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专题02 向量的加减法-【寒假自学课】（苏教版2019）
专题02 向量的加减法
知识聚焦
考点聚焦
知识点1 向量的加法运算
1、向量加法的定义：求两个向量和的运算，叫做向量的加法.
2、向量加法的三角形法则：已知非零向量a，b，在平面内任取一点A，作＝a，＝b，再作向量，
向量叫做a与b的和，记作a＋b，即a＋b＝＋＝
3、向量加法的平行四边形法则：已知不共线的两个向量a，b，在平面内任取一点O，
以同一点O为起点的两个已知向量a，b为邻边作 OACB，对角线就是a与b的和
【规定】零向量与任一向量a的和都有a＋00＋a＝.
【注意】（1）在使用向量加法的三角形法则时，要注意“首尾相接”，即第一个向量的终点与第二个向量的起点重合，则以第一个向量的起点为起点，并以第二个向量的终点为终点的向量即两向量的和；
（2）平行四边形法则的应用前提是“共起点”，即两个向量是从同一点出发的不共线向量．
4、向量加法的运算律
结合律：a＋b＝b＋a 交换律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
知识点2 向量的减法
1、相反向量：与a长度相等、方向相反的向量，叫做a的相反向量，记作－a.
（1）规定：零向量的相反向量仍是仍是零向量；
（2）－(－a)＝a；
（3）a＋(－a)＝(－a)＋a＝0；
（4）若a与b互为相反向量，则a＝－b，b＝－a，a＋b＝0.
【注意】相反向量与相等向量一样，从“长度”和“方向”两方面定义，相反向量必为平行向量．
2、向量的减法
（1）定义：a－b＝a＋(－b)，即减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量.
（2）几何意义：以O为起点，作向量＝a，＝b，则＝a－b，
如图所示，即a－b可表示从向量b的终点指向向量a的终点的向量．
【注意】在用三角形法则作向量减法时，只要记住“连接向量终点，箭头指向被减向量”即可．
考点剖析
考点1 向量的加减法法则及应用
【例1】（2023·全国·高一随堂练习）
1．如图，已知向量、，用向量加法的平行四边形法则作出向量．
(1)
(2)
【变式1-1】（2023·全国·高一随堂练习）
2．如图，已知向量，，不共线，求作向量．

【变式1-2】（2023·海南·高一校考期中）
3．如图，在正六边形ABCDEF中，（　 　）

A． B． C． D．
【变式1-3】（2022·高一校考课时练习）
4．如图，在矩形ABCD中，O为AC与BD的交点，则（ ）

A． B． C． D．
【变式1-4】（2023·云南迪庆·高一统考期末）
5．四边形是梯形，，则等于（ ）

A． B． C． D．
考点2 向量的减法法则及应用
【例2】（2022·高一课时练习）
6．如图，已知向量，，求作向量．
【变式2-1】（2023·山东枣庄·高一校考阶段练习）
7．如图，点O是平行四边形ABCD两条对角线的交点，则下列等式一定成立的是（ ）

A． B． C． D．
【变式2-2】（2023·河南驻马店·高一统考期末）
8．已知矩形的对角线相交于点，则（ ）
A． B． C． D．
【变式2-3】（2023·吉林长春·高一东北师大附中校考阶段练习）
9．如图所示，、、分别是的边、、的中点，则（ ）
A． B． C． D．
【变式2-4】（2022·高一课前预习）
10．化简下列式子：
(1)；
(2)；
考点3 向量加减法运算化简
【例3】（2023·广东东莞·高一厚街中学校考阶段练习）
11．化简向量等于（ ）
A． B． C． D．
【变式3-1】（2023·河南·高一济源第一中学校考阶段练习）
12．在平面四边形中，下列表达式化简结果与相等的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式3-2】（2023·全国·高一随堂练习）
13．下列各式中，化简后不是零向量的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式3-3】（2023·河南新乡·高一校考阶段练习）
14．化简以下各式，结果为的有（ ）
A． B．
C． D．
【变式3-4】（2023·全国·高一课时练习）
15．化简下列各式：
(1)；
(2)
考点4 利用向量加减法证明等式
【例4】（2023·高一单元测试）
16．如图所示，P，Q是的边BC上两点，且.求证：.
【变式4-1】（2022·高一课时练习）
17．如图所示，点分别为的三边的中点.
求证：
(1)；
(2).
【变式4-2】（2022·高一课时练习）
18．如图所示，是平行四边形的对角线的交点，设，，，求证：.
【变式4-3】（2023·高一课时练习）
19．已知平行四边形ABCD的两条对角线AC与BD交于点E，O是任意一点，求证：．

考点5 向量加减法在几何中的应用
【例5】（2023·河南驻马店·高一校联考期中）
20．在中，，则是（ ）
A．等边三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形
【变式5-1】（2023·安徽合肥·高一合肥一中校考阶段练习）
21．若在△ABC中，，，且，，则△ABC的形状是（ ）
A．正三角形 B．锐角三角形 C．斜三角形 D．等腰直角三角形
【变式5-2】（2023·云南西双版纳·高一校考期中）
22．在四边形中，若，且，则（ ）
A．在四边形是矩形
B．在四边形是菱形
C．在四边形是正方形
D．在四边形是平行四边形
【变式5-3】（2023·陕西咸阳·高一校考期中）
23．已知是四边形所在平面上任一点，且．则四边形一定为（ ）
A．菱形 B．梯形 C．平行四边形 D．矩形
【变式5-4】（2023·浙江温州·高一统考期末）
24．在四边形ABCD中，已知，则四边形ABCD为（ ）
A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．平行四边形
考点6 向量加减法在实际中的应用
【例6】（2023·高一课时练习）
25．人骑自行车的速度为，风速为，则逆风行驶的速度为（ ）
A． B． C． D．
【变式6-1】（2023·陕西榆林·高一统考期末）
26．若向量表示“向东航行”，向量表示“向北航行”，则向量表示（ ）
A．向东北方向航行
B．向北偏东方向航行
C．向正北方向航行
D．向正东方向航行
【变式6-2】（2023·云南文山·高二校考阶段练习）
27．如图，一个人骑自行车由A地出发到达B地，然后由B地出发到达C地，则这个人由A地到C地位移的结果为（ ）

A． B． C． D．
【变式6-3】（2023·江苏常州·高一常州市北郊高级中学校考阶段练习）
28．某人在静水中游泳的速度为，河水自西向东的流速为，此人朝正南方向游去，那么他的实际前进方向与水流方向的夹角为（ ）
A． B． C． D．
【变式6-4】（2022·高一课时练习）
29．在静水中船的速度是，水流的速度是.如果船从岸边出发，沿垂直于水流的航线到达对岸，那么船行进方向应指向何处？实际航速为多少？
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一、单选题
（2023·重庆万州·高一校考阶段练习）
30．下列各式中不能化简为的是（ ）
A． B．
C． D．
（2023·全国·高一专题练习）
31．（　　）
A． B． C． D．
（2023·河北邢台·高一邢台市第二中学校考阶段练习）
32．在平面四边形ABCD中，E为线段CD上任一点，则（ ）
A． B． C． D．
（2023·天津红桥·高一统考期末）
33．化简：（ ）
A． B． C． D．
（2023·新疆·高一校考期末）
34．在矩形中，等于（ ）
A． B．
C． D．
（2023·全国·高一课时练习）
35．在四边形中，若，则（ ）
A．四边形是平行四边形 B．四边形是矩形
C．四边形是菱形 D．四边形是正方形
（2023·江西赣州·高一校联考期中）
36．化简以下各式:①；②；③；④，结果为零向量的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
（2023·北京通州·高一统考期末）
37．对于任意两个向量和，下列命题中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
（2023·全国·高一课时练习）
38．下列各式中结果为零向量的为（ ）
A． B．
C． D．
（2023·安徽铜陵·高一铜陵一中校考阶段练习）
39．下列能化简为的是（ ）
A． B．
C． D．
（2023·全国·高一专题练习）
40．在平面四边形ABCD中，E，F分别为AD，BC的中点，则下列向量与相等的是（ ）
A． B．
C． D．
（2023·内蒙古包头·高一统考期末）
41．已知，，，四点不共线，下列等式能判断为平行四边形的是（ ）
A． B．（为平面内任意一点）
C． D．（为平面内任意一点）
三、填空题
（2023·高一课时练习）
42．若向量表示向东走千米，表示向南走千米，则向量表示 ．
（2023·全国·高一课时练习）
43．化简：
（1） ； （2） ；
（3） ； （4） ．
（2023·河南开封·高一河南省杞县高中校考期中）
44．已知非零向量满足，且，则 .
（2023·高一单元测试）
45．任给两个向量和，则下列式子恒成立的有 ．
① ②
③ ④
四、解答题
（2023·江西吉安·高二宁冈中学校考期末）
46．作出以下图形
(1)如图1，已知向量 不共线，作向量.
(2)如图2，已知向量，求作向量.
（2023·河北石家庄·高一校考阶段练习）
47．化简下列各式：
(1)；
(2)
（2023·新疆·高一校考期中）
48．化简下列各向量的表达式：
(1)；
(2)；
(3)；
（2023·湖北·高一校联考阶段练习）
49．如图，E，F，G，H分别是梯形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，，，，，用，表示下列各式．
(1)；
(2)．
（2023·安徽马鞍山·高一马鞍山二中校考阶段练习）
50．如图所示，已知正方形ABCD的边长为1，，，，求：
(1)；
(2)．
（2023·河南南阳·高一统考阶段练习）
51．如图所示，在平行四边形中，，分别为边和的中点，为与的交点．
(1)若，则四边形是什么特殊的平行四边形？说明理由．
(2)化简，并在图中作出表示该化简结果的向量．
试卷第2页，共2页
试卷第1页，共1页
参考答案：
1．(1)答案见解析
(2)答案见解析
【分析】（1）（2）利用平面向量加法的平行四边形法则可作出向量.
【详解】（1）解：作，，以、为邻边作，，
则即为所求作的向量.

（2）解：作，，以、为邻边作，，
则即为所求作的向量.

2．详见解析
【分析】向量，，不共线中隐含着向量，，均为非零向量，因为零向量与任何一个向量都是共线的，利用三角形法则或平行四边形法则作图.
【详解】解法一：（三角形法则），如下图所示，作，，
则，再作，则，即.

解法二：（平行四边形法则）因为向量，，不共线，
如下图所示，在平面内任取一点O，作，，
以，为邻边作平行四边形，则对角线，
再作，以，为邻边作平行四边形，则.

3．A
【分析】利用向量的加法法则即可求解.
【详解】由向量的加法法则，得.
故选：A.
4．B
【分析】根据平面向量的加法法则求解.
【详解】根据平面向量加法的三角形法则和平行四边形法则，得.
故选：B.
5．B
【分析】根据向量的加法运算法则即可求解.
【详解】,
故选：B
6．如图，(1) (2)
【分析】如图，将向量的起点平移到向量的起点，以向量的终点为起点，向量的终点为终点即可分别得出结果.
【详解】解：(1)如图，将向量的起点平移到向量的起点，
以向量的终点为起点，向量的终点为终点的向量即为向量；
(2)如图，将向量的起点平移到向量的起点，
以向量的终点为起点，向量的终点为终点的向量即为向量；
7．C
【分析】根据向量加减法结合图形判断各个选项即可.
【详解】,A选项错误;
因为ABCD是平行四边形, 点O是平行四边形ABCD两条对角线的交点,,B选项错误;
,C选项正确;
,D选项错误.
故选：C.
8．D
【分析】利用相等向量结合平面向量的减法可化简向量.
【详解】在矩形中，，又因为，则，
因此，.
故选：D.
9．D
【分析】利用平面向量的减法法则结合相等向量的定义可求得结果.
【详解】因为、、分别是的边、、的中点，则且，
所以，，，
因此，.
故选：D.
10．(1)
(2)
【分析】按照向量的加法，减法运算法则化简即可.
【详解】（1）原式
（2）原式
11．D
【分析】根据向量的加减法运算法则直接求解即可.
【详解】.
故选：D.
12．B
【分析】根据平面的线性运算求得正确答案.
【详解】，不符合题意.
，符合题意.
，不符合题意.
，不符合题意.
故选：B

13．B
【分析】根据向量的加法、减法运算化简即可得解.
【详解】因为，故A错误；
因为，故B正确；
因为，故C错误；
因为，故D错误.
故选：B
14．ABD
【分析】根据向量的线性运算求解即可.
【详解】对A，，故A正确；
对B，，故B正确；
对C，，故C错误；
对D，，故D正确.
故选：ABD
15．(1)
(2)
【分析】（1）根据平面向量加法和减法的运算法则化简即可得出结果；
（2）首先化简出两个向量的结果，再与第三个向量进行加减运算即可求得结果.
【详解】（1）利用平面向量的加减运算法则可得，
（2）由平面向量的加减运算法则可得
16．证明见解析
【分析】表示出，，相加结合已知，即可得出证明.
【详解】因为，
，
所以.
又因为，所以.
17．(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）由向量加法的三角形法则，得到，即可作出证明；.
（2）由向量加法的平行四边形法则，得到，进而作出证明.
【详解】（1）证明：由向量加法的三角形法则，
因为，所以.
（2）证明：由向量加法的平行四边形法则，
因为，
所以
.
18．证明见解析
【分析】方法一：根据图形关系，利用向量线性运算表示出和即可得到结论；
方法二：根据图形关系，利用向量线性运算表示出和即可得到结论.
【详解】方法一：，，
，.
方法二：，
，
，.
19．证明见详解
【分析】根据题意结合向量减法分析证明.
【详解】因为
，
又因为为平行四边形，则为的中点，可得，
所以，
即.
20．A
【分析】根据向量加减法法则及模的定义判断.
【详解】因为，，，，
所以，
所以是等边三角形．
故选：A．
21．D
【分析】利用向量加法的几何意义和模长之间的关系即可判定其为等腰直角三角形.
【详解】由于，，，
则，即，
所以△ABC为等腰直角三角形．
故选：D．
22．A
【分析】由平面向量加法的平行四边形法则可判断为平行四边形，再由向量加法、减法运算和模的含义可得对角线相等，然后可判断四边形形状.
【详解】因为，所以四边形为平行四边形，
又，所以，即对角线相等，所以四边形为矩形.
故选：A
23．C
【分析】分析可得，结合平行四边形的定义可得出结论.
【详解】因为，即，
又因为，故四边形一定为平行四边形.
故选：C.
24．D
【分析】由向量的减法运算结合向量相等的定义判断即可.
【详解】，，即，
相互平行且，则四边形ABCD为平行四边形.
故选：D
25．B
【分析】根据速度是既有大小又有方向的量，结合图示由向量的加法法则即可得出结果.
【详解】因为速度是既有大小又有方向的量，
如下图，由向量的加法法则可知，逆风行驶的速度为＋.
故选：B.
26．B
【分析】根据向量的方向，画出图形，利用向量的加法运算，计算结果.
【详解】如图，

易知，所以．故的方向是北偏东．又.
故选：B．
27．C
【分析】根据向量的加法，即可求得答案.
【详解】由题意,
故这个人由A地到C地位移的结果为，
故选：C
28．B
【分析】根据向量加法的平行四边形法则，确定某人的实际前进方向，解直角三角形，可得答案.
【详解】如图，表示河水自西向东的流速，表示某人在静水中游泳的速度，
则即表示他的实际前进方向，
由题意可知，，
则在中，，故，
即他的实际前进方向与水流方向的夹角为，
故选：B
29．船的航行方向与水流方向成，船的实际航速为
【分析】如图所示，表示水流的速度，表示船实际航行的速度，表示船行驶的速度，在中，可得,从而得，，即可得答案.
【详解】解：设表示水流的速度，表示船实际航行的速度，表示船行驶的速度，
则四边形为平行四边形.
所以，，
因为，于是，
所以，，
故船的航行方向与水流方向成，船的实际航速为.
30．D
【分析】根据平面向量线性运算法则计算可得.
【详解】对于A：，故A正确；
对于B：，故B正确；
对于C：，故C正确；
对于D：，故D错误；
故选：D
31．C
【分析】利用平面向量的线性运算化简，求解即可．
【详解】由题意可得：.
故选：C．
32．C
【分析】根据向量加减法运算法则直接计算即可.
【详解】由题意得，.
故选：C
33．C
【分析】由向量加法的三角形法则可知.
【详解】.
故选：C.
34．D
【分析】根据向量加法的几何关系及矩形性质判断各项的结果，即可得答案.
【详解】由题设，，，，，故A、B、C错，D对.

故选：D
35．A
【分析】由推出，再根据向量相等的定义得且，从而可得答案.
【详解】因为，故，即，
故且，故四边形一定是平行四边形，
不一定是菱形、正方形和矩形，故A正确；BCD不正确.
故选：A.
36．C
【分析】根据平面向量的加法运算即可求解.
【详解】对于①，,故①正确；
对于②，,故②错误；
对于③，，故③正确；
对于④，,故④正确.
故结果为零向量的个数是3.
故选:C.
37．C
【分析】根据向量加减法的法则即可得到答案.
【详解】对A，当，且同方向时，，故A错误，
对B，当，且反方向时，，故B错误，
对C，根据向量加法的平行四边形法则，得，故C正确，
对D，根据向量减法的三角形法则，得，故D错误，
故选：C.
38．BC
【分析】根据平面线向量加法和减法的运算法则逐一判断即可.
【详解】因为，所以选项A不符合题意；
因为，所以选项B符合题意；
因为，
所以选项C符合题意；
因为，
所以选项D不符合题意，
故选：BC
39．ABC
【分析】根据向量的线性运算分别判断即可．
【详解】解：对于A，，故A正确；
对于B，，故B正确；
对于C，，故C正确；
对于D，，故D不合题意；
故选：ABC．
40．ABC
【分析】根据平面向量的线性运算即可结合选项逐一求解.
【详解】因为在平面四边形ABCD中，E，F分别为AD，BC的中点，
所以，
因为，
所以，
所以A正确，
因为，
所以，所以B正确，
因为，
所以，所以C正确，
因为，
所以D错误，
故选：ABC
41．ABC
【分析】根据平面向量线性运算法则及相等向量的定义判断即可.
【详解】因为，，，四点不共线，
对于A：，所以且，所以为平行四边形，故A正确；
对于B：因为，所以，所以且，
所以为平行四边形，故B正确；
对于C：因为，即，
所以，所以且，
所以为平行四边形，故C正确；
对于D：因为，所以，
所以，所以四边形为平行四边形，故D错误；
故选：ABC
42．沿东南方向走千米
【分析】利用向量加法的几何意义解答即可.
【详解】若向量表示向东走千米，表示向南走千米，
则向量表示的方向为东南方向，大小为的向量
即表示沿东南方向走千米.
故答案为：沿东南方向走千米.
43．
【分析】根据向量加减法的几何意义进行运算即可.
【详解】（1）；
（2）；
（3）；
（4）.
故答案为：；；；.
44．4
【分析】根据向量加减运算及向量的模长可得出平行四边形OACB是矩形，由矩形对角线相等得解.
【详解】如图所示，设，，
则，
以OA，OB为邻边作平行四边形OACB，则，
由于，
故，
所以是直角三角形，，
从而OA⊥OB，所以平行四边形OACB是矩形，
根据矩形的对角线相等得，即.
故答案为：4
45．②③
【分析】根据向量加法的平行四边形法则可判断①；根据向量减法的三角形法则可判断②③④.
【详解】①根据向量加法的平行四边形法则，得，则①不恒成立；
②根据向量减法的三角形法则，得，则②恒成立；
③根据向量减法的三角形法则，得，则③恒成立；
④根据向量减法的三角形法则，得，则④不恒成立.
故答案为：②③.
46．(1)详见解答
(2)详见解答
【分析】（1）根据向量的加法运算法则及几何意义作图即可
（2）根据向量的减法运算法则及几何意义作图即可
【详解】（1）如图所示，在平面中取任意一点作，则
（2）如图所示，在平面中取任意一点作，则
47．(1)
(2)
【分析】（1）根据平面向量加法和减法的运算法则化简即可得出结果；
（2）首先化简出两个向量的结果，再与第三个向量进行加减运算即可求得结果.
【详解】（1）利用平面向量的加减运算法则可得，
（2）由平面向量的加减运算法则可得
48．(1).
(2).
(3)
【分析】根据平面向量的加法运算和减法运算法则可求出结果.
【详解】（1）.
（2）
.
（3）
.
49．(1)
(2)
【分析】（1）根据平面向量的加法运算求解即可.
（2）根据平面向量的加法、减法运算求解即可.
【详解】（1）由题知：．
（2）
．
50．(1)
(2)
【分析】（1）结合图形及向量相加的三角形法则，可知，后可得答案；
（2）如图，做，连接CF，BD.后由图形及向量相减的三角形法则可得答案.
【详解】（1）由已知得，
∵，∴延长AC到E，使，如图所示，
则，且．∴．
（2）做，连接CF，BD，则，
而，
∴且．
∴．
51．(1)菱形，理由见解析
(2)答案见解析
【分析】（1）根据平面向量加法的运算法则，结合菱形的定义进行求解判断即可；
（2）根据三角形中位线定理，结合平面向量运算法则进行求解即可.
【详解】（1）由条件知，
即，又四边形是平行四边形，故四边形是菱形．
（2）由平行四边形及三角形中位线的性质可知．
所以．
作出向量如图所示．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

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