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专题01 集合及其运算1-【寒假自学课】（苏教版2019）
专题01 集合及其运算
知识聚焦
考点聚焦
知识点1 集合的概念与元素特性
1、元素定义：一般地，把研究对象统称为元素，元素常用小写的拉丁字母a，b，c，…表示．
2、集合定义：把一些元素组成的总体叫做集合（简称为集），集合通常用大写的拉丁字母A，B，C，…表示．
3、元素的三大特性
（1）确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的．也就是说，任何一个元素在不在这个集合中是确定的．
（2）互异性：一个给定集合中的元素是互不相同的．也就是说，集合中的元素是不重复出现的．
（3）无序性：给定集合中的元素是不分先后，没有顺序的．
知识点2 元素与集合的关系
1、属于与不属于概念：
（1）属于：如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作a∈A．
（2）不属于：如果a不是集合A的元素，就说a不属于集合A，记作a A．
2、常见数集的记法与关系图
集合 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集
符号 N N*（或N＋） Z Q R
知识点3 集合的表示方法
1、列举法：把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“ ”括起来表示集合的方法叫列举法.
2、描述法：设是一个集合，我们把集合中所有具有共同特征的元素所组成的集合表示为，这种表示集合的方法称为描述法.
知识点4 集合间的基本关系
1、子集、真子集、相等、空集
表示关系 文字语言 符号语言 图形语言
基本关系 子集 集合A的所有元素都是集合B的元素（则） 或
真子集 集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一个元素不属于A 或
相等 集合A，B的元素完全相同
空集 不含任何元素的集合．空集是任何集合A的子集
2、子集个数：如果集合A中含有n个元素，则有
（1）A的子集的个数有2n个．
（2）A的非空子集的个数有2n－1个．
（3）A的真子集的个数有2n－1个．
（4）A的非空真子集的个数有2n－2个．
知识点5 集合的基本运算
1、并集：由所有属于集合或集合的元素组成的集合，称为集合与的并集.
记作：，即.
2、交集：由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为集合与的交集.
记作：，即.
3、补集：对于集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合，称为集合A相对于全集U的补集，记作:，即.
考点剖析
考点1 判断元素与集合的关系
【例1】（2023秋·全国·高一专题练习）
1．给出下列关系：①；②；③；④.其中正确的个数为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式1-1】（2023秋·吉林长春·高一东北师大附中校考阶段练习）
2．已知集合，则必有（ ）
A． B． C． D．
【变式1-2】（2023秋·高一课时练习）
3．已知，那么（ ）
A． B．
C． D．
【变式1-3】（2023秋·全国·高一专题练习）
4．已知集合且，则下列判断不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式1-4】（2023秋·高一课时练习）
5．下列结论中，不正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
考点2 根据元素与集合的关系求参数
【例2】（2023春·甘肃白银·高二校考阶段练习）
6．已知集合，若，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【变式2-1】（2023秋·广东惠州·高三统考阶段练习）
7．集合 ，若且，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【变式2-2】（2023秋·吉林白城·高三校考阶段练习）
8．已知集合中的最大元素为，则实数 .
【变式2-3】（2023秋·甘肃·高一校考阶段练习）
9．已知集合，若，则实数a的可能取值为（ ）
A．－2 B．0 C．2 D．4
【变式2-4】（2023·江苏·高一专题练习）
10．已知集合A中有个元素，，，且当时，，则可能为（　　）
A．
B．
C．
D．或或
考点3 根据集合中元素个数求参数
【例3】（2022·全国·高一专题练习）
11．若集合，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．,
【变式3-1】（2022秋·河北衡水·高一校考阶段练习）
12．已知集合，则满足中有8个元素的的值可能为（ ）
A．6 B． C．8 D．9
【变式3-2】（2023秋·甘肃武威·高一校考阶段练习）
13．已知集合中只有一个元素，则实数a的可能取值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．4
【变式3-3】（2023秋·河南商丘·高一校考阶段练习）
14．若集合中有2个元素，求k的取值范围．
【变式3-4】（2022秋·湖南长沙·高一校考阶段练习）
15．已知全集，.
(1)若中有个元素，求实数的值；
(2)若中有四个元素，求实数的值.
考点4 集合相等及其应用
【例4】（2023秋·贵州遵义·高一校考阶段练习）
16．给出以下几组集合，其中是相等集合的有（ ）
A．，
B．，
C．，
D．，
【变式4-1】（2022秋·全国·高一阶段练习）
17．下列集合中，与相等的是（　　）
A． B．
C． D．
【变式4-2】（2023秋·宁夏银川·高一校考阶段练习）
18．已知集合，，，则的值为（ ）
A．3 B． C．1 D．
【变式4-3】（2023·全国·高一专题练习）
19．已知实数集合若，则（　　）
A． B．0 C．1 D．2
【变式4-4】（2023秋·山东菏泽·高一校考阶段练习）
20．已知，，若集合，则的值为（ ）
A． B． C．1 D．2
考点5 判断集合与集合之间的关系
【例5】（2023·全国·高一专题练习）
21．已知集合，则下列关系正确的是（ ）
A． B． C． D． A
【变式5-1】（2023秋·江西·高三统考开学考试）
22．已知全集，若集合满足，则（ ）
A． B．
C． D．
【变式5-2】（2023秋·山西晋城·高三校考阶段练习）
23．设集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【变式5-3】（2021秋·高一课时练习）
24．已知集合，则M，P之间的关系为（　　）
A．M=P B．
C． D．
【变式5-4】（2023秋·全国·高一专题练习）
25．已知集合，，，则集合M，S，P的关系为（ ）
A． B． C． D．
考点6 根据集合之间的关系求参数
【例6】（2023秋·江苏连云港·高一校考开学考试）
26．已知集合，，若，则实数a的值可以是（ ）
A．0 B． C．2 D．
【变式6-1】（2023秋·甘肃武威·高一校考阶段练习）
27．已知集合，，若，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式6-2】（2023秋·江苏连云港·高一校考开学考试）
28．已知集合，，且，则实数m的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【变式6-3】（2023·上海·高一专题练习）
29．已知，.
(1)若是的子集，求实数的值；
(2)若是的子集，求实数的取值范围.
【变式6-4】（2022秋·河南商丘·高一校考阶段练习）
30．已知集合，集合．
(1)当时，求；
(2)若，求实数的取值范围．
考点7 求集合的子集与真子集
【例7】（2024秋·江西·高三校联考阶段练习）
31．已知集合，，则的真子集的个数为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．15
【变式7-1】（2023秋·辽宁大连·高一校考阶段练习）
32．设集合，，记，则集合的真子集个数是（ ）
A．3 B．4 C．7 D．8
【变式7-2】（2023秋·四川南充·高一校考阶段练习）
33．已知集合，，则集合的真子集的个数为（ ）
A．3 B．6
C．7 D．8
【变式7-3】（2023秋·江苏泰州·高一校考阶段练习）
34．满足 的集合的个数有（ ）个
A．8 B．7 C．6 D．5
【变式7-4】（2023秋·山东菏泽·高一校考阶段练习）
35．（多选）若{1,2} B {1,2,3,4}，则B=（ ）
A．{1,2} B．{1,2,3} C．{1,2,4} D．{1,2,3,4}
考点8 空集的运算及其性质
【例8】（2022秋·河北承德·高一校考期末）
36．有下列关系式：①；②；③；④；⑤ ；⑥.其中不正确的是（ ）
A．①③④ B．②④⑤ C．②⑤⑥ D．③④
【变式8-1】（2022秋·吉林·高一校考阶段练习）
37．下列说法正确的是（ ）
A． B． C． D．
【变式8-2】（2023·全国·高一专题练习）
38．给出下列说法：
①空集没有子集；
②任何集合至少有两个子集；
③空集是任何集合的真子集；
④若，则．
其中正确的说法有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【变式8-3】（2023秋·江西新余·高一校考开学考试）
39．以下四个选项表述正确的有（ ）
A． B．
C． D．
【变式8-4】（2022秋·甘肃酒泉·高一校考期中）
40．已知集合，则实数k的取值范围是 .
试卷第2页，共2页
试卷第1页，共1页
参考答案：
1．B
【分析】根据给定信息，利用元素与集合的关系判断作答.
【详解】显然都是实数，①正确，②错误；
是自然数，③正确；是无理数，不是有理数，④错误，
所以正确的个数为2.
故选：B
2．C
【分析】先求出集合，再逐个分析判断
【详解】因为，
因为，，，，
所以C正确，ABD错误，
故选：C
3．A
【分析】根据元素与集合的关系即可求解.
【详解】由题意可得
所以，
故选：A
4．D
【分析】根据题意可知集合表示奇数集，集合表示偶数集，是奇数，是偶数，然后依次对，，，进行判断即可得出结果.
【详解】根据集合可知，
集合表示奇数集，集合表示偶数集，又，所以是奇数，是偶数；
对于A，因为两个奇数的乘积为奇数，所以，即A正确；
对于B，因为一个奇数和一个偶数的乘积为偶数，所以，即B正确；
对于C，因为两个奇数的和为偶数，所以，即C正确；
对于D，因为两个奇数与一个偶数的和为偶数，所以，所以D错误；
故选：D
5．AB
【分析】根据元素与集合的关系一一判定即可.
【详解】在A中，当时，显然不成立．
对于B，当，其平方数仍为整数, 显然不成立；
对于C,当，其绝对值仍为有理数, 正确；
对于D项,当，其立方仍为实数，正确.
故选：AB.
6．A
【分析】根据条件，利用元素与集合的关系即可求解.
【详解】因为集合，且，
所以，即，解得或.
故选：A.
7．B
【分析】根据元素与集合的从属关系列出限制条件可得答案.
【详解】因为且，所以且，解得.
故选：B.
8．1
【分析】依题意可得，解得，再检验即可.
【详解】因为，所以，
所以，解得或，
显然不满足集合元素的互异性，故舍去，经检验符合题意．
故答案为：
9．AB
【分析】根据元素与集合的关系，列方程求解，代入检验即可.
【详解】当，即时，，符合题意；
当，即时，不符合题意；
当，即或时．若，不符合题意；若，，符合题意．
故选:AB．
10．AB
【分析】根据元素与集合的关系分类讨论即可.
【详解】对于A，当时，，满足题意，A正确；
对于B，当时，，满足题意，B正确；
对于C，当时，，不合题意，C错误；
对于D，由ABC知：或，D错误.
故选：AB.
11．C
【分析】根据空集的定义结合一元二次方程解的性质运算即可.
【详解】，∴方程无解，即，
解得：，则实数的范围为，
故选：C.
12．ABC
【分析】根据题意依次讨论当为，，，时，集合中的元素个数，即可判断．
【详解】当时，满足的有6，3，2，1，，，，，即集合中有8个元素，符合题意，故A可选，
当时，满足的有6，3，2，1，，，，，即集合中有8个元素，符合题意，故B可选，
当时，满足的有8，4，2，1，，，，，即集合中有8个元素，符合题意，故C可选，
当时，满足的有9，3，1，，，，即集合中有6个元素，不符合题意，故D不可选，
故选：ABC．
13．ABD
【分析】分别按一次方程、二次方程讨论，即可确定的取值.
【详解】当时，，解得，所以，符合题意；
当时，由题意，得，解得或.
故选：ABD
14．且．
【分析】根据一元二次方程根的情况即可由判别式求解.
【详解】由题意得且，解得且.
故实数k的取值范围为且．
15．(1)
(2)
【分析】（1）根据中的元素个数可得集合中有两个元素，即二次方程有两个不等的实根，利用根与系数关系可得；
（2）根据中的元素个数，可得集合中只有一个元素，即二次方程只有一个解，可得.
【详解】（1）由中有个元素，集合中有两个元素，
即方程有两个不等的实根，，
则，且，，
则，；
（2）由中有四个元素，则集合中有且只有一个元素，
则方程有且只有一个实数根，
则，且，
则，.
16．CD
【分析】利用集合相等的定义即可判断各选项.
【详解】对于A，是点集，是数集，，故A错误；
对于B，，故B错误；
对于C，，，故C正确；
对于D，，
，故D正确.
故选：CD.
17．BC
【分析】化简各选项中的集合，利用集合相等的定义直接判断．
【详解】对于A选项，，A不满足条件；
对于B选项，，B满足条件；
对于C选项，，C满足条件；
对于D选项，，D不满足条件.
故选：BC.
18．A
【分析】由集合相等求解即可.
【详解】因为集合，，，
所以，即，
所以，因为，所以的值为.
故选：A .
19．A
【分析】根据，可得两集合元素全部相等，分别求和,再根据集合元素的互异性可确定a，b的值，进而得出答案.
【详解】由题意可知，两集合元素全部相等，
得到或又根据集合互异性，可知，
解得或（舍），所以
故选:A.
20．B
【分析】利用集合相等，求出，再根据互异性求出的取值情况并检验即可.
【详解】根据题意,,故，则,
则，由集合的互异性知且，
故，则， 即或（舍），
当时，，符合题意，
所以.
故选：B.
21．CD
【分析】根据已知集合判断两个集合间关系判断选项即可.
【详解】因为集合，所以根据子集及真子集的定义可知 A .
故选：CD.
22．D
【分析】解一元二次不等式化简全集，求出集合M，再利用元素下集合、集合与集合间的关系逐项判断作答.
【详解】依题意，，又，则或，
因此，，不是的子集，，即ABC错误，D正确.
故选：D
23．C
【分析】根据集合包含关系的定义交集定义判断.
【详解】对任意，则存在，使得，显然，因此，
但，而，所以是的子集也是真子集，四个选项中只有C正确，
故选：C．
24．B
【分析】化简集合，根据集合的关系即得.
【详解】因为，
，
所以.
故选：B.
25．B
【分析】通过整理集合中的表达式，由此确定正确答案.
【详解】∵，
，
，
因为，所以，
∴.
故选：B.
26．ABD
【分析】先求出集合，再利用条件，即可求出结果.
【详解】由，得到或，即，
因为，由，
当时，无解，此时，满足题意，
当时，得到，所以或，得到或，
故选：ABD.
27．C
【分析】分类讨论B集合为空集及非空分别列出不等式计算求解即可.
【详解】．
若，则，解得，符合题意；
若时，则解得．
综上，实数m的取值范围是．
故选:C．
28．A
【分析】先求出，再根据条件，即可求出结果.
【详解】因为，所以，
又，，所以，得到，
故选：A.
29．(1)
(2)或
【分析】（1）首先求出集合，依题意可得，则和为方程的两根；
（2）分、为单元素集合、为双元素集合三种情况讨论，分别求出参数的取值范围.
【详解】（1）因为，
若是的子集，则，
所以，解得.
（2）若是的子集，则.
①若为空集，则，解得；
②若为单元素集合，则，解得.
将代入方程，得，解得，所以，符合要求；
③若为双元素集合，，则.
综上所述，或.
30．(1)
(2)
【分析】（1）利用集合的并集运算即可得解；
（2）由，利用数轴法建立关于的不等式组求解即可.
【详解】（1）当时，，已知，
由.
（2）,
若，则，解得.
31．B
【分析】首先求出集合，再根据交集的定义求出，最后根据含有个元素的集合的真子集为个可得解.
【详解】因为，
又，
所以，所以的真子集有个.
故选：B
32．C
【分析】可求出集合，然后进行并集的运算即可求出集合，然后根据真子集个数的计算公式求 的真子集个数即可.
【详解】.
集合的真子集个数是：.
故选：C.
33．C
【分析】根据题意求出集合，从而可求出真子集的个数
【详解】因为，，
所以，
所以集合的真子集的个数为，
故选：C
34．B
【分析】根据子集、真子集的概念判断出集合含有的可能情况.
【详解】集合A中一定含有1,2,3，可能含有4,5,6，但不能同时含有4,5,6.由此可得到满足条件的集合A的个数就是集合的真子集个数，共有个.
故选：B
35．ABC
【分析】根据子集与真子集的定义即可求解．
【详解】∵{1,2} B {1,2,3,4}，
∴B={1,2}或B={1,2,3}或B={1,2,4}，
故选：ABC
36．D
【分析】根据集合相等的定义、子集的定义、空集的性质，结合元素与集合的关系进行判断即可.
【详解】对①：因为集合元素具有无序性，显然①正确；
对②：因为集合，故正确，即②正确；
对③：空集是一个集合，而集合是以为元素的一个集合，因此，故③不正确；
对④：是一个集合，仅有一个元素0，但是空集不含任何元素，于是，故④不正确；
对⑤：由④可知，非空，于是有 ，因此⑤正确；
对⑥：显然成立，因此⑥正确．
综上，本题不正确的有③④，
故选：D
37．C
【分析】根据元素与集合、集合与集合之间的关系，以及空集的定义，逐项分析判断即可．
【详解】对于A：，选项A错误；
对于B：是无理数，，选项B错误；
对于C：是它本身的子集，即，选项C正确；
对于D：仅当A为空集时，成立，否则不成立，选项D错误．
故选：C．
38．A
【分析】根据空集的定义和子集和真子集的定义即可得出结论.
【详解】由于任何一个集合都是它本身的子集，空集的子集还是空集，故①不正确；
由于空集的子集还是空集，所以空集的子集只有一个，故②不正确；
由于空集的子集还是空集，但不是真子集，故③不正确；
由于，则 或，故④不正确；
综上，正确的说法有0个.
故选：A.
39．BC
【分析】由元素与集合的关系判断AD；由空集的规定与真子集概念判断B；由子集的概念判断C.
【详解】对选项A，由不是的元素，故A错误；
对选项B，由规定：空集是任何集合的子集，则且存在，故 ，B正确；
对选项C，由子集概念，中的任意一个元素都是的元素，则，C正确；
对选项D，由不是的元素，D错误.
故选：BC.
40．
【分析】根据空集的定义，要使集合，则，解之即可求解.
【详解】∵，∴，
解得，因此实数k的取值范围是.
故答案为：.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

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