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专题06 指数与指数函数（考点清单）
目录
TOC \o "1-3" \h \u HYPERLINK \l "_Toc12878" 一、思维导图 2
HYPERLINK \l "_Toc16541" 二、知识回归 2
HYPERLINK \l "_Toc10186" 三、典型例题讲与练 6
HYPERLINK \l "_Toc8547" 考点清单01：根式 6
HYPERLINK \l "_Toc14056" 【期末热考题型1】根式的化简求值 6
考点清单 HYPERLINK \l "_Toc92" 02：分数指数幂 7
HYPERLINK \l "_Toc4908" 【期末热考题型1】分数指数幂的化简求值 7
HYPERLINK \l "_Toc9641" 考点清单03：条件求值 8
HYPERLINK \l "_Toc1047" 【期末热考题型1】条件求值 8
HYPERLINK \l "_Toc779" 考点清单04：指数函数定义 9
HYPERLINK \l "_Toc25512" 【期末热考题型1】指数函数的判断与求值 9
HYPERLINK \l "_Toc25814" 【期末热考题型2】根据函数是指数函数求参数 9
HYPERLINK \l "_Toc1509" 考点清单05：指数函数的图象 10
HYPERLINK \l "_Toc19421" 【期末热考题型1】指数函数的图象过定点 10
HYPERLINK \l "_Toc31159" 【期末热考题型2】指数函数图象的识别 11
HYPERLINK \l "_Toc16216" 【期末热考题型3】画指数（型）函数图象 12
HYPERLINK \l "_Toc21915" 考点清单06：指数函数的单调性 13
HYPERLINK \l "_Toc8013" 【期末热考题型1】利用指数函数的单调性比较大小 13
HYPERLINK \l "_Toc5885" 【期末热考题型2】利用指数函数的单调性解不等式 13
HYPERLINK \l "_Toc780" 【期末热考题型3】指数型复合函数的单调性 14
HYPERLINK \l "_Toc4401" 考点清单07：值域 15
HYPERLINK \l "_Toc19642" 【期末热考题型1】与指数函数（指数型复合函数）有关的值域 15
HYPERLINK \l "_Toc4453" 【期末热考题型2】可化为一元二次函数型 16
HYPERLINK \l "_Toc8704" 考点清单08：与指数函数的相关的综合问题 17
HYPERLINK \l "_Toc18184" 【期末热考题型1】与指数函数的相关的综合问题 17
一、思维导图
二、知识回归
知识点01：整数指数幂
1、正整数指数幂的定义：，其中，
2、正整数指数幂的运算法则：
①（）
②（，，）
③（）
④（）
⑤（）
知识点02：根式
1、次根式定义：
一般地，如果，那么叫做的次方根，其中，且.
特别的：
①当是奇数时，正数的次方根是一个正数，负数的次方根是一个负数.这时，的次方根用符号表示.
②当是偶数时，正数的次方根有两个，这两个数互为相反数.这时，正数的正的次方根用符号表示，叫做的次算术根；负的次方根用符号表示.正的次方根与负的次方根可以合并写成().
③负数没有偶次方根；
④的任何次方根都是，记作
2、根式：
式子叫做根式，这里叫做根指数，叫做被开方数．
在根式符号中，注意：
①，
②当为奇数时，对任意都有意义
③当为偶数时，只有当时才有意义.
3、与的区别：
①当为奇数时，（）
②当为偶数时，（）
③当为奇数时，且，
④为偶数时，且，
知识点03：分式指数幂
1、正数的正分数指数幂的意义是（，，）于是，在条件，，下，根式都可以写成分数指数幂的形式.
2、正数的负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意义相仿，我们规定，（，，）.
3、的正分数指数幂等于，的负分数指数幂没有意义.
知识点04：有理数指数幂
①（，）
②（，）
③（，）
知识点05：无理数指数幂
①（，）
②（，）
③（，）
知识点05：指数函数的概念
1、一般地，函数叫做指数函数，其中指数是自变量，底数是一个大于0且不等于1的常量，定义域是.
2、学习指数函数的定义，注意一下几点
（1）定义域为：
（2）规定是因为：
①若，则（恒等于1）没有研究价值；
②若，则时，（恒等于0），而当时，无意义；
③若，则中为偶数，为奇数时，无意义.
④只有当或时，即，可以是任意实数.
（3）函数解析式形式要求：
指数函数只是一个新式定义，判断一个函数是指数函数的关键有三点：①的系数必须为1；②底数为大于0且不等于1的常数，不能是自变量；③指数处只有一个自变量，而不是含自变量的多项式.
知识点06：指数函数的图象与性质
1、函数的图象和性质如下表：
底数
图象
性质 定义域
值域
定点 图象过定点
单调性 增函数 减函数
函数值的变化情况 当时，当时，当时， 当时，当时，当时，
对称性 函数与的图象关于轴对称
2、指数函数的底数对图象的影响
函数的图象如图所示：
观察图象，我们有如下结论：
2.1.底数与1的大小关系决定了指数函数图象的“升”与“降”.
（1）当时，指数函数的图象是“上升”的，且当时，底数的值越大，函数的图象越“陡”，说明其函数值增长的越快.
（2）当时，指数函数的图象是“下降”的，且当时，底数的值越小，函数的图象越“陡”，说明其函数值减小的越快.
2.2.底数的大小决定了图象相对位置的高低：不论是还是，底数越大，在第一象限内的函数图象越“靠上”.
在同一平面直角坐标系中，底数的大小决定了图象相对位置的高低；
在轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小，即“底数大图象高”；
在轴左侧，图象从上到下相应的底数由小变大，即“底数大图象低”；
知识点07：指数函数的定义域与值域
1、定义域：
（1）指数函数的定义域为
（2）的定义域与函数的定义域相同
（3）的定义域与函数的定义域不一定相同.
2、值域
（1）指数函数的值域为
（2）求形如的函数的值域，先求的值域，然后结合得性质确定的值域
（3）求形如的值域，转化为先求的值域，再将的取值范围代入函数中.
知识点08：指数函数的图象变换
已知函数
1、平移变换
①
②
③
④
2、对称变换
①
②
③
3、翻折变换
①（去掉轴左侧图象，保留轴右侧图象；将轴右侧图象翻折到轴左侧）
②（保留轴上方的图象，将轴下方的图象翻折到轴上方）
三、典型例题讲与练
01：根式
【期末热考题型1】根式的化简求值
【解题方法】①当为奇数时，（）
②当为偶数时，（）
③当为奇数时，且，
④为偶数时，且，
【典例1】（2023上·江苏连云港·高一江苏省板浦高级中学校考期中）下列各式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【典例2】（2023·全国·高一专题练习）若，求的取值范围．
【专训1-1】（2023上·高一课时练习）计算下列各式．
（1）＝ ；
（2）＝ ；
（3）＝ .
【专训1-2】（多选）（2023上·黑龙江牡丹江·高一牡丹江市第二高级中学校考期中）若，则实数的取值可以是（ ）
A． B． C． D．1
02：分数指数幂
【期末热考题型1】分数指数幂的化简求值
【解题方法】根据分数指数幂定义
①（，，）
②（，，）
【典例1】（2023上·上海普陀·高一校考期中）化简： ．（结果用根式表示）
【典例2】（2023上·山西临汾·高一统考期中）（1）计算；
（2）化简．
【专训1-1】（2023上·浙江杭州·高一杭州高级中学校考期中）化简求值： .
【专训1-2】（2023·全国·高一专题练习）化简().
03：条件求值
【期末热考题型1】条件求值
【解题方法】完全平方公式；立方公式
【典例1】（2022上·广西玉林·高一校考期中）已知，则 ．
【典例2】（2023上·江西南昌·高一南昌二中校考期中）已知．
(1)求；
(2)求．
【专训1-1】（2023上·江苏无锡·高一江苏省梅村高级中学校考期中）化简求值：
若，求下列各式的值：
①；
②.
【专训1-2】（2023上·江苏连云港·高一统考期中）已知，求下列各式的值.
(1) (2) (3)
04：指数函数定义
【期末热考题型1】指数函数的判断与求值
【解题方法】指数函数的定义
【典例1】（2023上·广东茂名·高三校考阶段练习）若函数的图象经过，则（ ）
A． B． C．3 D．9
【典例2】（2023·高一课时练习）下列函数中，属于指数函数的是 ．（填序号）
①﹔②；③；④（a为常数，，）；⑤；⑥﹔⑦．
【专训1-1】（2021·全国·高一专题练习）下列函数中，是指数函数的个数是（ ）
①；②；③；④.
A．1 B．2 C．3 D．0
【专训1-2】（2023下·贵州黔东南·高一校考期末）已知指数函数的图像经过点，则 ．
【期末热考题型2】根据函数是指数函数求参数
【解题方法】指数函数的定义
【典例1】（2023·江苏·高一专题练习）若函数是指数函数，则（　　）
A．或 B．
C． D．且
【典例2】（2020上·吉林·高一吉化第一高级中学校校考阶段练习）已知 且，函数是指数函数，且．
(1)求和的值；
【专训1-1】（2023·高一课时练习）已知函数是指数函数，求实数a的值．
【专训1-2】（2022上·甘肃定西·高三校考期末）已知函数是指数函数.
(1)求实数的值；
05：指数函数的图象
【期末热考题型1】指数函数的图象过定点
【解题方法】
【典例1】（2023上·福建厦门·高一厦门市海沧中学校考期中）函数且的图象过定点（ ）
A． B． C． D．
【典例2】（2022下·浙江温州·高二乐清市知临中学校考期中）函数的图象恒过定点，若点在直线上，则的最小值为 ．
【专训1-1】（2023上·海南海口·高一海口一中校考期中）函数且的图象必经过点 ．
【专训1-2】（2023下·江西南昌·高三南昌市八一中学校考阶段练习）已知曲线且过定点，若且，则的最小值为（ ）
A．9 B． C． D．
【期末热考题型2】指数函数图象的识别
【解题方法】根据指数函数的图象特征
【典例1】（2023上·广西南宁·高一南宁三中校考期中）函数与的图象大致是（　　）
A． B．
C． D．
【典例2】（2023上·重庆涪陵·高一校考阶段练习）函数（）的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【专训1-1】（2023上·江西吉安·高一江西省遂川中学校考阶段练习）函数的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
【专训1-2】（多选）（2023上·广西百色·高一统考期末）函数（，且）与在同一坐标系中的图像可能是（ ）
A．. B．
C． D．
【期末热考题型3】画指数（型）函数图象
【解题方法】根据函数图象变换方法
【典例1】（2023上·陕西西安·高三长安一中校考阶段练习）函数恰有一个零点，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【典例2】（2018·高一课时练习）（1）已知是奇函数，求的值；
（2）画出函数的图象，并利用图象回答：为何值时，方程无解？有一解？有两解.
【专训1-1】（2023·全国·高三专题练习）若直线与函数(且)的图像有两个公共点，则的取值范围为（ ）.
A． B． C． D．
【专训1-2】（2023上·江西·高一上饶市第一中学校联考期中）若函数在上单调递增，则实数m的最小值为 ．
06：指数函数的单调性
【期末热考题型1】利用指数函数的单调性比较大小
【解题方法】根据指数函数的单调性
【典例1】（2023上·江西·高一上饶市第一中学校联考期中）已知，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【典例2】（2023上·北京大兴·高一统考期中）设，则（ ）
A． B．
C． D．
【专训1-1】（2023上·广东广州·高一广州市协和中学校考期中）已知，则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
专训1-2】（2023上·广东广州·高一广州市第二中学校考期中）已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
【期末热考题型2】利用指数函数的单调性解不等式
【解题方法】根据指数函数的单调性
【典例1】（2023上·江西上饶·高一校考期中）已知指数函数经过点(2,9)，则不等式的解集为 ．
【典例2】（2023上·浙江·高一浙江省江山中学校联考期中）已知定义在上的函数是奇函数．
(1)求实数的值；
(2)若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围．
【专训1-1】（2023上·陕西汉中·高一校联考期中）设函数（，且），若的图象过点．
(1)求a的值及的解；
(2)求不等式的解集．
【专训1-2】（2023上·北京通州·高一统考期中）已知指数函数的图象过点.
(1)求函数的解析式
(2)试比较这三个数的大小，并说明理由;
(3)若，求实数的取值范围.
【期末热考题型3】指数型复合函数的单调性
【解题方法】复合函数单调性法则
【典例1】（2023上·广东广州·高一广东实验中学校考期中）函数的单调递增区间是（ ）
A． B． C． D．
【典例2】（2023上·山东日照·高三山东省日照实验高级中学校考阶段练习）已知函数在区间上单调递减，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【专训1-1】（2023上·陕西咸阳·高一咸阳市实验中学校考阶段练习）函数的单调递增区间为 .
【专训1-2】（2023上·江西赣州·高三江西省大余中学校联考期中）已知函数在上单调递减，则的取值范围为 .
07：值域
【期末热考题型1】与指数函数（指数型复合函数）有关的值域
【解题方法】换元法
【典例1】（2021上·高一课时练习）函数，且在上的最大值与最小值的和为，则函数在上的最大值为 .
【典例2】（2019·高一课时练习）已知，且，若函数在区间上的最大值为10，则 .
【专训1-1】（2023下·河北石家庄·高一校考期中）已知函数在区间上的最大值比最小值大，则a=
【专训1-2】（2022上·辽宁·高一渤海大学附属高级中学校考期末）若函数在上有最大值，则实数a的值为（ ）
A．1 B． C．1或 D．1或
【期末热考题型2】可化为一元二次函数型
【解题方法】换元法
【典例1】（2023上·广东广州·高一广州市培英中学校考期中）设，且，函数在区间上的最小值为，则的取值范围为 ．
【典例2】（2023上·吉林长春·高一长春外国语学校校考期中）已知函数，且，．
(1)求a，b的值，并写出的解析式；
(2)设，求在的最大值和最小值．
【专训1-1】（2023上·广东广州·高一广州市第二中学校考期中）函数，．
(1)若，求的最大值．
(2)若时，图象恒在图象的上方，求实数的取值范围．
【专训1-2】（2023上·山东潍坊·高一校考阶段练习）已知函数.
(1)若，求的值；
(2)求函数的值域.
08：与指数函数的相关的综合问题
【期末热考题型1】与指数函数的相关的综合问题
【解题方法】指数函数的图象与性质
【典例1】（2023上·浙江绍兴·高一浙江省柯桥中学校考期中）已知函数（且）是定义在R上的奇函数.
(1)求及的值；
(2)求函数的值域.
【典例2】（2023上·陕西咸阳·高一咸阳市实验中学校考阶段练习）已知函数.
(1)求证：函数是上的奇函数；
(2)判断函数的单调性，并用单调性的定义证明；
(3)若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围.
【典例3】（2023上·浙江温州·高一校联考期中）已知函数
(1)若在上单调递增，求m的取值范围．
(2)若，对任意的总存在使得 成立，求的取值范围．
【专训1-1】（2023上·山西临汾·高一统考期中）已知定义在上的函数为奇函数．
(1)求a，b的值；
(2)判断并证明的单调性；
(3)求不等式的解集．
【专训1-2】（2023上·天津滨海新·高一大港一中校考期中）设函数（且）是定义域为R的奇函数．
(1)求及k的值；
(2)若，试判断函数单调性（不需证明）并求不等式的解集；
(3)若，设，且在上的最小值为，求m的值．
参考答案：
【期末热考题型1】根式的化简求值
【典例1】
【答案】D
【详解】，，故A错误；
，故B错误；
∵，∴当为奇数时，；当为偶数时，，故C错误；
成立，故D正确.
故选：D.
【典例2】
【答案】
【详解】由题意，
∵，
由可知，∴．
故a的取值范围为．
【专训1-1】
【答案】
【详解】（1）.
（2）.
（3）.
故答案为：（1）；（2）；（3）
【专训1-2】
【答案】ABC
【详解】，则，解得．
故选：ABC
【期末热考题型1】分数指数幂的化简求值
【典例1】
【答案】
【详解】由题意.
故答案为：.
【典例2】
【答案】（1）41；（2）
【详解】（1）；
（2）.
【专训1-1】
【答案】8
【详解】.
故答案为：8.
【专训1-2】
【答案】
【详解】 .
【期末热考题型1】条件求值
【典例1】
【答案】
【详解】由可得，
即，
又因为，
即，可得
即，
所以．
故答案为：
【典例2】
【答案】(1)
(2)
【详解】（1），
因为，所以.
（2）由（1）得，，
所以.
【专训1-1】
【答案】①；②
【详解】①，则，则，则；
②设，则，则，即
【专训1-2】
【答案】(1) (2)6 (3)
【详解】（1）由，可知，
因为，故
（2）
（3）由（1）知，所以
又因为，所以
所以
【期末热考题型1】指数函数的判断与求值
【典例1】
【答案】B
【详解】解：因为函数的图象经过，
所以，解得 ，
所以，
则，
故选：B
【典例2】
【答案】③④
【详解】对①：指数式的系数为2，不是1，故不是指数函数；
对②：其指数为，不是，故不是指数函数；
对③④：满足指数函数的定义，故都是指数函数；
对⑤：是幂函数，不是指数函数；
对⑥：指数式的系数为，不是1，故不是指数函数；
对⑦：指数的底数为，不满足底数大于零且不为1的要求，故不是；
综上，是指数函数的只有③④.
故答案为：③④.
【专训1-1】
【答案】D
【详解】解：①中底数－8<0，所以不是指数函数；
②中指数不是自变量，而是的函数，所以不是指数函数；
③中底数，只有规定且时，才是指数函数；
④中前的系数是2，而不是1，所以不是指数函数.
故选：D.
【专训1-2】
【答案】/0.5
【详解】设（，且），由于其图像经过点 ，
所以，解得或（舍去），
因此，故 .
故答案为：.
【期末热考题型2】根据函数是指数函数求参数
【典例1】
【答案】C
【详解】因为函数是指数函数，
所以，解得.
故选：C.
【典例2】
【答案】(1)
【详解】（1）由题意得，，解得或 (不符合题意，舍去)，由，且，得．
【专训1-1】
【答案】4
【详解】因为函数是指数函数，
所以，解得，
即实数a的值为4.
【专训1-2】
【答案】(1)
【详解】（1）由函数是指数函数可得，解得
【期末热考题型1】指数函数的图象过定点
【典例1】
【答案】D
【详解】因为，所以令即时，有，
即函数且的图象过定点.
故选：D.
【典例2】
【答案】
【详解】当时，，所以，定点的坐标为，
由已知可得，因为，则且，
所以，.
当且仅当时，等号成立，因此，的最小值为.
故答案为：.
【专训1-1】
【答案】
【详解】因为当时，，
所以函数且的图象必经过点，
故答案为：
【专训1-2】
【答案】C
【详解】曲线且中，由，得，因此该曲线过定点，
即，于是，又，
因此，当且仅当，即时取等号，
所以的最小值为16.
故选：C
【期末热考题型2】指数函数图象的识别
【典例1】
【答案】A
【详解】当时，函数单调递增，当时，，
故选：A
【典例2】
【答案】C
【详解】当时，，因此，且函数在上单调递增，故A、B均不符合；
当 时，，因此，且函数在上单调递减，故C符合，D不符合．
故选：C．
【专训1-1】
【答案】C
【详解】因为
又，
根据指数函数的性质知，时，函数为增函数，排除B、D；
时，函数为减函数，排除A．
故选：C．
【专训1-2】
【答案】BD
【详解】由题意得，中若，，则，
若，，则；
中表示纵截距.
对于A，图像中，图像中，故A错误；
对于B，图像中，图像中，故B正确；
对于C，图像中，图像中，故C错误；
对于D，图像中，图像中，故D正确；
故选：BD
【期末热考题型3】画指数（型）函数图象
【典例1】
【答案】C
【详解】由题设，与只有一个交点，
又的图象如下：

∴.
故选：C.
【典例2】
【答案】（1）；（2）时，无解；时，有两个解；或时，有一个解.
【详解】（1）为奇函数，
，
所以
（2）
函数图象如图，可知时，无解；时，有两个解；或时，有一个解
【专训1-1】
【答案】A
【详解】作出和两种图像，如图，作直线，
由图可知，∴，
故选：A.
【专训1-2】
【答案】3
【详解】因为，
作函数函数的图象如下，
结合图象可知，函数在单调递增，
所以，则实数m的最小值为3，
故答案为:3.
【期末热考题型1】利用指数函数的单调性比较大小
【典例1】
【答案】A
【详解】因为为增函数，所以，即；
又，即；所以.
故选：A.
【典例2】
【答案】A
【详解】因为为减函数，所以，即；
因为在为增函数，所以，即；
所以.
故选：A.
【专训1-1】
【答案】A
【详解】，
因为在R上单调递增，且，
所以，即.
故选：A
【专训1-2】
【答案】A
【详解】，
因为函数是实数集上的增函数，所以，即，
，，
因为函数是正实数集上的增函数，
所以，即，综上所述：，
故选：A
【期末热考题型2】利用指数函数的单调性解不等式
【典例1】
【答案】(1,2)
【详解】设且，所以有，解得，即，
因此函数为R上的增函数，
因为，所以，解得，
故答案为：.
【典例2】
【答案】(1)；
(2).
【详解】（1）因为是定义在上的奇函数，所以，即，
经检验满足题意，所以.
（2）由（1）知，易知在上单调递减，
由，可得，
因为为定义在上的奇函数，所以原不等式等价于，
又在上单调递减，所以，
所以在上恒成立，
当时，恒成立，符合题意；
当时，有，解得，
综上所述，实数的取值范围是.
【专训1-1】
【答案】(1)，方程的解为；
(2)．
【详解】（1）根据题意，函数的图象过点，则有，
又，且，则，故，
若，则．
（2），即，变形可得，解得，
即不等式的解集为．
【专训1-2】
【答案】(1)
(2)，理由见解析
(3)
【详解】（1）设函数为，则，解得，即；
（2）函数在上单调递减，且，
故，即；
（3）函数在上单调递减，，即，
故，解得，即.
【期末热考题型3】指数型复合函数的单调性
【典例1】
【答案】A
【详解】函数的定义域为R，函数在上单调递减，在单调递增，
而函数在R上单调递减，因此函数在上单调递增，在单调递减，
所以函数的单调递增区间是.
故选：A
【典例2】
【答案】C
【详解】因为函数为R上的减函数，
根据复合函数的单调性可知，要使函数在区间上单调递减，
则函数在区间上单调递增.
根据二次函数的性质可知，函数在上单调递增，
所以应有，即.
故选：C.
【专训1-1】
【答案】
【详解】，令，则；
因为为增函数，的增区间为，所以的单调递增区间为.
故答案为：
【专训1-2】
【答案】
【详解】令，则在上递减，在上递增，而在定义域上为增函数，
所以在上递减，在上递增，
又在上单调递减，故，则.
故答案为：
【期末热考题型1】与指数函数（指数型复合函数）有关的值域
【典例1】
【答案】12.
【详解】指数函数，且在定义域上是单调函数，
又在上的最大值与最小值的和为，
，解得，
函数在定义域上为减函数，在为减函数，
在上的最大值为.
故答案为：12.
【典例2】
【答案】或
【详解】（1）若，则函数在区间上是递增的，
当时，取得最大值，即，
又，∴.
（2）若，则函数在区间上是递减的，
当时，取得最大值，
所以.
综上所述，的值为或.
故答案为：或
【专训1-1】
【答案】或
【详解】当时，在上的最大值为，最小值为，
故，解得或（舍去）；
当时，在上的最大值为，最小值为，
故，解得或（舍去），
综上或.
故答案为：或
【专训1-2】
【答案】A
【详解】∵函数在上有最大值，
∴，，
∴，解得或（舍去）.
故选：A.
【期末热考题型2】可化为一元二次函数型
【典例1】
【答案】
【详解】因为，且函数在区间上的最小值为，
故，
当且时，，则，解得；
当且时，，则，解得.
综上所述，实数的取值范围是.
故答案为：.
【典例2】
【答案】(1)，，
(2)最大值为，最小值为．
【详解】（1）由，得，
解得，．且．
所以a，b的值分别为1，2，的解析式为．
（2），
令，则由得，
所以变为，．
对称轴为直线，，
所以当，即时，；
当，即时，．
综上时，的最大值为，最小值为．
【专训1-1】
【答案】(1)答案见解析
(2)
【详解】（1），设，，，
故，函数对称轴为，
当，即时，最大值为；
当，即时，最大值为；
综上所述：
当时，函数最大值为；
当时，函数最大值为.
（2）图象恒在图象的上方，即恒成立，
即，设，，则.
，即恒成立，
，当且仅当时等号成立
故，即.
【专训1-2】
【答案】(1)
(2).
【详解】（1）因为，
若，则，
令，则方程为，
解得或（舍去），
所以，解得.
（2）因为，
令，则，
所以当时，取得最小值，
故的值域.
【期末热考题型1】与指数函数的相关的综合问题
【典例1】
【答案】(1);.
(2)
【详解】（1）因为函数（且）是定义在R上的奇函数，
所以，可得，则，
可得，
经检验：，
所以为奇函数,
.
（2）,
因为所以继而
所以，
则，即，
所以函数的值域.
【典例2】
【答案】(1)证明见详解
(2)证明见详解
(3)
【详解】（1）因为，
所以定义域为,关于原点对称，
所以函数是上的奇函数.
（2）取
因为，所以，
则，，，
则，
故函数在上单调减.
（3）由对任意的，不等式恒成立
，
又函数是上的奇函数，
，
函数在上单调减，
对任意的，，
即，
所以，
解得：，
故实数的取值范围为.
【典例3】
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为，设，
则，
所以函数在上单调递减，
函数开口向上，对称轴，在单调递减，在上单调递增，
又因为在上单调递增，
所以，
所以，
所以的取值范围为
（2）因为，对任意的总存在使得 成立，
所以只需，
由（1）可知在单调递增，在上单调递减，
当时，，带入解析式可得
，
而开口向上，对称轴，
所以在上单调递减，在上单调递增，
当时，在上单调递减，
，
所以，解得，舍去；
当时，在上单调递增，
所以解得，
因为，取交集，
所以
当时，
若，即时，
所以，解得，与假设不符合，舍去；
若，即时，
所以，解得，不符合，故舍去，
若，即时，
所以，解得与假设不符，故舍去；
综上所述，的取值范围为
【专训1-1】
【答案】(1)；
(2)在R上单调递增，证明见解析；
(3)．
【详解】（1）依题意，，解得，
，，则，，
所以.
（2）函数在R上单调递增，证明如下：
设任意，，且，
，由，得，
则，，，
因此，即，所以在R上单调递增.
（3）不等式化为：，，
解得或，
所以所求不等式的解集为．
【专训1-2】
【答案】(1)，；
(2)单调递增，；
(3)
【详解】（1）函数是定义域为R的奇函数，则，且，解得，此时，
显然，即函数是奇函数，
所以，.
（2）由（1）知，，由，得，而且，解得，
函数在R上单调递增，在R上单调递减，因此函数在R上单调递增，
不等式，
于是，解得，
所以原不等式的解集为.
（3）由（1）知，，由，得，而且，解得，
则，
当时，令，，
当时，函数在上单调递增，
当，即时，，解得，矛盾，无解；
当时，当时，，解得，符合题意，
所以.
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