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专题01 向量的概念-【寒假自学课】（苏教版2019）
专题01 向量的概念
知识聚焦
考点聚焦
知识点1 向量的概念
1、向量：既有大小又有方向的量叫做向量.
2、数量：只有大小，没有方向的量(如年龄、身高、长度、面积、体积和质量等)，称为数量．
【注意】
（1）本书所学向量是自由向量，即只有大小和方向，而无特定的位置，这样的向量可以作任意平移；
（2）看一个量是否为向量，就要看它是否具备了大小和方向两个要素；
（3）向量与数量的区别：数量与数量之间可以比较大小，而向量与向量之间不能比较大小．
知识点2 向量的表示法
1、有向线段：具有方向的线段叫做有向线段，有向线段包含三个要素：起点、方向、长度．
2、向量的字母表示法：如等.
3、向量的几何表示法：以A为始点，B为终点作有向线段（注意始点一定要写在终点的前面）．如果用一条有向线段表示向量，通常我们就说向量.
【注意】
（1）用字母表示向量便于向量运算；
（2）用有向线段来表示向量，显示了图形的直观性．应该注意的是有向线段是向量的表示，不是说向量就是有向线段．由于向量只含有大小和方向两个要素，用有向线段表示向量时，与它的始点的位置无关，即同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量．
知识点3 向量的有关概念
1、向量的模：向量的大小叫向量的模(就是用来表示向量的有向线段的长度).
【注意】（1）向量的模；（2）向量不能比较大小，但是实数，可以比较大小．
2、零向量：长度为零的向量叫零向量.记作，它的方向是任意的．
3、单位向量：长度等于1个单位的向量.
【注意】（1）在画单位向量时，长度1可以根据需要任意设定；
（2）将一个向量除以它的模，得到的向量就是一个单位向量，并且它的方向与该向量相同．
4、相等向量：长度相等且方向相同的向量.
【注意】在平面内，相等的向量有无数多个，它们的方向相同且长度相等．
知识点4 向量的共线或平行
1、向量共线或平行的定义：方向相同或相反的非零向量，叫共线向量(共线向量又称为平行向量).
规定：与任一向量共线.
【注意】（1）零向量的方向是任意的，注意0与0的含义与书写区别.
（2）平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系.
2、共线向量与相等向量的关系：相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定是相等的向量．
考点剖析
考点1 向量的相关概念辨析
【例1】（2023·高一课时练习）
1．给出下列物理量：（1）质量；（2）速度；（3）力；（4）加速度；（5）路程；（6）密度；（7）功；（8）电流强度；（9）体积.其中不是向量的有（ ）
A．6个 B．5个 C．4个 D．3个
【变式1-1】（2023·贵州遵义·高一校考阶段练习）
2．下列说法错误的是（ ）
A．有向线段与表示同一向量
B．两个有公共终点的向量是平行向量
C．零向量与单位向量是平行向量
D．单位向量都相等
【变式1-2】（2023·新疆乌鲁木齐·高一校考期中）
3．下列命题：①方向不同的两个向量不可能是共线向量；②长度相等、方向相同的向量是相等向量；③平行且模相等的两个向量是相等向量；④若，则.其中正确命题的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式1-3】（2023·山东菏泽·高一鄄城县第一中学校考阶段练习）
4．下列说法错误的是（ ）
A．任一非零向量都可以平行移动 B．是单位向量，则
C． D．若，则
【变式1-4】（2023·全国·高一课时练习）
5．下列命题正确的是（ ）
A．零向量没有方向 B．若，则
C．若，，则 D．若，，则
考点2 向量的表示方法
【例2】（2023·山东菏泽·高一东明县第一中学校考阶段练习）
6．对下面图形的表示恰当的是（ ）．

A． B． C． D．
【变式2-1】（2023·内蒙古呼伦贝尔·高二校考阶段练习）
7．已知向量如图所示，下列说法不正确的是（ ）
A．也可以用表示 B．方向是由M指向N C．起点是M D．终点是M
【变式2-2】（2023·全国·高一课时练习）
8．用有向线段分别表示一个方向向上、大小为20N的力，以及一个方向向下、大小为30N的力（用1cm的长度表示大小为10N的力）．
【变式2-3】（2023·全国·高一随堂练习）
9．选择适当的比例尺，用有向线段表示下列向量．
(1)终点A在起点O正东方向3m处；
(2)终点B在起点O正西方向3m处；
(3)终点C在起点O东北方向4m处；
(4)终点D在起点O西南方向2m处．
【变式2-4】（2023·高一课时练习）
10．在如图的方格纸上，已知向量，每个小正方形的边长为1．
(1)试以为终点画一个有向线段，设该有向线段表示的向量为，使．
(2)在图中画一个以为起点的有向线段，设该有向线段表示的向量为，且，并说出点的轨迹是什么？
考点3 相等向量与共线向量判断
【例3】（2023·高一课时练习）
11．如图，在正六边形中，点为其中点，则下列判断错误的是（ ）

A． B．
C． D．
【变式3-1】（2023·天津和平·高一校考阶段练习）
12．如图所示，四边形ABCD，CEFG，CGHD是全等的菱形，则下列结论中不一定成立的是（　　）
A． B．与共线
C．与共线 D．
【变式3-2】（2023·全国·高一课时练习）
13．在图中的方格纸中有一个向量，分别以图中的格点为起点和终点作向量，其中与相等的向量有多少个？与长度相等的共线向量有多少个（除外）？

【变式3-3】（2023·高一课时练习）
14．如图所示，在等腰梯形ABCD中，，对角线AC，BD交于点O，过点O作，交AD于点M，交BC于点N，则在以A，B，C，D，M，O，N为起点或终点的所有有向线段表示的向量中，相等向量有 对.

【变式3-4】（2023·高一课时练习）
15．如图所示，四边形为正方形，为平行四边形，

(1)与模长相等的向量有多少个？
(2)写出与相等的向量有哪些？
(3)与共线的向量有哪些？
(4)请列出与相等的向量．
考点4 向量在几何中的应用
【例4】（2023·全国·高一课时练习）
16．已知四边形，下列说法正确的是（ ）
A．若，则四边形为平行四边形
B．若，则四边形为矩形
C．若，且，则四边形为矩形
D．若，且，则四边形为梯形
【变式4-1】（2022·高一校考课时练习）
17．在四边形ABCD中，若，且，则四边形ABCD的形状是 .
【变式4-2】（2023·高一课时练习）
18．如图所示，在平行四边形中，，分别是，的中点.
(1)写出与向量共线的向量；
(2)求证：.
【变式4-3】（2023·高一课时练习）
19．如图，已知四边形中，，分别是，的中点，且，求证：.
考点5 向量在实际问题中的应用
【例5】（2023·山东菏泽·高一东明县第一中学校考阶段练习）
20．如果一架飞机向西飞行，再向南飞行，记飞机飞行的路程为，位移为，则（ ）．
A． B． C． D．与不能比较大小
【变式5-1】（2023·高一课时练习）
21．如图，某人从点A出发，向西走了200m后到达B点，然后改变方向，沿北偏西一定角度的某方向行走了到达C点，最后又改变方向，向东走了200m到达D点，发现D点在B点的正北方．
(1)作出、、（图中1个单位长度表示100m）；
(2)求的模．
【变式5-2】（2022·高一课时练习）
22．某人从点A出发向西走4个单位长度到达点B，然后改变方向朝西北方走6个单位长度到达点C，最后又向东走4个单位长度到达点D．试分别作出向量，和．
【变式5-3】（2023·高一课时练习）
23．已知飞机从地按北偏东方向飞行到达地，再从地按南偏东方向飞行到达地，再从地按西南方向飞行到达地．画图表示向量，并指出向量的模和方向．
【变式5-4】（2023·全国·高一课时练习）
24．某人从A点出发向东走了5米到达B点，然后改变方向沿东北方向走了 米到达C点，到达C点后又改变方向向西走了10米到达D点．
（1）作出向量，，；
（2）求 的模．
过关检测
一、单选题
（2023·海南·高一校考期中）
25．下列各物理量表示向量的是（ ）
A．质量 B．距度 C．力 D．体重
（2023·全国·高一专题练习）
26．下列说法正确的个数是（ ）
（1）温度、速度、位移、功这些物理量是向量；
（2）零向量没有方向；
（3）向量的模一定是正数；
（4）非零向量的单位向量是唯一的．
A．0 B．1 C．2 D．3
（2023·全国·高一课时练习）
27．给出下列命题:①和的模相等；②方向不同的两个向量一定不平行；③；④.其中正确命题的个数是
A．0 B．1 C．2 D．3
（2023·新疆·高一校考期中）
28．已知向量如下图所示，下列说法不正确的是（ ）
A．向量可以用表示 B．向量的方向由指向
C．向量的起点是 D．向量的终点是
（2022·高一课时练习）
29．如图，四边形是等腰梯形，则下列关系中正确的是（ ）
A． B． C． D．
（2023·全国·高一课时练习）
30．设点O是正三角形ABC的中心，则向量，，是（ ）
A．相同的向量 B．模相等的向量
C．共线向量 D．共起点的向量
（2023·山东滨州·高一统考期中）
31．下列说法正确的是（ ）
A．单位向量都相等
B．若，则
C．若，则
D．若，则
（2023·新疆·高一兵团第三师第一中学校考阶段练习）
32．关于向量，，下列命题中，正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，，则
二、多选题
（2023·海南儋州·高一校考阶段练习）
33．以下说法正确的是（ ）
A．两个相等向量的模相等
B．平行向量方向相同
C．若和都是单位向量，则
D．平行向量一定是共线向量
（2023·四川泸州·高一泸县五中校考阶段练习）
34．下面关于向量的说法正确的是（ ）
A．单位向量：模为的向量
B．零向量：模为的向量
C．平行共线向量：方向相同的向量
D．相等向量：模相等，方向相同的向量
（2023·福建宁德·高一校考阶段练习）
35．以下关于向量的说法正确的有（ ）
A．若，则
B．零向量没有方向
C．若且，则
D．若与共线，与共线，则与共线
（2023·甘肃白银·高一校考期中）
36．下列说法中正确的是（ ）
A．若，则 B．若与共线，则与方向相同或相反
C．若，为单位向量，则 D．是与非零向量共线的单位向量
三、填空题
（2023·高一单元测试）
37．在四边形中，，则这个四边形的形状是 .
（2023·高一课时练习）
38．某人从A点出发向西走了到达点，然后改变方向向西偏北走了到达点，最后又改变方向，向东走了到达点，则的模= ．
（2023·高一课时练习）
39．如图所示，已知四边形ABCD是矩形，O为对角线AC与BD的交点，设点集，向量的集合不重合且，则集合T有 个元素．
（2023·上海·高一复兴高级中学校考期末）
40．下列关于向量的命题，序号正确的是 .
①零向量平行于任意向量；
②对于非零向量，若，则；
③对于非零向量，若，则；
④对于非零向量，若，则与所在直线一定重合.
四、解答题
（2023·全国·高一课时练习）
41．用有向线段表示下列物体运动的速度．
(1)向正东方向匀速行驶的汽车在2h内的位移是60km（用的比例尺）；
(2)做自由落体运动的物体在1s末的速度（用1cm的长度表示速度2m/s）．
（2023·高一课时练习）
42．一辆货车从A地出发向西行驶200km到达B地，然后义从B地向北偏西40°方向行驶400km到达C地，最后从C地向东行驶200km到达D地.
（1）作出向量，，；
（2）求的大小和方向.
（2022·高一课时练习）
43．在如图所示的坐标纸中(每个小正方形的边长均为1)，用直尺和圆规画出下列向量．
(1)，点A在点O北偏西45°方向；
(2)，点B在点O正南方向．
（2022·高一课时练习）
44．如图，在矩形ABCD中，AD＝2AB＝2，M，N分别为AD和BC的中点，以A，B，C，D，M，N为起点和终点作向量，回答下列问题：
(1)在模为1的向量中，相等的向量有多少对？
(2)在模为的向量中，相等的向量有多少对？
（2023·新疆·高一校考期中）
45．如图，设O是 ABCD对角线的交点，则
(1)与的模相等的向量有多少个？
(2)与的模相等，方向相反的向量有哪些？
(3)写出与共线的向量．
（2023·高一课时练习）
46．是正方形对角线的交点，四边形，都是正方形，在如图所示的向量中：
（1）分别找出与，相等的向量；
（2）找出与共线的向量；
（3）找出与模相等的向量；
（4）向量与是否相等？
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．A
【分析】根据向量的概念，即可得出答案.
【详解】看一个量是不是向量，就要看它是否具备向量的两个要素：大小和方向.
（2）（3）（4）既有大小也有方向，是向量，
（1）（5）（6）（7）（8）（9）只有大小没有方向，不是向量.
故选：A.
2．ABD
【分析】根据向量的概念以及平行向量的概念判断求解.
【详解】对A, 有向线段与表示相反向量，不是同一向量，A错误；
对B，两个有公共终点的向量不一定是平行向量，B错误；
对C，我们规定：零向量与任意向量是平行向量，C正确；
对D，单位向量仅是模长相等，方向不确定，D错误；
故选:ABD.
3．A
【分析】根据平面向量的相关概念，逐项判断，即可得到本题答案.
【详解】对于①，由共线向量的定义可知：方向相反的两个向量也是共线向量，故①错误；
对于②，长度相等，方向相同的向量是相等向量，故②正确；
对于③，平行向量的方向相同或相反，不一定方向相同，所以不一定相等，故③错误；
对于④，若，可能只是方向不相同，但模长相等，故④错误.
故选：A
4．D
【分析】根据题意，由向量的定义以及相关概念对选项逐一判断，即可得到结果.
【详解】因为非零向量是自由向量，可以自由平移移动，故A正确；
由单位向量对于可知，，故B正确；
因为，所以，故C正确；
因为两个向量不能比较大小，故D错误；
故选：D
5．C
【分析】A选项，由零向量的定义进行判断；B选项，根据向量的模及相等向量判断；
C选项，根据向量的性质判断，D选项，根据共线向量的定义判断；
【详解】对于A项：零向量的方向是任意的并不是没有方向，故A项错误；
对于B项：因为向量的模相等，但向量不一定相等，故B项错误；
对于C项：因为，，所以可得：，故C项正确；
对于D项：若，则不共线的，也有，，故D项错误.
故选：C.
6．C
【分析】图像是个有向线段，可知其表达是一个向量.
【详解】图像有起点有终点，有箭头有方向，可知其代表的是向量.
故选：C.
7．D
【详解】由向量的几何表示知，A、B、C正确，D不正确．故选D．
8．答案见解析．
【分析】根据有向线段的定义作图．
【详解】如图，有向线段表示方向向上、大小为20N的力，有向线段表示方向向下、大小为30N的力，
9．(1)答案见解析；
(2)答案见解析；
(3)答案见解析；
(4)答案见解析．
【分析】（1）从向东作长度为3m的有向线段；
（2）从向西作长度为3m的有向线段；
（3）从点起向北偏东方向作长度为4m的有向线段；
（4）从点起向南偏西方向作长度为2m的有向线段．
【详解】（1）从向东作长度为3m的有向线段：

（2）从向西作长度为3m的有向线段：

（3）从点起向北偏东方向作长度为4m的有向线段：

（4）从点起向南偏西方向作长度为2m的有向线段：

10．(1)图见解析
(2)点的轨迹是以A为圆心，半径为的圆
【分析】（1）根据相等向量的定义，即可画出向量；
（2）根据模长，画出向量，在判断轨迹.
【详解】（1）如图，感觉向量相等的定义，与的方向相同，长度相等，即，即可得到向量；

（2）如图，画出一个满足条件的向量，点的轨迹是以点为圆心，半径的圆.

11．D
【分析】根据正六边形的性质逐项判断后可得正确的选项.
【详解】对于A，由正六边形的性质可得四边形为平行四边形，故，故A正确.
对于B，因为，故，故B正确.
对于C，由正六边形的性质可得，故，故C正确.
对于D，因为交于，故不成立，故D错误，
故选：D.
12．C
【分析】利用菱形的性质及向量的定义逐一判断即可.
【详解】四边形ABCD，CEFG，CGHD是全等的菱形，
，即三点共线，
，，
即，，与共线，ABD正确；
对于C：若与共线，则必有，即，该条件不一定成立，
如时，，故与共线不一定成立，
故选：C.
13．7个，个.
【分析】根据给定条件，利用相等向量的定义，确定给定图形中的向量起点即可判断作答.
【详解】当向量的起点C是图中所圈的格点时，可以作出与相等的向量，
这样的格点共有8个，除去点A外，还有7个，所以共有7个向量与相等；
与长度相等的共线向量（除外），有与相等的向量，还有与方向相反且长度相等的向量，
所以与长度相等的共线向量共有（个）.

14．2
【分析】根据等腰梯形的性质结合已知条件，可推得，即可得出答案.
【详解】由题意∥AB可知，，所以，所以.
因为，所以，，
所以，，所以.
又M，O，N三点共线，
所以，，故相等向量有2对.
故答案为：2.
15．(1)有9个
(2)，
(3)，，，，，，
(4)
【分析】（1）（2）（3）（4）根据平面几何的性质及相等向量、共线向量的定义判断即可.
【详解】（1）因为四边形为正方形，为平行四边形，
所以，
所以与模长相等的向量有、、、、、、、、共个.
（2）与相等的向量有、.
（3）与共线的向量有，，，，，，.
（4）因为为平行四边形，所以且，
所以与相等的向量为.
16．A
【分析】根据向量共线和模长相等的几何与意义结合平行四边形、矩形、梯形的定义逐项判断即可.
【详解】A选项，若，则且，则四边形为平行四边形，正确；
选项，如图

，但是四边形不是矩形，错误；
选项，若，且，则四边形可以是等腰梯形,也可以是矩形，故错误．
选项，若，且，则四边形可以是平行四边形，也可以是梯形，故错误.
故选：A
17．梯形
【分析】利用向量关系得出对边平行且边长不等，进而得出答案.
【详解】在四边形ABCD中，因为，所以，
又，所以四边形ABCD的形状是梯形.
故答案为：梯形
18．(1)，，；
(2)证明见解析.
【分析】根据条件，可得四边形为平行四边形，即可写出与向量共线的向量；
根据题意可得出四边形是平行四边形，从而得出，，进而得出结论.
【详解】（1）解：因为在平行四边形中，，分别是，的中点，，，
所以四边形为平行四边形，所以.
所以与向量共线的向量为：，，.
（2）证明：在平行四边形中，，.
因为，分别是，的中点，
所以且，
所以四边形是平行四边形，
所以，，
故.
19．见解析
【解析】根据平行四边形及向量相等的定理即可证明；
【详解】解：因为，所以且，
所以四边形是平行四边形，
所以且.
又与的方向相同，所以.
同理可证，四边形是平行四边形，所以.
因为，，所以，
又与的方向相同，所以
【点睛】本题考查向量相等的定义的应用，属于基础题.
20．A
【分析】根据题意，作图，结合向量的几何意义，可得答案.
【详解】由题意，作图如下：
则该飞机由先飞到，再飞到，则，，，
则飞机飞行的路程为，，
所以.
故选：A.
21．(1)作图见解析
(2)
【分析】（1）根据行走方向和单位长度即可确定各点在坐标系中的位置，即可做出所有向量；
（2）由题意可知，四边形是平行四边形，则可求得的模.
【详解】（1）根据题意可知，B点在坐标系中的坐标为，
又因为D点在B点的正北方，所以，
又，所以，即D、 C两点在坐标系中的坐标为，；
即可作出、、如下图所示.
（2）如图，作出向量，
由题意可知，且，
所以四边形是平行四边形，
则，
所以的模为
22．答案见解析.
【分析】根据题意，在平面内任取一点为，按照要求进行绘制即可.
【详解】根据题意，在平面内任取一点为，按照题意要求方向，作线段，，
则向量，和如下所示：
.
23．答案见解析.
【分析】根据方向角及飞行距离可作出向量，然后在三角形中求向量的模和方向．
【详解】以为原点，正东方向为轴正方向，正北方向为轴正方向建立直角坐标系．
由题意知点在第一象限，点在x轴正半轴上，点在第四象限，
向量如图所示，
由已知可得，

为正三角形，所以．
又，，
所以为等腰直角三角形，
所以，．
故向量的模为，方向为东南方向．
24．（1）见解析；（2）米
【分析】（1）利用方位根据向量的定义作出向量.
（2）根据（1）作出的平面图形，利用平面几何知识求解.
【详解】（1）作出向量，，；如图所示：
（2）由题意得，△BCD是直角三角形，其中∠BDC＝90°，BC＝10 米，CD＝10米，
所以BD＝10米．△ABD是直角三角形，其中∠ABD＝90°，AB＝5米，BD＝10米，
所以AD＝＝(米)，
所以|米.
【点睛】本题主要考查平面向量的画法和向量模的求法，还考查了方位问题和平面几何知识，属于基础题.
25．C
【分析】根据向量的定义判断可得出结论.
【详解】由向量的定义可知，力为向量，质量、距离、体重都为数量.
故选：C.
26．A
【分析】根据零向量与单位向量，向量的定义对各个项逐个判断即可求解．
【详解】对于（1），温度与功没有方向，不是向量，故（1）错误，
对于（2），零向量的方向是任意的，故（2）错误，
对于（3），零向量的模可能为0，不一点是正数，故（3）错误，
对于（4），非零向量的单位向量的方向有两个，故（4）错误，
故选：A．
27．B
【解析】根据平面向量的基本概念，对每一个命题进行分析、判断即可．
【详解】与是方向相反 模相等的两个向量，故①正确；
方向相同和相反的两个向量平行，方向不同包括反向共线，故②错误；
是一个向量，而0为数量，所以，故③错误；
向量不能比较大小，故④错误.
故选：B
【点睛】本题考查向量的概念和共线向量的定义，考查判断能力和推理能力，属于基础题．
28．D
【分析】根据向量的几何表示逐个选项分析可得答案.
【详解】由图可知，向量可以用表示，故A正确；向量的方向由指向，故B正确；
向量的起点是，故C正确；向量的终点是，故D不正确.
故选：D
29．B
【分析】根据向量的相关概念及等腰梯形的定义即可求解.
【详解】解：由题意，四边形是等腰梯形得，且，，
所以选项A错误，选项B正确，
又向量不能比较大小，
所以选项C，D错误，
故选：B
30．B
【分析】根据正三角形的中心到三个顶点的距离相等，得到这三个向量的模长相等，即可判断得解
【详解】是正的中心，向量分别是以三角形的中心和顶点为起点和终点的向量，
到三个顶点的距离相等，但向量，，不是相同向量，也不是共线向量，也不是起点相同的向量.
故选：B
31．C
【分析】利用向量的相关性质逐项判断即可.
【详解】对于A，单位向量的模长都相等，但方向不一定相同，所以选项A错误；
对于B，若，说明两个向量的模长相等，但方向不一定相同或相反，所以两向量不一定共线，所以选项B错误；
对于C，向量的相等条件为方向相同且模长相等，所以，则，所以选项C正确；
对于D，此时若，但两向量的方向不同，满足，但与选项D题干矛盾，所以选项D错误.
故选：C.
32．B
【分析】根据向量相等的定义、共线向量的定义和性质依次判断各个选项即可.
【详解】对于A，当时，方向可能不同，未必成立，A错误；
对于B，若，则反向，，B正确；
对于C，只能说明长度的大小关系，但还有方向，无法比较大小，C错误；
对于D，当时，，，此时未必共线，D错误.
故选：B.
33．AD
【分析】根据相等向量、平行向量、单位向量、共线向量的概念分析可得答案.
【详解】根据相等向量的概念可知，两个相等向量的模相等，故A正确；
根据平行向量的概念可知，平行向量方向可能相同、可能相反，零向量与任何向量平行，此时不谈方向，故B不正确；
若和都是单位向量，则，不一定有，故C不正确；
平行向量与共线向量是同一个概念，故D正确.
故选：AD.
34．ABD
【分析】由单位向量、零向量、相等向量、共线向量的概念可知.
【详解】C项，方向相反的向量也是共线向量，故错误；
ABD项，由单位向量、零向量、相等向量概念可知，正确.
故选：ABD.
35．AC
【分析】由相等向量、相反向量的定义判断A、C；根据零向量性质判断B、D.
【详解】A：，即为相等向量，则，对；
B：零向量方向任意，错；
C：由且，可得，对；
D：若为零向量，、为非零向量，则与不一定共线，错.
故选：AC
36．AD
【分析】根据零向量的定义与性质，单位向量的定义以及共线向量的定理，可得答案.
【详解】对于A，根据零向量的定义，故A正确；
对于B，当时，显然与共线，当零向量的方向是任意的，故B错误；
对于C，设，，显然为单位向量，但，故C错误；
对于D，由，则为单位向量，由，则向量与共线，故D正确.
故选：AD.
37．平行四边形
【分析】根据向量相等的意义进行判断
【详解】由可知//，且，
注意到四边形中不共线，于是//，
结合可知，该四边形是平行四边形.
故答案为：平行四边形
38．
【分析】根据向量共线，且，判断四边形为平行四边形，可得，即可求得答案.
【详解】如图示，由题意可得向量共线，且，

则四边形为平行四边形，故，
故答案为：
39．12
【分析】根据题中关于集合的定义，应用枚举法，列出符合条件的元素个数即可.
【详解】由已知得，，且不重合，可得向量集合为（不含相等向量）：
以为起点：，
以为起点：，
以为起点：，
以为起点：，
以为起点：
综上所述，集合T有12个元素.
故答案为：12
40．①③
【分析】根据平行向量和共线向量的定义可判断①②④；根据相等向量和相反向量的定义可判断③.
【详解】因为零向量与任一向量平行，所以①正确；
对于非零向量，若，则和是平行向量，而平行向量是方向相同或相反的非零向量，
故不一定等于，故②错误；
对于非零向量，若，则与是相等向量或相反向量，故，故③正确；
对于非零向量，若，则和是平行向量，也是共线向量，但与所在直线不一定重合.
故选：①③
41．(1)答案见解析．
(2)答案见解析．
【分析】（1）以为起点，向右作长度是3cm的有向线段；
（2）以为起点，向下作长度为的有向线段．
【详解】（1），
以为起点，向右作有向线段，它的长度是3cm，

（2），时，，
以为起点，向下作有向线段，长度为：

42．（1）见解析 （2）与同向，则的方向也为北偏西40°.
【解析】（1）根据题意画出图形即可得到向量；
（2）可证四边形为平行四边形，即可得解；
【详解】解：（1）向量，，如图所示.
（2）由题意知与方向相反，故与共线.
又，∴且，
∴四边形为平行四边形，
∴，且，
∴与同向，则的方向也为北偏西40°.
【点睛】本题考查相等向量的应用，属于基础题.
43．(1)答案见解析；(2)答案见解析.
【分析】(1)根据描述找出终点A即可；
(2)根据描述找出终点B即可.
【详解】(1)∵，点A在点O北偏西45°方向，∴以O为圆心，3为半径作圆与图中正方形对角线OP的交点即为A点：
(2)∵，点B在点O正南方向，∴以O为圆心，图中OQ为半径化圆，圆弧与OR的交点即为B点：
44．(1)18对
(2)4对
【分析】（1）根据图形和已知条件，可逐一列出模为1的向量，相等的向量，再确定对数即可；
（2）根据图形和已知条件，可逐一列出模为的向量，相等的向量，再确定对数即可；
【详解】（1）解：在模为1的向量中，相等的向量有:
①，共有6对；
②，共有6对；
③，共有3对；
④，共有3对；
所以模为1的向量中，相等的向量共有18对.
（2）解：在模为的向量中，相等的向量有:
.
共有4对.
45．(1)三个
(2)，
(3)，，
【分析】（1）（2）（3）根据平行四边形的性质、共线向量、向量的模的定义判断即可；
【详解】（1）解：在平行四边形中，为对角线的交点，所以，且，所以与的模相等的向量有，，三个向量．
（2）解：与的模相等且方向相反的向量为，.
（3）解：与共线的向量有，，.
46．（1），；（2），，；（3），，，，，，；（4）不相等．
【分析】根据题中条件，先得到各边之间关系；
（1）根据相等向量的概念，结合图形，即可得出结果；
（2）根据共线向量的概念，结合图形，即可得出结果；
（3）根据向量模的概念，结合图形，即可得出结果；
（4）根据相等向量的概念，结合题意，即可得出结果.
【详解】因为是正方形对角线的交点，四边形，都是正方形，
所以，；
（1）由题中图形可得：，；
（2）由图形可得，与共线的向量有：，，；
（3）与模相等的向量有：，，，，，，；
（4）向量与不相等，因为它们的方向不相同．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

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