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专题03 向量的数乘-【寒假自学课】（苏教版2019）
专题03 向量的数乘
知识聚焦
考点聚焦
知识点1 向量的数乘运算
1、向量数乘的定义：规定实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作：λa，
它的长度与方向规定如下：
（1）|λa|＝|λ||a|；
（2）当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同；
（3）当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反．
2、向量数乘的几何意义
当时，把向量沿的相同方向放大或缩小；
当时，把向量沿的相反方向放大或缩小.
3、向量数乘的运算律：设λ，μ为任意实数，则有：
①λ(μ a)＝(λμ)a； ②(λ＋μ)a＝λa＋μ a； ③λ(a＋b)＝λa＋λb；
特别地，有(－λ)a＝λ(－a)＝－(λa)； λ(a－b)＝λa－λb.
4、向量的线性运算：向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算，向量线性运算的结果仍是向量．
对于任意向量a，b，以及任意实数λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a＋μ2b)＝λμ1a±λμ2b.
知识点2 向量共线定理
1、向量共线的条件
（1）当向量时，与任一向量共线．
（2）当向量时，对于向量．如果有一个实数，使，那么由实数与向量的积的定义知与共线．
反之，已知向量与（）共线且向量的长度是向量的长度的倍，即，那么当与同向时，；当与反向时，．
2、向量共线的判定定理：是一个非零向量，若存在一个实数，使，则向量与非零向量共线．
3、向量共线的性质定理：若向量与非零向量共线，则存在一个实数，使．
【注意】
（1）两个向量定理中向量均为非零向量，即两定理均不包括与共线的情况；
（2）是必要条件，否则，时，虽然与共线但不存在使；
（3）有且只有一个实数，使．
（4）是判定两个向量共线的重要依据，其本质是位置关系与数量关系的相互转化，体现了数形结合的高度统一.
4、向量共线的常用结论
（1）设，均为实数，若，不共线，点满足，，则三点共线；
（2）中线向量公式：在中，若是的中点，则；
（3）与同方向的单位向量为，与共线的单位向量为；
（4）是的重心的充要条件是
考点剖析
考点1 向量数乘的基本运算
【例1】（2023·重庆綦江·高一校考期中）
1．化简为（ ）
A． B．
C． D．
【变式1-1】（2023·高一课时练习）
2．已知向量，那么等于（ ）
A． B． C． D．
【变式1-2】（2023·全国·高一课时练习）
3．设是两两不共线的向量，且向量，，则（ ）
A． B． C． D．
【变式1-3】（2023·高一课时练习）
4．（1）已知向量，，计算：．
（2）若向量，满足，，、为已知向量，求向量，．
【变式1-4】（2023·全国·高一随堂练习）
5．求下列未知向.
(1)；
(2)；
(3).
考点2 用已知向量表示其他向量
【例2】（2023·新疆阿克苏·高一校考阶段练习）
6．在中，点为边的中点，记，则（ ）
A． B． C． D．
【变式2-1】（2023·江苏连云港·高一统考期中）
7．已知中，，则（ ）
A． B． C． D．
【变式2-2】（2023·北京顺义·高一牛栏山一中校考期中）
8．如图所示，在中，点是线段上靠近的三等分点，点是线段的中点，则（ ）
A． B．
C． D．
【变式2-3】（2023·福建三明·高一统考期末）
9．在平行四边形ABCD中，，，G为EF的中点，则（ ）

A． B． C． D．
【变式2-4】（2023·河南周口·高一太康县第一高级中学校考阶段练习）
10．如图所示平行四边形中，设向量，，又，，用，表示 .

考点3 用向量共线证明三点共线
【例3】（2023·重庆·高二校考期中）
11．已知空间向量且，，，则一定共线的三点是（ ）
A．A，B，D B．A，B，C
C．B，C，D D．A，C，D
【变式3-1】（2023·河南许昌·高二统考期末）
12．已知空间向量，，且，，，则一定共线的三点是（ ）
A． B． C． D．
【变式3-2】（2023·全国·高一课时练习）
13．已知，是平面内两个不共线的向量，，，，且A，C，D三点共线，则（ ）
A． B．2 C．4 D．
【变式3-3】（2023·江苏镇江·高一统考期末）
14．设与是两个不共线向量，向量，，，若，，三点共线，则（ ）
A． B． C． D．3
【变式3-4】（2023·广东广州·高一广州市第五中学校考阶段练习）
15．设，是两个不共线的向量，已知，，，若三点A，B，D共线，则k的值为（ ）
A．－8 B．8 C．6 D．－6
考点4 利用向量共线求参数
【例4】（2023·山西运城·高一统考期中）
16．已知向量，不共线，且向量与方向相同，则实数的值为（ ）
A．1 B． C．1或 D．1或
【变式4-1】（2023·黑龙江哈尔滨·高一哈尔滨三中校考期末）
17．已知，是两个不共线的向量，向量，．若，则（ ）
A． B． C． D．
【变式4-2】（2023·辽宁辽阳·高一统考期末）
18．已知向量不共线，，，，则实数 ．
【变式4-3】（2023·山西朔州·高一校考阶段练习）
19．已知两个非零向量不共线，且与共线，求实数k的值．
【变式4-4】（2023·四川成都·高一树德中学校考期末）
20．设，是两个不共线的向量，且向量与是平行向量，则实数的值为（ ）
A． B．1 C．1或 D．或
考点5 向量共线定理推论应用
【例5】（2023·全国·高一随堂练习）
21．在中，D为CB上一点，E为AD的中点，若，则 ．
【变式5-1】（2022·陕西渭南·高三校考期末）
22．如图所示，中为重心，过点，，，则 ．

【变式5-2】（2023·全国·高一课时练习）
23．已知平行四边形，若点是边的三等分点（靠近点处），点是边的中点，直线与相交于点，则（ ）
A． B． C． D．
【变式5-3】（2023·广西玉林·高一博白县中学校考开学考试）
24．如图，在中，中线AD、BE、CF相交于点G，点G称为的重心，那么是（ ）

A．3∶2 B．2∶1 C．3∶1 D．4∶3
【变式5-4】（2024·全国·高一课时练习）
25．已知点G是的重心，过点G作直线分别与两边交于两点（点与点不重合），设，，则的最小值为（ ）
A．1 B． C．2 D．
考点6 向量线性运算的几何应用
【例6】（2023·高一单元测试）
26．已知点O为所在平面上一点，且满足，若的面积与的面积比值为，则的值为（ ）
A． B． C．2 D．3
【变式6-1】（2023·高一单元测试）
27．已知，若点满足，则下列说法正确的是（ ）
A．点一定在内部 B．
C． D．
【变式6-2】（2023·安徽芜湖·高一安徽师范大学附属中学校考期中）
28．在中，，以下结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式6-3】（2023·甘肃·高一校联考阶段练习）
29．设点是所在平面内一点，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则点是的中点
B．若，则点在边的延长线上
C．若，则点是的重心
D．若，则
【变式6-4】（2023·全国·高一课时练习）
30．如图，四边形ABCD是平行四边形，E，F分别是AD，DC的中点，BE，BF分别交AC于M，N．求证：M，N三等分AC．

过关检测
一、单选题
（2023·高一课时练习）
31．已知m、n是实数，、是向量，对于命题：
① ②
③若，则 ④若，则
其中正确命题的个数是：（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
（2023·高一课时练习）
32．已知分别为的边上的中线，设，,则＝（ ）

A．＋ B．＋
C． D．＋
（2023·安徽滁州·高一统考期末）
33．如图，在平面四边形中，E，F分别为和的中点，那么（ ）

A． B．
C． D．
（2022·广东深圳·高一红岭中学校考期中）
34．已知，则共线的三点为（ ）
A． B． C． D．
（2023·河南信阳·高一信阳高中校考阶段练习）
35．在平行四边形中，与交于点，点满足，若，则（ ）
A． B． C． D．
（2023·江苏南通·高一统考阶段练习）
36．已知P为平行四边形ABCD内一点，且，若，，则（ ）
A． B．1 C． D．2
（2023·江苏南通·高一统考期中）
37．已知，是两个不共线的向量，向量，．若，则（ ）
A．－2 B． C．2 D．
（2023·江苏·高一专题练习）
38．已知O是平面上的一个定点，A B C是平面上不共线的三点，动点P满足，则点P的轨迹一定经过的（ ）
A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心
二、多选题
（2023·安徽淮北·高一淮北师范大学附属实验中学校考阶段练习）
39．下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
（2023·陕西西安·高一期中）
40．下列命题正确的的有（ ）
A．
B．
C．若，则共线
D．，则共线
（2023·浙江嘉兴·高一校考期中）
41．如图，点是线段的三等分点，则下列结论正确的有（ ）

A． B．
C． D．
（2023·黑龙江齐齐哈尔·高一齐齐哈尔中学校考期中）
42．如图在中，AD BE CF分别是边BC CA AB上的中线，且相交于点G，则下列结论正确的是（ ）

A． B．
C． D．
三、填空题
（2023·内蒙古呼伦贝尔·高二校考阶段练习）
43．若，则 ．
（2023·河北石家庄·高一校考期中）
44．设是内部一点，且，则 ．
（2023·黑龙江·高一富锦市第一中学校考阶段练习）
45．如图所示，在正方形ABCD中，点E为BC的中点，点F为CD上靠近点C的四等分点，点G为AE上靠近点A的三等分点，则向量用与表示为
（2023·云南玉溪·高二玉溪第三中学校考期末）
46．赵爽是我国古代数学家，大约在公元222年，他为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成）.类比“赵爽弦图”，可构造如图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间一个小等边三角形拼成的一个较大的等边三角形，设，若，则的值为 .

四、解答题
（2023·海南儋州·高一校考阶段练习）
47．化简：
(1)；
(2)；
(3).
（2023·全国·高一课时练习）
48．判断下列各小题中的向量，是否共线：
(1)，；
(2)，（其中两个非零向量和不共线）；
(3)，.
（2023·全国·高一随堂练习）
49．如图，在中，，，点O是AC与BD的交点，点G是DO的中点，试用，表示.

（2023·河南南阳·高一社旗县第一高级中学校联考期末）
50．如图，在中，．

(1)用，表示，；
(2)若点满足，证明：，，三点共线．
（2023·辽宁辽阳·高一统考期末）
51．如图，在平行四边形中，，分别为，的中点．

(1)试问与是相等向量还是相反向量？说明你的理由．
(2)若，试用，表示，．
（2023·全国·高一随堂练习）
52．如图，点D是中BC边的中点，，.

(1)试用，表示；
(2)若点G是的重心，能否用，表示？
(3)若点G是的重心，求.
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．D
【分析】利用平面向量的数乘及加减运算即可求得结果.
【详解】根据向量的四则运算可知，
.
故选：D
2．C
【分析】根据向量混合运算即可.
【详解】，
故选：C.
3．C
【分析】根据向量基底运算法则直接计算即可.
【详解】因为，，
所以.
故选：C
4．（1）；（2），
【分析】（1）根据向量的运算律，准确化简，即可求解；
（2）根据题意列出方程组，即可求解向量.
【详解】（1）根据向量的运算律，可得原式．
（2）由方程组，解得，.
5．(1)
(2)
(3)
【分析】根据向量数乘运算求解.
【详解】（1）由得，
所以.
（2）由得，
所以.
（3）由得，
所以.
6．C
【分析】利用平面向量的线性运算计算即可.
【详解】由题意可知，.
故选：C
7．A
【分析】利用向量的线性运算化简求解即可.
【详解】中，，
所以.
故选：A.
8．A
【分析】根据条件及图，利用向量的线性运算即可求出结果.
【详解】因为点是线段上靠近的三等分点，点是线段的中点，
如图，，
故选：A.
9．D
【分析】利用向量的加减法的几何意义将转化为、即可.
【详解】
.
故选：D.

10．，，
【分析】根据向量加法 减法，及数乘的几何意义，及其运算，以及向量加法的平行四边形法则，即可表示出，，.
【详解】解：∵，
∴；
又，；
∴.
11．A
【分析】A选项，计算出，A正确；B选项，设，得到方程组，无解；C选项，设，得到方程组，无解；D选项，计算出，设，得到方程组，无解.
【详解】A选项，，所以A，B，D三点共线，A正确；
B选项，设，则，即，无解，B错误；
C选项，设，则，即，无解，C错误；
D选项，，设，
即，即，无解，D错误.
故选：A
12．D
【分析】A选项，设，得到，无解，A错误；B选项，设，得到方程组，无解，B错误；C选项，先得到，设，得到方程组，无解，C错误；D选项，计算出，得到，得到三点共线.
【详解】A选项，设，即，故，无解，三点不共线，A错误；
B选项，设，即，故，无解，
三点不共线，B错误；
C选项，，
设，即，故，无解，
三点不共线，C错误；
D选项，，
由于，故三点共线，D正确.
故选：D
13．D
【分析】根据已知求出.根据已知可得共线，进而得出，代入向量整理得出方程组，求解即可得出答案.
【详解】由已知可得，，.
因为A，C，D三点共线，所以共线，
则，使得，
即，
整理可得.
因为，不共线，
所以有，解得.
故选：D.
14．B
【分析】若，，三点共线，则存在实数，使，结合向量的线性运算可求解.
【详解】若，，三点共线，则存在实数，使，
，
∴，
∵与是两个不共线向量，
∴，且，解得，
故选：B.
15．A
【分析】先求出，然后利用存在实数使，列方程求k的值.
【详解】由已知得，
三点A，B，D共线
存在实数使
，
，解得.
故选：A.
16．A
【分析】利用向量共线定理求解即可
【详解】因为向量与方向相同，
所以存在唯一实数，使，
因为向量，不共线，
所以，解得或（舍去），
故选：A
17．A
【分析】利用共线向量定理列方程求解即可.
【详解】因为，所以存在唯一实数，使，
所以，
因为，是两个不共线的向量，
所以，解得，
故选：A.
18．
【分析】根据平面向量共线向量定理，得出，再由对应向量系数相等，即可求出.
【详解】因为，所以，，则，解得．
故答案为：
19．或．
【分析】利用平面向量共线得充要条件计算即可.
【详解】因为与共线，
所以存在实数，使，
即．
由于不共线，所以．
即实数k的值为或．
20．C
【分析】由共线向量定理结合题意求解即可.
【详解】因为向量与是平行向量，
所以存在唯一实数，使，
因为，是两个不共线的向量，
所以，则，，
解得或，
故选：C
21．##0.1
【分析】由平面向量的线性运算和三点共线的充分必要条件得出结果.
【详解】因为E为AD的中点，所以，
因为B，D，C三点共线，所以，
所以，解得．
故答案为：
22．3
【分析】根据题意，由向量的线性运算可得的表达式，又由向量共线的性质设，即，变形整理可得结论；
【详解】设
根据题意，；
，，，三点共线，则存在，使得，
即，即，
，整理得，所以；
故答案为：3
23．C
【分析】设，设，，利用向量的基本定理可得，求得，从而问题可解.
【详解】
设，则，，
设，，
则，，
因为，
所以，解得，
所以，即.
故选：C.
24．B
【分析】设，得到，结合向量共线定理的推论得到，求出，求出答案.
【详解】因为为的中线，所以，
设，则，
故，所以，
因为，所以，
因为三点共线，可设，则，
故，
故，相加得，
解得，故.
故选：B
25．A
【分析】令是的中点，连接，易得，根据三点共线的推论有，应用基本不等式求目标式最小值，注意取值条件.
【详解】若是的中点，连接，点G是的重心，则必过，且，
由题设，又共线，
所以，即，注意，

由
，当且仅当，即时等号成立，
故目标式最小值为1.
故选：A
26．B
【分析】如图，分别是对应边的中点，对所给的向量等式进行变形，根据变化后的条件得到，由于正三角形，结合题目中的面积关系得到，，由面积之比，分所成的比，从而得出的值．
【详解】，
．
如图，，分别是对应边的中点，

由平行四边形法则知，，
故，
在正三角形中，
，
，
且三角形与三角形的底边相等，面积之比为,
所以，得.
故选：B.
27．ABC
【分析】设、分别是、的中点，依题意可得，从而得到点是中位线上靠近点的三等分点，即可判断A，再根据面积关系判断C、D，又平面向量线性运算法则判断B.
【详解】由，所以，
设、分别是、的中点，所以，
于是点是中位线上靠近点的三等分点，则点一定在内部，故A正确；
又，所以，则，故B正确；
由A可知，，且，
所以，，即，故C正确；
所以，故D错误；
故选：ABC
28．ABD
【分析】根据给定条件，利用向量运算可得，，，再利用三角形面积性质判断作答.
【详解】由，两边同时乘以，得，
令，则，即有，
因此，点在上，且，如图，
所以，则；
同理，两边同时乘以得：，
令，点在上，，
所以，则；
，
所以.
故选：ABD
29．ACD
【分析】根据向量的线性运算结合几何性质逐项分析判断.
【详解】对于选项A：因为，可得，
即，则点是边的中点，故A正确；
对于选项B：因为，可得，
即，则点在边的延长线上，故B错误；
对于选项C：设的中点为，则，
由重心性质可知：点是的重心，故C正确；
对于选项D：因为，则，
整理得，故D正确．
故选：ACD．
30．证明见解析
【分析】根据题意结合向量的线性运算分析证明.
【详解】由题意可得：，，
所以,
由于与，与分别共线，但与不共线，
所以，，因此N是AC的一个三等分点；
同理可证，因此M也是AC的一个三等分点．
31．B
【分析】①和②属于数乘对向量与实数的分配律，③中若，结论不成立，④中若，结论不成立.
【详解】①和②属于数乘对向量与实数的分配律，正确；
③中若，与没有确定关系，结论不成立，错误；
④中若，m与n没有确定关系，结论不成立，错误.
故①②两个命题正确．
故选：B
32．B
【分析】根据向量的线性运算即可联立方程求解.
【详解】分别为的边上的中线,
则,
,
由于，，所以,
故解得
故选：B
33．C
【分析】根据向量加法的几何意义，结合图形的几何特征即可求解.
【详解】因为
又，
所以，
即
故选：C
34．D
【分析】根据向量的线性运算以及共线定理判断即可.
【详解】不满足共线定理，A错误；
不满足共线定理，B错误；
，
，
不满足共线定理，C错误；
，D正确.
故选：D.
35．A
【分析】方法一：，进而得，根据平面向量基本定理可得结果．
方法二：，由题得，又三点共线，所以，从而得解．
【详解】方法一：如图所示，
因为与交于点，点满足，
所以．
又因为，
所以．
又，不共线，
所以，所以．
方法二：因为四边形为平行四边形，所以．
由题得，又三点共线，
所以，即．
故选：A．
36．D
【分析】根据向量加法的平行四边形法则，得出点的位置，从而得到与对角线所在向量的关系，即可求出，的值．
【详解】在平行四边形中，设与交于点，则是与的中点，
由向量加法的平行四边形法则可得：，，
又，则有，
故有，
则，即．
故选：D．

37．A
【分析】利用共线向量定理列方程求解即可.
【详解】因为，所以存在唯一实数，使，
所以，
因为，是两个不共线的向量，
所以，解得，
故选：A
38．C
【分析】根据是以为始点，向量与为邻边的菱形的对角线对应的向量，可知点轨迹，据此可求解.
【详解】因为为方向上的单位向量，为方向上的单位向量，
则的方向与的角平分线一致，
由，可得，
即，
所以点P的轨迹为的角平分线所在直线，
故点P的轨迹一定经过的内心.
故选：C.
39．ABD
【分析】根据向量的加减和数乘运算，即可得出结论.
【详解】由题意，
A项，，A正确.
B项，，B正确.
C项，，C错误.
D项，，D正确.
故选：ABD.
40．ABC
【分析】根据向量的数乘运算判断A，B；由共线向量的定义判断C，D.
【详解】解：对于A，，故正确；
对于B，，故正确；
对于C，因为，所以，所以共线，故正确；
对于D，因为恒成立，所以不一定共线，故错误.
故选：ABC.
41．AD
【分析】利用向量相等的定义即可求解，两个向量相等必须是大小相等且方向相同.
【详解】由题知，点是线段的三等分点，
所以，，，
对于A：且方向相同，所以，A选项正确；
对于B：，所以，B选项错误；
对于C：，所以，C选项错误；
对于D：且方向相同，所以，D选项正确；
故选：AD.
42．BC
【分析】由条件可知为的重心，由重心的性质逐一判定即可.
【详解】由条件可知为的重心，
对于A，由重心的性质可得，所以，故A错误；
对于B，由重心的性质可得，所以，故B正确；
对于D，故D错误；
对于C，，，
，故C正确.
故选：BC.
43．
【分析】根据向量的线性运算求得结果.
【详解】因为，
所以，
所以，所以，
故答案为：.
44．
【分析】先作出草图，然后分析出的位置，先考虑长度的比值，最后即可得到面积的比值.
【详解】设为的中点，如图所示，连接，则.
又，所以，即为的中点，
则，，
即.
故答案为：.
45．
【分析】根据平面向量的基本定理结合线性运算求解.
【详解】由题意可得：，
所以.
故答案为：.
46．##
【分析】根据给定条件，利用向量线性运算用表示，再利用平面向量基本定理求解作答.
【详解】依题意，，即，则，同理，
因此，
即，整理得，而，且不共线，
于是，所以.
故答案为：
【点睛】思路点睛：用向量基本定理解决问题：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．
47．(1)
(2)
(3)
【分析】根据平面向量的线性运算求解即可.
【详解】（1）.
（2）.
（3）.
48．(1)共线；
(2)共线；
(3)共线.
【分析】用向量共线定理判断.
【详解】（1），，所以，
所以，共线.
（2），,
所以，所以，共线.
（3）因为，，
所以，
所以.
所以，共线.
49．
【分析】结合图形根据平面向量的线性运算求解即可.
【详解】因为点O是AC与BD的交点，点G是DO的中点，所以，
所以，所以.
50．(1)，
(2)证明见解析
【分析】（1）利用向量的线性运算和基本定理求解即可.
（2）利用三点共线的判定证明即可.
【详解】（1）因为，
，
.
（2）由，
可得，
所以，，即，
所以，，三点共线.
51．(1)相等向量，理由见解析
(2)，
【分析】（1）由题意可得：，根据平面几何的知识，结合向量相等分析判断；
（2）根据题意结合向量的线性运算求解.
【详解】（1）由题意可得：，
因为，分别为，的中点，所以，
所以与是相等向量.
（2）由题意可得：；
因为，则，
所以.
52．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）利用三角形法则整理化简即可；
（2）利用三角形重心性质及向量的线性运算化简计算即可；
（3）利用三角形重心性质及三角形法则化简计算即可.
【详解】（1）因为点D是中BC边的中点，且，，
所以；
（2）因为点G是的重心，
所以
.
（3）因为点G是的重心且D是BC边的中点，所以，
又，所以，所以.
答案第1页，共2页
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