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专题02 常用逻辑用语1-【寒假自学课】（苏教版2019）
专题02常用逻辑用语
知识聚焦
考点聚焦
知识点1 充分条件与必要条件
【注意】（1）前提p q，有方向，条件在前，结论在后；（2）p是q的充分条件或q是p的必要条件；
（3）改变说法：“p是q的充分条件”还可以换成q的一个充分条件是p；
“q是p的必要条件”还可以换成“p的一个必要条件是q”．
知识点2 充要条件
1、充要条件的定义
如果“若，则”和它的逆命题“若，则”均为真命题，即既有，又有，就记作。
此时，既是的充分条件，也是的必要条件，我们说是的充分必要条件，简称充要条件。
2、充要条件的含义
若是的充要条件，则也是的充要条件，虽然本质上是一样的，但在说法上还是不同的，因为这两个命题的条件与结论不同。
3、充要条件的等价说法：是的充要条件又常说成是成立当且仅当成立，或与等价。
知识点3 全称量词与全称量词命题
1、全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫作全称量词，并用符号“”表示．
【注意】（1）全称量词的数量可能是有限的，也可能是无限的，由有题目而定；
（2）常见的全称量词还有“一切”、“任给”等，相应的词语是“都”
2、全称量词命题
（1）定义：含有全称量词的命题，称为全称量词命题．
（2）符号表示：通常，将含有变量的语句用，，，…表示，变量的取值范围用表示，那么，全称量词命题“对中任意一个，成立”可用符号简记为
【注意】（1）从集合的观点看，全称量词命题是陈述某集合中所有元素都具有某种性质的命题；
（2）一个全称量词命题可以包含多个变量；
（3）有些全称量词命题中的全称量词是省略的，理解时需要把它补出来。
如：命题“平行四边形对角线互相平行”理解为“所有平行四边形对角线都互相平行”。
知识点4 存在量词与存在量词命题
1、存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫作存在量词，并用符号“”表示．
【注意】常见的存在量词还有“有些”、“有一个”、“对某些”、“有的”等；
2、存在量词命题
（1）定义：含有存在量词的命题，叫作存在量词命题。
（2）符号表示：存在量词命题“存在中的元素，使成立”可用符号简记为
【注意】（1）从集合的观点看，存在量词命题是陈述某集合中有一些元素具有某种性质的命题；
（2）一个存在量词命题可以包含多个变量；
（3）有些命题虽然没有写出存在量词，但其意义具备“存在”、“有一个”等特征都是存在量词命题
知识点5 命题的否定
1、命题的否定：对命题p加以否定，得到一个新的命题，记作“”，读作“非p”或p的否定．
（1）全称量词命题的否定：
一般地，全称量词命题“”的否定是存在量词命题： ．
（2）存在量词命题的否定：
一般地，存在量词命题“ ”的否定是全称量词命题： ．
2、常见正面词语的否定：
正面词语 等于（＝） 大于（＞） 小于（＜） 是 都是
否定 不等式（≠） 不大于（≤） 不小于（≥） 不是 不都是
正面词语 至多有一个 至少有一个 任意 所有 至多有n个
否定 至少有两个 一个都没有 某个 某些 至少有n+1个
考点剖析
考点1 充分不必要条件的判断
【例1】
（2023春·江西宜春·高一校联考期中）
1．“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【变式1-1】
（2023秋·四川南充·高一校考阶段练习）
2．对于实数，或，那么是的（ ）条件
A．充分不必要 B．必要不充分
C．充要 D．既不充分也不必要
【变式1-2】
（2023秋·宁夏银川·高一银川一中校考阶段练习）
3．设计如图所示的四个电路图，条件：“开关闭合”；条件：“灯泡亮”，则是的充分不必要条件的电路图是（ ）

A．（1） B．（2） C．（3） D．（4）
【变式1-3】
（2023秋·重庆·高一校考阶段练习）
4．已知p：，则p的充分不必要条件有（ ）
A． B． C． D．
【变式1-4】
（2023秋·安徽亳州·高一校考阶段练习）
5．已知，，则“”是真命题的一个充分不必要条件是（ ）
A． B．
C． D．
考点2 必要不充分条件的判断
【例2】
（2023秋·安徽合肥·高一校联考期末）
6．已知p：，q：，则p是q的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分条件 D．既不充分又不必要条件
【变式2-1】
（2022秋·湖北鄂州·高一校联考期中）
7．设，则“”是“”的（ ）
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
【变式2-2】
（2023秋·山西运城·高一校考阶段练习）
8．设，则“”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【变式2-3】
（2023秋·北京·高一校考阶段练习）
9．荀子曰：“故不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海.”这句来自先秦时期的名言阐述了做事情不一点一点积累，就永远无法达成目标的哲理.由此可得，“积跬步”是“至千里”的（ ）
A．充分条件 B．必要条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【变式2-4】
（2023·陕西榆林·高一校考阶段练习）
10．命题p：的必要不充分条件是（ ）
A． B．
C． D．
考点3 充要条件的判断与证明
【例3】
（2023·江苏·高一专题练习）
11．点是第二象限的点的充要条件是（ ）
A． B．
C． D．
【变式3-1】
（2023·江苏·高一专题练习）
12．“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【变式3-2】
（2022秋·福建泉州·高一统考期中）
13．已知实数x，y，则“”是“”的（ ）
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【变式3-3】
（2023·高一课时练习）
14．设全集为，在下列条件中，是的充要条件的为（ ）
A． B．
C． D．
【变式3-4】
（2023·全国·高一专题练习）
15．设集合，若集合，，则的充要条件是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
考点4 由充分不必要条件求参
【例4】
（2022秋·河南商丘·高一校考阶段练习）
16．已知p：或，q：，则a取下面那些范围，可以使q是p的充分不必要条件（ ）
A． B． C． D．
【变式4-1】
（2023秋·甘肃武威·高一校考阶段练习）
17．已知不等式成立的一个充分不必要条件是，则实数m的取值范围是 ．
【变式4-2】
（2023秋·北京·高一校考阶段练习）
18．已知表示不大于的最大整数，，，若是的充分不必要条件，则的取值范围是 .
【变式4-3】
（2023秋·四川南充·高一校考阶段练习）
19．已知集合，．
(1)当时，求；
(2)是的充分不必要条件，求实数的取值范围．
【变式4-4】
（2022秋·湖北荆州·高一校考阶段练习）
20．已知全集，集合，
(1)若，求；
(2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围.
考点5 由必要不充分条件求参
【例5】
（2023秋·全国·高一专题练习）
21．设，，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式5-1】
（2022秋·福建福州·高一校考期中）
22．已知的必要不充分条件是或，则实数的最大值为 .
【变式5-2】
（2023秋·重庆铜梁·高一校考阶段练习）
23．已知，.
(1)当时，求；
(2)若“”是“”的必要不充分条件，求实数a的取值范围.
【变式5-3】
（2023·全国·高一专题练习）
24．已知集合，.
(1)若，求实数k的取值范围；
(2)已知命题，命题，若p是q的必要不充分条件，求实数k的取值范围.
【变式5-4】
（2021秋·高一课时练习）
25．已知方程在上有解.
(1)求实数的取值集合；
(2)设不等式的解集为，若是的必要条件，求a的取值范围.
考点6 由充要条件判断求参
【例6】
（2022秋·福建宁德·高一统考期中）
26．“不等式在上恒成立”的充要条件是（ ）
A． B．
C． D．或
【变式6-1】
（2023·江苏·高一专题练习）
27．若“不等式成立”的充要条件为“”，则实数的值为 .
【变式6-2】
（2023·江苏·高一专题练习）
28．设集合，；
(1)用列举法表示集合；
(2)若是的充要条件，求实数的值.
【变式6-3】
（2023·全国·高一专题练习）
29．已知方程，求使方程有两个大于的实数根的充要条件．
【变式6-4】
（2023·全国·高一专题练习）
30．方程与有一个公共实数根的充要条件是（ ）．
A． B． C． D．
考点7 全称/存在量词命题的判断
【例7】
（2023秋·贵州遵义·高一校考阶段练习）
31．判断下列命题是存在量词命题的个数（ ）
①每一个一次函数都是增函数；
②至少有一个自然数小于1；
③存在一个实数x，使得；
④两直线平行，内错角相等.
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式7-1】
（2023秋·全国·高一专题练习）
32．下列全称量词命题为真命题的是（ ）
A．所有的质数都是奇数
B．，
C．对每一个无理数，也是无理数
D．所有能被5整除的整数，其末位数字都是5
【变式7-2】
（2023秋·全国·高一专题练习）
33．下列命题中，是真命题且是全称命题的是（ ）
A．对任意实数a，b，都有
B．梯形的对角线不相等
C．
D．所有的集合都有子集
【变式7-3】
（2023秋·辽宁大连·高一校考阶段练习）
34．设非空集合满足，且，则下列选项中错误的是（ ）
A．，有 B．，使得
C．，使得 D．，有
考点8 含有一个量词命题的否定
【例8】
（2022秋·黑龙江佳木斯·高一校考期中）
35．命题“，”的否定是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【变式8-1】
（2023春·海南·高一校考期中）
36．全称量词命题：“{能被整除的整数}，是偶数.”的否定是（ ）
A．{能被整除的整数}，不是偶数
B．{能被整除的整数}，不是偶数
C．{能被整除的整数}，是偶数.
D．{能被整除的整数}，不是偶数.
【变式8-2】
（2023秋·吉林辽源·高一校联考期末）
37．命题“，使”的否定是（ ）
A．，使 B．不存在，使
C．，使 D．，使
【变式8-3】
38．命题“”的否定是（ ）
A． B．
C． D．
【变式8-4】
（2023秋·湖北荆州·高一校考阶段练习）
39．命题“，有实数解”的否定是（ ）
A．，有实数解 B．，无实数解
C．，无实数解 D．，有实数解
试卷第2页，共2页
试卷第1页，共1页
参考答案：
1．A
【分析】根据不等式的关系，结合充分、必要条件的定义即可求解.
【详解】因为，此时当且仅当，
又因为“”是“”的充分不必要条件，
所以“”是“”的充分不必要条件.
故选：A.
2．A
【分析】根据充分条件和必要条件的定义分析判断即可
【详解】“若，则或”的逆否命题为“若且，则”为真命题，
所以当时，或成立，
而当或时，不一定成立，如时，，
所以是的充分不必要条件，
故选：A
3．AD
【分析】由充分条件和必要条件的定义求解即可.
【详解】图（1），开关闭合，灯泡亮，灯泡亮，开关不一定闭合，
则是的充分不必要条件；
图（2），是的充要条件；
图（3），开关闭合，灯泡不一定亮，灯泡亮，开关一定闭合，
所以是的必要不充分条件；
图（4），开关闭合，灯泡亮，灯泡亮，开关不一定闭合，
则是的充分不必要条件；
故选：AD.
4．BD
【分析】解不等式组化简命题p，再利用充分不必要条件的意义，结合集合包含关系判断作答.
【详解】由，解得，
对于A，因为 ，则是p的必要不充分条件，A不是；
对于B，因为 ，则是p的充分不必要条件，B是；
对于C，是p的充要条件，C不是；
对于D，因为 ，则是p的充分不必要条件，D是.
故选：BD
5．BCD
【分析】根据题意分和两种情况讨论求解即可.
【详解】因为，，若“”是真命题，
当时，则，即，解得或，
当时，则由题意可得方程有两个非负实数根，
所以，解得，
综上，的取值范围是，即是真命题的充要条件为，
故其充分不必要条件为它的真子集，故B、C、D均符合题意.
故选：BCD
6．B
【分析】根据充分、必要条件结合集合间的包含关系分析判断.
【详解】因为 ，
所以p是q的必要不充分条件.
故选：B.
7．C
【分析】根据与之间的推出关系判断.
【详解】能推出，故必要性成立，
当时，取，则，不能推出，故充分性不成立，
所以“”是“”的必要不充分条件，
故选：C.
8．B
【分析】解绝对值不等式得到解集，得到是或的真子集，从而得到答案.
【详解】，解得或，
由于 或，则“”是“”的必要不充分条件.
故选：B.
9．B
【分析】根据题意，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解.
【详解】根据“做事情不一点一点积累，就永远无法达成目标”，即要达成目标必须一点一点积累，
所以 “积跬步”是“至千里”的必要条件.
故选：B
10．AC
【分析】利用必要不充分条件与集合的关系判断即可.
【详解】由必要不充分的定义和形式可知本题正确的表达形式应为：
四个选项中哪些正确的范围所对应的命题是命题的必要不充分条件？
即命题是四个选项中哪些正确的范围所对应的命题的充分不必要条件，
则命题的范围被四个选项中正确选项的范围真包含，
易得AC满足题意，B选项对应的是充要条件，D选项对应的是既不充分也不必要条件.
故选：AC.
11．B
【分析】根据充要条件的定义和第二象限点的特点分析判断
【详解】因为第二象限的点横坐标小于0，纵坐标大于0，
所以点是第二象限的点的充要条件是．
故选：B
12．C
【分析】由充分条件和必要条件的定义求解即可.
【详解】由可得，由可得，
所以“”是“”的充要条件.
故选：C.
13．C
【分析】结合幂函数的性质，利用充分条件和必要条件的定义判断结论.
【详解】因为函数在R上单调递增，
由，有，可得；
由，可得，即．
则“”是“”的充要条件．
故选：C.
14．ABD
【分析】根据充要条件的定义结合集合的运算逐个分析判断即可
【详解】对于A，当时，，当时，，所以是的充要条件，所以A正确，
对于B，当时，，当时，，所以是的充要条件，所以B正确，
对于C，当时，，所以C错误，
对于D，当时，，当时，，所以是的充要条件，所以D正确，
故选：ABD
15．A
【分析】先根据集合的运算，求得，结合，列出不等式组，即可求解.
【详解】由题意，可得，
因为，所以，解得，反之亦成立，
所以的充要条件是．
故选：A．
16．B
【分析】设集合或，集合，根据是的充分不必要条件，得到集合是集合的真子集，最后根据集合的包含关系判断即可.
【详解】设集合或，集合，
因为是的充分不必要条件，所以集合是集合的真子集， 故，
所以B选项符合要求，ACD选项不符合要求.
故选：B.
17．
【分析】由得，再由充分、必要条件的定义即可得 ，利用集合的包含关系即可得实数m的取值范围.
【详解】由，解得，
由题意可知： ，则，解得，
所以实数m的取值范围是．
故答案为：.
18．
【分析】先求出集合，再由充分不必要的定义以及集合之间的包含关系即可求解.
【详解】对于集合，不失一般性我们不妨设，
此时由的定义可知，有，
所以，
若是的充分不必要条件，则 ，
所以的取值范围是.
故答案为：.
19．(1)
(2)
【分析】（1）由求出集合，再根据并集的定义即可得解；
（2）根据题意是的真子集，根据集合的关系求解参数的取值范围．
【详解】（1）∵当时，，，
∴；
（2）∵，∴，
由是的充分不必要条件得是的真子集，
若，则，解得，满足是的真子集，符合题意；
当时，，满足是的真子集，符合题意；
当时，，得，解得，
综上可得：，
故实数的取值范围为：．
20．(1)
(2)
【分析】（1）解出集合,利用集合的并运算求解即可；
（2）根据条件得到 ,列出不等式组，求解即可.
【详解】（1）由，得，
所以，
又，
则当时，，
所以.
（2）若“”是“”的充分不必要条件,则 ,
则有，
所以实数的取值范围是
21．A
【分析】根据充分必要条件和集合的包含关系求解即可.
【详解】由，解得，
所以，
又由，解得，
所以，
因为是的必要不充分条件，
所以集合真包含于，
所以，解得，
经检验，时，，满足题意；
时，，满足题意；
所以实数的取值范围是.
故选:A.
22．1
【分析】首先解不等式，再根据题意得到，即可求出的取值范围，从而得解；
【详解】由，得或，
因为的必要不充分条件是“或”，
所以，解得，所以实数a的最大值为1；
故答案为：
23．(1)；
(2).
【分析】（1）把代入，求出集合，再利用交集的运算求解作答.
（2）根据给定条件可得 ，再借助包含关系列出不等式组求解作答.
【详解】（1）当时，，而，
所以．
（2）由“”是“”的必要不充分条件，得 ，
于是或，解得或，因此，
所以实数a的取值范围.
24．(1)
(2)
【分析】（1）利用分式不等式的解法，解得集合，根据集合之间的关系，可列不等式，可得答案；
（2）根据必要不充分条件，可得集合之间的关系，利用分类讨论，可列不等式，可得答案.
【详解】（1）由，移项可得，通分并合并同类项可得，等价于，解得，则；
由，则，即，解得.
（2）p是q的必要不充分条件等价于.
①当时，，解得，满足.
②当时，原问题等价于（不同时取等号）
解得.
综上，实数k的取值范围是.
25．(1)
(2)或
【分析】（1）通过分离常量，将在区间上的有解问题转化成求两函数图像有交点，从而求出实数的取值范围；
（2）对实数进行分类讨论，求出集合，利再用集合与集合间的包含关系，建立不等式组，从而求出实数的取值范围.
【详解】（1）由，得到
令，，因为，所以，
又因为方程在上有解，所以，
所以.
（2）因为是的必要条件，所以，又由（1）知，
①当，即时，，所以，解得；
②当，即时，，所以，解得；
③当，即时，，所以此时不满足题意.
综上可得，实数的取值范围是或.
26．B
【分析】分，两种情况讨论，结合韦达定理判断即可.
【详解】当时，恒成立；
当时，，即，解得；
综上：.
故选：B
27．
【分析】解不等式，根据充要条件的定义可得出关于的等式，解之即可.
【详解】解不等式得，
因为“不等式成立”的充要条件为“”，所以，解得，
所以，.
故答案为：.
28．(1)
(2)
【分析】（1）直接解方程即可；
（2）根据条件得，可得是方程的根，进而可得实数的值.
【详解】（1）集合，
即；
（2）由已知，，
若是的充要条件，则，
，
.
29．
【分析】根据一元二次方程有两个大于个实数根列不等式，由此求得正确答案.
【详解】方程，有两个大于的实数根，
，

.
由于上述变型过程是等价的，所以使方程有两个大于1的实根的充要条件是.
30．D
【分析】先利用判别式求得的取值范围，然后结合充要条件的知识求得的值.
【详解】方程有实根，故，
解得或.
方程有实根，故，
解得.
综上所述，，只有D选项符合.
若方程与有一个公共实数根，设公共实根为，
则，两式相减得，
由于，所以，
所以.
当时，两个方程分别为、，
方程的两个根为；
方程的两个根为；
即方程与有一个公共实数根.
综上所述，方程与有一个公共实数根的充要条件是.
故选：D
31．B
【分析】利用全称量词命题和存在量词命题的定义判断.
【详解】①因为“每一个”是全称量词，所以每一个一次函数都是增函数是全称量词命题；
②因为“至少有一个”是存在量词，所以至少有一个自然数小于1是存在量词命题；
③因为“存在一个”是存在量词，所以存在一个实数x，使得是存在量词命题；
④两直线平行，内错角相等是全称量词命题，省略了“所有的”.
故选：B
32．B
【分析】ACD选项通过举反例排除，B选项可证明.
【详解】质数中2不是奇数，A选项为假命题；
，都有，则，B选项为真命题；
为无理数，但是有理数，C选项为假命题；
所有能被5整除的整数，其末位数字可以是5也可以是0，D选项为假命题.
故选：B
33．D
【分析】根据全称量词定义可知A，B，D为全称量词命题，进而根据不等式性质可判断A选项，根据梯形的性质可判断B选项，根据子集的定义可判断D选项.
【详解】根据全称命题的定义可知，全称命题有A，B，D三项，C为特称命题，
对于A，有，故A为假命题；
对于B，梯形的对角线不一定相等，故B为假命题；
对于D，根据子集的定义可知，D为真命题.
故选：D.
34．CD
【分析】根据集合交集运算性质，结合子集和真子集的定义进行判断即可.
【详解】因为，所以，
又因为，所以 .
A：因为 ，所以，有，因此本选项正确；
B：因为 ，所以，使得，因此本选项正确；
C：因为 ，所以不，使得，因此本选项不正确；
D：若，显然，，因此本选项不正确，
故选：CD
35．B
【分析】全称命题的否定，先把全称量词改为存在量词，再把结论进行否定即可.
【详解】由得，
故命题“，”的否定是“，”.
故选：B
36．A
【分析】根据全称命题的否定形式直接得到结论即可.
【详解】由全称命题的否定知：原命题的否定为：{能被整除的整数}，不是偶数.
故选：A.
37．A
【分析】根据特称命题的否定为全称命题判断即可.
【详解】命题“，使”的否定是“，使”.
故选：A
38．D
【分析】根据存在量词命题的否定是全称量词命题即得.
【详解】因为存在量词命题的否定是全称量词命题，
所以命题“”的否定是“”．
故选：D．
39．C
【分析】存在量词命题（又称特称命题）的否定为全称量词命题（又称全称命题），即变为.
【详解】“，有实数解”的否定是“，无实数解”，
故选：C.
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