资源简介

专题04 向量的数量积-【寒假自学课】（苏教版2019）
专题04 向量的数量积
知识聚焦
考点聚焦
知识点一、向量的数量积
1、向量的夹角
（1）定义：已知两个非零向量，，是平面上的任意一点，作，，
则（）叫做向量与的夹角．
（2）性质：当时，与同向；当时，与反向．
（3）向量垂直：如果与的夹角是，我们说与垂直，记作．
2、向量数量积的定义
（1）定义：非零向量与，它们的夹角为，数量叫做向量与的数量积（或内积）；
（2）记法：向量与的数量积记作，即；
零向量与任一向量的数量积为0；
3、投影向量
（1）设，是两个非零向量，，，
考虑如下变换：过的起点A和终点B，分别作所在直线的垂线，垂足分别为，，得到，我们称上述变换为向量向向量投影，叫做向量在向量上的投影向量．
（2）在平面内任取一点O，作，，过点M作直线的垂线，垂足为，则就是向量在向量上的投影向量，且．
（3）几何意义：数量积等于的长度||与在的方向上的投影的乘积.
4、向量数量积的物理背景
如果一个物体在力的作用下产生位移，那么力所做的功就等于力与位移的数量积，即，其中是与的夹角.
知识点二、向量数量积的性质与运算律
1、向量数量积的性质
设，都是非零向量，是单位向量，θ为与（或）的夹角．则
（1）；
（2）；
（3）当与同向时，；当与反向时，；
特别地，或；
（4）cos θ＝；
（5）
2、向量数量积满足的运算律
（1）；
（3）（λ为实数）；
（3）；
（4）两个向量，的夹角为锐角 且，不共线；
两个向量，的夹角为钝角 且，不共线．
（5）平面向量数量积运算的常用公式

知识点三、求平面向量数量积的方法
1、定义法：若已知向量的模及夹角，则直接利用公式，运用此法计算数量积的关键是正确确定两个向量的夹角，条件是两向量的始点必须重合，否则，要通过平移使两向量符合以上条件；
2、运算律转化法：由可得如下运算公式：；；；
3、向量的线性运算转化法：涉及平面图形中向量的数量积的计算时，要结合向量的线性运算，将未知向量转化为已知向量求解.
考点剖析
考点1 向量数量积的概念辨析
【例1】（2023·高一单元测试）
1．以下关于两个非零向量的数量积的叙述中，错误的是（ ）
A．两个向量同向共线，则他们的数量积是正的 B．两个向量反向共线，则他们的数量积是负的
C．两个向量的数量积是负的，则他们夹角为钝角 D．两个向量的数量积是0，则他们互相垂直
【变式1-1】（2023·上海闵行·高一统考期末）
2．下列命题中正确的是（ ）
A． B．
C．若，则 D．若，则
【变式1-2】（2023·陕西咸阳·高一校考阶段练习）
3．在等式①；②；③；④若，且，则；其中正确的命题的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式1-3】（2023·全国·高一课时练习）
4．下列说法正确的是（ ）
A．对任意向量，都有
B．若且，则
C．对任意向量，都有
D．对任意向量，都有
考点2 向量数量积的运算
【例2】（2023·河南·高一校考阶段练习）
5．在边长为2的等边中，的值是（ ）
A．4 B． C．2 D．
【变式2-1】（2023·全国·高一课时练习）
6．已知向量、满足，，且与夹角的余弦值为，则（ ）
A． B． C． D．12
【变式2-2】（2023·全国·高一课时练习）
7．已知向量，向量与，的夹角都是60°，且，，，试求
(1)；
(2).
【变式2-3】（2023·湖北荆州·高一沙市中学校考期中）
8．已知边长为1的菱形中，角，则 .
【变式2-4】（2023·安徽马鞍山·高一当涂第一中学校考期中）
9．如图，在中，为线段上一点，若，，且与的夹角为，则的值为 .

考点3 利用数量积求向量模长
【例3】（2023·天津和平·高一统考期末）
10．已知平面向量，且与的夹角为，则（ ）
A．12 B．16 C． D．
【变式3-1】（2023·江苏·高一课时练习）
11．已知向量与向量满足：，，且与的夹角为，则 ．
【变式3-2】（2023·全国·高一课时练习）
12．若平面向量两两夹角相等， 且， 则= （ ）
A．2 B．5 C．2或5 D． 或
【变式3-3】（2023·河南·高一济源市第四中学校考阶段练习）
13．已知向量，满足，，，则 ．
【变式3-4】（2023·广东佛山·高一校考阶段练习）
14．设点、、、为四个互不相同的点，且在同一圆周上，若，且，则 .
考点4 利用数量积求向量夹角
【例4】（2023·新疆乌鲁木齐·高一校考期中）
15．已知向量，，，则向量与的夹角大小为（ ）
A． B． C． D．
【变式4-1】（2023·全国·高一随堂练习）
16．若，，且，则与的夹角为 ；
【变式4-2】（2023·湖南常德·高一阶段练习）
17．已知是夹角为的两个单位向量，设向量，，则与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
【变式4-3】（2023·全国·高一课时练习）
18．已知单位向量，满足，若向量，则 ．
【变式4-4】（2023·江苏连云港·高一统考期中）
19．在任意四边形中，点，分别在线段，上，且，，，，，则与夹角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
考点5 两个向量的垂直问题
【例5】（2023·高一单元测试）
20．是边长为2的等边三角形，已知向量满足，，则下列结论不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式5-1】（2023·全国·高一随堂练习）
21．若向量，满足，且，，则（ ）．
A．2 B． C．1 D．
【变式5-2】（2023·辽宁铁岭·高一西丰县高级中学校考期中）
22．已知非零向量满足，则与的夹角为 .
【变式5-3】（2023·河南新乡·高一校考阶段练习）
23．已知单位向量，的夹角为，，，若，则实数 .
【变式5-4】（2023·山西朔州·高一校考阶段练习）
24．已知，，与的夹角为45°，要使与垂直，则的值为（ ）
A． B． C． D．
考点6 投影及投影向量
【例6】（2023·全国·高一课时练习）
25．已知向量与的夹角为，，则向量在上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
【变式6-1】（2023·湖北·高一仙桃中学校考阶段练习）
26．已知为单位向量，，向量，的夹角为，则在上的投影向量是（ ）
A． B． C． D．
【变式6-2】（2023·云南昆明·高一校考阶段练习）
27．已知非零向量满足，，则在方向上的投影向量的模为 ．
【变式6-3】（2023·河南新乡·高一校考阶段练习）
28．设单位向量 的夹角为，，，则在方向上的投影为（ ）
A． B． C． D．
考点7 由数量积判断三角形形状
【例7】（2023·河北石家庄·高一校考期中）
29．在中，若，则的形状是（ ）
A．等边三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形
【变式7-1】（2023·山东菏泽·高一鄄城县第一中学校考阶段练习）
30．在中，，则的形状是（ ）
A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．不能确定
【变式7-2】（2023·贵州黔西·高一校考阶段练习）
31．若O是所在平面内一点，且满足，则的形状是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形
【变式7-3】（2023·上海浦东新·高一校考阶段练习）
32．在中，若，则的形状是 .
考点8 求向量数量积的最值
【例8】（2023·山东青岛·高一统考期中）
33．已知点是边长为2的正的内部（不包括边界）的一个点，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【变式8-1】（2023·河南省直辖县级单位·高一济源市第四中学校考阶段练习）
34．中，，，，点C是线段上的动点，点D是的中点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．2
【变式8-2】（2023·北京顺义·高一牛栏山一中校考期中）
35．如图，边长为2的菱形的对角线相交于点，点在线段上运动，若，则的最小值为 .
【变式8-3】（2023·安徽池州·高一校联考期中）
36．已知菱形的边长为1，，点E是边上的动点，则的最大值为（ ）．
A．1 B． C． D．
过关检测
一、单选题
（2023·高一单元测试）
37．已知向量，满足，且与的夹角为，则（ ）
A．6 B．8 C．10 D．14
（2023·甘肃临夏·高一统考期末）
38．在中，，，，则（ ）
A． B．16 C． D．9
（2023·新疆喀什·高一统考期末）
39．已知平面向量，满足，，，则与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
（2023·宁夏吴忠·高一吴忠中学校考期末）
40．若，是夹角为的两个单位向量，且与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
（2023·山东菏泽·高一东明县第一中学校考阶段练习）
41．若平面向量，，，两两的夹角相等，且，，，则（ ）．
A．2 B．4或 C．5 D．2或5
（2023·吉林·高一榆树市实验高级中学校校联考期末）
42．如图，已知，，，任意点关于点的对称点为，点关于点的对称点为，则（ ）

A．1 B．2
C． D．
（2023·河南·高一济源市第四中学校考阶段练习）
43．若向量与向量的夹角为，且，则向量在向量方向上的投影向量是（ ）
A． B． C． D．
（2023·北京海淀·高一清华附中校考期末）
44．已知，，，则的最大值为（ ）
A．1 B．2 C． D．4
二、多选题
（2023·贵州贵阳·高一校考阶段练习）
45．如果是两个单位向量，那么下列四个结论中不正确的是（ ）
A． B． C． D．
（2023·云南保山·高一统考期中）
46．已知矩形的面积为，则（ ）
A．5 B．3 C． D．
（2023·河北石家庄·高一校考期中）
47．若向量满足，，则（ ）
A． B．与的夹角为
C． D．在上的投影向量为
（2023·四川遂宁·高一射洪中学校考阶段练习）
48．下列说法正确的有（ ）
A．
B．λ、μ为非零实数，若，则与共线
C．若，则
D．若平面内有四个点A、B、C、D，则必有
三、填空题
（2023·上海·高一校考期中）
49．设向量满足，，则 ．
（2023·全国·高一课时练习）
50．已知平面向量满足，则实数的值为 ．
（2023·山西朔州·高一校考阶段练习）
51．已知与是两个单位向量，且向量与的夹角为，则向量在向量上的投影向量为 ．
（2023·山东菏泽·高一东明县第一中学校考阶段练习）
52．如图，在中，已知，，，，边上的两条中线，相交于点，则的余弦值是 ．

四、解答题
（2023·全国·高一专题练习）
53．已知向量，向量与，的夹角都是60°，且，，，试求
(1)；
(2).
（2023·青海西宁·高一校考期中）
54．设向量、满足，且．
(1)求与夹角的大小；
(2)求与夹角的大小．
（2023·全国·高一随堂练习）
55．已知向量为向量的夹角.
(1)求的值；
(2)若，求实数的值.
（2023·山西朔州·高一校考阶段练习）
56．已知，，．
(1)求的值；
(2)求向量与夹角的正切值．
（2023·贵州黔西·高一校考阶段练习）
57．已知向量与的夹角为，且，，求：
(1)；
(2)在方向上的投影向量的模．
（2023·陕西西安·高一期中）
58．已知向量满足，且的夹角为.
(1)求的模；
(2)若与互相垂直，求λ的值.
试卷第2页，共2页
试卷第1页，共1页
参考答案：
1．C
【分析】根据数量积的定义和向量夹角的范围确定答案.
【详解】对于任意得两个非零向量，，其中.
若两个非零向量同向共线，则，，，故A正确；
若两个非零向量反向共线，则，，，故B正确；
若这两个非零向量的数量积是负的，则，，故C错误；
若两个非零向量的数量积是0，则，，互相垂直，故D正确.
故选: C.
2．B
【分析】根据相等向量、零向量的定义判断A、C、D，根据向量数量积的定义判断B.
【详解】对于A：，故A错误；
对于B：，故B正确；
对于B：若时，与的方向可能不同，与可能不相等，故C错误；
对于D：若时，即，所以，得不出，故D错误．
故选：B．
3．A
【分析】由零向量、向量数乘、数量积等概念和性质，即可判断正误，进而确定答案.
【详解】零向量与任何向量的数量积都为0，故①错误；
0乘以任何向量都为零向量，故②正确；
向量的加减、数乘满足结合律，而向量数量积不满足结合律，故③错误；
不一定有，如满足条件，结论不成立，故④错误；
故选：A
4．AD
【分析】可由数量积的定义及运算律可逐一判定选项.
【详解】，，
可得，故选项A正确；
由可得，
又，可得或，
故选项B错误；
,
所以不一定成立，
故选项C错误；
由向量数量积运算的分配律可知选项D正确；
故选：AD.
5．D
【分析】根据平面向量数量积运算求得正确答案.
【详解】∵，向量与的夹角为120°，
∴.
故选：D
6．A
【分析】根据给定条件，利用数量积的运算律计算即得.
【详解】依题意，，
所以.
故选：A
7．(1)11
(2)
【分析】（1）根据数量积的运算律即可代入求解，
（2）由数量积的运算律即可代入求解.
【详解】（1）向量，向量与，的夹角都是60°，且，，，，，
，，，，
；
（2）
8．
【分析】根据向量的线性运算法则和向量的数量积的计算公式，准确计算，即可求解.
【详解】设向量，且，，
因为，可得，，
所以.
故答案为：

9．
【分析】根据题意，由，将数量积的运算转化为基底向量运算，即可得到结果.
【详解】因为，所以，
所以
即.
故答案为：.
10．C
【分析】根据数量积的定义可得，结合模长公式和数量积的运算律运算求解.
【详解】由题意可知：，
所以.
故选：C.
11．2
【分析】由向量模、数量积公式先求出，再由公式即可得解.
【详解】由题意，，
所以 .
故答案为：2.
12．C
【分析】根据给定条件，分情况结合数量积定义求解即得.
【详解】平面向量两两夹角相等，则或，
当时，即向量同向共线，则，
当时，
.
故选：C
13．
【分析】根据平面向量的数量积与模长公式计算即可.
【详解】由可知，
所以.
故答案为：.
14．
【分析】依题意可得为圆的直径，设，则为圆的直径，连接，根据数量积的定义及锐角三角函数计算可得.
【详解】，
，
为圆的直径，如图所示：

设，则为圆的直径，连接，，
，
．
故答案为：．
15．B
【分析】根据公式可求夹角的大小.
【详解】，而，故，
故选：B.
16．####
【分析】根据已知结合数量积的运算律可推得，然后即可求出，进而得出答案.
【详解】由已知可得，，
所以，，
所以，.
又，所以.
故答案为：.
17．C
【分析】由已知求出，根据数量积的运算求出的值，进而根据数量积的定义，即可得出答案.
【详解】由已知可得，，
所以，
，
，
所以，，
所以，，
所以，.
故选：C.
18．##0.25
【分析】根据条件先求得，再利用向量的夹角公式进行计算即可.
【详解】由已知得，
，
所以．
故答案为：
19．C
【分析】由，得，再两边平方求解即可.
【详解】
由，则①，
又②，
由①+②可得，即，
故，设与夹角为，
则，解得.
故选：C．
20．ABC
【分析】由可判断A；计算的值可判断B，C错误；计算的值可判断D.
【详解】在中，由，得，故A错误；
又，且，所以，所以，故B，C错误；
因为，所以，故D正确.
故选：ABC.
21．D
【分析】根据已知化简即可得出，，进而得出答案.
【详解】设，
由已知可得，，
所以.
又，
所以，解得（舍去负值），
所以，.
故选：D.
22．
【分析】由已知可得：，并且，整理可得，进而可得，即可得到，即，再根据向量的夹角公式可求答案.
【详解】因为，所以，
因为，所以，
两式相减得，
所以，
将代入第一个式子可得：，
所以，即.
设向量与的夹角为，则，
因为，所以向量与的夹角大小为.
故答案为：.
23．##
【分析】根据垂直数量积为0，结合数量积公式求解即可.
【详解】由题意，，即，解得.
故答案为：
24．A
【分析】根据题意，由平面向量的数量积运算，代入计算，即可得到结果.
【详解】若与垂直，则，即，所以.
故选：A
25．A
【分析】根据题意，结合向量的投影的定义和计算方法，即可求解.
【详解】由题意知，向量且向量与的夹角为，
所以向量在上的投影为，
又因为，所以向量在上的投影向量为.
故选：A.
26．D
【分析】利用投影向量定义求解即可.
【详解】由已知，向量，的夹角为，
得，又已知为单位向量，
则在上的投影向量是.
故选：D.
27．
【分析】根据投影向量定义可知所求模长为，由向量垂直关系可求得，根据可得结果.
【详解】在方向上的投影向量为，为与同向的单位向量，
在方向上的投影向量的模长为；
，，，
，即所求模长为.
故答案为：.
28．A
【分析】根据投影公式运算即可.
【详解】由题意，，故在方向上的投影为.
故选：A
29．C
【分析】根据给定条件，利用向量运算律计算判断即得.
【详解】在中，由，得，
即，因此，即，
所以是等腰三角形.
故选：C
30．D
【分析】由，可得，分析即得解.
【详解】由题意，
，又，
为锐角，但另外两角不能确定，故的形状不能确定.
故选：D.
31．B
【分析】根据平面向量的线性运算、数量积与模长公式，可以得出，由此可判断出的形状.
【详解】由，可得，即，，
等式两边平方，化简得，，
因此，是直角三角形.
故选：B.
32．等腰三角形
【分析】根据向量的数量积运算性质求解.
【详解】，
，即，
为等腰三角形.
故答案为：等腰三角形
33．C
【分析】利用平面向量的数量积的几何意义求解.
【详解】解：如图所示：
因为点是边长为2的正的内部（不包括边界）的一个点，
由图象知：，
所以，
故选；C
34．B
【分析】因为，，，可以选定为基向量，因为点C是线段上的动点，所以,让后将其都转化为为基向量的运算，即可求出的最小值.
【详解】因为点C是线段上的动点，
所以,
所以
因为点D是的中点,所以,
所以,
又，，，即
所以，
，
又，
所以当时，的最小值.
故选：B.
35．##-0.75
【分析】根据已知条件求出，再表示出，进而求其最小值.
【详解】由题菱形边长为2，
则，，所以，
又因为，
所以，
所以，
令，
则，
所以，
则当时，取最小值为.
故答案为：
36．D
【分析】设，，令,直接利用向量的数量积定义运算即可.
【详解】设，，
，
∴的最大值为．
故选:D．
37．B
【分析】应用平面向量数量积的运算律展开所求的式子，根据已知向量的模和夹角求值即可.
【详解】`
由，且与的夹角为，
所以
.
故选：B.
38．B
【分析】根据向量的减法运算结合题意推出，平方后可得数量积，再结合数量级的运算律，即可求得答案.
【详解】由题意得在中，,
故由，，，
得，即，
即，
故，
故选：B
39．B
【分析】设向量的夹角为，结合，求得，即可求解.
【详解】设向量的夹角为，因为，可得，
又因为，，
可得
，解得，
因为，可得.
故选：B.
40．B
【分析】先求得的值，根据数量积的运算法则求得以及的模，再根据向量的夹角公式，即可求得答案.
【详解】因为，是夹角为的两个单位向量，
所以，
故，
，
，
故 ，
由于 ，故.
故选：B.
41．D
【分析】依题意可得夹角为或，再分夹角为和夹角为两种情况讨论，结合数量积的运算律即可得解.
【详解】因为平面向量，，两两的夹角相等，所以夹角有两种情况，
即，，两两的夹角为或,
当夹角为时，，
当夹角为时，
，
所以或.
故选：D．
42．B
【分析】由题意得，分别是线段，的中点，，结合向量数量积的运算，即可得出结果.
【详解】由题意得，分别是线段，的中点，，
所以.
故选：B.
43．D
【分析】根据题意，由数量积的运算律代入计算，可得，再由投影向量的计算公式，即可得到结果.
【详解】因为向量与向量的夹角为，且，则，
即，又，
所以，
所以向量在向量方向上的投影向量是.
故选：D
44．B
【分析】根据数量积的运算律得到，则，结合余弦函数的性质计算可得.
【详解】因为，即，
即，即，
所以，
所以
，
因为，
所以当时取最大值，最大值为.
故选：B
45．ABC
【分析】根据单位向量计算出，，判断CD；由于两向量方向未知，故AB错误.
【详解】CD选项，是两个单位向量，故，，C错误，D正确；
AB选项，只是模长相等，方向未知，则不一定相等，不一定等于1，故AB不正确.
故选：ABC
46．AD
【分析】设，由题意可得，从而可求出，再运用向量数量积的运算律可求得结果.
【详解】设，则
，解得，或，
所以，
所以当时，，
或当时，，
故选：AD

47．BC
【分析】根据数量积的运算律求出，即可判断A、B、C，求出，即可判断D.
【详解】对于A：因为，，
所以，所以，故A错误；
对于B：设与的夹角为，则，又，所以，故B正确；
对于C：因为，所以，故C正确；
对于D：因为，且，
所以在上的投影向量为，故D错误；
故选：BC
48．BD
【分析】对选项A，根据，即可判断A错误，对选项B，根据，即可判断B正确，对选项C，根据，，满足即可判断C错误，对选项D，根据平面向量的加、减运算，即可判断D正确.
【详解】对选项A，，故A错误，
对选项B，因为λ、μ为非零实数，，
所以，所以与共线，故B正确.
对选项C，若，，满足，故C错误.
对选项D，平面内有四个点A、B、C、D，
，，
所以，即，即，故D正确.
故选：BD
49．5
【分析】根据数量积的运算律结合已知条件求解即可
【详解】因为，，
所以，
故答案为：5
50．1或
【分析】结合平面向量的相关知识，将两边平方，计算即可.
【详解】将两边平方，得，
得，即，解得或．
故答案为：或.
51．
【分析】根据投影向量的定义即可求解.
【详解】向量在向量上投影向量为，
故答案为：
52．
【分析】利用平面向量的加减法运算和数量积的运算律求解即可.
【详解】由题可得，，，
，
所以
，
，
，
所以，
则.
故答案为：.
53．(1)11
(2)
【分析】（1）根据数量积的运算律即可代入求解，
（2）由数量积的运算律即可代入求解.
【详解】（1）向量，向量与，的夹角都是60°，且，，，，，
，，，，
；
（2）
54．(1)；
(2)．
【分析】（1）利用数量积的运算律有，结合已知模长和向量数量积的定义求夹角即可；
（2）根据已知模长和数量积的运算律求模长, 结合夹角公式求解即可.
【详解】（1）设与的夹角为，，
又，∴，∴，即，
又，∴与的夹角为；
（2）设与的夹角为，∵，
又，，∴，
又，∴与的夹角为．
55．(1)
(2)0或
【分析】（1）根据向量数量积的坐标运算即可求得，代入公式夹角公式即可得结果；
（2）分别用坐标表示出，利用模长相等即可解得或.
【详解】（1））由可得，
所以.
（2）由，
可得，
即，解得或.
即实数的值为0或.
56．(1)
(2)
【分析】（1）根据数量积的运算律运算求解；
（2）先求得，，再根据夹角公式可得，进而根据同角三角关系运算求解.
【详解】（1）由题意可得：，
因为，则，所以．
（2）由（1）可得：，
，
所以，，
设与的夹角为，
则，
可得，则，所以，
即向量与夹角的正切值是．
57．(1)0
(2)1
【分析】（1）根据数量积的运算律，结合数量积公式，即可求解；
（2）首先求投影向量，再求模.
【详解】（1）∵向量与的夹角为，且，，
∴，，，
，
（2）在方向上的投影向量为，
所以投影向量的模为：.
58．(1)
(2)或.
【分析】（1）根据向量满足，且的夹角为，由求解；
（2）根据与互相垂直，由求解.
【详解】（1）因为向量满足，且的夹角为，
所以，
解得；
（2）因为与互相垂直，
所以，
，
即，解得或.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

展开更多......

收起↑