资源简介

(共22张PPT)
第01讲 计数原理
高考一轮复习
2024
01
02
03
04
目录
CONTENTS
考情分析
网络构建
知识梳理
题型归纳
真题感悟
01
PART ONE
考情分析
稿定PPT
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02
考点要求 考题统计 考情分析
（1）理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理． （2）会用分类加法计数原理和分步乘法计数原理分析和解决一些简单的实际问题． 2020年上海卷第10题，5分 2016年上海卷第8题，3分 今后在本节的考查形式依然以选择或者填空为主，以考查基本概念和基本方法为主，难度中等偏下，与教材相当．
02
PART ONE
网络构建
03
PART ONE
知识梳理
题型归纳
两个计数原理
(1)分类加法计数原理：完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝_____种不同的方法.
(2)分步乘法计数原理：完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝_____种不同的方法.
m＋n
m×n
常用结论
两个计数原理的区别与联系
分类加法计数原理 分步乘法计数原理
相同点 用来计算完成一件事的方法种数 不同点 分类、相加 分步、相乘 每类方案中的每一种方法都能独立完成这件事 每步依次完成才算完成这件事情 (每步中的每一种方法不能独立完成这件事) 注意点 类类独立，不重不漏 步步相依，缺一不可 【例1】（2023·全国·高三专题练习）如果一条直线与一个平面垂直，那么称此直线与平面构成一个“正交线面对”.在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是（　　）
A．48 B．18 C．24 D．36
【答案】D
【解析】正方体的两个顶点确定的直线有棱、面对角线、体对角线，
对于每一条棱，都可以与两个侧面构成“正交线面对”，这样的“正交线面对”有（个）；
对于每一条面对角线，都可以与一个对角面构成“正交线面对”，这样的“正交线面对”有12个，
不存在四个顶点确定的平面与体对角线垂直，
所以正方体中“正交线面对”共有（个）.
故选：D
题型一：分类加法计数原理的应用
【对点训练1】（2023·全国·高三专题练习）从1，2，3，4，5，6中选取4个数字，组成各个数位上的数字既不全相同，也不两两互异的四位数，记四位数中各个数位上的数字从左往右依次为a，b，c，d，且要求，则满足条件的四位数的个数为 .
【答案】105
【解析】由题意可知，只用2个不同的数字时，
有（种）选法，
按照位数要求，每种数字组合组成的符合要求的四位数有3个，比如数字1和2，可以构成的四位数有1222，1122，1112，所以共有（个）符合要求的四位数.
只用3个不同的数字时，有（种）选法，
按照位数要求，每种数字组合组成的符合要求的四位数有3个，比如数字1，2，3，可以构成的四位数有1123，1223，1233，所以共有（个）符合要求的四位数.
故符合要求的四位数总共有（个）.
故答案为：105
题型一：分类加法计数原理的应用
【对点训练2】（2023·全国·高三专题练习）已知直线方程，若从0、1、2、3、5、7这六个数中每次取两个不同的数分别作为A、B的值，则可表示 条不同的直线．
【答案】22
【解析】当时，可表示1条直线；当时，可表示1条直线；
当时，A有5种选法，B有4种选法，
可表示条不同的直线．
由分类加法计数原理，知共可表示条不同的直线．
故答案为：22
【解题方法总结】
分类标准的选择
（1）应抓住题目中的关键词、关键元素、关键位置．根据题目特点恰当选择一个分类标准．
（2）分类时应注意完成这件事情的任何一种方法必须属于某一类，并且分别属于不同种类的两种方法是不同的方法，不能重复，但也不能有遗漏．
题型一：分类加法计数原理的应用
【例2】（2023·广东深圳·高三校考阶段练习）甲、乙、丙3个公司承包6项不同的工程，甲承包1项，乙承包2项，丙承包3项，则共有 种承包方式（用数字作答）.
【答案】60
【解析】由题意得，不同的承包方案分步完成，先让甲承包1项，有种，再让乙承包2项，有，剩下的3项丙承包，
所以由分步乘法原理可得共有种方案，
故答案为：60
题型二：分步乘法计数原理的应用
【对点训练3】（2023·全国·高三专题练习）若一个三位数同时满足：①各数位的数字互不相同；②任意两个数位的数字之和不等于9，则这样的三位数共有 个．(结果用数字作答)
【答案】432
【解析】从百位开始讨论：
（1）百位数字为1，十位数字有0,2,3,4,5,6,7,9，（除1,8外所有数字）；
当十位数字为0时，个位数字为2,3,4,5,6,7,（除1,0，8，9外所有数字），所以对应的三位数有种；
（2）百位数字为2,3,4,5,6,7,8,9，情况同（1）；
综上这样的三位数共有：种；
故答案为：432.
题型二：分步乘法计数原理的应用
【对点训练4】（2023·全国·高三专题练习）三棱柱各面所在平面将空间分成不同部分的个数为（ ）
A．18 B．21 C．24 D．27
【答案】B
【解析】三棱柱的三个侧面将空间分成7部分，三棱柱的两个底面将空间分成3部分．
故三棱柱各面所在平面将空间分成不同部分的个数为
．
故选：B．
【解题方法总结】
利用分步乘法计数原理解题的策略
（1）明确题目中的“完成这件事”是什么，确定完成这件事需要几个步骤，且每步都是独立的．
（2）将这件事划分成几个步骤来完成，各步骤之间有一定的连续性，只有当所有步骤都完成了，整个事件才算完成．
题型二：分步乘法计数原理的应用
【例3】（2023·江苏南京·高三校联考阶段练习）从2位男生，3位女生中安排3人到三个场馆做志愿者，每个场馆各1人，且至少有1位男生入选，则不同安排方法有（ ）种
A．16 B．36 C．54 D．96
【答案】C
【解析】当选择一个男生，二个女生时，不同的安排方法有；
当选择二个男生，一个女生时，不同的安排方法有
，
所以不同安排方法有种，
故选：C
题型三：两个计数原理的综合应用
【对点训练5】（2023·上海黄浦·高三上海市敬业中学校考开学考试）三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛，若每人只选择一个项目，则同一个项目最多只有2人参赛的情况共有 种．
【答案】24
【解析】三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛，若每人只选择一个项目，
同一个项目最多只有2人参赛有以下两种情况：
①同一个项目有且仅有两人选择；
②每个项目分别只有一人选择；
有且仅有两人选择的项目完全相同有种；
每个项目分别只有一人选择；种；
故同一个项目最多只有2人参赛的情况共有种.
故答案为：24.
题型三：两个计数原理的综合应用
【对点训练6】（2023·湖北·高三校联考开学考试）从5男3女共8名学生中选出组长1人，副组长1人，普通组员3人组成5人志愿组，要求志愿组中至少有3名男生，且组长和副组长性别不同，则共有 种不同的选法.（用数字作答）
【答案】
【解析】由题意可知，当志愿组有3名男生，2名女生时，有种方法；
当志愿组有4名男生，1名女生时，有种方法，
由分类计数原理得，共有种不同的选法.
故答案为：.
【解题方法总结】
利用两个计数原理解题时的三个注意点
（1）当题目无从下手时，可考虑要完成的这件事是什么，即怎样做才算完成这件事．
（2）分类时，标准要明确，做到不重不漏，有时要恰当画出示意图或树状图．
（3）对于复杂问题，一般是先分类再分步．
题型三：两个计数原理的综合应用
04
PART ONE
真题感悟
1． （2014 重庆）某次联欢会要安排3个歌舞类节目，2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是　　
A．72 B．120 C．144 D．168
2．（2014 辽宁）6把椅子排成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为　　
A．144 B．120 C．72 D．24
3． （2012 北京）从0、2中选一个数字．从1、3、5中选两个数字，组成无重复数字的三位数．
其中奇数的个数为　　
A．24 B．18 C．12 D．6
B
D
B
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