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专题04 函数的概念及表示（1）-【寒假自学课】（苏教版2019）
专题04 函数的概念及表示
知识聚焦
考点聚焦
知识点1 函数的定义及相关概念
1、函数的定义：设A，B是两个非空数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作：y＝f(x)，x∈A
【注意】函数的本质含义：定义域内的任意一个x值，必须有且仅有唯一的y值与之对应.
（1）特殊性：定义的集合A，B必须是两个非空数集；
（2）任意性：A中任意一个数都要考虑到；
（3）唯一性：每一个自变量都在B中有唯一的值与之对应；
（4）方向性：A→B
2、函数的有关概念
（1）函数的定义域、值域：在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；
与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域.
（2）函数的三要素：定义域、对应关系和值域.
（3）函数的表示法：表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法.
3、同一个函数：两个函数定义域相同，对应关系相同，则称为同一个函数.
知识点2 函数定义域的求法
函数的定义域是指使函数有意义的自变量的取值范围
1、具体函数的定义域求法
（1）分式的分母不能为零.
（2）偶次方根的被开方数的被开方数必须大于等于零，即中
奇次方根的被开方数取全体实数，即中，.
（3）零次幂的底数不能为零，即中.
（4）若函数是一些简单函数通过四则运算复合而成的，那么它的定义域是各个简单函数定义域的交集.
【注意】定义域用集合或区间表示，若用区间表示熟记，不能用“或”连接，而应用并集符号“∪”连接.
2、抽象函数与复合函数定义域的求法
复合函数的定义域是指的范围，而不是的范围.
（1）已知的定义域为，求的定义域，其实质是的取值范围（值域）为，求的取值范围;
（2）已知的定义域为，求的定义域，其实质是已知中的的取值范围为，求出的范围（值域），即的定义域.
（3）已知的定义域，求的定义域，要先按（2）求出的定义域，即的取值范围，再根据的取值范围求出的范围.
知识点3 函数解析式的求法
1、待定系数法：若已知函数的类型（如一次函数、二次函数等），可用待定系数法.
（1）确定所有函数问题含待定系数的一般解析式；
（2）根据恒等条件，列出一组含有待定系数的方程；
（3）解方程或消去待定系数，从而使问题得到解决.
2、换元法：主要用于解决已知的解析式，求函数的解析式的问题
（1）先令，注意分析的取值范围；
（2）反解出x，即用含的代数式表示x；
（3）将中的x度替换为的表示，可求得的解析式，从而求得.
3、配凑法：由已知条件，可将改写成关于的表达式，然后以x替代g(x)，便得的解析式.
4、方程组法：主要解决已知与、、的方程，求解析式.
例如：若条件是关于与的条件（或者与）的条件，可把代为（或者把代为）得到第二个式子，与原式联立方程组，求出.
知识点4 分段函数
1、分段函数的定义：在函数定义域内，对于自变量x的不同取值范围，有着不同的对应关系的函数.
2、分段函数的性质：
（1）分段函数是一个函数，其定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的并集；各段函数的定义域的交集是空集.
（2）作分段函数图象时，应分别作出每一段的图象.
3、求分段函数的函数值
（1）分段函数求值，一定要注意所给自变量的值所在的范围，代入相应的解析式求得.
（2）若题中含有多层“f”的问题，要按照“由里到外”的顺序，层层处理.
（3）已知函数值求相应的自变量值时，应在各段中分别求解.
考点剖析
考点1 函数定义的理解与辨析
【例1】（2023·全国·高一专题练习）
1．某校有一班级，设变量x是该班同学的姓名，变量y是该班同学的学号，变量z是该班同学的身高，变量w是该班同学的数学考试成绩，则下列选项中正确的是（ ）
A．y是x的函数 B．w是y的函数
C．w是z的函数 D．w是x的函数
【变式1-1】（2023秋·安徽阜阳·高一校考阶段练习）
2．下列说法正确的是（ ）
A．函数值域中的每一个数在定义域中都有数与之对应
B．函数的定义域和值域一定是无限集合
C．对于任何一个函数，如果x不同，那么y的值也不同
D．表示当时，函数的值，这是一个常量
【变式1-2】（2023·全国·高一专题练习）
3．下列对应是从集合A到集合B的函数的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式1-3】（2023·全国·高一专题练习）
4．已知集合=，集合=，下列能表示从集合到集合的函数关系的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式1-4】（2022秋·高一单元测试）
5．下列图象中，能表示函数的图象的是（ ）
A． B．
C． D．
考点2 同一个函数的判断
【例2】（2022秋·江苏苏州·高一校考阶段练习）
6．以下四组函数中，表示同一个函数的是（ ）
A．与
B．与
C．与
D．与
【变式2-1】（2023秋·云南曲靖·高一校考阶段练习）
7．下列各组中的两个函数为同一函数的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2-2】（2023秋·河南郑州·高一校考阶段练习）
8．下列各组函数表示相同函数的是（ ）
A．和 B．和
C．和 D．和
【变式2-3】（2023秋·宁夏银川·高一校考期中）
9．在下列四组函数中，与不表示同一函数的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
考点3 求具体函数的定义域
【例3】（2023秋·宁夏银川·高一校考期中）
10．函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
【变式3-1】（2023·全国·高一专题练习）
11．函数的定义域为（ ）
A． B．
C． D．
【变式3-2】（2023秋·广东梅州·高一校考期中）
12．函数 的定义域是 ．
【变式3-3】（2023秋·黑龙江哈尔滨·高一校考阶段练习）
13．函数的定义域为 ．
考点4 求抽象函数的定义域
【例4】（2023·江苏·高一专题练习）
14．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（　　）
A． B．
C． D．
【变式4-1】（2023秋·河北唐山·高一校考阶段练习）
15．已知函数的定义域为，则函数的定义域为 .
【变式4-2】（2023秋·江苏无锡·高一校考阶段练习）
16．已知函数的定义域为，则函数的定义域为 .
【变式4-3】（2023秋·重庆·高一校考阶段练习）
17．已知函数的定义域为，则函数的定义域是（ ）
A． B．
C． D．
考点5 由函数定义域求参数
【例5】（2023·全国·高一专题练习）
18．函数在上有意义，则实数a的取值范围为 ．
【变式5-1】（2023秋·山东德州·高一校考阶段练习）
19．若函数的定义域为，则实数的取值范围为 ．
【变式5-2】（2023秋·内蒙古赤峰·高一校考阶段练习）
20．若函数的定义域为，则实数的取值集合是 .（用区间表示）
【变式5-3】（2023秋·福建漳州·高一校考阶段练习）
21．已知函数的定义域为R，则实数a的取值范围为（ ）
A． B．或
C． D．或
考点6 待定系数法求解析式
【例6】（2023秋·福建厦门·高一校考阶段练习）
22．已知是一次函数，且，则 .
【变式6-1】（2023·全国·高一专题练习）
23．设为一次函数且，求.
【变式6-2】（2023秋·浙江嘉兴·高一校考阶段练习）
24．已知函数是一次函数，且，则（ ）
A．11 B．9 C．7 D．5
【变式6-3】（2023·全国·高一专题练习）
25．已知二次函数满足，且的最大值是8，则此二次函数的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
【变式6-4】（2023秋·福建南平·高一校考阶段练习）
26．设二次函数满足，且，求的解析式.
考点7 换元法/配凑法求解析式
【例7】（2023秋·福建漳州·高一校考阶段练习）
27．已知，则（ ）
A． B．
C． D．
【变式7-1】（2023·全国·高一专题练习）
28．已知函数，则的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
【变式7-2】（2023秋·安徽阜阳·高一校考阶段练习）
29．已知函数，则函数的解析式是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【变式7-3】（2023·全国·高一专题练习）
30．已知函数，则的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
【变式7-4】（2023·全国·高一专题练习）
31．已知，则函数 ，= ．
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．B
【分析】根据函数的定义，结合题意，可得答案.
【详解】对于AD，由于同学姓名非数字，故AD错误；
对于B，任意一个学号都对应一位确定的同学，则该同学的数学成绩也是唯一确定的，故B正确；
对于C，假设班级中有两位身高相同的同学，则这个身高可能对应两个不同同学的数学成绩，故C错误；
故选：B.
2．AD
【分析】结合函数的定义，对各选项逐项分析作答即可.
【详解】对A，函数是一个数集与另一个数集间的特殊对应关系，所给出的对应是否可以确定为y是x的函数，主要是看其是否满足函数的三个特征，A正确；
对B，函数的定义域和值域不一定是无限集合，也可以是有限集，但一定不是空集，如函数，定义域为，值域为，B错误；
对C，当x不同时，函数y的值可能相同，如函数，当和时，y都为1，C错误；
对D，表示当时，函数的值是一个常量，D正确.
故选：AD
3．A
【分析】由函数的定义对选项一一判断即可得出答案.
【详解】对于A选项，对集合A中的任意一个数x，集合B中都有唯一的数y与之对应，是函数；
对于B选项，时，，有两个y与之对应，不是函数；
对于C选项，当时，不存在，不是函数；
对于D选项，集合A中的元素0在集合B中没有对应元素，不是函数.
故选：A
4．BD
【分析】根据函数的定义逐一判断即可.
【详解】对于选项A：显然当时，在集合中，没有与之对应的实数，故不表示从集合到集合的函数关系，所以本选项不符合题意；
对于选项B：当时，任意一个，在集合中，都有唯一与之对应的实数，故表示从集合到集合的函数关系，所以本选项符合题意；
对于选项C：显然当时，在集合中有两个数与之对应，故不表示从集合到集合的函数关系，所以本选项不符合题意；
对于选项D：当时，任意一个，在集合中，都有唯一与之对应的实数，故表示从集合到集合的函数关系，所以本选项符合题意，
故选：BD
5．ABC
【分析】由函数定义可得答案.
【详解】对于选项ABC，当取一个值时，有唯一值与之对应，符合函数定义，故ABC正确；
D选项，当取一个值时，有两个值与之对应，不符合函数的定义，故D错误.
故选：ABC
6．B
【分析】根据相同函数的定义，逐个判断即可.
【详解】从定义域，对应关系，值域是否相同，逐项判断即可．
对于A：的值域为，的值域为，所以A错误；
对于B：的定义域需满足，即为，
的定义域满足，即为，且，
所以和是同一个函数，B正确；
对于C：的定义域为，的定义域为，所以C错误；
对于D：的定义域满足，即为，
的定义域需满足，即为，所以D错误，
故选：B
7．C
【分析】按函数相等的定义逐项判断即可.
【详解】A项：的定义域不包括，两个函数的定义域不同，所以是不同函数；
B项：，即对应关系不同；
C项：定义域都是实数集，对应关系都相同，是同一函数；
D项：的定义域不包括，两个函数的定义域不同，所以是不同函数.
故选: C.
8．C
【分析】根据函数的定义域及对应法则判断是否为同一函数即可.
【详解】对于A，函数的定义域为，函数的定义域为，
两个函数的定义域不同，所以表示不同的函数，故A错误；
对于B，函数的定义域为，函数的定义域为，
两个函数的定义域不同，所以表示不同的函数，故B错误；
对于C，函数与的定义域和对应法则都相同，
所以表示相同的函数, 故C正确；
对于D，函数的定义域为，函数的定义域为，
两个函数的定义域不同，所以表示不同的函数，故D错误.
故选：C.
9．ABC
【分析】结合定义域和化简之后表达式逐一判断即可.
【详解】对A，，与定义域不同；
对B，，与定义域不同；
对C，，与定义域不同；
对D，，则与为同一函数.
故选：ABC
10．C
【分析】根据二次根式被开方数为非负实数，分母不为零进行求解即可.
【详解】要使函数有意义，则解得，且，
故函数的定义域为．
故选：C
11．C
【分析】根据函数解析式列出不等式组，求解即可.
【详解】要使函数有意义，
则，解得且，
因此，函数的定义域为.
故选：C.
12．
【分析】根据已知函数即可求出函数的定义域.
【详解】由题意，
在中，
，解得：且，
故答案为：.
13．
【分析】依题意可得，求解即可.
【详解】依题意可得，解得且.
所以函数的定义域为.
故答案为：.
14．C
【分析】根据抽象函数定义域求法，即可求其定义域.
【详解】对于函数可知：，所以，
即的定义域为，
对于函数可知：，解得，
故的定义域是．
故选：C.
15．
【分析】应用换元法，令，根据的定义域为，有，即可求的定义域.
【详解】对于，令，则，
所以，即的定义域为.
故答案为：
16．
【分析】根据根式的限制条件和抽象函数定义域列出限制条件可得答案.
【详解】函数的定义域为，
令，解得，即，
所以函数的定义域为.
故答案为：.
17．D
【分析】根据函数的定义域求出中的范围，结合分母不为，求出函数的定义域即可．
【详解】由题意得，解得，
又，解得，
故函数的定义域是 ．
故选：D．
18．
【分析】由题意可得在上恒成立，由此列出不等式组，解得答案.
【详解】由题意函数在上有意义，
即在上恒成立，即在上恒成立，
令，则，解得，
故实数a的取值范围为，
故答案为：
19．
【分析】将定义域为R 转化为不等式在R上恒成立，然后分和两种情况讨论即可.
【详解】由题意得，在R上恒成立，
当时，，成立；
当时，，即，解得；
综上所述，.
故答案为：.
20．
【分析】由题意知对任意实数恒成立，最高次项系数含参问题，考虑参数是否为零，分情况讨论.
【详解】若函数的定义域为，则对任意实数恒成立，
①当时，恒成立，符合题意；
②当时，若，
则需满足，解得：；
综上所述：.即.
故答案为：
21．C
【分析】根据分式函数中分母不为0得，恒成立，分类讨论，时符合题意，时利用判别式法列不等式求解即可.
【详解】由函数的定义域为R，得，恒成立.
当时，恒成立；
当时，，解得.
综上所述，实数a的取值范围为.
故选：C.
22．
【分析】设，再代入求解即可.
【详解】设，因为，
则，，故，.
所以.
故答案为：
23．或
【分析】设，利用待定系数法求解.
【详解】设，则.
又，∴，
即，解得或.
∴或.
∴或.
24．A
【分析】设，根据恒成立可得a，b，然后可解.
【详解】设，
则，
整理得，
所以，解，
所以，所以.
故选：A
25．A
【分析】根据条件设二次函数为，代入条件求解即可.
【详解】根据题意，由得:图象的对称轴为直线，
设二次函数为，
因的最大值是8，所以，当时， ，
即二次函数，
由得:，解得：，
则二次函数，
故选：A.
26．
【分析】根据题意设，由求出c，由可求得，即可得答案.
【详解】设二次函数为，
因为，所以，所以，
又因为，
即，
所以，解得：，
所以函数解析式为.
27．B
【分析】利用换元法直接求解即可.
【详解】令，，则，，
所以，
所以的解析式为：
故选：B.
28．D
【分析】根据换元法求函数解析式.
【详解】令，可得.
所以，
因此的解析式为.
故选：D.
29．B
【分析】利用配凑法求解析式即可.
【详解】，且，所以，.
故选：B.
30．D
【分析】根据条件，通过配凑即可求出结果.
【详解】因为，
所以.
故选：D.
31． 11
【分析】利用换元法可求出，进一步可得.
【详解】令，则，
所以，所以，
所以.
故答案为：；.
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