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专题08 三角函数的图象与性质（1）-【寒假自学课】（苏教版2019）
专题08 三角函数的图象与性质
知识聚焦
考点聚焦
知识点1 三角函数的图象与性质
1、用五点法作正弦函数和余弦函数的简图
（1）在正弦函数y＝sin x，x∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，0)，，(π，0)，，(2π，0).
（2）在余弦函数y＝cos x，x∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，1)，，(π，－1)，，(2π，1).
2、正弦、余弦、正切函数的图象与性质
图象
定义域 R R
值域 [-1,1] [-1,1]
最值 时，时， 时，时，
周期性
奇偶性 奇 偶 奇
单调性 在上单调递增在上单调递减 在上单调递增在上单调递减 在上单调递增
对称性 对称轴方程：对称中心 对称轴方程：对称中心 对称中心
知识2 三角函数的定义域与值域
1、三角函数的定义域求法
求三角函数定义域实际上是构造简单的三角不等式(组)，常借助三角函数图象来求解.
【注意】解三角不等式时要注意周期，且k∈Z不可以忽略.
2、三角函数的值域求法
（1）正余弦型：形如y＝Asin(ωx＋φ)＋b(或y＝Acos(ωx＋φ)＋b)，可先由定义域求得ωx＋φ的范围，然后，求得sin(ωx＋φ)(或cos(ωx＋φ))的范围，最后求得最值
（2）二次型：形如y＝asin2x＋bsin x＋c(a≠0)，可利用换元思想，设t＝sin x，转化为二次函数y＝at2＋bt＋c求最值，t的范围需要根据定义域来确定.
（3）和差积换元型：形如sin xcos x±(sin x±cos x)，利用sin x±cos x和sin xcos x的关系，通过换元法转换成二次函数求值域问题
（4）分式型：①分离常数法：通过分离常数法进行变形，再结合三角函数有界性求值域；②判别式法
知识点3 三角函数的单调性问题
1、求三角函数的单调区间
（1）代换法：就是将比较复杂的三角函数含自变量的代数式整体当作一个角u(或t)，利用基本三角函数的单调性列不等式求解；
（2）图象法：画出三角函数的正、余弦和正切曲线，结合图象求它的单调区间求解三角函数的单调区间时，若x的系数为负，应先化为正，同时切莫忽视函数自身的定义域.
2、已知单调性求参数的范围
（1）子集法：求出原函数的单调区间，由已知区间是所求某区间的子集，列不等式(组)求解；
（2）反子集法：由所给区间求出整体角的范围，由该范围是某相应正、余弦函数的某个单调区间的子集，列不等式(组)求解；
（3）周期性法：由所给区间的两个端点到其相应对称中心的距离不超过周期列不等式(组)求解
知识点4 求ω取值范围的常用解题思路
1、依托于三角函数的周期性
因为的最小正周期是，所以，也就是说只要确定了周期T，就可以确定的取值.
2、利用三角函数的对称性
（1）三角函数两条相邻对称轴或两个相邻对称中心之间的“水平间隔”为，相邻的对称轴和对称中心之间的“水平间隔”为，也就是说，我们可以根据三角函数的对称性来研究其周期性，进而可以研究的取值.
（2）三角函数的对称轴比经过图象的最高点或最低点，函数的对称中心就是其图象与轴的交点（零点），我们可以利用函数的最值、零点之间的“差距”来确定其周期，进而确定的取值.
3、结合三角函数的单调性
函数的每一“完整”单调区间的长度（即两相邻对称轴的间距）恰好等于，据此可用来求的值或范围.
反之，从函数变换的角度来看的大小变化决定了函数图象的横向伸缩，要使函数在指定区间上具有单调性，我们忘完可以通过调整周期长度来实现，犹如通过弹簧的伸缩来抬举三角函数在区间上的单调性和最值等.
考点剖析
考点1 三角函数的定义域问题
【例1】（2023·河北邢台·高一邢台市第二中学校联考阶段练习）
1．函数的单调递增区间为（ ）
A． B．
C． D．
【变式1-1】（2023·浙江宁波·高一宁波市鄞州中学校考阶段练习）
2．已知函数的定义域是，则函数的定义域是（ ）
A． B．
C． D．
【变式1-2】（2023·内蒙古包头·高一统考期末）
3．函数的定义域是（ ）
A． B．
C． D．
【变式1-3】（2023·全国·高一专题练习）
4．函数的定义域为 ．
【变式1-4】（2023·辽宁本溪·高一校考期中）
5．函数的定义域为 ．
考点2 求三角函数的值域（最值）
【例2】（2023·湖南长沙·高三长郡中学校考阶段练习）
6．函数的最大值与最小值之差为（ ）
A． B．0 C．2 D．
【变式2-1】（2023·江苏·高一专题练习）
7．函数在的值域为（ ）
A． B． C． D．
【变式2-2】（2023·全国·高三专题练习）
8．函数的值域是 ．
【变式2-3】（2023·湖南长沙·高一雅礼中学校考阶段练习）
9．已知为钝角，则的最大值为 ．
【变式2-4】（2023·江苏扬州·高一扬州大学附属中学校考阶段练习）
10．已知.
(1)若，求在上的值域；
(2)若，求的最大值.
考点3 由三角函数的值域求参
【例3】（2023·安徽阜阳·高一阜南实验中学校考阶段练习）
11．已知函数的值域是，则实数的值等于（ ）
A．2 B．-2 C． D．
【变式3-1】（2023·四川成都·玉林中学校考模拟预测）
12．当时，函数的值域是，则m的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【变式3-2】（2023·四川成都·玉林中学校考模拟预测）
13．函数的最小正周期为，其图象关于点对称，且当时，的值域是，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【变式3-3】（2023·天津河东·高三校考阶段练习）
14．函数，函数的值域为，则 ．
【变式3-4】（2023·北京海淀·高一北大附中校考期中）
15．已知．当，时，的取值范围为，则的一个取值为 ．
考点4 求三角函数的单调区间
【例4】（2023·北京·高一北京市第一六一中学校考期中）
16．函数的一个单调递减区间是（ ）
A． B．
C． D．
【变式4-1】（2023·浙江温州·高一温州市第五十一中学校考阶段练习）
17．已知函数，则的单调递增区间是（ ）
A． B． C．， D．，
【变式4-2】（2023·广东江门·高一鹤山市第一中学校考期末）
18．函数的单调递减区间是（ ）
A． B．
C． D．
【变式4-3】（2023·重庆·高一校联考期末）
19．函数的单调减区间是（ ）
A． B． C． D．
【变式4-4】（2023·高一单元测试）
20．函数的单调区间是（ ）
A． B．
C． D．
考点5 由三角函数的单调性求参
【例5】（2023·河北沧州·高一校联考阶段练习）
21．已知函数，若在区间内单调递增，则的可能取值是（ ）
A． B． C． D．
【变式5-1】（2023·山东烟台·统考二模）
22．已知函数在上单调递增，则的取值范围为（ ）．
A． B．
C． D．
【变式5-2】（2023·河南南阳·高一南阳中学校考阶段练习）
23．若函数与函数在上的单调性相同，则的一个值为（ ）
A． B． C． D．
【变式5-3】（2023·河北衡水·高一校考阶段练习）
24．函数在上的最大值为，最小值为，则（ ）
A． B． C． D．
【变式5-4】（2023·北京丰台·高一统考期末）
25．若函数在区间上单调递增，则常数的一个取值为 .
考点6 三角函数的奇偶性
【例6】（2023·山东烟台·高一校考期末）
26．下列函数为奇函数的是（ ）
A． B． C． D．
【变式6-1】（2023·湖南株洲·高一校考阶段练习）
27．下列函数是偶函数的是（ ）
A． B． C． D．
【变式6-2】（2023·全国·高一专题练习）
28．判断下列函数的奇偶性：
(1)；
(2)；
(3).
【变式6-3】（2022·新疆乌鲁木齐·高一新疆农业大学附属中学校考期末）
29．已知函数是偶函数，则的值为（ ）
A． B．1 C．1或 D．
【变式6-4】（2023·福建宁德·高一校考期末）
30．设函数，若，函数是偶函数，则的值可以是（ ）
A． B． C． D．
考点7 三角函数的周期性
【例7】（2023·全国·高一专题练习）
31．求下列函数的周期.
(1);
(2);
(3);
(4)
【变式7-1】（2023·全国·高一专题练习）
32．下列函数中是奇函数，且最小正周期是的函数是（ ）
A． B．
C． D．
【变式7-2】（2023·河南开封·高一校考阶段练习）
33．下列函数中，以为周期的奇函数是（　　）
A． B．
C． D．
【变式7-3】（2023·全国·高一专题练习）
34．函数的周期为 ．
【变式7-4】（2023·全国·高一专题练习）
35．若，，则 .
考点8 三角函数的对称性
【例8】（2023·河南省直辖县级单位·高一校考阶段练习）
36．函数的（ ）
A．图象关于x轴对称 B．图象关于y轴对称 C．图象关于原点对称 D．以上都不对
【变式8-1】（2023·四川成都·高一期末）
37．函数的图象的一条对称轴是（ ）
A． B． C． D．
【变式8-2】（2023·河北唐山·高一期末）
38．函数的图象为M，则下列结论正确的是（ ）
A．图象M关于直线对称 B．图象M关于点对称
C．在区间单增 D．图象M关于点对称
【变式8-3】（2023·北京·高一北京市十一学校校考期末）
39．函数的对称中心为 .
【变式8-4】（2023·河北邢台·高一邢台市第二中学校联考阶段练习）
40．已知函数的图象关于原点中心对称，则的最小值为 ．
考点9 三角函数的识图问题
【例9】（2023·江苏淮安·高一统考期末）
41．我国著名数学家华罗庚先生曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休．”在数学学习和研究中，常用函数的图象来研究函数性质，也常用函数解析式来琢磨函数的图象特征，函数的部分图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【变式9-1】（2023·辽宁·高一校联考阶段练习）
42．华罗庚说：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休.”所以研究函数时往往要作图，那么函数的部分图像可能是（ ）
A． B．
C． D．
【变式9-2】（2023·福建漳州·高一统考期末）
43．函数的部分图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【变式9-3】（2023·全国·高三校联考期末）
44．函数的部分图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【变式9-4】（2023·重庆·高一重庆市第七中学校校考期末）
45．已知函数，则在上的大致图像是（ ）
A． B．
C． D．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．A
【分析】首先求出定义域，再根据复合函数单调性即可得到单调增区间.
【详解】令，可得．
当时，函数单调递增．
所以当时，单调递增．
故在上单调递增．
故选：A.
2．B
【分析】根据抽象函数定义域及对数函数定义域列出不等式组，解三角不等式可得解.
【详解】因为函数的定义域是，
所以函数有意义需满足，
解得，
故函数的定义域为，
故选：B
3．A
【分析】根据正切函数的定义域，利用整体思想，建立不等式，可得答案.
【详解】由题意可得：，解得，
函数的定义域为.
故选：A.
4．
【分析】根据函数的解析式列出不等式组，结合正切函数的性质求解即可.
【详解】要使函数有意义，
则，即.
在上满足上述不等式的的取值范围是.
又因为的周期为，
所以函数的定义域为.
故答案为：.
5．
【分析】由函数解析式列出不等式组，再根据正切函数的图像及二次函数的图像解出不等式组，即可得出答案．
【详解】由，得，，
在数轴上表示如图所示，
所以，
故答案为：．
6．D
【分析】由，可得，然后利用正弦函数的性质可求得函数的最值.
【详解】因为，所以，所以，
由的图像与性质知，
当时，有最小值为，
当时，有最大值为，所以最大值与最小值之差为，
故选：D．
7．B
【分析】利用三角恒等变换结合换元法，最后利用二次函数的值域求解即可.
【详解】函数，
令，，
因为，所以，
，对称轴为，图象开口向下，
当时，取得最大值，，
当时，取得最小值，，
所以在的值域为
故选：B
8．
【分析】将化为，利用余弦函数的有界性，即，解不等式即可得答案.
【详解】由，可得，
当时等式不成立，∴，则有，
∵，∴，，或，
∴函数的值域是，
故答案为：
9．
【分析】先确定，然后利用基本不等式求最值.
【详解】为钝角,
,
，
当且仅当，即时等号成立，
故的最大值为.
故答案为：.
10．(1)
(2)
【分析】利用同角三角函数的平方式整理函数解析式，再利用换元法化简函数解析式，结合正弦函数与二次函数的性质，可得答案.
【详解】（1）由题意可知，
令,当时，
由在上单调递增，在上单调递减，则，
令，
由在上单调递增，在上单调递减，
则，，
所以.
（2）由(1)可知：，
令，则，
令，
由在上单调递增，在上单调递减，
则.
11．C
【分析】分类讨论，根据正弦函数的值域列式可得结果.
【详解】当时，由，得，
因为的值域为，所以，解得，
当时，显然不符合题意；
当，由，得，
因为的值域为，所以，解得，
故选：C
12．D
【分析】解法一：画出函数的图象，由的范围求出的范围，根据的值域可得答案；
解法二：由的范围求出的范围，根据的图象性质和的值域可得答案．
【详解】解法一：由题意，画出函数的图象，由，可知，
因为且，
要使的值域是，只要，
即；
解法二：由题，可知，
由的图象性质知，要使的值域是，
则，解之得．
故选：D.

13．D
【分析】利用函数的基本性质可得出，由可求得的取值范围，根据函数在区间的值域可得出关于的不等式，解之即可.
【详解】因为函数的最小正周期为，则，
所以，，
又因为函数的图象关于点对称，则，
解得，因为，故，故，
当时，，
且函数在上的值域为，
所以，，解得，
故选：D.
14．
【分析】根据给定条件，求出相位的范围，再利用正弦函数的性质求出值域即得结果.
【详解】当时，，正弦函数在上递增，在上递减，
于是函数在上单调递增，在上单调递减，
因此，即函数的值域为，
所以.
故答案为：
15．2（答案不唯一）
【分析】由题设知区间内至少含最大、最小值各一个，讨论结合正弦函数性质确定最值，即可得参数值.
【详解】由题设，，又的取值范围为，
所以区间内至少含最大、最小值各一个，
当，则，取不到最小值；
当，则，取不到最大值；
当，则，可同时取到最大、最小值.
故答案为：（答案不唯一）
16．D
【分析】由的图象与性质得的单调减区间.
【详解】由的图象与性质，的单调减区间为，，所以D符合题意.
故选：D.
17．D
【分析】利用余弦函数的性质求解即可.
【详解】，可化为，
故单调增区间满足：，，
解得，.
令，，令，，
，
所以的单调递增区间是，.
故选：D
18．B
【分析】函数的单调递减区间，即函数的单调递增区间，利用复合函数性质，可得所求区间为，，化简即可求解.
【详解】函数的单调递减区间，即函数的单调递增区间,
令，，解得，，
所以原函数的单调递减区间为，.
故选：．
19．D
【分析】利用整体法求解正弦型函数的单调性，即可求解.
【详解】令,所以，
当，由于，故D正确，ABC均错误，
故选：D
20．D
【分析】利用诱导公式化简，再根据正切函数的性质计算可得.
【详解】因为，
令，，解得，，
所以函数的单调递减区间为.
故选：D.
21．BC
【分析】结合正切型函数的单调性计算即可得.
【详解】因为，故，
由函数在区间内单调递增，
故，所以．
故选：BC．
22．D
【分析】由的取值范围求出的取值范围，结合余弦函数的性质得到不等式组，解得即可.
【详解】由，所以，
又，所以，
且函数在上单调递增，
所以，解得，即的取值范围为.
故选：D
23．BC
【分析】根据函数的单调性列出不等式求出的取值范围即可求解.
【详解】因为，所以，所以根据余弦函数的性质可得函数在上的单调递减，
由于函数与函数在上的单调性相同，
所以函数在上单调递减，
所以解得，
当时，，B满足，
当时，，C满足，
故选:BC.
24．D
【分析】由正切函数的单调性可知函数在上单调递增，即，，解方程即可得出答案.
【详解】因为，所以，
所以，
因为函数在上的最大值为，最小值为，
所以，即，所以
令，，因为在上单调递增，
在定义域内单调递增，由“复合函数”的单调性知，
函数在上单调递增，
所以，解得：，
，
解得：，因为，则，
所以，解得：.
故.
故选：D.
25．（答案不唯一）
【分析】当时，化简得到，满足在区间上单调递增，即可得到答案.
【详解】由函数的图象与性质，可得函数在区间上单调递增，
当时，
可得，
此时函数满足在区间上单调递增，
当时，，所以常数的一个取值可以为.
故答案为：（答案不唯一）.
26．C
【分析】根据奇函数的定义进行判断.
【详解】由，定义域关于原点对称，则,所以是偶函数，故A错误;
由，定义域关于原点对称，则,所以是偶函数，故B错误；
由，定义域关于原点对称，则，所以是奇函数，故C正确；
由，定义域关于原点对称，则，且，所以非奇非偶，故D错误.
故选：C
27．C
【分析】先得到函数的定义域，再利用函数的奇偶性得到答案.
【详解】A选项，的定义域为R，
且，故为奇函数，A错误；
B选项，的定义域为R，
且，故为奇函数，B错误；
C选项，的定义域为R，
且，故为偶函数，C正确；
D选项，的定义域为R，
且，故不是偶函数，D错误.
故选：C
28．(1)偶函数
(2)奇函数
(3)非奇非偶函数
【分析】（1）（2）先求定义域，然后判断和的关系即可判断其奇偶性；
（3）求出函数定义域，然后根据定义域是否关于原点对称即可作出判断.
【详解】（1）的定义域为R，，
因为，
所以为偶函数.
（2）由得，
解得定义域为，关于原点对称，
又
，
所以为奇函数.
（3）由，即，解得，
所以，定义域不关于原点对称，
所以，该函数既不是奇函数也不是偶函数.
29．A
【分析】根据余弦函数的奇偶性求出，再根据诱导公式即可得解.
【详解】因为函数是偶函数，
所以，则，
所以.
故选：A.
30．BC
【分析】利用图像平移得到解析式，再根据偶函数结合正弦函数的图像性质即可求解.
【详解】依题意，又其为偶函数，
则图像关于轴对称，则，
得，又，
则或.
故选：BC
31．(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）（2）（3）（4）利用正弦函数、余弦函数周期的定义求解即得.
【详解】（1）因为，由周期函数的定义得，的周期为，
所以函数的周期为.
（2）因为，由周期函数的定义得，的周期为，
所以函数的周期为.
（3）因为，由周期函数的定义得，的周期为，
所以函数的周期为.
（4）因为，由周期函数的定义得，的周期为，
所以函数的周期为.
32．D
【分析】确定和，为偶函数，排除，验证D选项满足条件，得到答案.
【详解】对选项A：，函数定义域为，，
函数为偶函数，排除；
对选项B：，函数定义域为，，
函数为偶函数，排除；
对选项C：，函数定义域为，，
函数为偶函数，排除；
对选项D：，函数定义域为，
，函数为奇函数，，满足条件；
故选：D.
33．B
【分析】利用三角函数的周期公式及奇函数的定义，结合诱导公式即可求解.
【详解】对于A，，,函数的定义为,，所以以为周期的偶函数，故A错误；
对于B，，,函数的定义为,，所以以为周期的奇函数，故B正确；
对于C，，,函数的定义为，，所以以为周期的奇函数，故C错误；
对于D，函数的定义为，，所以为偶函数，故D错误.
故选：B.
34．##
【分析】直接根据正切函数的周期公式计算可求解.
【详解】由题意得的周期为，
所以的周期为.
故答案为：.
35．0
【分析】根据的周期为3，且，即可求得的值.
【详解】因为的周期，
且，，，
则，
因为，
所以.
故答案为：0
36．C
【分析】先用三角函数诱导公式化简得，然后再根据正弦函数性质从而可求解.
【详解】由题意：，，
设，，
所以为奇函数，由奇函数性质得其图象关于原点对称，故C项正确.
故选：C.
37．C
【分析】将各项对应自变量代入解析式求函数值，判断是否成立即可.
【详解】时，不是对称轴；
时，不是对称轴；
时，是对称轴；
时，不是对称轴；
故选：C
38．AB
【分析】采用代入验证，计算函数值的方法，可判断A，B，D；根据x的范围，计算出，结合正弦函数的单调性，可判断C.
【详解】对于A，将代入中，得，
即此时取到最大值，故图象M关于直线对称，A正确；
对于B，将代入中，得，
则图象M关于点对称，B正确；
对于C，时，，由于在上单调递增，
在上单调递减，即在上不单调，
故在上单调递增，在上单调递减，
故在区间上不单调，C错误；
对于D，将代入中，得，
则图象M不关于点对称，D错误；
故选：AB
39．，.
【分析】利用整体代换法求解对称中心.
【详解】令，
解得
故函数的对称中心为，.
故答案为：，.
40．
【分析】根据正切函数的奇偶性列式运算得解.
【详解】因为的图象关于原点中心对称，
所以，又，故的最小值为．
故答案为：.
41．A
【分析】先求出定义域，求出，得到为奇函数，排除CD，在求出当时，，B错误，A正确.
【详解】的定义域为R，且，
故为奇函数，关于原点对称，CD错误；
当时，，故，A正确，B错误；
故选：A
42．B
【分析】根据图象的区别，取验证即可排除错误选项.
【详解】因为，所以ACD错误.
故选：B
43．A
【分析】先根据函数的奇偶性，可排除BD，根据当时，即可排除C得出答案.
【详解】因为，
所以，
所以为偶函数，故排除BD；
当时，，，则，故排除C.
故选：A．
44．A
【分析】根据函数的奇偶性以及特殊点即可排除选项求解.
【详解】的定义域为，关于原点对称，
因为，所以为奇函数，故排除C,D,
又，所以排除B,
故选：A
45．C
【分析】根据函数奇偶性可排除AB，再利用特殊值代入即可得出结论.
【详解】由题意可知，，
即函数为上的奇函数，所以其图象关于原点对称，排除AB；
不妨取，则，排除D，
故选：C
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

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