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专题09 三角函数图象变换（1）-【寒假自学课】（苏教版2019）
专题9 三角函数图象变换
知识聚焦
考点聚焦
知识点1 函数y＝Asin（ωx＋φ）图象
1、A、φ、ω的含义
（1）A决定了函数的值域以及函数的最大值和最小值，通常称A为振幅.
（2）φ决定了x=0时的函数值，通常称φ为初相，ωx＋φ为相位.
（3）ω决定了函数的周期
2、用五点法画y＝Asin（ωx＋φ）一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示.
x － －＋ －
ωx＋φ 0 π 2π
y＝Asin（ωx＋φ） 0 A 0 －A 0
知识点2 三角函数图象变换
1、振幅变换：要得到函数y＝Asinx（A＞0，A≠1）的图象，只要将函数y＝sinx的图象上所有点的纵坐标伸长（当A＞1时）或缩短（当0＜A＜1时）到原来的A倍（横坐标不变）即可得到．
2、平移变换：要得到函数y＝sin（x＋φ）的图象，只要将函数y＝sinx的图象上所有点向左（当φ＞0时）或向右（当φ＜0时）平行移动|φ|个单位长度即可得到．
3、周期变换：要得到函数y＝sinωx（x∈R）（其中ω＞0且ω≠1）的图象，可以把函数y＝sinx上所有点的横坐标缩短（当时）或伸长（当0＜ω＜1时）到原来的倍（纵坐标不变）即可得到．
4、函数y＝sin x的图象经变换得到y＝Asin（ωx＋φ）的图象的两种途径
5、三角函数图象变换中的三个注意点
（1）变换前后，函数的名称要一致，若不一致，应先利用诱导公式转化为同名函数；
例如：或
（2）要弄清变换的方向，即变换的是哪个函数图象，得到的是哪个函数图象，切不可弄错方向；
（3）要弄准变换量的大小，特别是平移变换中
函数y＝Asin x到y＝Asin（x＋φ）的变换量是|φ|个单位，
函数y＝Asin ωx到y＝Asin（ωx＋φ）时，变换量是个单位．
知识点3 三角函数的应用
1、三角函数模型问题的几种类型
（1）由图象求解析式：首先由图象确定解析式的基本形式，例如：y＝Asin（ωx＋φ），然后根据图象特征确定解析式中的字母参数，在求解过程中还要结合函数性质．
（2）由图象研究函数的性质：通过观察分析函数图象，能得出函数的单调性、奇偶性、对称性、周期性．
（3）利用三角函数研究实际问题：首先分析、归纳实际问题，抽象概括出数学模型，再利用图象及性质解答数学问题，最后解决实际问题．
2、解三角函数应用问题的基本步骤
（1）审清题意：读懂题目中“文字”“图象”“符号”等语言，理解所反映的实际问题的背景，得出相应的数学问题；
（2）建立函数模型：整理数据，引入变量，找出变化规律，运用已掌握的三角函数知识、物理知识及其他相关知识建立关系，即建立三角函数模性；
（3）解答函数模型：利用所学的三角函数知识解答所得到的三角函数模型，求得结果；
（4）得出结论：使所得结论翻译成实际问题的答案，
3、建立三角函数拟合模型的注意事项
（1）在由图象确定函数的解析式时，注意运用方程思想和待定系数法来确定参数．
（2）在已知解析式作图时要用类比的方法将陌生的问题转化成熟悉的问题．
（3）在应用三角函数模型解答应用题时，要善于将符号、图形、文字等各种语言巧妙转化，并充分利用数形结合思想直观地理解问题．
考点剖析
考点1 根据图象求三角函数解析式
【例1】（2023·江苏·高一专题练习）
1．函数的部分图象如图，则（ ）
A． B．
C． D．
【变式1-1】（2023·山东聊城·高一聊城一中校考期中）
2．已知函数的图象的一部分如图1所示，则图2中的函数图象所对应的函数解析式是（ ）

A． B．
C． D．
【变式1-2】（2023·广西玉林·高一统考期末）
3．函数的部分图象如图所示，则它的解析式是（ ）

A． B．
C． D．
【变式1-3】（2023·北京·高一陈经纶中学校考阶段练习）
4．设函数在的图像大致如图所示，则（ ）
A． B． C． D．
【变式1-4】（2023·安徽·池州市第一中学校联考模拟预测）
5．如图，函数的部分图象与轴相交于两点，与轴相交于点，且的面积为，则的值为（ ）

A．1 B．2 C．3 D．4
考点2 同名三角函数图象变换过程
【例2】（2023·贵州贵阳·高二贵阳一中校考阶段练习）
6．为了得到函数的图象，只需把函数图象上所有的点（ ）
A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度
【变式2-1】（2023·北京·高一北京市十一学校校考期末）
7．要得到函数的图象，只要把函数的图象（ ）
A．向左平移个单位； B．向右平移个单位；
C．向左平移个单位； D．向右平移个单位
【变式2-2】（2023·天津·高一统考期末）
8．为了得到函数的图象，可以将函数的图象（ ）
A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度
【变式2-3】（2023·广东佛山·高一佛山市三水区三水中学校考阶段练习）
9．为了得到函数的图象，只要将函数的图象（ ）
A．所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再把得到的图象向左平移个单位长度
B．所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再把得到的图象向左平移个单位长度
C．向左平移个单位长度，纵坐标不变，再把得到的图象上所有点的横坐标缩短到原来的
D．向左平移个单位长度，纵坐标不变，再把得到的图象上所有点的横坐标缩短到原来
【变式2-4】（2023·四川达州·高一校考期中）
10．要得到函数的图象，只要将函数的图象（ ）
A．向右平移个单位 B．向右平移个单位
C．向左平移个单位 D．向左平移个单位
考点3 异名三角函数图象变换过程
【例3】（2023·河南·高二校考开学考试）
11．将函数的图象平移后所得的图象对应的函数为，则进行的平移是（ ）
A．向左平移个单位 B．向右平移个单位 C．向右平移个单位 D．向左平移个单位
【变式3-1】（2022·黑龙江佳木斯·高一校考期末）
12．已知函数的最小正周期为，为了得到函数的图像，只要将的图像（ ）
A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度
【变式3-2】（2023·全国·高一课时练习）
13．已知，，则的图象（ ）
A．与的图象形状相同，位置不同
B．与的图象关于轴对称
C．向右平移个单位长度，得到的图象
D．向左平移个单位长度，得到的图象
【变式3-3】（2023·上海·高一校考期中）
14．把函数的图像适当变动就可以得到图像，这种变动可以是（ ）
A．向右平移 B．向左平移 C．向右平移 D．向左平移
【变式3-4】（2023·河南南阳·高一校联考阶段练习）
15．要得到的图象，只需将函数的图象（ ）
A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度
考点4 求图象变换前后的解析式
【例4】（2023·全国·高一专题练习）
16．把函数的图象上各点向右平移个单位，再把横坐标伸长到原来的2倍，再把纵坐标缩短到原来的倍，所得图象的解析式是，则的解析式是（　　）
A． B．
C． D．
【变式4-1】（2023·福建·高三校联考期中）
17．已知曲线，把上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线，则下列曲线的方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式4-2】（2023·北京·高三北京市大兴区第一中学校考阶段练习）
18．将函数的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将所得图象向左平移个单位，则所得函数图象的解析式是（ ）
A． B．
C． D．
【变式4-3】（2023·四川眉山·高一校考期中）
19．将函数的图像向左平移个单位长度，再将所得图像上各点横坐标变为原来的，纵坐标不变，得到函数的图像，则函数的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
考点5 图象变换前后的重合问题
【例5】（2023·广东梅州·高三校考阶段练习）
20．设函数，将的图象向右平移个单位长度后，所得的图象与原图象重合，则的最小值等于
A． B． C． D．
【变式5-1】（2023·浙江丽水·高三丽水中学校联考期末）
21．将函数的图像向右平移个单位长度得到的图象与原图象重合，则的最小值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
【变式5-2】（2023·全国·模拟预测）
22．若函数的图象向左平移个单位长度后，其图象与函数的图象重合，则的值可以为（ ）
A． B． C． D．
【变式5-3】（2023·辽宁沈阳·高一沈阳市第十一中学校考阶段练习）
23．若把函数的图象向左平移个单位长度，所得到的图象与函数y＝cos ωx的图象重合，则ω的一个可能取值是（ ）
A． B． C． D．2
【变式5-4】（2023·江苏泰州·高一统考期末）
24．将函数（且）的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标保持不变，若所得函数的图象与函数的图象重合，则 .
考点6 由图象变换研究函数性质
【例6】（2023·四川达州·高一万源中学校考期中）
25．把函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，若函数在区间内不存在零点，则的值可以是（ ）
A． B． C．1 D．2
【变式6-1】（2023·江苏盐城·高三校考阶段练习）
26．将函数的图象向左平移个单位长度后得到的函数为奇函数，则实数的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【变式6-2】（2023·河南·高三校联考期中）
27．将函数的图象向左平移个单位长度后关于轴对称，则的值可能为（ ）
A． B． C． D．
【变式6-3】（2023·福建泉州·高一校联考期中）
28．把函数的图象向左平移个单位长度，再把横坐标变为原来的倍（纵坐标不变）得到函数的图象，下列关于函数的说法正确的是（ ）
A．最小正周期为 B．图象的一条对称轴为直线
C．图象的一个对称中心为 D．在区间上的最小值为
考点7 三角函数图象变换综合应用
【例7】（2022·江苏苏州·高一统考期末）
29．已知函数的部分图象如图所示，则下列选项中正确的有（ ）
A．的最小正周期为
B． 是的最小值
C．在区间上的值域为
D．把函数的图象上所有点向右平移个单位长度，可得到函数的图象
【变式7-1】（2023·海南省直辖县级单位·校考模拟预测）
30．如图为函数的部分图象，且，．
(1)求，的值；
(2)将的图象上所有点的横坐标扩大到原来的3倍（纵坐标不变），再向右平移个单位长度，得到函数的图象，讨论函数在区间的零点个数．
【变式7-2】（2023·四川达州·高一万源中学校考阶段练习）
31．如图是函数的部分图象，M、N是它与x轴的两个不同交点，D是M、N之间的最高点且横坐标为，点是线段DM的中点．
(1)求函数的解析式及上的单调增区间；
(2)若时，函数的最小值为，求实数a的值.
【变式7-3】（2023·黑龙江绥化·高一校考阶段练习）
32．已知函数（，，）同时满足下列四个条件中的三个：①当时，函数值为0；②的最大值为；③的图象可由的图象平移得到；④函数的最小正周期为．
(1)请选出这三个条件并求出函数的解析式；
(2)若当时，关于的不等式恒成立，求实数的取值范围．
【变式7-4】（2023·北京·高三人大附中校考阶段练习）
33．某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：
0
x m n p
1 6 1 1
(1)求出实数m，n，p的值；
(2)求出函数的解析式；
(3)将图象向左平移个单位，得到的图象．若为偶函数，求t的最小值．
考点8 三角函数在物理中的应用
【例8】（2023·辽宁沈阳·高一沈阳二中校考阶段练习）
34．已知弹簧上挂的小球做上下振动，它在时间t（s）时离开平衡位置的位移s（cm）满足函数关系式．给出的下列说法中正确的是（ ）．
A．小球开始时在平衡位置上方2cm处
B．小球下降到最低点时在平衡位置下方2cm处
C．经过小球重复振动一次
D．小球振动的频率为
【变式8-1】（2023·云南昆明·高一统考期末）
35．一个单摆作简谐振动位移-时间图象如图所示，S表示离开O的位移（单位：cm），t表示振动的时间（单位：s），则该简谐振动的振幅为 cm，振动的最小正周期为 s．
【变式8-2】（2023·甘肃白银·高一校考期末）
36．主动降噪耳机工作的原理：先通过微型麦克风采集周围的噪声，然后降噪芯片生成与噪声振幅相同 相位相反的声波来抵消噪声（如图所示）.已知某噪声的声波曲线，其中振幅为，且经过点.
(1)求该噪声声波曲线的解析式以及降噪芯片生成的降噪声波曲线的解析式；
(2)求函数的单调递减区间与图象的对称中心.
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．C
【解析】先利用图象中的1和3，求得函数的周期，求得，最后根据时取最大值1，求得，即可得解．
【详解】解：根据函数的图象可得：函数的周期为，
∴，
当时取最大值1，即，
又，所以，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了由的部分图象确定其解析式，考查了五点作图的应用和图象观察能力，属于基本知识的考查．属于基础题.
2．D
【分析】由正弦型函数图象的变换求解即可.
【详解】图1的函数为，周期为.
图2的函数周期为，所以横坐标缩短为原来的，
函数解析式为.
又由题可得图2对应的函数解析式为，
所以函数的图象向右平移个单位长度，
纵坐标均不改变，即可得到图2对应的图象，
所以图2对应的函数解析式为.
故选：D.
3．C
【分析】 依据函数图象和五点法可以解出各参数.
【详解】根据函数的部分图象知，，
又，解得，所以；
由，得，解得，
所以；又，所以，
所以函数．
故选：C．
4．A
【分析】由图可知的范围，从而得到的范围，再由即可得到结果.
【详解】由图可知:，即，①②
结合图像可知，
则，
结合①可知，当时，符合题意.
故选:A
5．B
【分析】由三角形面积求得函数的周期，由周期得参数值．
【详解】根据题意，当时，，
又的面积为，
函数的周期为，可得周期，
故选：B.
6．D
【分析】,根据三角函数的图象变换即可求解.
【详解】，
将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，
故将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象.
故选:D.
7．D
【分析】根据三角函数平移变换规则计算可求解.
【详解】由题意知：，
所以只需的图像向右平移个单位就可以得到的图像，故D项正确.
故选：D.
8．D
【分析】根据三角函数平移变换原则直接判断即可.
【详解】对于A，，A错误；
对于B，，B错误；
对于C，，C错误；
对于D，，D正确.
故选：D.
9．AC
【分析】根据函数图象的变换法则，从两种方式：先平移后伸缩，先伸缩后平移，进行考虑，即可．
【详解】对于A和B，将函数的图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到的图象，再将其向左平移个单位长度，得到，故A正确，B错误；
对于C和D，将函数的图象向左平移个单位长度，纵坐标不变，得到的图象，再将所有点的横坐标缩短到原来的，得到，故C正确，D错误．
故选：AC．
10．A
【分析】根据余弦函数图象的变换性质进行求解即可.
【详解】因为，
所以要得到函数的图象，只要将函数的图象向右平移个单位，
故选：A
11．A
【分析】分析各选项平移后的函数解析式，由此作出判断即可.
【详解】对于A：向左平移个单位可得到，符合；
对于B：向右平移个单位可得到，不符合；
对于C：向右平移个单位可得到，不符合；
对于D：向左平移个单位可得到，不符合；
故选：A.
12．A
【分析】根据最小正周期为可得，进而得到，再根据诱导公式结合三角函数图象平移的性质分析即可.
【详解】因为函数的最小正周期为，
所有，即，
因为，
所以只需将函数图象左平移个单位长度即可得到函数图象.
故选：.
13．ACD
【分析】结合诱导公式变形，利用函数图象平移规律分别判断选择支.
【详解】，
，
选项A，将图象向左移个单位可以得到的图象，
故与的图象形状相同，位置不同，故A选项正确；
选项B，由，且，
故，所以与的图象不关于轴对称，
故B选项错误；
选项C，因为，
所以把余弦曲线向右平移个单位长度，得到正弦曲线，
故C选项正确；
选项D，因为，
把余弦曲线向左平移个单位长度，得到正弦曲线，
故D选项正确.
故选：ACD.
14．D
【分析】根据图象变换的规则及三角公式先将变成，再提取系数3，由平移的规则研究即可.
【详解】，，
函数的图象向左平移可以得到的图象.
故选：D
15．D
【分析】将整理成，然后利用平移变换即可求解.
【详解】由于函数，
故只需将函数的图象向右平移可得函数的图象.
故选：D．
16．A
【分析】利用图像的平移变换和周期变换的结论，根据结果反向变换即可得出结果.
【详解】将上所有点的纵坐标伸长到原来的倍，得到，
再将上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到，
将上所有点向左平移个单位，得到，
故选：A.
17．B
【分析】根据给定的变换求出曲线的方程，再利用诱导公式求解即得.
【详解】依题意，曲线：，B正确；
显然的周期是，则与是不同函数，A错误；
选项CD对应函数的周期都是，它们与是不同函数，CD错误.
故选：B
18．D
【分析】根据图象平移过程写出解析式即可.
【详解】将原函数所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），则，
再将所得图象向左平移个单位，则.
故选：D
19．C
【分析】根据函数图像平移变换和伸缩变换法则，即可得出函数的解析式．
【详解】函数的图像向左平移个单位长度，得函数的图像，
再将图像上各点横坐标变为原来的，纵坐标不变，得到函数的图像.
故选：C
20．C
【详解】由题意将的图象向右平移个单位长度后，所得的图象与原图象重合，说明了是此函数周期的整数倍,得,解得,又,令,得.
21．B
【分析】由题有，据此可得答案.
【详解】由题有，
则，得，结合，得.
故选：B
22．D
【分析】利用三角函数图象的平移变换，代入计算即可.
【详解】由题可得的图象与函数的图象重合，
则，即，，
解得，，故的值可以为.
故选：D．
23．A
【分析】由三角函数图像平移规则，可得到平移后图像的解析式，利用诱导公式可以得到关于的关系式，解之即可解决.
【详解】函数的图象向左平移个单位长度，得到
由可得，即
当时，.
故选：A
24．
【分析】先求出变换之后的函数解析式，然后根据两函数为同一函数，结合诱导公式可得，然后可解.
【详解】将函数（且）的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标保持不变，所得图象的函数为，
所以与为同一函数，
故，即
所以
故答案为：
25．ABC
【分析】先利用三角函数图象变换规律求出的解析式，再由求出的范围，然后由题意可得，且（），从而可求出的范围.
【详解】把函数的图象向左平移个单位长度，得
，
由，得，
因为在区间内不存在零点，所以，得，
（），解得（），
因为，所以或，
所以选项ABC符合条件，D不符合条件，
故选：ABC
26．C
【分析】根据题意，利用三角函数的图象变换，求得，再由为奇函数，求得，进而得到取得最小值.
【详解】由函数，将函数的图象向左平移个单位长度后，
得到函数，
又由为奇函数，所以，解得，
因为，所以当时，取得最小值，最小值为.
故选：.
27．AC
【分析】根据三角函数的图象变换以及正弦函数的性质求解.
【详解】将函数的图象向左平移个单位长度后，
所得函数解析式为，
因为所得函数图象关于轴对称，
所以,即，
当时，的值分别为，
结合选项，所以的值可能为，
故选:AC.
28．AB
【分析】根据三角函数图象平移规律、伸缩变化可得，再逐项判断可得答案.
【详解】把函数的图象向左平移个单位长度，得，
再把横坐标变为原来的倍（纵坐标不变）得，
则函数的最小正周期，故A正确；
因为，所以图象的一条对称轴为直线，故B正确
因为，所以不是函数图象的一个对称中心，故C错误；
当时，，，
所以，故D错误；
故选：AB.
29．ABD
【分析】根据给定的图象求出函数的解析式，再利用正弦型函数的性质逐项判断即可.
【详解】函数的周期，则，
由，得，即，
因此函数解析式为，
对于A，函数的最小正周期为，A正确；
对于B，，B正确；
对于C，当时，，利用正弦函数的性质知，
，得，C错误；
对于D，函数的图象上所有点向右平移个单位长度，
得到函数的图象，D正确.
故选：ABD
30．(1)，
(2)答案见解析
【分析】（1）由周期求出，根据求出；
（2）首先求出的解析式，函数在区间的零点个数即为函数的图象与直线在上的交点个数，由的取值范围，求出的取值范围，再结合余弦函数的图象即可得解.
【详解】（1）根据题意得，，故，，故．
将代入，得，解得，
又，故．
（2）依题意，．
函数在区间的零点个数即为函数的图象与直线在上的交点个数．
当时，，结合余弦函数图象可知，
当时，单调递减，当时，单调递增，
且，，，
作出函数在上的大致图象如图所示．
观察可知，当或时，有个零点；
当时，有个零点；
当或时，有个零点．
31．(1)，
(2)
【分析】（1）由点是线段DM的中点，根据图象确定，再将最值点代入解析式求角，最后利用整体角代换的方法求解单调区间即可；
（2）先求的值域，再利用整体换元法，题目转化为二次函数在闭区间上的最值问题，分类探究即可.
【详解】（1）D是M、N之间的最高点且横坐标为，点是线段DM的中点，
，.
又，.
代入点，
，，
，
，
令，
得的单调递增区间为
又在上的单调递增区间为.
（2）由第（1）问知，
若，则，
令，，对称轴为，
①当，即时，
，解得（舍）；
②当，即时，
，解得；
③当，即时，
，得（舍）.
综上，.
32．(1)选择①②④三个条件，
(2)
【分析】（1）条件③与②④矛盾，故③不符合题意，选择①②④三个条件，由最大值和周期得到，代入得到，可得函数的解析式；
（2）由定义区间讨论单调性，计算，由得实数的取值范围．
【详解】（1）由条件③可知，函数的周期，最大值为1，与②④矛盾，故③不符合题意．
选择①②④三个条件．
由②得，由④中，知，则，
由①知，解得，
又，则．
所求函数表达式为．
（2）由题意知．
若，则．所以先递减再递增．
又，，
所以，所以，即的取值范围为．
33．(1)，，
(2)
(3)
【分析】（1）根据表格列方程，解方程得到，，；
（2）根据表格得到，解方程得到，然后结合（1）中结论即可得到的解析式；
（3）根据图象的平移变换得到，根据为偶函数得到为最值，然后解方程求即可.
【详解】（1）由题意得，解得，所以，，.
（2）由题意得，解得，所以.
（3）由题意得，
因为为偶函数，所以或，即，
即，解得，
因为，所以当时，最小，最小为.
34．BCD
【分析】A选项，即判断时，s的值是否为2；
B选项，即判断s的最小值是否为；
CD选项，由周期，频率计算公式可判断选项正误.
【详解】A选项，时，，即小球开始时在平衡位置上方cm处，故A错误；
B选项，由题可知s的最小值为，即小球下降到最低点时在平衡位置下方2cm处，故B正确；
C选项，由题可知，最小正周期为，即经过小球重复振动一次，故C正确；
D选项，由C选项分析可知周期为，则振动的频率为，故D正确.
故选：BCD
35． 6 4
【分析】根据图象求得振幅以及最小正周期.
【详解】单摆作简谐振动的位移-时间图符合正弦型函数，
由图可知振幅为6，最小正周期为．
故答案为：；
36．(1)，
(2)单调递减区间为，对称中心为
【分析】（1）利用函数的振幅可求得的值，由结合的值，可得出函数的解析式，再利用两个函数的图象关于轴对称可求得函数的解析式；
（2）求出函数的解析式，利用余弦型函数的对称性可求得函数的单调递减区间，利用余弦型函数的对称性可求得函数的对称中心坐标.
【详解】（1）解：因为函数的振幅为，且，则，所以，，
由题意可得，可得，
因为，则，所以，，解得，
所以，.
易知与的图象关于轴对称，所以，.
（2）解：由（1）知，
，
由，可得，
故函数的单调递减区间为.
令，可得，
故函数的图象的对称中心为.
答案第1页，共2页
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