数的关系式为；
由两个函数图象和交点坐标可知，一次函数的值大于反比例函数的值时的取值范围为或；
（2）设直线与x轴的交点为C，连接，如图，

，
，
，
，
把代入得，，
解得，
，
，，
，，
．
23．(1)见解析
(2)正方形，理由见解析
【分析】（1）由“”可证，可得，由“”可证；
（2）由全等三角形的性质可得，，可证，可得四边形是平行四边形，由正方形的判定可证四边形是正方形．
【详解】（1）证明：∵四边形是矩形，
∴，，
∴，
在和中，，
∴，
∴，
在和中，，
∴；
（2）四边形是正方形，理由如下：
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是正方形．
【点睛】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，正方形的判定，证明是解题的关键．
24．(1)
(2)当涨价7.5元时，该商场每天获得的利润最大，最大利润为1562.5元
(3)应涨5元
(4)涨价5元时可使销售量最大 ，最大销售量为190元
【分析】（1）根据题意，列出函数关系式，即可求解；
（2）设商场每天获得的利润为w元，根据题意列出函数关系式，利用二次函数的性质，即可求解；
（3）根据题意，列出方程，即可求解；
（4）根据题意，列出不等式，可得，再跟一次函数的性质，即可求解．
【详解】（1）解：根据题意： ；
（2）解：设商场每天获得的利润为w元，根据题意得：
∴当涨价7.5元时，该商场每天获得的利润最大，最大利润为1562.5元 ；
（3）解：
即，
解得：，
∵要顾客得到实惠，
∴，
∴
（4）解：
即 ，
解得：，
，
，
∴y随x的增大而减少，
∴涨价5元时可使销售量最大 ，最大销量为150千克．
【点睛】本题主要考查了一次函数，一元二次方程，二次函数的实际应用，明确题意，准确得到数量关系是解题的关键．
25．(1)；
(2)；
(3)．
【分析】本题侧重考查知相似三角形的判定与性质、及正方形的性质等知识，掌握其性质定理是解决此题的关键．
（1）根据题意可得，进而可知，根据相似三角形的性质可得，设正方形的边长为x，接下来将已知线段的长度代入比例中，求出x的值即可；
（2）根据（1）中的方法可得，所以有，设正方形的边长为y，代入比例中，求出x的值即可；
（3）根据（1）和（2）的规律得到正方形的边长与n之间的关系即可．
【详解】（1）解：∵四边形是正方形，
，
，
，
，
设正方形的边长为x，
，
，
解得，
即正方形的边长为；
（2）由（1）得，，
设正方形的边长为y，
同理（1），得到，
得到，
解得，
即正方形的边长为．
（3）根据（1）和（2）的规律得到正方形的边长与n之间的关系为：．
26．(1)；
(2)；
(3)不存在，理由见详解．
【分析】（1）当时，，构建方程求解；
（2）根据，求解即可；
（3）作于M，利用角平分线的性质求出时t的值即可得出结论．
【详解】（1）存在．
理由：当时．，
（2）解：过点H作于点J．
∵四边形是菱形，
，
，
，
，
即
，
（3）不存在，理由如下：
理由：作于M，
∵四边形是菱形，
，
，
，
；即，
当点在的平分线上时，
，
，
，
，
，
，
，，
所以不存在某一时刻，使点在的平分线上．
【点睛】本题属于四边形综合题，考查了菱形的性质，平行四边形的判定，解直角三角形等知识，解题关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．

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