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专题06 幂指对函数的图象与性质（1）-【寒假自学课】（苏教版2019）
专题06 幂指对函数的图象与性质
知识聚焦
考点聚焦
知识点1 根式与指数幂
1、根式
（1）一般地，如果，那么x叫做a的n次方根，其中，且.式子叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数．
（2）的次方根的表示
当n是奇数时，，的值仅有一个，记为当n是偶数，
①时，的有两个值，且互为相反数，记为；
②时，不存在
（3）根式的性质（，且）：；
2、分数指数幂
（1）正分数指数幂：规定：
（2）负分数指数幂：规定：
（3）性质：0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义
3、指数幂的运算性质
（1）无理数指数幂：一般地，无理数指数幂（，为无理数）是一个确定的实数．有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂．
（2）指数幂的运算性质
①． ②． ③．
知识点2 对数与对数运算
1、对数的概念与性质
（1）对数的概念：如果ax＝N（a>0，且a≠1），那么数x叫做以a为底数N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数，logaN叫做对数式.
（2）对数的性质
对数式与指数式的互化：ax＝N x＝logaN（a>0，且a≠1）；
①loga1＝0，②logaa＝1，③alogaN＝N，④ logaaN＝N （a>0，且a≠1）.
指数式与对数式的关系
2、对数的的运算法则：如果a>0，且a≠1，M>0，N>0
①loga（M·N）＝logaM＋logaN ②loga＝logaM－logaN ③logaMn＝nlogaM（n∈R）
3、换底公式
（1）logab＝（a>0，且a≠1，c>0，且c≠1，b>0）
选用换底公式时，一般选用e或10作为底数.
（2）换底公式的三个重要结论
（1）logab＝； （2）logambn＝logab； （3）logab·logbc·logcd＝logad.
知识点3 幂函数的图象与概念
1、幂函数的概念与图象
（1）定义：一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．
（2）幂函数的特征：①xα的系数是1；②xα的底数x是自变量；③xα的指数α为常数．只有满足这三个条件，才是幂函数．形如y＝（2x）α，y＝2x5，y＝xα＋6等函数都不是幂函数．
（3）幂函数的图象：同一坐标系中，幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x－1，的图象（如图）．
2、幂函数的性质
（1）所有的幂函数在（0，＋∞）上都有定义，并且图象都过点（1，1）；
（2）如果α＞0，幂函数的图象过原点，并且在区间[0，＋∞）上单调递增；
（3）如果α＜0，幂函数的图象在区间（0，＋∞）上单调递减，在第一象限内，当x从右边趋向于原点时，图象在y轴右方无限接近y轴，当x从原点趋向于＋∞时，图象在x轴上方无限接近x轴；
（4）在（1，＋∞）上，随幂指数的逐渐增大，图象越来越靠近y轴．
知识点4 指数函数的图象与性质
1、指数函数的概念
（1）定义：一般地，函数（且）叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R，a是指数函数的底数．
（2）注意事项：指数函数的底数规定大于0且不等于1的理由：
①如果，当
②如果，如，当时，在实数范围内函数值不存在．
③如果，是一个常量，对它就没有研究的必要．
2、指数函数的图象与性质
图象
性质 定义域
值域
过定点
单调性 在上是增函数 在上是减函数
奇偶性 非奇非偶函数
3、指数型复合函数值域的求法
（1）形如（，且）的函数求值域
换元法：令，将求原函数的值域转化为求的值域，但要注意“新元”的范围
（2）形如（，且）的函数求值域
换元法：令，先求出的值域，再利用的单调性求出的值域.
知识点5 对数函数的图象与性质
1、对数函数的概念
（1）定义：函数（，且）叫做对数函数，其中x是自变量，定义域为．
（2）特殊的对数函数
①常用对数函数：以10为底的对数函数.
②自然对数函数：以无理数e为底的对数函数.
2、对数函数的图象与性质
a＞1 0＜a＜1
图象
性质 定义域 （0，＋∞）
值域 R
过定点 过定点（1，0），即x＝1时，y＝0
函数值的变化 当0＜x＜1时，y＜0； 当x＞1时，y＞0 当0＜x＜1时，y＞0； 当x＞1时，y＜0
单调性 是（0，＋∞）上的增函数 是（0，＋∞）上的减函数
【小结】当时，图象呈上升趋势；当时，图象呈下降趋势，又当时，a越大，图象向右越靠近x轴；时，a越小，图象向右越靠近x轴.
3、对数型复合函数值域的求法
（1）形如（，且）的函数求值域
换元法：令，先求出的值域，再利用的单调性，再求出的值域.
（2）形如（，且）的函数的值域
换元法:令，先求出的值域，再利用的单调性求出的值域.
考点剖析
考点1 指数式与对数式化简
【例1】（2023·新疆乌鲁木齐·高一校考期末）
1．将化成指数式可表示为（ ）
A． B． C． D．
【变式1-1】（2023·江苏镇江·高一江苏省镇江中学校考期中）
2．若，则（ ）
A． B． C． D．
【变式1-2】（2023·甘肃武威·高一统考阶段练习）
3．已知，则（ ）
A． B．
C． D．
【变式1-3】（2023·广东韶关·高一校考阶段练习）
4．已知，是方程的两根，则等于（ ）
A． B． C． D．
【变式1-4】（2023·湖北·高一洪湖市第一中学校联考阶段练习）
5．求值：
(1).
(2).
考点2 幂指对函数定义与解析式
【例2】（2023·宁夏吴忠·高一校考阶段练习）
6．给出下列函数，其中为指数函数的是（ ）
A． B． C． D．
【变式2-1】（2023·高一课时练习）
7．下列函数，其中为对数函数的是（ ）
A． B． C． D．
【变式2-2】（2023·江西新余·高一校考期中）
8．若函数是指数函数，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
【变式2-3】（2023·云南·高一云南师大附中校考期末）
9．已知函数是幂函数，则 .
【变式2-4】（2023·高一课时练习）
10．已知函数是对数函数，则 ．
考点3 求幂指对函数的定义域
【例3】（2023·山西吕梁·高一校联考阶段练习）
11．已知幂函数的图象过点，则的定义域为（ ）
A． B．
C． D．
【变式3-1】（2023·江苏南京·高一南京师大附中校考期中）
12．已知幂函数的定义域为，且，则的值为（ ）
A． B．0 C．1 D．2
【变式3-2】（2023·四川成都·高一盐道街中学校考期中）
13．函数的定义域为（ ）
A． B．
C． D．
【变式3-3】（2023·贵州毕节·高一校考阶段练习）
14．函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
【变式3-4】（2023·四川绵阳·高一绵阳中学校考期末）
15．函数的定义域是（ ）
A． B．
C． D．且
考点4 求幂指对函数的值域
【例4】（2023·广东云浮·高一云安中学校考阶段练习）
16．函数（且）的值域是，则实数（ ）
A．3 B． C．3或 D．或
【变式4-1】（2023·重庆·高一南开中学校考阶段练习）
17．下列命题中正确的是（ ）
A．函数的值域为 B．函数的值域为
C．函数的值域为 D．函数的值域为
【变式4-2】（2023·高一课时练习）
18．函数在区间上的值域是（　　）
A． B．
C． D．
【变式4-3】（2023·江苏苏州·高一昆山震川高级中学校考阶段练习）
19．已知，则的值域是 ．
【变式4-4】（2023·广东·高一校联考期中）
20．已知函数.
(1)求方程的根；
(2)求在上的值域.
考点5 幂指对函数的图象问题
【例5】（2023·陕西西安·高一校考阶段练习）
21．如图的曲线是幂函数在第一象限内的图象.已知分别取，，，四个值，与曲线、、、相应的依次为（ ）
A．，，， B．，，，
C．，，， D．，，，
【变式5-1】（2023·安徽·高一校联考阶段练习）
22．函数与在同一平面直角坐标系中的图象不可能为（ ）
A． B．
C． D．
【变式5-2】（2023·辽宁阜新·高一阜新市高级中学校考阶段练习）
23．在同一平面直角坐标系中，函数与（且）的图像可能是（ ）
A． B．
C． D．
【变式5-3】（2023·广西柳州·高一柳州高级中学校考期中）
24．要使的图象不经过第一象限，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式5-4】（2023·河南周口·高一周口恒大中学校考期末）
25．已知函数（且，，为常数）的图象如图，则下列结论正确的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
考点6 幂指对函数过定点问题
【例6】（2022·上海·高一市西中学校考期中）
26．不论实数取何值，函数恒过的定点坐标是 ．
【变式6-1】（2023·广东佛山·高一统考期中）
27．函数的图象恒过定点，在幂函数的图象上，则 .
【变式6-2】（2023·海南·高一校考阶段练习）
28．函数（，）的图象经过定点，若点也在函数的图象上，则 .
【变式6-3】（2023·江苏无锡·高一校联考期中）
29．已知函数的图像恒过定点，则函数的图象不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
【变式6-4】（2023·福建莆田·高一校考期中）
30．已知函数的图象恒过定点，若点在一次函数的图象上，其中，，则的最小值为 .
考点7 幂指对函数的单调性问题
【例7】（2023·云南保山·高一腾冲市第一中学校联考阶段练习）
31．下列函数中是增函数的为（ ）
A． B．
C． D．
【变式7-1】（2023·海南海口·高一海南中学校考阶段练习）
32．函数的单调递增区间是（ ）
A． B． C． D．
【变式7-2】（2023·广东佛山·高一校考阶段练习）
33．函数的单调递减区间为（ ）
A． B．
C． D．
【变式7-3】（2023·上海·高一建平中学校考阶段练习）
34．已知幂函数在上是严格减函数，则 .
【变式7-4】（2023·辽宁沈阳·高一沈阳市第十五中学校考阶段练习）
35．已知函数在区间上是增函数，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【变式7-5】（2023·贵州毕节·高一校考阶段练习）
36．函数在区间上单调递增，则实数的取值范围为 .
考点8 幂指对比较大小
【例8】（2023·河南郑州·高一省实验中学校考阶段练习）
37．设，，，则，，的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
【变式8-1】（2023·天津·高一杨柳青第一中学校考期末）
38．已知，，．则（ ）
A． B． C． D．
【变式8-1】（2023·湖北襄阳·高一校考期末）
39．若已知，， ，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
【变式8-2】（2023·四川凉山·高一校联考期末）
40．若，则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【变式8-3】（2023·辽宁沈阳·高一辽宁实验中学校考阶段练习）
41．已知，则的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．A
【分析】根据对数式的含义，将对数式转化为指数式.
【详解】把对数式化成指数式，为．
故选：A．
2．A
【分析】将两边平方得代入所求的式子可得答案.
【详解】将两边平方，得，即，
所以.
故选：A.
3．B
【分析】根据对数的运算性质即可结合换底公式求解.
【详解】，
故选:B.
4．D
【分析】由韦达定理可得：，，再由对数的运算即可求得.
【详解】由韦达定理可得：，.
所以.
故选：D
5．(1)
(2)
【分析】（1）利用指数的运算法则计算即可；
（2）利用对数的运算法则计算即可.
【详解】（1）原式
；
（2）原式
.
6．C
【分析】利用指数函数的定义进行判断即可得解.
【详解】因为指数函数的形式为且，
所以是指数函数，即C正确；而ABD中的函数都不满足要求，故ABD错误.
故选：C.
7．C
【分析】利用对数函数定义，逐项判断作答.
【详解】函数，的真数不是自变量，它们不是对数函数，AB不是；
函数是对数函数，C是；
函数的底数含有参数，而的值不能保证是不等于1的正数，D不是.
故选：C
8．AB
【分析】根据指数函数的定义求解.
【详解】因为函数是指数函数，
所以，解得或.
故选：AB
9．8
【分析】根据幂函数的定义求出参数，得到函数解析式再求值即得.
【详解】函数是幂函数，∴ 所以.
故答案为：.
10．1
【分析】根据对数函数的定义即可得到答案.
【详解】因为函数是对数函数，
则，解得．
故答案为：1.
11．B
【分析】依据题意设出解析式，求出解析式后求解具体函数定义域即可.
【详解】是幂函数，设，将代入解析式，
得，解得，故，则，
故，解得
故选：B
12．C
【分析】根据幂函数定义域得到不等式，结合求出，检验后得到答案.
【详解】因为幂函数的定义域为R，故，
解得，
又，所以，
检验，时，，即，满足题意．
故选：C
13．D
【分析】函数的定义域满足，解得答案.
【详解】函数的定义域满足，解得且.
故答案为：D
14．A
【分析】由被开方数大于等于0及真数大于0计算即可得.
【详解】要使函数有意义需满足，解得，则函数的定义域为.
故选：A.
15．D
【分析】根据已知列出不等式组，求解即可得出答案.
【详解】要使有意义，则应有，
解得且.
故选：D.
16．C
【分析】由指数函数的性质分别对和的情况讨论单调性并求值域，从而列方程组即可得到答案.
【详解】函数（且）的值域为，
又由指数函数的单调性可知，
当时，函数在上单调递减，值域是
所以有，即 ，解得；
当时，函数在上单调递增，值域是
所以有，即 ，解得.
综上所述，或.
故选：C.
17．BCD
【分析】根据指数函数单调性和值域结合二次函数或不等式性质逐项分析判断.
【详解】对于选项A：因为，
且在上单调递减，可得，
所以函数的值域为，故A错误；
对于选项B：令，解得，
可知函数的定义域为，
因为在上单调递增，且，可得，则，
所以函数的值域为，故B正确；
对于选项C：令，则，可得，
因为开口向上，对称轴为，
可得在上单调递增，且，
所以的值域为，
即函数的值域为，故C正确；
对于选项D：由题意可得的定义域为，
因为，即，可得，
所以函数的值域为，故D正确；
故选：BCD.
18．A
【分析】利用函数单调性求值域即可.
【详解】在上是减函数，
，即值域为.
故选：A.
19．
【分析】先由题意求得的定义域，再利用换元法与二次函数的性质即可得解.
【详解】因为，
所以的定义域满足，解得，
因为在上单调递增，所以令，
又，
则，
易知在上单调递增，
则当时，；当时，，
所以的值域为.
故答案为：.
20．(1)
(2)
【分析】（1）利用一元二次方程的解法，结合对数的定义，可得答案.
（2）根据复合函数的性质，结合对数函数、指数函数、二次函数的单调性，可得答案.
【详解】（1）由，可得，整理可得，
分解因式可得，由，解得，则.
（2）由，根据函数在上单调递增，则，
令，，
根据二次函数的性质，则，
由函数在上单调递增，则.
21．A
【分析】根据函数图象在第一象限的单调性和增长速度得到和的值，再将代入和，比较出大小，得到答案.
【详解】由图象可知，曲线在第一象限单调递增，
且增长速度越来越快，故，所以，
曲线在第一象限单调递增，且增长速度越来越慢，故，故，
曲线和在第一象限均单调递减，故，
其中当时，，，而，
故为的图象，为的图象.
故选：A
22．B
【分析】对B选项，根据确定，二次函数开口向下，不满足，其他选项满足类幂函数和二次函数性质，得到答案.
【详解】，当时，二次函数对称轴为，
对选项A：根据确定，二次函数开口向下，对称轴在轴右边，满足；
对选项B：根据确定，二次函数开口向下，不满足；
对选项C：根据确定，二次函数开口向上，对称轴在轴左边，满足；
对选项D：取，则，，满足图像；
故选：B
23．AC
【分析】根据题意，由函数与的图象都过，即可判断D，再由指数函数与对数函数的单调性，即可得到结果.
【详解】函数与的图象都过定点，故D错误；
又因为与单调性相反，故B错误，AC正确.
故选：AC.
24．B
【分析】根据指数函数的相关知识，找到该函数与轴的交点坐标,并结合单调性，只需该点的纵坐标小于等于0即可.
【详解】函数的图象与轴的交点坐标为，且为减函数，
要使图象不经过第一象限，则，解得.
故选：B.
25．D
【分析】根据函数图象及对数函数的性质可求解.
【详解】因为函数为减函数，所以
又因为函数图象与轴的交点在正半轴，所以，即
又因为函数图象与轴有交点，所以，所以，
故选：D
26．
【分析】根据，即可知恒过定点.
【详解】因为，故当，即时，，
即函数恒过定点.
故答案为：.
27．
【分析】根据对数函数性质可得，设幂函数，代入点运算求解即可得，进而可求.
【详解】对于函数，令，解得，此时，
所以函数的图象恒过定点，
设幂函数，
代入可得，解得，
则，所以.
故答案为：.
28．
【分析】根据对数型函数的性质求得，代入的解析式，求得，进而求得.
【详解】由，解得，，所以，
所以，
所以，所以.
故答案为：
29．C
【分析】求出m，n得到的解析式，从而得出结论．
【详解】∵恒过定点
∴，
∴，
∴为减函数，且过点，大致图像如图所示
∴的函数图象不经过第三象限．
故选：C
30．4
【分析】求出函数的图象恒过定点，得到，使用基本不等式求的最小值.
【详解】函数的图象恒过定点，所以 ,
因为，所以，
当时，的最小值为4.
故答案为：4
31．D
【分析】根据基本初等函数的性质逐项判断后可得正确的选项.
【详解】对于A，为上的减函数，A不是；
对于B，为上的减函数，B不是；
对于C，在上不单调，C不是；
对于D，为上的增函数，D是.
故选：D
32．D
【分析】根据对数型复合函数单调性的求法求得正确答案.
【详解】对于函数，解得或，
故函数的定义域为，
函数的开口向上，对称轴为；
函数在上单调递增，
根据复合函数单调性同增异减可知，
的单调递增区间是.
故选：D
33．B
【分析】利用指数型复合函数的单调性求解
【详解】解：令，则t在上递减，在上递增，
又在R上递增，
所以的单调递减区间为，
故选：B
34．
【分析】根据幂函数的定义得求得的值,结合幂函数单调性,即可求解.
【详解】由题意知
当时,,在上不是严格减函数,不符合,舍去;
当时,,在上是严格减函数，符合题意.
.
故答案为：.
35．D
【分析】根据指数型复合函数的单调性，可得关于a的不等式，解不等式即可得答案.
【详解】由题意知函数由复合而成，
在上为增函数，由复合函数的同增异减性，
可知需为R上的增函数，
故，∴，∴或，
故选：D.
36．
【分析】由复合函数的单调性结合对数函数定义域计算即可得.
【详解】由在区间上单调递增，在上单调递增，
故在上单调递增，即有，即，
又在上恒成立，故，即，综上，，
即实数的取值范围为.
故答案为：.
37．D
【分析】计算，，，得到答案.
【详解】，，，
故.
故选：D
38．D
【分析】利用指数函数、对数函数的单调性结合中间值法可得出、、三个数的大小关系.
【详解】因为，，
而，即，所以.
故选：D.
39．A
【分析】根据对数函数单调性结合中间值“”、“2”分析判断.
【详解】因为，且，即；
且，即；
且，即；
所以.
故选：A.
40．A
【分析】根据对数运算整理指数式，结合对数函数与指数函数的单调性，利用中间值法，可得答案.
【详解】由题意可得：，，
由，则，
根据函数在上单调递减，所以，
根据函数在上单调递减，由，则，
根据函数在上单调递增，由，则.
故选：A.
41．C
【分析】根据对数运算和对数函数的单调性得到，，，得到答案.
【详解】；
；
；
故.
故选：C.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

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