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专题05 平面向量基本定理-【寒假自学课】（苏教版2019）
专题05 平面向量基本定理
知识聚焦
考点聚焦
知识点01 平面向量基本定理
1、定义：如果是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数，使
2、基底：若不共线，我们把叫做表示这一平面内所有向量的一个基底．
3、对平面向量基本定理的理解
（1）基底不唯一，只要是同一平面内的两个不共线向量都可以作为基底．同一非零向量在不同基底下的分解式是不同的．
（2）基底给定时，分解形式唯一．是被唯一确定的数值．
（3）是同一平面内所有向量的一组基底，则当与共线时，；当与共线时，；当时，．
（4）由于零向量与任何向量都是共线的，因此零向量不能作为基底中的向量．
知识点02 平面向量基本定理的应用
1、唯一性的应用：
设，是同一平面内的两个不共线向量，
若，则
2、重要结论
设是平面内一个基底，若，
①当时，与共线；②当时，与共线；③当时，；
知识点03 平面向量的正角分解
由平面基本定理知，平面内任意向量可以用一组基底表示成的形式，我们称为向量的分解.当所在直线互相垂直时，这种分解也称为向量的正交分解.
考点剖析
考点1 平面向量基本定理的概念
【例1】（2023·全国·高一专题练习）
1．下面说法中，正确的是　(　　)
①一个平面内只有一对不共线向量可作为表示该平面内所有向量的基底；
②一个平面内有无数多对不共线向量可作为表示该平面内所有向量的基底；
③零向量不可作为基底中的向量；
④对于平面内的任一向量和一组基底，，使=λ+μ成立的实数对一定是唯一的.
A．②④ B．②③④ C．①③ D．①③④
【变式1-1】（2023·全国·高一专题练习）
2．下列说法错误的是（ ）
A．一条直线上的所有向量均可以用与其共线的某个非零向量表示
B．平面内的所有向量均可以用此平面内的任意两个向量表示
C．平面上向量的基底不唯一
D．平面内的任意向量在给定基底下的分解式唯一
【变式1-2】（2023·河南新乡·高一原阳一中校考阶段练习）（多选）
3．下列结论正确的是（ ）
A．一个平面内只有一对不共线的向量可作为表示该平面内所有向量的基底
B．若，是单位向量)，则
C．向量与共线存在不全为零的实数使
D．已知A，B，P三点共线，O为直线外任意一点，若则
【变式1-3】（2023·高一课时练习）
4．如果、是平面内两个不共线的向量，那么在下列各说法中错误的有（ ）
①可以表示平面内的所有向量；
②对于平面中的任一向量，使的，有无数多对；
③若向量与共线，则有且只有一个实数，使；
④若实数，使，则．
A．①② B．②③ C．③④ D．仅②
考点2 判断两向量能否作为基底
【例2】（2023·黑龙江齐齐哈尔·高一齐齐哈尔中学校考期中）
5．设是平面内所有向量的一个基底，则下列不能作为基底的是（ ）
A．和 B．和
C．和 D．和
【变式2-1】（2023·安徽阜阳·高一校考阶段练习）（多选）
6．设是平面内两个不共线的向量，则以下可作为该平面内一组基底的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2-2】（2023·山西·高一校联考阶段练习）
7．如果表示平面内所有向量的一个基底，那么下列四组向量，不能作为一个基底的是（ ）
A．、 B．、
C．、 D．、
【变式2-3】（2023·全国·高一专题练习）
8．如果表示平面内所有向量的一个基底，那么下列四组向量，不能作为一个基底的是（ ）
A． B．
C． D．
考点3 基底表示向量（1）
【例3】（2023·陕西·高一校联考期中）
9．如图，在中，设，，，，则（ ）

A． B．
C． D．
【变式3-1】（2023·安徽芜湖·高一无为襄安中学校考期中）
10．在中，为边上的中线，为的中点，则等于（ ）
A． B． C． D．
【变式3-2】（2023·全国·高一随堂练习）
11．如图，已知，，分别是三边，，上的点，且，，，如果，，试用基底表示向量，，.
【变式3-3】（2023·重庆·高一校联考期中）
12．在平行四边形ABCD中，设M为线段BC的中点，N为线段AD上靠近D的三等分点，，，则向量（ ）
A． B． C． D．
考点4 基底表示向量（2）
【例4】（2023·重庆·高一临江中学校考阶段练习）
13．如图所示，在中，点是的中点，且，与相交于点，设，，则等于（ ）.
A． B．
C． D．
【变式4-1】（2023·全国·高一专题练习）
14．在平行四边形ABCD中与相交于点，若，则=（ ）
A． B． C． D．
【变式4-2】（2023·山东威海·高一统考期末）
15．在中，，，为的中点，为上一点，且，交于点，则（ ）
A． B．
C． D．
【变式4-3】（2023·全国·高三专题练习）
16．在中，E，F分别在BC，CD上，且，，BF与DE相交于点P，试用和表示 ．
考点5 平面向量基本定理求参数
【例5】（2023·辽宁·高一校联考阶段练习）
17．已知向量、不共线，且，则的值等于（ ）
A．3 B．－3 C．0 D．2
【变式5-1】（2023·河北石家庄·高一校考期中）
18．已知平行四边形中，，若，则（ ）
A． B． C．2 D．
【变式5-2】（2023·河北衡水·高一衡水市第二中学校考期中）
19．如图所示，平行四边形的对角线相交于点O，，若，则等于（ ）

A．1 B． C． D．
【变式5-3】（2023·河北石家庄·高一石家庄市第十七中学校考期中）
20．如图，在平面四边形中，，，延长交的延长线于点，若，则 .

考点6 平面向量基本定理的应用
【例6】（2023·贵州贵阳·高一校联考阶段练习）
21．直角三角形中，，，若点满足，则（ ）
A．0 B．3 C． D．9
【变式6-1】（2023·浙江宁波·高一校联考期中）
22．已知中，D，E分别为线段AB，BC上的点，直线AE，CD交于点P，且满足，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【变式6-2】（2023·浙江·高一景宁中学校联考阶段练习）
23．如图所示，中，点是线段的中点，是线段上的动点，则，则的最小值（ ）

A．1 B．3 C．5 D．8
【变式6-3】（2023·山东·高一校联考阶段练习）
24．如图所示的矩形ABCD中，，，以为圆心的圆与AC相切，为圆上一点，且，若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
过关检测
一、单选题
（2023·山东·高一统考期中）
25．设，是平面内所有向量的一组基底，则下面四组向量中，不能作为基底的是（ ）
A．和 B．和
C．和 D．和
（2023·安徽芜湖·高一校联考期中）
26．在中，点为边的中点，且，则（ ）
A． B．
C． D．
（2023·北京·高一校考期中）
27．如图，梯形中，，且，对角线相交于点，若，则（ ）
A． B．
C． D．
（2023·天津·高一校考阶段练习）
28．如图，平行四边形中，M为中点，与相交于点P，若，则（ ）
A．1 B． C． D．2
（2023·贵州黔西·高一统考期末）
29．如图，在中 ，2BD=CD，E为AC中点，AD和BE相交于点F，那么AF：DF=（ ）.
A．2 B． C．3 D．4
（2023·山东泰安·高一泰安一中校考期中）
30．如图所示，在中，点是的中点，过点的直线分别交直线于不同的两点，若，则的值为（ ）

A．2 B．3 C． D．5
（2023·广东深圳·统考二模）
31．已知中，，，与相交于点，，则有序数对（ ）
A． B． C． D．
（2023·江苏盐城·高一校联考期中）
32．如图，，是以为直径的圆上的两点，其中，，则（ ）

A．1 B．2 C． D．3
二、多选题
（2023·全国·高一专题练习）
33．下列说法中正确的有（ ）
A．已知是平面内两个非零向量，对于实数，，一定在该平面内
B．已知，是平面内的一组基底，若实数，使，则
C．已知是平面内两个非零向量，若实数，，，使，则，
D．已知，是平面内的一组基底，对平面内任一向量，使的实数，有且只有一对
（2023·福建福州·高一福州日升中学校考期中）
34．已知向量，不共线，则下列各组向量中，能作平面向量的一组基底的有（ ）
A． B．
C． D．
（2023·福建漳州·高一校联考期中）
35．如图，在四边形中，，点满足，是的中点.设，，则下列等式正确的是（ ）

A． B．
C． D．
（2023·四川成都·高一树德中学校考阶段练习）
36．如图，正方形中，为中点，为线段上的动点，若，则的值可以是（ ）
A． B． C． D．
三、填空题
（2023·湖南岳阳·高一校考开学考试）
37．在平行四边形中，如图，，依次是对角线上的两个三等分点，设试用与表示和，则= ，= ．

（2023·广西·高一统考期末）
38．中，为中点，，，则 ．
（2023·云南保山·高一统考期中）
39．我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休”. 数学中，数和形是两个最主要的研究对象，它们之间有着十分密切的联系，在一定条件下，数和形之间可以相互转化，相互渗透. 而向量正是数与形“沟通的桥梁”. 如图，在中，，若为中点，与交于点，且， .

（2023·福建宁德·高一统考期中）
40．平行四边形中，，，，点在边上，则的取值范围是 ．
四、解答题
（2023·贵州毕节·高一校考期中）
41．如图，在梯形中，，分别是的中点，与相交于点，设.

(1)用表示；
(2)用表示.
（2023·湖北·高一仙桃中学校考阶段练习）
42．如图，在中，点在线段上，且满足，过点的直线分别交直线于不同的两点，若.
(1)，求的值；
(2)求证：，并求的最小值.
（2023·吉林·高一东北师大附中校考阶段练习）
43．如图1所示，在中，点D在线段BC上，满足，G是线段AB上的点，且满足，线段CG与线段AD交于点O.
(1)试用，表示和；
(2)如图2所示，过点O的直线与线段AB，AC（不与端点重合）分别交于点E，F，设，，求xy的最小值.
（2023·云南昆明·高一校考期中）
44．如图所示，是边长为2的正三角形，点，，四等分线段BC．

(1)求的值；
(2)若点Q是线段上一点，且，求实数m的值．
（2023·全国·高一随堂练习）
45．如图所示，中，AQ为边BC的中线，，，，，其中，，，．

(1)当时，用向量，表示；
(2)证明：为定值．
（2023·福建宁德·高一统考期中）
46．如图，在直角三角形ABC中，，．点D，E分别是线段AB，BC上的点，满足，，．

(1)求的取值范围；
(2)是否存在实数，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．B
【分析】根据向量基底的概念可判断①②，根据零向量的概念可判断③，由平面向量基本定理判断④.
【详解】因为不共线的任意两个向量均可作为平面的一组基底，故②③正确，①不正确；
由平面向量基本定理知④正确．
综上可得②③④正确．
故选：B．
2．B
【分析】根据共线向量的性质和基底的性质，结合平面向量基本定理逐一判断即可.
【详解】由共线向量的性质可知选项A正确；
根据平面向量基本定理可知：平面内的所有向量均可以用此平面内的任意两个不共线的向量表示，所以选项B不正确；
根据平面向量基本定理可知中：选项C、D都正确，
故选：B
3．CD
【分析】由平面基底的概念以及平面向量基本定理可判断AB，由共线向量定理可判断CD.
【详解】对于A，由平面基底的概念可知，只要不共线的任何两个向量都可以作为平面的一组基底向量，故A错误；
对于B，不妨设，，此时有，但不成立，故B错误；
对于C，向量共线定理的充要条件可知C正确；
对于D，由向量共线定理可知，
其中，
若则，故D正确.
故选：CD.
4．B
【分析】根据平面向量基本定理，逐一对选项①②③分析判断，即可得出正误，对于选项④，反证法可判断出正误，从而得到结果.
【详解】对于①，由平面向量基本定理可知，①是正确的．
对于②，由平面向量基本定理可知，一旦一个平面的基底确定，那么任意一个向量在此基底下的实数对是唯一的，所以②错误；
对于③，当两向量的系数均为零，即时，这样的有无数个，所以③错误；
对于④，假设不全为0 ，不妨设，则，则，共线，与，是平面内两个不共线的向量矛盾，所以，所以④正确.
故选：B.
5．C
【分析】只要两个向量不共线，便可作为平面内的一组基底，从而判断哪组向量共线即可.
【详解】对于A，令，则，不存在，，不共线，可以作为基底，A错误；
对于B，令，则，不存在，，不共线，可以作为基底，B错误；
对于C，，
和共线，不能作为一组基底，C正确；
对于D，令，则，不存在，，不共线，可以作为基底，D错误.
故选：C.
6．ABD
【分析】根据基底的知识对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】不能用表示，故不共线，所以A符合；
不能用表示，所以不共线，故B符合；
，故共线，所以C不符合；
不能用表示，故不共线，所以D符合.
故选：ABD.
7．C
【分析】利用平面向量基底的定义逐项判断，可得出合适的选项.
【详解】对于A选项，设，
因为、不共线，则，显然不成立，A中的两个向量可作一个基底；
对于B选项，设，
因为、不共线，则，显然不成立，B中的两个向量可作一个基底；
对于C选项，因为，C中的两个向量不能作一个基底；
对于D选项，设，
因为、不共线，则，显然不成立，D中的两个向量可作一个基底.
故选：C.
8．C
【分析】根据平面基底的定义和判定，逐项判定，即可求解.
【详解】根据平面基底的定义知，向量为不共线非零向量，即不存在实数，使得，
对于A中，向量和，不存在实数，使得，可以作为一个基地；
对于B中，向量和，假设存在实数，使得，
可得，此时方程组无解，所以和可以作为基底；
对于C中，向量和，假设存在实数，使得，
可得，解得，所以和不可以作为基底；
对于D中，向量和，假设存在实数，使得，
可得，此时方程组无解，所以和可以作为基底；
故选：C.
9．D
【分析】根据向量的线性运算法则求解.
【详解】由题意,
故选：D．
10．B
【分析】根据向量的线性运算公式，结合图形，即可求解.
【详解】因为，
所以．

故选：B
11．，，.
【分析】根据给定条件，利用向量线性运算结合几何图形求解作答.
【详解】在中，，由，得，，
由，得，，
所以，
由，得，所以，
.
12．B
【分析】根据向量的加减法运算结合平面向量基本定理求解即可.
【详解】因为平行四边形ABCD中，设M为线段BC的中点，N为线段AD上靠近D的三等分点，
所以，
因为，，
所以
故选：B

13．A
【分析】根据向量线性运算、三点共线以及平面向量的基本定理等知识求得正确答案.
【详解】由题意得，，
由，，三点共线可知，存在实数，满足.
由，，三点共线可知，存在实数，满足，
所以.
因为，为基底，所以，解得，
所以.
故选：A
14．C
【分析】由三点共线，则可设，由三点共线，则可设，然后根据题意都用表示，从而可求出的值，进而可求得答案
【详解】因为三点共线，所以可设，
所以，
因为三点共线，所以可设，
因为，所以，
所以，
所以，
即，解得，，
所以，
故选：C.
15．D
【分析】根据平面向量共线定理、平面向量线性运算法则及平面向量基本定理得到方程，解得即可.
【详解】依题意，又，
所以，
因为、、三点共线，所以，
又、、三点共线，所以，
因为、不共线，所以，解得，
所以.
故选：D
16．
【分析】先设，，根据向量的线性运算，可得，，对应系数相等求出，再根据代入后即可求出结果.
【详解】由D，P，E三点共线，B，P，F三点共线，可设，，
由向量的线性运算可知，，
又因为，可得，所以；
同理，
所以，解得，所以，
故，
故答案为：
17．D
【分析】由平面向量基本定理，列方程求解.
【详解】向量、不共线，且，
则有，解得，所以.
故选：D
18．D
【分析】利用给定的平行四边形，结合向量的线性运算及平面向量基本定理计算即得.
【详解】在中，，即是的中点，则，
又，即，
因此，
而，不共线，
所以，.
故选：D
19．B
【分析】由已知结合向量的线性表示及平面向量基本定理即可求解.
【详解】因为平行四边形的对角线相交于点，
所以，
因为，所以，
则.
故选：B.
20．##
【分析】根据相似比以及平面向量基本定理求得的值.
【详解】由于，，
所以，所以，所以，
过作，垂足为，则，
由于，所以，
所以.
故答案为：

21．B
【分析】设，根据平面向量的线性运算可得、，结合数量积的运算律计算即可求解.
【详解】设，则，
由，得，又，
所以.
故选：B.
22．C
【分析】令，，令，，利用平面向量基本定理确定点的位置即可求解作答.
【详解】如图，令，，
于是，
而，并且不共线，因此，解得，
令，，
则，
从而，解得，因此点是线段的中点，
所以，所以.
故选：C
【点睛】思路点睛：用向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．
23．D
【分析】利用平面向量共线定理与线性运算即可得，且，再结合基本不等式“1”的代换即可求得最值.
【详解】因为点是线段的中点，所以，
又是线段上的动点，则可设，且
所以
则，所以，则，且
所以，当且仅当，即时等号成立，
所以的最小值为.
故选：D.
24．C
【分析】过点做交延长线于点，先根据相切及等面积法求出圆的半径即的长度，再根据，求出的长度，根据长度之间的比例及向量共线定理分别可得与之间的等式关系，代入中，故可得的值，即可选出结果.
【详解】解：过点做交延长线于点，如图所示：
因为矩形ABCD中，，，所以，
因为为圆上一点，所以为圆的半径，
因为圆与相切，根据面积相等可得：
，即，
解得，因为，所以，
所以，因为，所以，
因为，，所以，
所以，因为，，所以，
所以，所以，
所以，
故，所以.
故选：C
25．B
【分析】如果两个向量共线便不能作为基底，从而找到共线向量的一组即可，可根据共线向量的基本定理进行判断.
【详解】不共线的向量可以作为基底，所以不能作为基底的便是共线向量，显然选项B中，，所以和共线.
故选: B.
26．A
【分析】根据题中条件，由向量的线性运算，先由，再由，，代入即可得出结果.
【详解】因为点为边的中点，所以，
.
故选：A.

27．B
【分析】根据平行关系证明，然后根据得到与的比例关系，最后转化成用基底表示即可．
【详解】，，
，故，
则，，
而，
，
故选：B．
28．B
【分析】由题可得，进而可得，结合条件即得.
【详解】因为平行四边形中，M为中点，与相交于点P，
所以，
所以，又，
所以，.
故选：B.
29．C
【分析】利用平面向量基本定理的推论表示向量，即可求解.
【详解】设，
，
则，解得：
所以，即
即，则.
故选：C
30．A
【分析】根据及三点共线结论求得的值.
【详解】因为点是的中点，
所以，
又因为
所以，
因为三点共线，
所以，
所以.
故选：A
31．D
【分析】根据平面向量共线定理得到，，利用、分别表示出，再根据平面向量基本定理得到方程组，解得、，再代入计算可得.
【详解】依题意、、三点共线，故，
所以
，
又、、三点共线，故，
则
，
所以，解得，
所以，又，所以，
所以有序数对.
故选：D
32．B
【分析】连接、，则有，，根据求解即可.
【详解】如图，连接，，，，则，

.
故选：B．
33．ABD
【分析】根据平面向量基本定理分别判断各个选项即可.
【详解】对于，是平面内两个非零向量，
对于实数，，由向量运算法则得一定在该平面内，故正确；
对于，，是平面内的一组基底，
若实数，使，则由基底的定义得，故正确；
对于，是平面内两个非零向量，
若实数，，，使，
则由向量相等的定义得，不一定成立，故错误；
对于，已知，是平面内的一组基底，对平面内任一向量，
由共面向量基本定理得使的实数，有且只有一对，故正确．
故选：．
34．CD
【分析】根据基底的定义，结合平面向量共线定理进行判断即可.
【详解】因为，，
所以选项AB中的平面向量不能做为一组基底，
因为向量，不共线，
所以不共线，不共线，
所以选项CD中的平面向量可以做为一组基底，
故选：CD
35．BC
【分析】根据向量线性运算依次判断各个选项即可.
【详解】对于A，，A错误；
对于B，，B正确；
对于C，，C正确；
对于D，由B知：，D错误.
故选：BC.
36．ACD
【分析】设，其中，利用平面向量的线性运算可得出，求出的取值范围，即可得出合适的选项.
【详解】因为在线段上，设，其中，则，
所以，，
因为为的中点，则，所以，，
又因为且、不共线，则，
所以，，故ACD选项满足条件.
故选：ACD.
37．
【分析】利用平面向量的基本定理求解.
【详解】，
．
故答案为: ;.
38．
【分析】由向量的线性运算结合已知条件即可得出结果．
【详解】因为为中点，，
所以
，
因为，
所以，
故答案为：

39．
【分析】利用和分别共线，可得存在使得，再利用向量的四则运算解出的值即可求解.
【详解】因为为中点，所以，
因为和分别共线，
所以存在使得，，
所以
，
所以，解得，
所以，
所以，，，
故答案为：
40．
【分析】设，以为基底表示出，根据向量数量积的运算律可将化为关于的二次函数的形式，由二次函数值域求法可求得结果.
【详解】设，
，，
，
当时，；当时，；
的取值范围为.
故答案为：.
41．(1)
(2)
【分析】（1）根据平面向量基本定理表达出；
（2）根据三角形相似关系求出，结合（1）中结论，求出.
【详解】（1）因为分别是的中点，
所以，
又，
所以
（2）因为，
所以∽，
由于，分别是的中点，
故，
由（1）知，
所以
.
42．(1)
(2)证明见解析；
【分析】（1）确定，得到答案.
（2）确定，得到，确定，展开利用均值不等式计算得到答案.
【详解】（1），
故，
（2），三点共线，故，
即，
，
当且仅当，即时等号成立，故的最小值为.
43．(1)，
(2)
【分析】（1）根据向量的加减法则运算即可；
（2）用基底表示向量，利用向量的线性运算及平面向量基本定理得，使用基本不等式即可求出最值.
【详解】（1）；
.
（2）在图1中，设，
则，
由G，O，C三点共线，存在唯一，
使得，
所以，则，.
有.
在图2中，由E，O，F三点共线，存在唯一，使得
，
有，则，∵，，
∴，∴，当且仅当即，时，有最小值为.
44．(1)
(2)
【分析】（1）利用转化的方法，结合向量数量积运算求得的值.
（2）根据向量共线列方程，从而求得的值.
【详解】（1）因为点，，四等分线段，
所以，，，
，
（2）∵点Q在线段上，
∴，
∵，
∴，
∴，解得，
因此所求实数m的值为.
45．(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）利用平面向量的线性运算计算即可；
（2）利用平面向量共线定理计算即可.
【详解】（1）当时，，
因为AQ为边BC的中线，
所以，
所以．
（2）由（1）可知，
所以．
而，，，
所以，
即，
整理可得，
而，是不共线向量，所以，
两式相加可得，是定值,证毕．
46．(1)
(2)存在，
【分析】（1）以为基底表示，结合求解即可；
（2）以为基底表示求解即可.
【详解】（1）.
因为，，故，
故，又，故.
（2）由题意，，若则，即，
故，
即，解得.
答案第1页，共2页
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