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导数大题证明不等式归类
目录
题型 01 不等式证明方法
题型 02 单变量构造：利用第一问结论
题型 03 单变量构造：数列型
题型 04 数列不等式：无限和裂项型
题型 05 数列不等式：累积相消型
题型 06 数列不等式：取对数型
题型 07 虚设根型证不等式
题型 08 利用函数“凸凹反转性”证明不等式
题型 09 同构型不等式证明
题型 10 双变量型构造
题型 11 极值点偏移型：和型证明
题型 12 极值点偏移型：积型证明
题型 13 极值点偏移型：平方型证明
题型 14 三角函数型不等式证明
题型 15 韦达定理代换型
题型 16 切线放缩型证明
高考练场
题型 01 不等式证明方法
【解题攻略】
利用导数证明不等式问题，基本思维方法如下：
(1)直接构造函数法：证明不等式 f x > g x (或 f x < g x )转化为证明 f x - g x > 0(或 f x -
g x < 0)，进而构造辅助函数h x = f x - g x ；
(2)适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；
(3)构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.
利用导数证明不等式的基本步骤
(1)作差或变形；
(2)构造新的函数h x ；
(3)利用导数研究h x 的单调性或最值；
(4)根据单调性及最值，得到所证不等式．
特别地：当作差或变形构造的新函数不能利用导数求解时，一般转化为分别求左、右两端两个函数的最值问
题．
1
1 (陕西省澄城县 20121- 2022学年高三试数学 (理)试题)设函数 f(x) = lnx- x+ 1．
(1)讨论 f(x)的单调性；
(2)证明：当 x∈ (1,+∞)时，1< x- 1．
lnx
2 已知函数 f(x) = x2-2lnx.
(Ⅰ)求函数 f(x)的单调区间；
(Ⅱ)求证：当 x> 2时，f(x)> 3x- 4.
2
【变式训练】
1 (湖南省三湘名校教育联盟 2021- 2022学年高三数学试题)已知函数 f x = ex+ax+ b，曲线 y=
f x 在点 0,f 0 处的切线方程为 y= a- b．
(1)求 a，b的值；
(2)证明：f x ≥ 0．
2 (湖北省华中师范大学潜江附属中学 2021- 2022学年高三 4月数学试题)已知函数 f(x) = ax3
-3lnx.
(1)若 a= 1，证明：f(x)≥ 1；
(2)讨论 f(x)的单调性.
3 (2022·云南昆明·统考模拟预测)已知函数 f(x) = x- sinx，x∈ (0,+∞)．
(1) π π求曲线 y= f(x)在点 ,f 处的切线方程；2 2
(2)证明：2ex f(x) + cosx ex> 1．
3
题型 02单变量构造：利用第一问结论
【解题攻略】
一些试题，可以通过对第一问分类讨论，得出一些不等式放缩式子或者放缩方向
1.可以利用第一问单调性提炼出不等式
2.可以利用第一问极值或者最值提炼出常数不等式
3.可以利用题干和第一问结论构造新函数 (新不等式)
1 (2023· 1吉林长春·长春吉大附中实验学校校考模拟预测)已知函数 f(x) = x2-1 - lnx.2
(1)求 f x 的最小值；
(2)证明：ln 4 > 7 .
3 32
2 (2021下·北京丰台·高三统考)已知函数 f(x) = aex+bx+ 1在 x= 0处有极值 2．
(Ⅰ)求 a，b的值；
(Ⅱ)证明：f(x)> ex- x．
4
【变式训练】
1 (2021·四川·四川省绵阳南山中学校考模拟预测)设函数 f x = x2-2x ex+aex- e2lnx，其中 e为自
然对数的底数，曲线 y= f 3 x 在 2,f 2 处切线的倾斜角的正切值为 e2+2e．
2
(1)求 a的值；
(2)证明：f x > 0．
2 (2022下·山东聊城·高三练习)已知函数 f(x) = xlnx.
(1)讨论 y= f(x)的单调性并求极值；
(2)证明：当 x> 1时，ln2(x+ 1)> lnx ln(x+ 2).
x
3 (20122 e -a安徽马鞍山·统考模拟)已知函数 f x = ,a∈R.
x
(1)若 f x 在定义域内无极值点，求实数 a的取值范围；
(2)求证：当 0< a< 1,x> 0时，f x > 1恒成立.
5
题型 03单变量构造：数列型
【解题攻略】
数列型不等式证明
1.对于n∈N 型数列不等式证明，可以转化为定义域为X≥ 1,在实数范围内证明不等式。
2.一些特殊形式的数列不等式，可以通过选择合适的换元，构造新函数，注意因为 n的正整数属性，注意对应
换元的取值范围
3.数列型不等式的证明，一般需要联系前面第一问的结论，对要证明的不等式进行适当的拆分凑配来证明
x
1 (2023· 1吉林通化·梅河口市第五中学校考模拟预测)已知函数 f x = 1+ (x> 0)．x
(1)证明：f x < e；
(2)讨论 f x 的单调性，并证明：当 n∈N*时， 2n+ 1 ln n+ 1 2（2012·河北衡水·统考一模)设函数 f(x) = x2+bln(x+ a),其中 b≠ 0．
(1)当 b= 1时，f(x)在 x=-2时取得极值，求 a；
(2)当 a= 1时，若 f(x)在 (-1,+∞)上单调递增，求 b的取值范围；
(3) 1 1 1证明对任意的正整数n,不等式 ln + 1n > - 都成立．n2 n3
6
【变式训练】
1 2023·吉林长春·长春吉大附中实验学校校考模拟预测)设函数 f x = 1- ax ln x+ 1 - bx，其中 a
和 b是实数，曲线 y= f x 恒与 x轴相切于坐标原点．
1 求常数 b的值；
2 当 0≤ x≤ 1时，关于 x的不等式 f x ≥ 0恒成立，求实数 a的取值范围；
10001 10000.4 1000.5
3 求证： < e< 1001 ．10000 1000
2 (2023上·河南南阳·高三统考期中) (1)已知函数 f x = xlnx，判断函数 g x = f 1+ x + f 1- x 的
单调性并证明；
1+ 1 1- 1
(2)设n为大于 1的整数，证明： n+ 1 n n- 1 n>n2.
3 (2017下· 1- x黑龙江大庆·高三大庆中学校已知函数 f(x) = + lnx；
ax
(1)若函数 f(x)在 [1,+∞)上为增函数，求正实数 a的取值范围；
(2)当 a= 1 1时，求函数 f(x)在 ,2 上的最值；2
(3)当 a= 1时，对大于 1的任意正整数n，试比较 ln n 1- 与 的大小关系．n 1 n
7
题型 04数列不等式：无限和裂项型
【解题攻略】
证明不等式 f 1 + f 2 + +f n < g n ，该不等式左边是求和式，右边只有单独的一项，但可以通过变形将
右边也转化为求和式，即
g n = g n - g n- 1 + g n- 1 - g n- 2 + g n- 2 - g n- 3 + + g 2 - g 1 + g 1 - g 0
这样一来，设 b *n= g n - g n- 1 n∈N ，
则只需证 f 1 + f 2 + +f n < b1+b2+ +bn，而要证明这个式子，可以证明左右两侧对应项的大小关系，
即如果能够证出 f n < bn恒成立，则原不等式也就成立.
1 (2023·内蒙古呼和浩特·呼市二中校考一模)已知函数 f x = ln 1+ x -mx．
(1)求函数 f x 的极值；
(2) 1 1 1求证： *
n+ + + + > ln2 n∈N ．1 n+ 2 n+n+ 1
2 (2023·全国·高三专题练习)已知函数 f(x) = 2alnx- x2+a，a∈R．
(1)讨论函数 f x 的单调性；
(2)证明:2ln n+ 1 > 1 + 1 + 1 + + 1 *
2 3 4 n+ (n∈N ) ．1
8
【变式训练】
1 (2023上·浙江·高三浙江省富阳中学校联考阶段练习)已知函数 f x = axlnx- x,(a∈R)).
(1)讨论 f x 的单调性；
(2)若 x> 1时，f x >-1，求实数 a的取值范围；
(3)对任意n∈N *，证明： 1 + 2 + 3 + + n + ln n+ 1>n.
2 3 4 n+ 1
2 (2023上· lnx福建厦门·高三厦门市湖滨中学校考期中)已知函数 f x = kx,g x = .
x
(1)若不等式 f x ≥ g x 在区间 0,+∞ 内恒成立，求实数 k的取值范围；
(2) ln2 + ln3 +...+ lnn 1求证： < (n≥ 2,n∈N ,e为自然对数的底数)
24 34 n4 2e
3 (2023上·陕西·高三校联考阶段练习)已知函数 f x = e-x-aex，a∈R．
(1)若函数 f x 在R上单调递减，求 a的取值范围；
(2)已知 a= 1 m≥ 1， ，x> 1，g x = lnx+mf lnx ，求证：g x < 0；
2
(3) ln5< 1 + 1 1证明： *+ + + n∈N ．n n 1 5n
9
题型 05数列不等式：累积相消型
【解题攻略】
累加列项相消证明法
证明不等式 f 1 f 2 f n < g n 为例，该不等式左边是求积式，右边只有单独的一项，但可以通过
变形将右边也转化为求和式，如转化为累积相消型
g n g n- 1 g2
g n = g 1
g n- 1 g n- 2 g 1
g n
这样一来，设 bn= n∈N *-
，
g n 1
则只需证 f 1 f 2 f n < b1+b2+ +bn，而要证明这个式子，可以证明左右两侧对应项的大小关系，即如
果能够证出 f n < bn恒成立，则原不等式也就成立.
1 (2022贵州铜仁·高三贵州省铜仁第一中学阶段练习)已知函数 f(x) = aln x- ax- 3(a∈R)．
(1)若 a=-1，求函数 f(x)的单调区间；
(2)若函数 y= f(x)的图象在点 (2，f(2))处的切线的倾斜角为 45°，对于任意的 t∈ [1,2]，函数 g(x) = x3
+x2 f '(x) +
m ( f
(x)是 f(x)的导函数)在区间 (t,3)上总不是单调函数，求m的取值范围；
n
(3) ln2 × ln3 × ln4 × × lnn < 1求证： (n≥ 2，n∈N *)
2 3 4 n n
2 (2023·全国·高三专题练习)已知函数 f x = alnx+ 1- x．
(1)若 f x ≤ 0，求 a的值；
(2)证明：当n∈N+且n≥ 2 ln2时， × ln3 × ln4 × × lnn < 1．
22 32 42 n2 n
10
【变式训练】
1 (2023·全国·高三专题练习)已知函数 f(x) = (x+ 1)lnx，g x = ax- 2 a∈R
(1)若 f(x)≥ g(x)对任意的 x∈ [1,+∞)恒成立，求实数 a的取值范围；
n
(2)求证：ln2 ln3 ln4...lnn> 2 n≥ 2,n∈N .
n(n+ 1) +
2 (2023·全国·高三专题练习)设整数 p> 1，n∈N *，x>-1 p且 x≠ 0，函数 f x = 1+ x -px- 1．
(1)求证：f x > 0；
(2) 1求证： 1+ 1+ 1 1+ 1 1+ 1 > 2n+ 1．1 3 5 2n- 1
a x2-x
3 (2022·全国·高三专题练习)已知函数 f x = xlnx，g x =

.
2
(1)若 f x < g x 在 1,+∞ 上恒成立，求实数 a的取值范围；
(2)求证： 1+
1 1+
2 n
n+ 1 2 n+ 1 2
1+ < e.
n+ 1 2
11
题型 06数列不等式：取对数型
【解题攻略】
取对数型
证明不等式 f 1 f 2 f n < t为例，该不等式左边是求积式，右边只有单独的一项常数，但可以通过
取对数，把左边的积转化为对数和型，如转化为累加或者累积相消型
ln f 1 f 2 f n < lnt ln f 1 + ln f 2 + ln f 3 +ln f 2 < lnt
1 (2023·全国·高三专题练习)已知函数 f x = ln 1+ x ．
(1) x求证：当 x∈ 0,+∞ 时， + < f x < x；1 x
(2) 1 2 n已知 e为自然对数的底数，求证： n∈N *， e< 1+ 1+ 1+ < e．n2 n2 n2
2 (2023·全国·高三专题练习)已知函数 f(x) = sinx- xcosx(x≥ 0)．
(1)求函数 f(x) π的图象在 ,1 处的切线方程；2
(2)若任意 x∈ (0,+∞)，不等式 f(x)≤ ax3恒成立，求实数 a的取值范围；
(3)设 g(x) = 3 f(x)，证明： 1+ g 1 1 1 x2 3 1+ g 1+ g < e．32 3n
12
【变式训练】
1 (2023上·江苏淮安·高三金湖中学校联考)已知函数 f x = ax- a- lnx．
(1)求曲线 y= f x 在点 1,f 1 处的切线方程；
(2)证明：当 a= 1时，f x ≥ 0；
2 n-1
(3)设m为整数，若对于 n∈N*, 1+ 1 1+ 2 1+ 23 32 33 1+
2
n 2 (2023·全国·高三专题练习)已知关于 x的函数 f x = ax- lnx- 1+ ln2 .
(1)讨论 f x 的单调性；
(2)证明：当n∈N *时，ln 1× 2× 3× ×n 3 (2023· 1四川成都·石室中学校考模拟预测)已知函数 f x = ex- ax2-x
2
(1)若 f x 单调递增，求 a的值；
(2) 1 1判断 1+ 1 1+ 1+ (n∈N*且n≥ 2)与 e2的大小，并说明理由.4 n2
13
题型 07虚设根型证不等式
【解题攻略】
虚设零点法：
涉及到导函数有零点但是求解相对比较繁杂甚至无法求解的情形时，可以将这个零点只设出来而不必求出来，然后寻找一种整
体的转换和过度，再结合其他条件，进行代换变形，从而最重获得问题的解决
1 已知函数 f(x) = x2- (a- 2)x- alnx(a∈R)．
(1)求函数 y= f(x)的单调区间；
(2)当 a= 1时，证明：对任意的 x> 0，f(x) + ex> x2+x+ 2．
2 (20122·浙江·模拟预测)已知函数 f(x) = x2- (a- 2)x- alnx(a∈R)．
(1)求函数 y= f(x)的单调区间；
(2)当 a= 1时，证明：对任意的 x> 0，f(x) + ex> x2+x+ 2．
14
【变式训练】
1 (2023上·福建福州·高三校联考)设函数 f(x) = e2x-alnx．
(1)求 a= e时，f(x)的单调区间；
(2)求证：当 a> 0时，f(x)≥ 2a+ aln 2．
a
2 (2024上·陕西安康·高三校联考阶段练习)已知函数 f x = x- alnx- 4,a∈R.
(1)讨论函数 f x 的单调性；
(2)当 a= 1时，令F x = x- 2 ex-f x ，若 x= x0为F x 的极大值点，证明：03 (2023上·重庆沙坪坝·高三重庆一中校考阶段练习)已知函数 f x = ax+ xlnx,a∈R.
(1)判断 f x 的单调性;
(2)若 a= 1,0< x≤ 1, 求证:ex+1- f x ≤ e,其中 e是自然对数的底数.
15
题型 08利用函数“凸凹反转性”证明不等式
【解题攻略】
凸凹反转首先是证明不等式的一种技巧，欲证明 f(x) > 0，若可将不等式左端 f(x)拆成 g(x) > h(x)，且 gmin
(x)> hmax(x)的话，就可证明原不等式成立. 通常情况，我们一般选取 g(x)为上凸型函数，h(x)为下凹型函数
来完成证明.
1 (2023 m上·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨市第十三中学校校考)已知函数 f x = + lnx,m∈R.
x
(1)讨论 f x 的单调性；
(2)证明：当m> 0时，mf x ≥ 2m- 1.
2 已知函数 f(x) = ex-x-m(m∈R)．
(1)当 x> 0时，f(x)> 0恒成立，求m的取值范围；
(2) x- lnx 1当m=-1时，证明： x f(x)> 1- ．e e2
16
【变式训练】
1 (2021上·全国·高三校联考阶段练习)已知 f(x) = lnx+ ax，a∈R．
(Ⅰ)讨论 f(x)的单调性；
(Ⅱ)若 a<-1，证明：f(x)<-1．
2 已知 f(x) = xlnx，g(x) =-x2+ax- 3
(1)对 x∈ (0,+∞)，不等式 2f(x)≥ g(x)恒成立，求实数 a的取值范围；
(2)证明：对一切 x∈ (0,+∞) 1 2，都有 lnx> x - ．e ex
3 已知函数 f(x) = ax2-xlnx．
(I)若 f(x)在区间 (0，+∞)内单调递增，求 a的取值范围；
(Ⅱ)若 a= e(e 1为自然对数的底数)，证明：当 x> 0时，f(x)< xex+ ．
e
17
题型 09同构型不等式证明
【解题攻略】
常见同构技巧：
指对变形同构
1.x= lnex= elnx(“无中生有”公式，原理公式)
2.xex= elnx ex= elnx+x
lnx
3. x = e = elnx-x
ex ex
4.x+ lnx= lnex+lnx= ln(xex)
x
5.x- lnx= lnex-lnx= ln e
x
常见指对同构函数式子：
1.xex(同构函数基础)
-1
2. lnx =-x-1lnx-1=-elnx lnx-1
x
3. x = 1 = 1
lnx -x-1lnx-1 -1-elnx lnx-1
4.xlnx= elnx lnx
5. x = xe-x=- (-x)e-x
ex
x
6. e = 1
x - (-x)e-x
2.指对变形式
（1）lnex= x= elnx(核心公式)
（2）xex= elnx ex= elnx+x
lnx
（3 x） x =
e = elnx-x
e ex
（4）x+ lnx= lnex+lnx= lnxex
ex
（5）x- lnx= lnex-lnx= ln
x
3.指对同构式：f x = xe（x 母函数）
x 1 1
（1） = =
lnx - -1 -1 lnx-1x lnx -e lnx-1
（2 lnx） =-x-1lnx-1
-1
=-elnx lnx-1
x
（3）xlnx= elnx lnx
4 x（ ） ==- (-x)e-x
ex
ex 1
（5） =
x - (-x)e-x
18
总结：一个概念：同构式；
一个核心：lnex= x= elnx
一个方法：指对式分离，构造同构式
一个提醒：注意同构后的整体变量范围
1 (2023· 2全国·高三专题练习)已知 f x = ex+1- ，g x = a+ x+ lnx ，a∈R．
x x
(1)当 x∈ 1,+∞ 时，求函数 g x 的极值；
(2)当 a= 0时，求证：f x ≥ g x ．
(2023 · · ) f(x) = e
x
2 上 安徽马鞍山 高三马鞍山二中校考阶段练习 已知函数 - 1，e= 2.71828 为自然对
x3
数的底数.
(1)试判断函数 f(x)的零点个数并说明理由；
(2)证明：f(x)≥ x- 3lnx.
19
【变式训练】
1 (2023·四川遂宁·统考模拟预测)设 f(x) = ae3x-x，h(x) = 3x2-xlnx，
(1)试讨论 f(x)的单调性；
(2)当 a≥ 1时，证明 f(x)> h(x)恒成立.
2 已知 f x = ex+1- 2 ，g x = a+ x+ lnx，a∈R．
x x
(1)当 x∈ 1,+∞ 时，求函数 g x 的极值；
(2)当 a= 0时，求证：f x ≥ g x ．
20
题型 10 双变量型构造
1 (2022 lnx贵州黔东南·统考一模)已知函数 f(x) = (m≠ 0).
mx
(1)试讨论函数 f(x)的单调性；
(2)对 a,b∈ e,+∞ ，且 a< b，证明：ab> ba.
2 ( 2023 x- a上 ·四川内江 ·高三四川省内江市第六中学校考阶段练习 ) 已知函数 f x = + -x 1
ln x+ 1 a∈R ．
(1)求函数 f x 的单调区间；
(2)已知m，n是正整数，且 1 1+n m．
21
【变式训练】
(2022· · ) g x = 1- 1+ lnx1 全国 高三专题练习 已知函数 ．
x
(1)求 g x 的单调区间；
(2) 1 n 1+ lnn当 e m 1+ lnm
2 x- 1
2 (2021· 全国·高三专题练习)已知函数 f x = lnx- + ．x 1
(1)求证：函数 f x 在 0,+∞ 上单调递增；
(2)设m>n> 0 lnm- lnn 2，求证：
m- >n m+ ．n
a
( · · ) = -
x- 1
3 2022全国 高三专题练习 已知函数 f x lnx .
x+ 1
(1)若函数 f x 在 0,+∞ 上为单调增函数，求 a的取值范围；
(2)设m,n∈R m≠n m-n m+n，且 ，求证
lnm- < .lnn 2
22
题型 11极值点偏移型：和型证明
【解题攻略】
极值点偏移多有零点这个条件。零点型，注意数形结合思想的应用：
1.零点是否是特殊值，或者在某个确定的区间之内。
2.零点是否可以通过构造零点方程，进行迭代或者转化。
3.将方程根的判定转化为函数的单调性问题处理
1 (2023·四川成都·成都七中校考模拟预测)已知函数 f x = ex-ax2+e2x 1有两个极值点 a≤- ，x
3 2
x1< x2 ．
(1)求实数 a的取值范围；
(2)证明：x1+x2< 2ln2a．
2 (2023·山西·校考模拟预测)已知函数 f x = lnx- a x+ 1,a∈R.
(1)若 f x ≤ 0，求 a的取值范围；
(2)若关于 x的方程 f x2 = eax-ex2有两个不同的正实根 x1,x2，证明：x1+x2> 2 e.
23
【变式训练】
1 (2023· m江西·统考模拟预测)已知函数 f(x) = x+
ex
．
(1)讨论 f(x)的单调性；
(2)若 x1≠ x2，且 f x1 = f x2 = 2，证明：02 (2023上·江苏镇江· 2a高三校考阶段练习)已知函数 f x = lnx+ ,a∈R．若函数 f x 有两个不相
x
等的零点 x1,x2．
(1)求 a的取值范围；
(2)证明：x1+x2> 4a．
24
题型 12极值点偏移型：积型证明
【解题攻略】
处理极值点偏移问题中的类似于x1x2< a f x1 = f x2 的问题的基本步骤如下：
①求导确定 f x 的单调性，得到 x1,x2的范围；
a
②构造函数F x = f x - f ，求导可得F x 恒正或恒负；x
f x f a③得到 1 与 的大小关系后，将 f x1 置换为 f xx 2 ；1
④根据x a a2与 的范围，结合 f x 的单调性，可得x2与 的大小关系，由此证得结论.x1 x1
1 (2023上· 1河南·高三南阳中学校联考阶段练习)已知函数 f(x) = ax2- (2a+ 1)x+ 2lnx(a∈R).
2
(1)若 f(x)有唯一极值，求 a的取值范围；
(2)当 a≤ 0时，若 f(x1) = f(x2)，x1≠ x2，求证：x1x2< 4.
x
2 (2023上·陕西汉中·高三西乡县第一中学校联考)已知函数 f x = e ，g x = lnx- x.
x
(1)求函数 g x 的极值；
(2)若 h x = f x - g x ，求函数 h x 的最小值；
(3)若 h x = a有两个零点 x1，x2，证明：x1x2< 1.
25
【变式训练】
1 (2023上·重庆渝中·高三统考)已知函数 f x = xlnx- ax2+x,a∈R．
(1)若函数 f x 是减函数，求 a的取值范围；
(2)若 f x 有两个零点 x1,x2，且 x > 2x x x > 82 1，证明： 1 2 ．
e2
1
2 (2023上·江苏连云港·高三江苏省海州高级中学校考阶段练习)已知函数 f x = lnx+ ax2
2
- a+ 1 x a∈R .
(1)当 a= 1时，求函数 y= f x 的零点个数.
(2) 1若关于 x的方程 f x = ax2有两个不同实根 x1,x2，求实数 a的取值范围并证明 x1 x2> e2.2
26
题型 13极值点偏移型：平方型证明
1 (2023 lnx+ 1下·辽宁·高三统考)已知函数 f x = .
ax
(1)讨论 f x 的单调性；
(2) ex x2= ex x若 1 2 1(e是自然对数的底数)，且 x1> 0，x2> 0，x1≠ x2，证明：x21+x22> 2.
2 (2023·广东广州·广州市从化区从化中学校考模拟预测)已知函数 f x = lnx- ax2.
(1)讨论函数 f x 的单调性：
(2)若 x1,x2是方程 f x = 0的两不等实根，求证：x2 21+x2> 2e；
27
【变式训练】
1 (2023· lnx山西·校联考模拟预测)已知函数 f x = - ax.
x
(1)若 f x ≤-1，求实数 a的取值范围；
(2) 12若 f x 有 2个不同的零点 x1,x2(x1< x2)，求证：2x21+3x22> .5a
2 (2023上· 1+ lnx云南·高三云南师大附中校考阶段练习)已知函数 f x = ，a> 0．
ax
(1)若 f x ≤ 1，求 a的取值范围；
(2)证明：若存在 x1，x2，使得 f x1 = f x 2 22 ，则 x1+x2> 2．
28
题型 14三角函数型不等式证明
【解题攻略】
1. 利用导数证明三角函数型不等式
2.正余弦的有界性
3.三角函数与函数的重要放缩公式：x≥ sinx x≥ 0 .
1 (2023·全国·高三专题练习)已知函数 f x = ex-x- 1.
(1)证明：f x ≥ 0；
(2)当m≤ 1时，证明不等式 ex-mx+ cosx- 2≥ 0，在 x∈ 0,+∞ 上恒成立.
2 (2023·四川资阳·统考模拟预测)已知函数 f x = x3-ax+ 1．
(1)当 a= 1时，过点 1,0 作曲线 y= f x 的切线 l，求 l的方程；
(2)当 a≤ 0时，对于任意 x> 0，证明：f x > cosx．
29
【变式训练】
1 (2022·新疆·统考三模)已知函数 f(x) = sinx- axcosx，a∈R
(1)若 f(x)在 x= 0处的切线为 y= x，求实数 a的值；
(2)当 a≥ 1 ，x∈ [0,+∞)时，求证：f x ≤ 2ax.
3
2 设函数 f(x) = excosx，g(x) = acosx，x∈ 0, π .
e2x 3
π
(1)求 f x 的最小值，并证明：e 12< 2；
(2)若不等式：g(x)≥ 2- e3x成立，求实数 a的取值范围.
30
题型 15韦达定理代换型
【解题攻略】
利用韦达定理证明不等式
1.题干条件大多数是与函数额极值 x1，x2有关。
2.利用韦达定理代换：可以消去参数
1 已知函数 f x = lnx+ x2-ax a∈R .
(1)求函数 f x 的单调区间；
(2) 1 3设 f x 存在两个极值点 x1,x2，且 x1< x2，若 0< x1< ，求证：f x2 1 - f x2 > - ln2.4
2 已知函数 f(x) = ln x+ ax2-x.
(1)若 a=-1，求函数 f(x)的极值；
(2)设 f′ (x)为 f(x)的导函数，若 x1，x2是函数 f′ (x)的两个不相等的零点，求证：f(x1) + f(x2)< x1+x2-5
31
【变式训练】
1 已知函数 f x = x- 1 - alnx(a∈R)，
x
(1) 1求曲线 y= f x 在点 e,- 处的切线与坐标轴围成三角形的面积．e
(2)f x 是 f x 的导函数，若函数 g x = x2 f x - ax+ 2lnx有两个极值点 x1,x2，且 0< x1< x2< e，求
证：g x 1 1 + < g x2 + e2-4．
e2
2 已知函数 f x = 1 x2+lnx+mx，(m∈R)．
2
(1)若 f x 存在两个极值点，求实数m的取值范围；
f x + f x m+ 2 2
(2) x +x 若 x1，x f
1 2
2为 x 的两个极值点，证明： - f 1 2 > ．2 2 8
32
题型 16切线放缩型证明
【解题攻略】
常用的切线放缩有：
(1)ex≥ x+ 1；(2)ex≥ ex；(3)1- 1 ≤ lnx≤ x- 1；(4)lnx≤ x .
x e
1 (2023·青岛模拟改编)已知 x1ln x1= x2ln x2= a，且 x1< x2，求证：
x2-x1< 2a+ 1+ e-2.
n
|a- b| < n
1-n
求证： t+ n n.
lnn
2 已知函数 f(x) = 4ex-1+ax2，曲线 y= f(x)在 x= 1处的切线方程为 y= bx+ 1.
(1)求实数 a、b的值；
(2)x> 0且 x≠ 1时，证明：曲线 y= f(x)的图象恒在切线 y= bx+ 1的上方；
(3)证明：不等式：4xex-1-x3-3x- 2lnx≥ 0.
33
【变式训练】
1 已知函数 f(x) = 4ex-1+ax2，曲线 y= f(x)在 x= 1处的切线方程为 y= bx+ 1.
(1)求实数 a，b的值；
(2)x> 0且 x≠ 1时，证明：曲线 y= f(x)的图象恒在切线 y= bx+ 1的上方；
(3)证明不等式：4xex-1-x3-3x- 2ln x≥ 0.
2 (2013·新课标 II卷)已知函数 f x = ex-ln x+m ①
(1)设 x= 0是 f x 的极值点，求m并讨论 f x 的单调性；
(2)当m≤ 2时，证明：f x > 0
34
高考练场
1 2021·福建莆田·统考二模)设函数 f(x) = 2ex+acosx,a∈R．
(1)若 f(x)在 0, π 上存在零点，求实数 a的取值范围；2
(2)证明：当 a∈ 1,2 ,x∈ 0, π 时，f(x)≥ 2x+ 3．2
2 (2023上·湖北·高三校联考阶段练习)已知函数 f(x) = sinx+ x2.
(1)求曲线 y= f(x)在点 (0,f(0))处的切线方程，
(2)证明：f(x)>- 5 .
16
35
3 (2023·全国·高三专题练习)设函数 f x = x2-a x+ alnx a∈R,a≠ 0 ,f x 是函数 f x 的导函
数.
(1)讨论 f x 的单调性；
(2)若 a> 0，且 f 1 + f 1 = 0，结合 (1)的结论，你能得到怎样的不等式？
(3) 2 3利用 (2)中的不等式证明： + +...+ n+ 1 > ln
2 2 2 n+ 1 n∈N
* .
1 2 n
a x- 1
4 (2022·全国·高三专题练习)已知函数 f x = lnx- + a∈R ．x 1
(1)若函数 f x 在定义域内是单调增函数，求实数 a的取值范围；
(2) 4 8 12求证： + + + + 4n ln2 ln3 ln4 ln(n+ 1)
36
5 (2023·河北·统考模拟预测)已知函数 f x = ln x+ 1 - aex-x a∈R ．
(1)当 a> 0时，证明：f x < 0恒成立；
(2)当 a= 0 1 1 1时，证明： 1+ × 1+ × 1+ < e n∈N * ．1 2 2 3 n n+ 1
6 (2020·四川绵阳·统考模拟预测)已知函数 f(x) = ex+alnx(a∈R)
(1)当 a= 1时，求曲线 y= f(x)在 (1,f(1))处的切线方程；
(2) x设 x0是 f(x)的导函数 f (x)的零点，若-e< a< 0，求证：f x0 > e 0.
37
7 (天津市红桥区 2021- 2022学年高三数学试题)已知 f x = xlnx，g x =-x2+ax- 3.
(1)求函数 f x 的单调区间；
(2)对一切 x∈ 0,+∞ ，2f x ≥ g x 恒成立，求实数 a的取值范围；
(3) 1证明：对一切 x∈ 0,+∞ ，都有 lnx> x -
2
成立.
e ex
8 (辽宁省五校 (辽宁省实验中学、东北育才学校、鞍山一中、大连八中、大连 24中)2021- 2022学年高
三考试数学试题)材料：在现行的数学分析教材中，对“初等函数”给出了确切的定义，即由常数和基本初等
函数经过有限次的四则运算及有限次的复合步骤所构成的，且能用一个式子表示的.如函数 f x = xx
x> 0 ，我们可以作变形：f x = xx= elnx x= ex lnx= et t= xlnx ，所以 f x 可看作是由函数 f t = et和
g x = xlnx复合而成的，即 f x = xx x> 0 为初等函数，根据以上材料：
(1)直接写出初等函数 f x = xx x> 0 极值点
2
(2)对于初等函数 h x = xx x> 0 ，有且仅有两个不相等实数 x1,x2 0< x1< x2 满足：h x1 = h x2 = ek.
(i)求 k的取值范围.
- e2
2
(ii)求证：xe -2e≤ e2 (注：题中 e为自然对数的底数，即 e= 2.71828 )x1
38
9 (2023 3上·天津和平·高三天津一中校考阶段练习)已知函数 f x = x2 lnx- a ，a为实数．2
(1)当 a= 2 时，求函数在 x= 1处的切线方程；
3
(2)求函数 f x 的单调区间；
(3)若函数 f x 在 x= e处取得极值，f x 是函数 f x 的导函数，且 f x1 = f x2 ，x1< x2，证明：2< x1
+x2< e．
1
10 (2023上·四川遂宁·高三四川省蓬溪中学校校考阶段练习)设 f x = ax2- a+ 1 x+ lnx，a∈R.
2
(1)当 a= 2时，求 f x 的极值；
(2)若 x> 0有 f x ≤ 0恒成立，求 a的取值范围；
(3)当 a< 0时，若 f x1 = f x2 ，求证：x1x2< 1.
39
11 (2023·北京通州·统考三模)已知函数 f x = ax- a - lnx(a> 0)
x
(1)已知 f(x)在点 (1，f(1))处的切线方程为 y= x- 1，求实数 a的值；
(2)已知 f(x)在定义域上是增函数，求实数 a的取值范围.
(3)已知 g x = f a x + 有两个零点 x1，x2，求实数 a的取值范围并证明 x 2x 1x2> e .
1+ lnx
12 (2021·福建·高三统考阶段练习)已知函数 f x =
ax
(1)讨论 f(x)的单调性；
(2) x x若 ex 21 = ex2 1，且 x1> 0，x2> 0，x1≠ x ，证明: x22 1+x22> 2.
40
13 (广西桂林市国龙外国语学校 2021- 2022学年高三考试数学试题)已知函数 f x = ae-x
+cosx a∈R .
(1) π若函数 f x 在 - ，0 上是单调函数，求实数 a的取值范围；2
(2) π 1当 a=-1时，x0为 f x 在 0,π 上的零点，求证： < x2 0+ ex
.
0 sinx0-cosx0
14 (山西省山西大学附属中学 2021届高三下学期三月模块诊断理科数学试题)已知函数 f x = x2-x
+ klnx，k∈R．
(1)讨论函数 f x 的单调性；
(2)若 f x 1 有两个极值点 x1，x2，证明： f x1 - f x2 < - 2k．4
41
15 已知函数 f x = ex-1-a x+ 1 x≥ 1 ，g x = x- 1 lnx，其中 e为自然对数的底数.
(1)若 f x ≥ 0恒成立，求实数 a的取值范围；
(2)若 a取 (1)中的最大值，证明：f x ≥ g x .
42导数大题证明不等式归类
目录
题型01不等式证明方法
题型02单变量构造：利用第一问结论
题型03单变量构造：数列型
题型04数列不等式：无限和裂项型
题型05数列不等式：累积相消型
题型06数列不等式：取对数型
题型07虚设根型证不等式
题型08利用函数“凸凹反转性”证明不等式
题型09同构型不等式证明
题型10双变量型构造
题型11极值点偏移型：和型证明
题型12极值点偏移型：积型证明
题型13极值点偏移型：平方型证明
题型14三角函数型不等式证明
题型15韦达定理代换型
题型16切线放缩型证明
高考练场
热点题型归纳
题型01
不等式证明方法
【解题攻略】
利用导数证明不等式问题，基本思维方法如下：
(1)直接构造函数法：证明不等式f(c)>g(x)(或f(c)0(或f(x)一
g(x)(2)适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩：二是利用常见放缩结论：
(3)构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数
利用导数证明不等式的基本步骤
(1)作差或变形：
(2)构造新的函数h(x):
(3)利用导数研究h(x)的单调性或最值：
(4)根据单调性及最值，得到所证不等式.
特别地：当作差或变形构造的新函数不能利用导数求解时，一般转化为分别求左、右两端两个函数的最值问
题
例1（陕西省澄城县20121-2022学年高三试数学（理）试题)设函数f(c)=1nx-x+1.
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)证明：当x∈(1，+o)时，1<-1
Inx
【答案】(1)f(x)的增区间为(0,1)，减区间为(1，+o).(2)证明见解析
【分析】(1)求出导数，由导数大于0，可得增区间：导数小于0，可得减区间，注意函数的定义域：
(2)运用(1)的单调性，当x∈(1，+0o)时，可得f(x)(1)f(x)=1nx-x+1的定义域为(0，+oo),f(x）=1-1,由f(m)>0,可得0>1,
即有f(x)的增区间为(0,1)，减区间为(1，+o)
(2)当x∈(1，+o)时，由(1)可得f(x)=lnx-x+1在(1，+0)递减，
可得)例2已知函数f(x)=x2-2lnx.
(I)求函数f(x)的单调区间：
(Ⅱ)求证：当x>2时，f(x)>3x-4.
【答案】(1)f(x)的单调增区间为(1，+o),单调减区间为(0,1)：(2)见解析.
【分析】(I)明确定义域，求出导函数，解不等式即可得到函数的单调区间：
(Ⅱ)作差构造新函数，研究函数的最值即可
【详解】（①）依题意知函数的定义域为{x>0,()=2x-2=2(c+1)c-)
由f'(x)>0,得x>1;由f'(x)<0,得0∴f(x)的单调增区间为(1，+o),单调减区间为(0,1)，
(②)i设g(x）=f）-3x+1=x2-2nx-3x+4,∴g(x）=2x-21-3=2m2-3x-2=
(2x+1)(x-2)
:当x>2时，g(x)>0,g(x)在(2，+0)上为增函数，
.g(x)>g(2)=4-2ln2-6+4>0,.当x>2时，x2-2lnx>3x-4,即当x>2时f(x)>3x-4.
【变式训练】
题目1]（湖南省三湘名校教育联盟2021-2022学年高三数学试题）己知函数f(x)=e+ac+b,曲线y=
f(x)在点(0，f(O)处的切线方程为y=a-b.
(1)求a,b的值：
(2)证明：f(x)≥0.
【答案】(1)a=-1,b=-1;(2)证明见解析.
【分析】(1)根据导数的几何意义，结合f(0)=0,f(0)=a一b,解方程组即可：
(2)根据(1)中所求f(x),利用导数判断函数单调性，求得最小值，即可证明.
(1)
.f(x)=e*+ax+b,..f(x)=e+a,
:曲线y=f(x)在点(0，f(0)处的切线方程为y=a-b,
8二1+006g得a=1,6=1

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