资源简介

2009年湖南省普通高中学业水平考试大纲
数 学
（送审稿）
考试目标
普通高中数学学业水平考试是面向全体普通高中学生的达标性考试。《普通高中数学课程标准（实验）》（下文简称为《课程标准》）是在高中数学教育教学领域落实普通高中数学教育培养目标的纲领性文件，它明确了高中数学课程的总体目标是“使学生在九年义务教育数学课程的基础上，进一步提高作为未来公民所必要的数学素养，以满足个人发展与社会进步的需要”。学业水平考试就是要全面考察和评估我省普通高中学生的数学学业水平是否达到了这个要求。
教师的专业素养是实现课程总体目标的重要因素。通过学业水平考试，要对我省普通高中数学教师的专业发展状况，做出合理评价。随着社会的进步，“未来公民所必要的数学素养”在变化，学业水平考试要引导社会、学校和家庭关注学生的全面发展，形成正确的质量观和人才观。
二、命题依据
为实现普通高中教育培养目标，数学学业水平考试命题将依据《课程标准》、《湖南省普通高中学业水平考试实施方案（试行）》（下文简称为《实施方案》）和《2009年湖南省普通高中学业水平考试大纲（试行）》（下文简称为《考试大纲》），在深入调研我省普通高中数学教学实际情况的基础上进行，力求规范、科学，符合我省高中数学教学实践最广泛的要求。
三、命题原则
1. 导向性原则。面向全体学生，有利于促进学生全面、和谐、健康的发展，有利于中学实施素质教育，有利于体现数学学科新课程理念，充分发挥学业水平考试对普通高中数学学科教学的正确导向作用。
2. 基础性原则。突出考查数学学科基础知识、基本技能、基本体验和基本思想，考查初步应用数学学科知识与方法分析问题、解决问题的能力。试题植根于基础知识、主干知识。
3.科学性原则。试题设计必须与《课程标准》和《考试大纲》要求一致，关注数学学科的主干知识和核心内容，关注数学学科与社会的联系，贴近学生的生活实际。试题结构合理，内容科学、严谨，试题文字简洁、规范，试题答案准确、合理。
4.公平性原则。充分考虑我省高中数学教学的实际，注意到我省不同市（州）基础教育发展的不平衡性，面向全体学生，联系生产实际或日常生活的试题背景应当是不同层面学生都熟悉并能理解的题材，保证测试的公平。
四、考试内容与要求
普通高中数学学业水平考试根据《实施方案》、《课程标准》和学科特点，将本学科能力层级由低到高分为“知道”、“了解”、“理解”和“应用”四个层次并分别用A、B、C、D表示。学科能力层级与《实施方案》中提出的能力层级关系如下：
《实施方案》能力层级
识记
理解
简单应用
综合应用
本学科能力层级
知道
了解
理解
应用
符 号
A
B
C
D
A：知道（包括识别、描述、举例等）——对所学过的内容（包括基础知识、基本方法、基本体验和基本思想（下同））能准确识别和再认。
B：了解（包括表示、辨别、比较等）——对所学过的内容能准确复述和直接应用。
C：理解（包括解释、归纳、概括等）——对所学过的内容能进行理性分析和综合论证。
D：应用（包括建模、解决、检验等）——能运用所学过的知识分析日常生活或生产实践中的问题。
模块
内容
能力层级
备注
A
B
C
D
数
学
1
集合的含义
√
集合之间的包含与相等的含义
√
全集与空集的含义
√
两个集合的并集与交集的含义及计算
√
补集的含义及求法
√
用Venn图表示集合的关系及运算
√
函数的概念
√
求简单函数的定义域和值域
√
函数的表示法
√
简单的分段函数及应用
√
函数的单调性、最大（小）值及其几何意义
√
关注学科内综合
奇偶性的含义
√
利用函数的图象理解和探究函数的性质
√
关注探究过程
有理指数幂的含义
√
幂的运算
√
指数函数的概念及其意义；指数函数的单调性与特殊点
√
指数函数模型的应用
√
关注实践应用
对数的概念及其运算性质
√
换底公式的应用
√
对数函数的概念及其意义；对数函数的单调性与特殊点
√
指数函数与对数函数
互为反函数
√
幂函数的概念
√
函数的零点与方程根的联系
√
用二分法求方程的近似解
√
关注探究过程
函数的模型及其应用
√
关注实践应用
数
学
2
柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征
√
简单空间图形的三视图的画法及三视图的识别
√
斜二测法画空间图形的直观图
√
应用平行投影与中心投影画空间图形的视图与直观图
√
球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式
√
空间点、线、面的位置关系的四个公理和一个定理
√
直线与平面、平面与平面的平行或垂直的判定和性质
√
运用已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题
√
直线的倾斜角及斜率的概念
√
过两点的直线的斜率的计算公式
√
利用斜率判断直线的平行与垂直
√
直线方程的三种形式：点斜式、两点式和一般式
√
关注探究过程
两直线交点坐标的求法
√
两点之间的距离公式、点到直线的距离公式，两平行线间的距离
√
圆的标准方程和一般方程
√
直线与圆以及圆与圆的位置关系
√
关注学科内综合
直线和圆的方程的简单应用
√
关注实践应用
空间直角坐标系的概念
√
用空间直角坐标系刻划点的位置
√
空间两点间的距离公式
√
数
学
3
算法的思想和含义
√
程序框图的三种基本逻辑结构
√
关注探究过程
五种基本算法语句
√
随机抽样的必要性和重要性
√
用简单随机抽样方法从总体中抽取样本
√
分层抽样和系统抽样方法
√
列频率分布表、画频率分布直方图、频率折线图、茎叶图
√
关注实践应用
样本数据标准差的意义和作用
√
合理选取样本，从样本数据中提取基本的数字特征，并能做出合理的解释
√
用样本的频率分布估计总体分布，用样本的数字特征估计总体的数字特征
√
随机抽样的基本方法和样本估计总体的基本思想的实际应用
√
关注实践应用
散点图的作法
√
利用散点图直观认识变量之间的相关关系
√
最小二乘法
√
根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程
√
概率的意义及频率和概率的区别
√
两个互斥事件的概率加法公式及应用
√
关注实践应用
古典概型及其概率的计算公式，用列举法计算概率
√
几何概型的意义
√
数
学
4
任意角的概念和弧度制
√
弧度与角度的互化
√
任意角三角函数的定义
√
正弦、余弦、正切函数的诱导公式
√
正弦、余弦、正切函数的图象画法及性质的运用
√
关注探究过程
三角函数的周期性
√
同角三角函数的基本关系式
√
的实际意义
√
三角函数模型的简单应用
√
关注实践应用
平面向量和向量相等的含义及向量的几何表示
√
向量加、减法的运算及其几何意义
√
向量数乘的运算
√
向量数乘运算的几何意义及两向量共线的含义
√
向量的线性运算性质及其几何意义
√
平面向量的基本定理及其意义
√
平面向量的正交分解及其坐标表示
√
用坐标表示平面向量的加、减及数乘运算
√
用坐标表示平面向量共线的条件
√
平面向量数量积的含义及其物理意义
√
关注探究过程
平面向量的数量积与向量投影的关系
√
平面向量数量积的坐标表达式及其运算
√
运用数量积表示两个向量的夹角，并判断两个平面向量的垂直关系
√
关注学科内综合
平面向量的应用
√
关注学科间联系
两角和与差的正弦、余弦、正切公式
√
二倍角的正弦、余弦、正切公式
√
运用相关公式进行简单的三角恒等变换
√
数
学
5
正弦定理、余弦定理及其运用
√
关注实践应用
数列的概念和简单的表示法
√
等差数列、等比数列的概念
√
等差数列、等比数列的通项公式与前项和公式
√
数列方法的应用
√
关注学科内综合
一元二次不等式的概念
√
解一元二次不等式
√
二元一次不等式的几何意义
√
用平面区域表示二元一次不等式组
√
两个正数的基本不等式
√
两个正数的基本不等式的简单应用
√
关注学科内综合
考点分布统计表
必修模块
能力层次
总计
A
B
C
D
数学1
6
7
11
1
25
数学2
3
3
13
1
20
数学3
3
11
5
0
19
数学4
4
8
14
1
27
数学5
3
1
6
1
11
合计
19
30
49
4
102
所占百分比
20%
30%
47%
3%
100%
五、考试方式、时量与分值
考试方式
纸笔测试；闭卷
考试时量
120分钟
试卷分值
100分
六、试卷结构
1．各类题型与分值
题 型
题 量
分 值
选择题
10小题
40分
填空题
5小题
20分
60分
解答题
5小题
40分
2．考试内容与分值
必修模块
数学1
数学2
数学3
数学4
数学5
所占分值
20分
20分
20分
20分
20分
3．难度分布
难度级别
容易题
稍难题
难题
难度系数
0.85以上
0.65——0.85
0.50——0.65
约占比例
70%
20%
10%
七、题型示例
【例1】若施化肥量kg与水稻产量kg的回归直线方程为，当施化肥量为80kg时，预计的水稻产量为 ．
解析：本题着重考查了利用回归直线方程对总体进行估计的数学思想，能力层级为A，属于容易题，预估难度为0.95.解题过程为：
将代入回归直线方程为，得
（kg）．
答案：650（kg）．
【例2】如果，则把变量 的值增加1会使S的值增加最大（填入中的某个字母）.
解析: 本题考查不等式的性质，比较两数大小的方法，能力层级为B，属于容易题，预估难度为0.88.解题过程为：
显然变量的值增加1会使的值增加最大. 事实上
因为
所以，
所以，
即当变量的值增加1会使的值增加最大.
答案: .
【例3】已知某等差数列共有10项，其奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差为（ ）
A.5 B.4 C.3 D.2
解析：本题考查等差数列的定义、通项公式和前项和公式的基础知识，能力层级为B，属于容易题，预估难度为0.87.解题过程为：
因为 ①
②
由①-②，得 .
答案：C.
【例4】设△的内角成等差数列，且满足条件,试判断△的形状，并证明你的结论.
解析：本题植根于两角和与差的三角函数公式，着重考查了数学基础知识的综合运用能力，“关注学科内综合”（见前面表格中的“备注”），能力层级为C，属于容易题，预估难度为0.86.解题过程为：
∵ ，∴ .
由 , 得
即
又 , ∴ , △为等边三角形.
【例5】把一根长为12cm的铁丝截成两段后，各自围成一个正三角形，则这两个正三角形的面积之和的最小值为（ ）
A. B.
C. D.
解析: 本题考查函数思想方法的综合运用，能力层级为D，属于容易题，预估难度为0.85.解题过程为：
设其中一个正三角形的边长为cm，则另一个正三角形的边长为cm，则它们的面积之和为
.
答案:D.
【例6】某商场购物实行优惠措施，若购物金额x在800元以上打8折；若购物金额x在500元以上打9折，否则不打折。请设计程序算法框图，要求输入金额x，输出实际交款金额 .
解析：本题考查“算法初步”的知识和方法的简单运用，“关注实践应用”（见前面表格中的“备注”），能力层级为C，属于容易题，预估难度为0.85.
答案：根据题意，实际交款额y与购物金额x的函数关系为

程序框图如图所示.
【例7】如图所示，在正三棱锥中，分别是的中点，，若，则正三棱锥的体积为 .
解析: 本题考查空间线面垂直关系的判定和性质，以及三棱锥体积的计算，能力层级为C，属于稍难题，预估难度为0.75.解题过程为：
因为为正三棱锥,所以.
又因为∥，所以.
又,所以平面,即平面，三条侧棱两两垂直.
.
答案: .
【例8】 求出一个数学问题的正确结论后，将其作为条件之一，提出与原来问题有关的新问题，我们称它为原来问题的一个“逆向”问题．
例如，原来问题是“若正四棱柱的底面积为4，侧棱长为3，求该正四棱柱的体积”。求出体积为12后，它的一个“逆向”问题可以是“若正四棱柱的底面积为4，体积为12，求该正四棱柱的侧棱长”；也可以是“若正四棱柱的体积为12，求该正四棱柱的底面积与侧棱长的数值的和的最小值”．
对于问题：“在平面直角坐标系中，如果直线与圆相离，试求半径的取值范围”．
你给出的该问题的“逆向”问题是
．
（2）求解你在（1）中所给出的“逆向”问题。
解析：此题是一道条件与结论都具有开放性的试题，通过要求学生写出“逆向”问题并给出解答，综合考查学生的数学阅读与理解能力，以及分析问题、提出问题与解决问题的能力，“关注探究过程”（见前面表格中的“备注”），能力层级为C，属于稍难题，预估难度为0.67.
答案：（1）如果，试判断直线与圆的位置关系．
因为圆心到直线的距离，
由，可知直线与圆相离．
【例9】已知P点坐标为，在轴及直线上各取一点、，使的周长最小，求、的坐标。
解析：本题考查的本质是对称问题，能力层级为D，属于难题，预估难度为0.60. 解题过程为：
如图，作关于轴的对称点，作关于直线对称点，
则
解得，即
的周长为
，
当在一条直线上时，的周长最小。
直线方程为：，与轴的交点为，与直线的交点。
【例10】如图所示，对于同一高度（足够高）的两个定滑轮A、B，用一条足够长的绳子跨过它们，并在两端分别挂有质量为和的物体（），另在两滑轮中间的一段绳子的O点处悬挂质量为的另一物体。已知，且系统保持平衡（滑轮半径、绳子质量均忽略不计），则 .
解析：本题考查了向量、三角函数等知识在物理学中的应用，“关注学科间关系”（见前面表格中的“备注”），能力层级为D，属于难题，预估难度为0.55.解题过程为：
设两绳子AO、BO对物体m的拉力分别为、，物体m向下的
重力为F，由系统平衡条件知
　　　　　　　　　
如图，设，根据平行四边形法则，得
　　　　　　　　　　
即　　　　　　　　　
在中，由正弦定理，得，即，代入上面方程组第一个方程，得
因为，所以，
故
答案:.
八、样卷
湖南省普通高中学业水平考试数学试卷
本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分。时量120分钟。满分100分。
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．函数的定义域为 （ ）
A．R B． C． D．
2．sin14ocos16o+cos14osin16o的值是（ ）
A． B． C． D．-
3．若集合，则 （ ）
A． B． C． D．
4．某电视台在娱乐频道节目播放中，每小时播放广告20分钟，那么随机打开电视机观看这个频道看到广告的概率为 （ ）
A． B． C． D．
5．在递增等比数列中，且则数列的公比是 （ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．已知a=b=且a∥b，则锐角的大小为 （ ）
A． B．
C． D．
7．如图所示，一个空间几何体的正视图和侧视图都是
边长为2的正方形，俯视图是一个圆，那么这个几
何体的体积为 （ ）
A． B． C．2 D．4
8．已知函数在区间内有唯一零点，则的取值范围是 （ ）
A． R B．
C． D．
9．三个数的大小顺序为 （ ）
A． B．
C． D．
10．已知三个函数①，②，③ ，其中函数的最小值为4的函数是 （ ）
A．① B．② C．③ D．①②③都不是
二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分。
11．已知函数，则 ．
12．在⊿ABC中，已知 ．
13．把化为十进制数的结果是 ．
14．某厂生产A、B、C三种不同型号的产品，产品数量之比依次为2：3：5．现用分层抽样的方法抽取一个容量为的样本，样本中A种型号产品有16件，则样本容量＝ ．
15．2008年5月12日，四川汶川地区发生里氏8.0级特大地震．在随后的几天中，地震专家对汶川地区发生的余震进行了监测，记录的部分数据如下表：
强度（J）
1.6
3.2
4.5
6.4
震级（里氏）
5.0
5.2
5.3
5.4
注：地震强度是指地震时释放的能量
地震强度（）和震级（）的模拟函数关系可以选用（其中为常数）．利用散点图可知 的值等于 ．（取）
三、解答题：本大题共5小题，共40分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
16．(本小题满分6分)
某赛季甲,乙两名篮球运动员每场比赛得分可用茎叶图表示如下：
（I）某同学根据茎叶图写出了乙运动员的部分成绩，请你把它补充完整；
乙运动员成绩：8，13，14， ，23， ，28，33，38，39，51．
（II）求甲运动员成绩的中位数；
（III）估计乙运动员在一场比赛中得分落在区间内的概率．

17．(本小题满分8分)
已知点，点，且函数（为坐标原点），
（I）求函数的解析式；
（II） 求函数的最小正周期及最值．
18．(本小题满分8分)
如图所示，已知M、N分别
是AC、AD的中点，BCCD．
（I）求证：MN∥平面BCD；
（II）求证：平面B CD平面ABC；
（III）若AB＝1，BC＝，求直线AC与平面BCD
所成的角．
19．(本小题满分8分)
如下图所示，圆心C的坐标为（2，2），
圆C与轴和轴都相切．
（I）求圆C的一般方程；
（II）求与圆C相切，且在轴和轴上
的截距相等的直线方程．
20．(本小题满分10分)
某企业生产的某种产品经市场调查得到如下
信息，在不做广告宣传时月销售量为1000件；
若做广告宣传，月销售量S件与广告费千元
（）的关系可用右边流程图来表示：
（I）根据流程图，试写出广告费n分别等
于1千元和2千元时所对应的月销售量S的值；
（II）试写出月销售量S与广告费千元的函
数关系式；
（III）若销售一件产品获利10元，该企业
做几千元广告时，才能月获利最多，最多是多少？
参考答案与评分标准
一、选择题：（每小题4分，共40分）
1.D 2.B 3.C 4.B 5.B 6.C 7.C 8.D 9.D 10.C
二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分。
11.-12 12. 13.50 14.80 15.
三、解答题：
16．(本小题满分6分)
解（1）.　
（2） 　　　　
（3）设乙运动员在一场比赛中得分落在区间内的概率为,则.
17．(本小题满分8分)
解（1）依题意，，点，
所以,．
（2）．　　
因为，所以的最小值为，的最大值为,的最小正周期为.
18．(本小题满分8分)
解 （1）因为分别是的中点，所以．
又平面且平面，所以平面．
(2)因为平面, 平面，所以．
又，所以平面．
又平面，所以平面平面．
(３)因为平面，所以为直线与平面所成的角．
在直角中，，所以．所以．
故直线与平面所成的角为．
19．(本小题满分8分)
解 (1) 依题意,半径,所以,圆的标准方程是.
圆的一般方程为．
（2）设直线方程为,则..
所求直线方程为：或．
20．(本小题满分10分)
解 (1)当时,．
当时,．
(2)依题意,
．
(3)依题意，当月销售量最大时，可获得最大利润．由⑵知
．
从企业利益考虑，当时，即该企业的广告费为元时，月销售量的最大值等于件，此时月利润的最大值为元．

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