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1150620010325100第02讲 导数与函数的单调性(精讲）
目录
第02讲 导数与函数的单调性(精讲） 1
第一部分：知识点必背 2
4、含参问题讨论单调性 2
第二部分：高考真题回归 3
第三部分：高频考点一遍过 4
高频考点一：利用导数求函数的单调区间（不含参） 4
高频考点二：已知函数false在区间false上单调 4
高频考点三：已知函数false在区间false上存在单调区间 5
高频考点四：已知函数false在区间false上不单调 6
高频考点五：已知函数false的单调区间为（是）false 6
高频考点六：已知函数false的单调区间的个数 7
高频考点五：函数单调性的应用 8
角度1：导函数与原函数图象的单调性 8
角度2：比较大小 10
角度3：构造函数解不等式 11
高频考点六：含参问题讨论单调性 12
角度1：导函数有效部分是一次型（或可化为一次型） 12
角度2：导函数有效部分是二次型（或可化为二次型）且可因式分解型 14
角度3：导函数有效部分是二次型且不可因式分解型 15
第四部分：高考新题型 16
①开放性试题 16
第五部分：数学思想方法 17
①分类讨论的思想 17
②转化与化归思想 17
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第一部分：知识点必背
1、函数的单调性与导数的关系（导函数看正负，原函数看增减）
条件
恒有
结论
函数false在区间false上可导
false
false在false内单调递增

false
false在false内单调递减

false
false在false内是常数函数
2、求已知函数（不含参）的单调区间
①求false的定义域
②求false
③令false，解不等式，求单调增区间
④令false，解不等式，求单调减区间
注：求单调区间时，令false（或false）不跟等号.
3、由函数false的单调性求参数的取值范围的方法
（1）已知函数false在区间false上单调
①已知false在区间false上单调递增falsefalse，false恒成立.
②已知false在区间false上单调递减falsefalse，false恒成立.
注：已知单调性，等价条件中的不等式含等号.
（2）已知函数false在区间false上存在单调区间
①已知false在区间false上存在单调增区间false令false，解不等式，求单调增区间false，则false
②已知false在区间false上存在单调减区间false令false，解不等式，求单调减区间false，则false
（3）已知函数false在区间false上不单调falsefalse，使得false(其中false是变号零点）
4、含参问题讨论单调性
第一步：求false的定义域
第二步：求false（导函数中有分母通分）
第三步：确定导函数有效部分，记为false
对于false进行求导得到false，对false初步处理（如通分），提出false的恒正部分，将该部分省略，留下的部分则为false的有效部分（如：false，则记false为false的有效部分）.接下来就只需考虑导函数有效部分，只有该部分决定false的正负.
第四步：确定导函数有效部分false的类型：
①false为一次型（或可化为一次型）②false为二次型（或可化为二次型）
第五步：通过分析导函数有效部分，讨论false的单调性
第二部分：高考真题回归
1．（2022·北京·高考真题节选）已知函数false．
(1)求曲线false在点false处的切线方程；
(2)设false，讨论函数false在false上的单调性；
2．（2022·全国（新高考Ⅱ）·高考真题节选）已知函数false．
(1)当false时，讨论false的单调性；
3．（2022·浙江·高考真题节选）设函数false．
(1)求false的单调区间；
第三部分：高频考点一遍过
高频考点一：利用导数求函数的单调区间（不含参）
典型例题
例题1．（2023春·天津滨海新·高二汉沽一中校考阶段练习）函数false的单调递减区间是（????）
A．false B．false C．false D．false
例题2．（2023春·内蒙古兴安盟·高二乌兰浩特市第四中学校考阶段练习）函数false的单调递减区间是（????）
A．false B．false C．false D．false
例题3．（2023·全国·高二专题练习）函数false的单调递增区间为__________.
练透核心考点
1．（2023春·宁夏吴忠·高二青铜峡市高级中学校考阶段练习）函数false的单调递增区间为（????）
A．false B．false C．false D．false
2．（2023春·广东茂名·高二信宜市第二中学校考阶段练习）函数false的单调递减区间是_______________.
3．（2023·高三课时练习）写出函数false的严格增区间：____________．
高频考点二：已知函数false在区间false上单调
典型例题
例题1．（2023·全国·高三专题练习）若函数false在区间false上单调递减，则实数false的取值范围是（????）
A．false B．false C．false D．false
例题2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数false在false上为单调递增函数，则实数false的取值范围为（????）
A．false B．false C．false D．false
例题3．（2023·高二课时练习）若false在false上是减函数，则实数false的取值范围是_________.
练透核心考点
1．（2023·全国·高三专题练习）若函数false在false上单调递增，则实数a的取值范围是（????）
A．false B．false C．false D．false
2．（2023·全国·高三专题练习）函数false在false单调递增的一个必要不充分条件是（????）
A．false B．false C．false D．false
3．（2023·高二课时练习）已知函数false在false上是单调函数，则实数false的取值范围是________．
高频考点三：已知函数false在区间false上存在单调区间
典型例题
例题1．（2023·全国·高二专题练习）若函数false存在单调递减区间，则实数false的取值范围是（????）
A．false B．false
C．false D．false
例题2．（2023·全国·高二专题练习）若函数false在区间false内存在单调递增区间，则实数false的取值范围是（????）
false B．false C．false D．false



练透核心考点
1．（2023·安徽滁州·高三校考阶段练习）若函数false存在递减区间，则实数false的取值范围是（????）
A．false B．false
C．false D．false
2．（2023·全国·高三专题练习）设f(x)＝－falsex3＋falsex2＋2ax，若f(x)在false上存在单调递增区间，求a的取值范围.
高频考点四：已知函数false在区间false上不单调
典型例题
例题1．（2023·高二课时练习）“当false时，函数false在区间false上不是单调函数”为真命题的false的一个取值是__________．
例题2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数false在false上不单调，则false的取值范围是______.
练透核心考点
1．（2023·高二课时练习）已知函数false．若false在false内不单调，则实数a的取值范围是______．
2．（2023春·湖北武汉·高二校联考阶段练习）若函数false在区间(1，4)上不单调，则实数a的取值范围是___________.
高频考点五：已知函数false的单调区间为（是）false
典型例题
例题1．（2023·全国·高二专题练习）已知函数false的单调递减区间为false，则（????）.
A．false B．false
C．false D．false
例题2．（2023·全国·高二专题练习）已知函数false的单调递减区间是false，则false（????）
A．3 B．false C．2 D．false
例题3．（2023·高二课时练习）已知函数false的单调递减区间是false，则false的值为______.
练透核心考点
1．（2023·全国·高三专题练习）若函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d的单调递减区间为(－1，3)，则b＋c＝（????）
A．－12 B．－10 C．8 D．10
2．（2023·高二课时练习）已知函数false的单调递减区间为false，则false的值为________．
高频考点六：已知函数false的单调区间的个数
典型例题
例题1．（2023·全国·高三专题练习）已知函数false存在三个单调区间，则实数false的取值范围是（????）
A．false B．false
C．false D．false
例题2．（2023·全国·高三专题练习）若函数false有三个单调区间，则实数false的取值范围为______．
例题3．（2023·全国·高三对口高考）设函数false恰有三个单调区间，试确定false的取值范围．
练透核心考点
1．（2023·全国·高三专题练习）若函数false恰好有三个单调区间，则实数false的取值范围是(　　)
A．false B．false C．false D．false
2．（2023·全国·高三专题练习）若函数false恰好有三个不同的单调区间，则实数false的取值范围是（????）
A．false B．false C．false D．false


高频考点五：函数单调性的应用
角度1：导函数与原函数图象的单调性
典型例题
例题1．（2023秋·山西阳泉·高二统考期末）已知函数false的导函数false图象如下图所示，则原函数false的图象是（????）
A． B．
C． D．
例题2．（多选）（2023春·山西运城·高二校联考阶段练习）设false是函数false的导函数，将false和false的图象画在同一直角坐标系中，可能正确的是（????）
A． B．
C． D．


练透核心考点
1．（2023春·陕西咸阳·高二武功县普集高级中学校考阶段练习）已知函数false的图象如图所示（其中false是函数false的导函数），则下面四个图象中，false的图象大致是（????）
A． B．
C． D．
2．（2023·高二课时练习）设false是函数false的导函数，在同一个直角坐标系中，false和false的图象不可能是（????）
A． B．
C． D．
角度2：比较大小
典型例题
例题1．（2023·全国·高二专题练习）已知定义在R上的函数false，其导函数false的大致图象如图所示，则下列结论正确的是(????)
A．false B．false
C．false D．false
例题2．（2023春·河北邯郸·高二大名县第一中学校考阶段练习）已知函数false的图象如图所示，那么下列各式正确的是（????）
A．false
B．false
C．false
D．false
练透核心考点
1．（2023·高二课时练习）已知函数false的图象如图所示，false是函数false的导函数，则下列数值排序正确的是（????）
A．false B．false
C．false D．false
2．（2023·全国·高三专题练习）函数false的图象如图所示，记false、false、false，则false、false、false最大的是________.
角度3：构造函数解不等式
典型例题
例题1．（2023·全国·高三专题练习）已知函数false在false上可导且满足false，则下列不等式一定成立的为（????）
A．false B．false
C．false D．false
例题2．（2023春·浙江嘉兴·高二平湖市当湖高级中学校考阶段练习）已知函数false是定义在false上的偶函数，其导函数为false，且当false时，false，则不等式false的解集为______．
例题3．（2022春·安徽合肥·高二合肥市第六中学校考期中）已知函数false是其导函数，恒有false，则（?????）
A．false B．false
C．false D．false
练透核心考点
1．（2023·全国·高二专题练习）已知定义在false上的函数false的导函数为false，且满足false，false，则false的解集为（????）
A．false B．false C．false D．false
2．（2023·全国·高二专题练习）已知false是函数false的导数，false则不等式false的解集是（????）
A．false B．false C．false D．false
3．（2022·全国·高三专题练习）已知定义在R上的奇函数f（x），当x＞0时,false，且f（3）＝0，则不等式f（x）≥0的解集为（????）
A．（﹣∞，﹣3]∪[3，+∞） B．[﹣3，3]
C．（﹣∞，﹣3]∪[0，3] D．[﹣3，0]∪[3，+∞）


高频考点六：含参问题讨论单调性
角度1：导函数有效部分是一次型（或可化为一次型）
典型例题
例题1．（2023春·广东茂名·高二信宜市第二中学校考阶段练习）已知函数false，讨论函数false的单调性；
例题2．（2023·全国·高二专题练习）已知函数false
(1)当false时，求曲线false在点false处曲线的切线方程；
(2)求函数false的单调区间.
例题3．（2023·全国·高二专题练习）设函数false，求false的单调区间．
练透核心考点
1．（2023·全国·高二专题练习）已知函数false.讨论false的单调性；
（2023·全国·高二专题练习）已知函数false，其中false.讨论函数false的单调性；
角度2：导函数有效部分是二次型（或可化为二次型）且可因式分解型
典型例题
例题1．（2023·全国·高三专题练习）设函数false.当false时，讨论函数false的单调性；
例题2．（2023·高二课时练习）已知函数false．讨论false的单调性；
例题3．（2023·全国·高三专题练习）已知函数false，讨论false的单调性；
练透核心考点
1．（2023·高二课时练习）已知函数false．求函数false的单调区间；
2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数false，false.讨论false的单调性；
（2023·高二课时练习）已知函数false，讨论函数false的单调性；
角度3：导函数有效部分是二次型且不可因式分解型
典型例题
例题1．（2023春·山东青岛·高二青岛二中校考开学考试）已知函数false.
(1)若函数false在区间false上单调递增，求实数false的取值范围；
(2)讨论函数false的单调性.
例题2．（2023·辽宁抚顺·统考模拟预测）已知函数false．
讨论函数false的单调性；
练透核心考点
1．（2023·全国·高三专题练习）已知函数false.讨论函数false的单调性；
（2023·全国·高三专题练习）讨论函数false的单调性
第四部分：高考新题型
①开放性试题
1．（2023秋·福建福州·高二福州三中校考期末）写出一个同时具备下列性质①②的函数false：__________．
①false；②false ．
2．（2023·全国·高二专题练习）写出一个同时具有下列性质①②的函数false___________.
①false；②当false时，false；
第五部分：数学思想方法
①分类讨论的思想
1．（2023·全国·高二专题练习）已知函数false.讨论false的单调性
2．（2023·全国·高二专题练习）已知函数false，讨论函数false的单调性
②转化与化归思想
1．（2023·江西九江·高二统考）若函数false在定义域内单调，则false的取值范围是（????）
A．false B．false C．false D．false
2．（2023·全国·高二专题练习）已知函数false，若false在false上是单调减函数，则实数false的取值范围是（????）
A．false B．false C．false D．false
3．（2023·全国·高三专题练习）已知函数false（false）若对任意false，false恒成立，则false的取值范围是（????）
A．false B．false C．false D．false
1035050011176000第02讲 导数与函数的单调性(精讲）
目录
第02讲 导数与函数的单调性(精讲） 1
第一部分：知识点必背 2
4、含参问题讨论单调性 2
第二部分：高考真题回归 3
第三部分：高频考点一遍过 4
高频考点一：利用导数求函数的单调区间（不含参） 4
高频考点二：已知函数false在区间false上单调 6
高频考点三：已知函数false在区间false上存在单调区间 8
高频考点四：已知函数false在区间false上不单调 10
高频考点五：已知函数false的单调区间为（是）false 12
高频考点六：已知函数false的单调区间的个数 13
高频考点五：函数单调性的应用 15
角度1：导函数与原函数图象的单调性 15
角度2：比较大小 18
角度3：构造函数解不等式 20
高频考点六：含参问题讨论单调性 24
角度1：导函数有效部分是一次型（或可化为一次型） 24
角度2：导函数有效部分是二次型（或可化为二次型）且可因式分解型 26
角度3：导函数有效部分是二次型且不可因式分解型 29
第四部分：高考新题型 32
①开放性试题 32
第五部分：数学思想方法 33
①分类讨论的思想 33
②转化与化归思想 34
温馨提醒：浏览过程中按ctrl+Home可回到开头
第一部分：知识点必背
1、函数的单调性与导数的关系（导函数看正负，原函数看增减）
条件
恒有
结论
函数false在区间false上可导
false
false在false内单调递增

false
false在false内单调递减

false
false在false内是常数函数
2、求已知函数（不含参）的单调区间
①求false的定义域
②求false
③令false，解不等式，求单调增区间
④令false，解不等式，求单调减区间
注：求单调区间时，令false（或false）不跟等号.
3、由函数false的单调性求参数的取值范围的方法
（1）已知函数false在区间false上单调
①已知false在区间false上单调递增falsefalse，false恒成立.
②已知false在区间false上单调递减falsefalse，false恒成立.
注：已知单调性，等价条件中的不等式含等号.
（2）已知函数false在区间false上存在单调区间
①已知false在区间false上存在单调增区间false令false，解不等式，求单调增区间false，则false
②已知false在区间false上存在单调减区间false令false，解不等式，求单调减区间false，则false
（3）已知函数false在区间false上不单调falsefalse，使得false(其中false是变号零点）
4、含参问题讨论单调性
第一步：求false的定义域
第二步：求false（导函数中有分母通分）
第三步：确定导函数有效部分，记为false
对于false进行求导得到false，对false初步处理（如通分），提出false的恒正部分，将该部分省略，留下的部分则为false的有效部分（如：false，则记false为false的有效部分）.接下来就只需考虑导函数有效部分，只有该部分决定false的正负.
第四步：确定导函数有效部分false的类型：
①false为一次型（或可化为一次型）②false为二次型（或可化为二次型）
第五步：通过分析导函数有效部分，讨论false的单调性
第二部分：高考真题回归
1．（2022·北京·高考真题）已知函数false．
(1)求曲线false在点false处的切线方程；
(2)设false，讨论函数false在false上的单调性；
【答案】(1)false
(2)false在false上单调递增.
【详解】（1）解：因为false，所以false，
即切点坐标为false，
又false，
∴切线斜率false
∴切线方程为：false
（2）解：因为false，????
所以false，
令false，
则false，
∴false在false上单调递增，
∴false
∴false在false上恒成立，
∴false在false上单调递增.
2．（2022·全国（新高考Ⅱ）·高考真题）已知函数false．
(1)当false时，讨论false的单调性；
【答案】(1)false的减区间为false，增区间为false.
【详解】（1）当false时，false，则false，
当false时，false，当false时，false，
故false的减区间为false，增区间为false.
3．（2022·浙江·高考真题）设函数false．
(1)求false的单调区间；
【答案】(1)false的减区间为false，增区间为false.
【详解】（1）false，
当false，false；当false，false，
故false的减区间为false，false的增区间为false.
第三部分：高频考点一遍过
高频考点一：利用导数求函数的单调区间（不含参）
典型例题
例题1．（2023春·天津滨海新·高二汉沽一中校考阶段练习）函数false的单调递减区间是（????）
A．false B．false C．false D．false
【答案】A
【详解】由已知false，
false时，false，false时，false，
所以false的减区间是false，增区间是false；
故选：A．
例题2．（2023春·内蒙古兴安盟·高二乌兰浩特市第四中学校考阶段练习）函数false的单调递减区间是（????）
A．false B．false C．false D．false
【答案】A
【详解】false，函数定义域为false，false，
令false，得false，所以函数false的单调递减区间是false.
故选：A.
例题3．（2023·全国·高二专题练习）函数false的单调递增区间为__________.
【答案】false
【详解】函数false，则false，
令false解得false，
当false时,false,函数false单调递减，
当false时,false,函数false单调递增，
当false时,false,函数false单调递减，
故答案为：false.
练透核心考点
1．（2023春·宁夏吴忠·高二青铜峡市高级中学校考阶段练习）函数false的单调递增区间为（????）
A．false B．false C．false D．false
【答案】C
【详解】因为false，所以false，
令false，得false或false，
又函数的定义域为false，所以函数的单调递增区间为false，
故选：C
2．（2023春·广东茂名·高二信宜市第二中学校考阶段练习）函数false的单调递减区间是_______________.
【答案】false
【详解】由题设false，令false，解得false，
因此，函数false的单调递减区间是false.
故答案为：false
3．（2023·高三课时练习）写出函数false的严格增区间：____________．
【答案】false，false
【详解】由题意false，解得false，false，
故函数false的严格增区间为false，false.
故答案为：false，false.
高频考点二：已知函数false在区间false上单调
典型例题
例题1．（2023·全国·高三专题练习）若函数false在区间false上单调递减，则实数false的取值范围是（????）
A．false B．false C．false D．false
【答案】D
【详解】解：false，则false在false上恒成立，即false恒成立，又false在false上单调递减，故false，
所以false，当false时，导数不恒为0，
故选：D.
例题2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数false在false上为单调递增函数，则实数false的取值范围为（????）
A．false B．false C．false D．false
【答案】D
【详解】false，
因为false在false上为单调递增函数，
所以false在false上恒成立，
令false，
要满足false①，或false②，
由①得：false，由②得：false，
综上：实数m的取值范围是false.
故选：D
例题3．（2023·高二课时练习）若false在false上是减函数，则实数false的取值范围是_________.
【答案】false
【详解】false，
因为false在false上是减函数，
所以false在false上恒成立，
即false，
当false时，false的最小值为false，所以false，
故答案为：false
练透核心考点
1．（2023·全国·高三专题练习）若函数false在false上单调递增，则实数a的取值范围是（????）
A．false B．false C．false D．false
【答案】B
【详解】false，又false在false上单调递增，故false在false上恒成立，而false时，易见false，只需要false即可，故false.
故选：B.
2．（2023·全国·高三专题练习）函数false在false单调递增的一个必要不充分条件是（????）
A．false B．false C．false D．false
【答案】D
【详解】由题得false，
false函数false在区间false单调递增，
false在区间false上恒成立．
false，
而false在区间false上单调递减，
false．
选项中只有false是false的必要不充分条件. 选项AC是false的充分不必要条件，选项B是充要条件.
故选：D
3．（2023·高二课时练习）已知函数false在false上是单调函数，则实数false的取值范围是________．
【答案】false
【详解】由题意得false在false上恒成立，
因此false，
解得false，
所以实数false的取值范围是false．
故答案为：false.
高频考点三：已知函数false在区间false上存在单调区间
典型例题
例题1．（2023·全国·高二专题练习）若函数false存在单调递减区间，则实数false的取值范围是（????）
A．false B．false
C．false D．false
【答案】B
【详解】函数false的定义域为false ，且其导数为false．由false存在单调递减区间知false在false 上有解，即false有解．因为函数false的定义域为false ，所以false．要使false有解，只需要false的最小值小于false，所以false，即false，所以实数false的取值范围是false ．
故选:B．
例题2．（2023·全国·高二专题练习）若函数false在区间false内存在单调递增区间，则实数false的取值范围是（????）
A．false B．false C．false D．false
【答案】D
【详解】由false可得：false.
因为函数false在区间false内存在单调递增区间，
所以false在false上有解，即false在false上有解.
设false，由false在false上恒成立，所以false在false单调递增，所以false.
所以false.
故选：D
练透核心考点
1．（2023·安徽滁州·高三校考阶段练习）若函数false存在递减区间，则实数false的取值范围是（????）
A．false B．false
C．false D．false
【答案】B
【详解】由题设，false，由false存在递减区间，即存在false使false，
∴false，可得false或false.
故选：B
2．（2023·全国·高三专题练习）设f(x)＝－falsex3＋falsex2＋2ax，若f(x)在false上存在单调递增区间，求a的取值范围.
【答案】false
【详解】由 f ′(x)＝－x2＋x＋2a＝false，
当false时，f ′(x)的最大值为false
令false，得false.
所以，当false时，f(x)在false上存在单调递增区间．
高频考点四：已知函数false在区间false上不单调
典型例题
例题1．（2023·高二课时练习）“当false时，函数false在区间false上不是单调函数”为真命题的false的一个取值是__________．
【答案】5（答案不唯一，只要是大于4的实数即可）
【详解】∵false，∴false，
函数false在区间false上不是单调函数，
∴false在区间false上有解,∵false，∴false,∴false,
故答案为：5（答案不唯一，只要是大于4的实数即可）.
例题2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数false在false上不单调，则false的取值范围是______.
【答案】false
【详解】false
因为函数false在false上不单调
所以false必有解
当false只有一个解时，false
得出函数false在false上单调递增，与题干矛盾，故false必有两个不等实根
则false，解得false或false
故答案为false
练透核心考点
1．（2023·高二课时练习）已知函数false．若false在false内不单调，则实数a的取值范围是______．
【答案】false
【详解】由false，得false，
当false在false内为减函数时，则false在false内恒成立，
所以false在false内恒成立，
当false在false内为增函数时，则false在false内恒成立，
所以false在false内恒成立，
令false，因为false在false内单调递增，在false内单调递减，
所以false在false内的值域为false，所以false或false，
所以函数false在false内单调时，a的取值范围是false，
故false在false上不单调时，实数a的取值范围是false．
故答案为：false．
2．（2023春·湖北武汉·高二校联考阶段练习）若函数false在区间(1，4)上不单调，则实数a的取值范围是___________.
【答案】(4，5)
【详解】解：false函数false，false，
若函数false在区间false上不单调，则false在false上存在变号零点，
由false得false，
令false，false，false，
false在false递减，在false递增，而false，false，false，
所以false.
故答案为：false.
高频考点五：已知函数false的单调区间为（是）false
典型例题
例题1．（2023·全国·高二专题练习）已知函数false的单调递减区间为false，则（????）.
A．false B．false
C．false D．false
【答案】B
【详解】由false得false，又false的单调递减区间是false，所以false和1是方程false的两个根，代入得false.经检验满足题意
故选：B.
例题2．（2023·全国·高二专题练习）已知函数false的单调递减区间是false，则false（????）
A．3 B．false C．2 D．false
【答案】B
【详解】函数false，则导数false
令false，即false，
∵false，false的单调递减区间是false，
∴0，4是方程false的两根，
∴false，false，
∴false
故选：B.
例题3．（2023·高二课时练习）已知函数false的单调递减区间是false，则false的值为______.
【答案】false
【详解】由题设，false，由false单调递减区间是false，
∴false的解集为false，则false是false的解集，
∴false，可得false，故false.
故答案为：false
练透核心考点
1．（2023·全国·高三专题练习）若函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d的单调递减区间为(－1，3)，则b＋c＝（????）
A．－12 B．－10 C．8 D．10
【答案】A
【详解】false＝3x2＋2bx＋c，由题意知，－1∴－1，3是false＝0的两个根，∴b＝－3，c＝－9，∴b＋c＝－12.
故选：A．
2．（2023·高二课时练习）已知函数false的单调递减区间为false，则false的值为________．
【答案】false
【详解】函数false的定义域为false，且false，
由题意可知，不等式false的解集为false，所以，false，解得false.
故答案为：false.
高频考点六：已知函数false的单调区间的个数
典型例题
例题1．（2023·全国·高三专题练习）已知函数false存在三个单调区间，则实数false的取值范围是（????）
A．false B．false
C．false D．false
【答案】C
【详解】由题意，函数false，可得false，
因为函数false存在三个单调区间，可得false有两个不相等的实数根，
则满足false，解得false或false，
即实数false的取值范围是false.
故选：C.
例题2．（2023·全国·高三专题练习）若函数false有三个单调区间，则实数false的取值范围为______．
【答案】false
【详解】试题分析：函数有3个单调区间，等价于导函数有2个不同零点，falsefalse
例题3．（2023·全国·高三对口高考）设函数false恰有三个单调区间，试确定a的取值范围．
【答案】false.
【详解】由题可知false的定义域为R，false，
若false，则false恒成立，此时false在R上单调递增，即只有一个单调区间，不符题意；
若false，由false解得false，
由false解得false或false，
此时false在false上单调递增，在false与false上单调递减，共有三个单调区间，符合题意；
所以a的取值范围是false．
练透核心考点
1．（2023·全国·高三专题练习）若函数false恰好有三个单调区间，则实数false的取值范围是(　　)
A．false B．false C．false D．false
【答案】D
【详解】解：∵函数f（x）＝ax3﹣3x2+x+1，
∴f′（x）＝3ax2﹣6x+1，
由函数f（x）恰好有三个单调区间，得f′（x）有两个不相等的零点，
∴3ax2﹣6x+1＝0满足：a≠0，且△＝36﹣12a＞0，解得a＜3，
∴a∈（﹣∞，0）∪（0，3）．
故选D．
2．（2023·全国·高三专题练习）若函数false恰好有三个不同的单调区间，则实数false的取值范围是（????）
A．false B．false C．false D．false
【答案】D
【详解】由题意得false，
false函数false恰好有三个不同的单调区间，false有两个不同的零点，
所以，false，解得false.
因此，实数false的取值范围是false.
故选：D.
高频考点五：函数单调性的应用
角度1：导函数与原函数图象的单调性
典型例题
例题1．（2023秋·山西阳泉·高二统考期末）已知函数false的导函数false图象如下图所示，则原函数false的图象是（????）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】由图可知，当false时，false，则函数false在false上为增函数，
当false时，false单调递增，故函数false在false上的增长速度越来越快，
当false时，false单调递减，故函数false在false上的增长速度越来越慢.
B选项中的图象满足题意.
故选：B.
例题2．（多选）（2023春·山西运城·高二校联考阶段练习）设false是函数false的导函数，将false和false的图象画在同一直角坐标系中，可能正确的是（????）
A． B．
C． D．
【答案】ABC
【详解】对选项A，若图中的直线为false的图象，曲线为false的图象，
因为false的图象先负后正，false的图象先减后增，故A可能正确.
对选项B，若图中上面的曲线为false的图象，下面曲线为false的图象，
因为false的图象在false处先负后正，false的图象在false处先减后增，
故B可能正确.
对选项C，若图中上面的曲线为false的图象，下面曲线为false的图象，
因为false恒成立，false的图象为增函数，故C可能正确.
对选项D，若图中上面的曲线为false的图象，下面曲线为false的图象，
因为false的图象先负后正，false的图象为增函数，不符合，
若图中上面的曲线为false的图象，下面曲线为false的图象，
因为false恒成立，false的图象为增函数，不符合，故D错误.
故选：ABC
练透核心考点
1．（2023春·陕西咸阳·高二武功县普集高级中学校考阶段练习）已知函数false的图象如图所示（其中false是函数false的导函数），则下面四个图象中，false的图象大致是（????）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】由题给函数false的图象，可得
当false时，false，则false，则false单调递增；
当false时，false，则false，则false单调递减；
当false时，false，则false，则false单调递减；
当false时，false，则false，则false单调递增；
则false单调递增区间为false，false；单调递减区间为false
故仅选项C符合要求.
故选：C
2．（2023·高二课时练习）设false是函数false的导函数，在同一个直角坐标系中，false和false的图象不可能是（????）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】对A，false和false可满足，故A可能成立；
对B，false和false可满足，故B可能成立；
对C，false和false可满足，故C可能成立；
对D，因为导函数为原函数的斜率函数，易得若任一一个函数图象为导函数，则原函数的切线斜率应该恒非负或非正，故不满足，故D错误；
故选：D
角度2：比较大小
典型例题
例题1．（2023·全国·高二专题练习）已知定义在R上的函数false，其导函数false的大致图象如图所示，则下列结论正确的是(????)
A．false B．false
C．false D．false
【答案】D
【详解】由false图像可知f(x)图像大致如下：
由图可知f(a)>f(b)，f(b)故选：D．
例题2．（2023春·河北邯郸·高二大名县第一中学校考阶段练习）已知函数false的图象如图所示，那么下列各式正确的是（????）
A．false
B．false
C．false
D．false
【答案】A
【详解】由false图象知，false递减，即false，但false图象的切线斜率随着false的增大而增大，导函数false是递增的，
因此false．
故选：A．
练透核心考点
1．（2023·高二课时练习）已知函数false的图象如图所示，false是函数false的导函数，则下列数值排序正确的是（????）
A．false B．false
C．false D．false
【答案】A
【详解】由函数false的图象可知，
当false时，false单调递增，
所以false，false，false，
由此可知，false在false上恒大于0，
因为直线的斜率逐渐增大，
所以false单调递增，结合导数的几何意义，
故false，
所以false，
故选：A．
2．（2023·全国·高三专题练习）函数false的图象如图所示，记false、false、false，则false、false、false最大的是________.
【答案】false
【详解】根据导数的几何意义，false、false、false分别为false处的切线斜率，
又false与false处的切线单调递增，false处的切线单调递减，且false处的切线比false处的切线更陡峭，
∴false，
故最大为false.
故答案为：false
角度3：构造函数解不等式
典型例题
例题1．（2023·全国·高三专题练习）已知函数false在false上可导且满足false，则下列不等式一定成立的为（????）
A．false B．false
C．false D．false
【答案】C
【详解】构造函数false，
false在false时恒成立，
所以false在false时单调递增，
所以false，即false，所以false，
故选:C.
例题2．（2023春·浙江嘉兴·高二平湖市当湖高级中学校考阶段练习）已知函数false是定义在false上的偶函数，其导函数为false，且当false时，false，则不等式false的解集为______．
【答案】false或false
【详解】令false，
则false，
由当false时， false，
所以当false时，false
即false在false上是增函数，
由题意false是定义在false上的偶函数，
所以false，
所以false，
所以false是偶函数，在false递减，
所以false，
false，
即不等式等价为false，
所以false，所以false或false.
故答案为：false或false.
例题3．（2022春·安徽合肥·高二合肥市第六中学校考期中）已知函数false是其导函数，恒有false，则（?????）
A．false B．false
C．false D．false
【答案】D
【详解】因为false，所以false，
由false得false，所以false.
构造函数false，false，
则false，所以false在false上为增函数，
因为false，所以false，所以false，即false，故A错误；
因为false，所以false，
所以false，即false，故B错误；
因为false，所以false，所以false，
即false，故C错误；
因为false，所以false，
所以false，即false，故D正确.
故选：D
练透核心考点
1．（2023·全国·高二专题练习）已知定义在false上的函数false的导函数为false，且满足false，false，则false的解集为（????）
A．false B．false C．false D．false
【答案】D
【详解】构造函数false，
false，
所以false在false上递增，false，
由于false，
根据false的单调性解得false，
所以false的解集false.
故选：D
2．（2023·全国·高二专题练习）已知false是函数false的导数，false则不等式false的解集是（????）
A．false B．false C．false D．false
【答案】C
【详解】令false，则false，
因为false，
所以false，即false，
设false，
所以false，
因为false，
所以false，所以false在false上单调递增，
因为false，
所以false，
所以false等价于false，
则false，即false，解得false．
所以不等式false的解集是false．
故选：C
3．（2022·全国·高三专题练习）已知定义在R上的奇函数f（x），当x＞0时,false，且f（3）＝0，则不等式f（x）≥0的解集为（????）
A．（﹣∞，﹣3]∪[3，+∞） B．[﹣3，3]
C．（﹣∞，﹣3]∪[0，3] D．[﹣3，0]∪[3，+∞）
【答案】D
【详解】设false，（x＞0），则其导数false，
而当x＞0时false，所以g′（x）＞0，即g（x）在（0，+∞）上为增函数，
又由f（3）＝0，则false0，所以false区间（0，3）上，g（x）＜0，在区间（3，+∞）上，g（x）＞0，则在区间（0，3）上，f（x）＜0，在区间（3，+∞）上，f（x）＞0，又由f（x）是定义在R上的奇函数，则f（0）＝0，false，
且在区间（﹣∞，﹣3）上，f（x）＜0，在区间（﹣3，0）上，f（x）＞0，
综合可得：不等式f（x）≥0的解集为[﹣3，0]∪[3，+∞）．
故选：D.
高频考点六：含参问题讨论单调性
角度1：导函数有效部分是一次型（或可化为一次型）
典型例题
例题1．（2023春·广东茂名·高二信宜市第二中学校考阶段练习）已知函数false，讨论函数false的单调性；
【答案】当false时，函数false在false上单调递增；当false时，函数false在false上单调递减，在false上单调递增.
【详解】false，false，
①当false时，false，函数false在false上单调递增；
②当false时，令false，得false，令false，得false，
所以函数false在false上单调递减；false在false上单调递增.
综上所述，当false时，函数false在false上单调递增；
当false时，函数false在false上单调递减，在false上单调递增.
例题2．（2023·全国·高二专题练习）已知函数false
(1)当false时，求曲线false在点false处曲线的切线方程；
(2)求函数false的单调区间.
【答案】(1)false
(2)答案见解析.
【详解】（1）当false时，false，定义域为false，
false，所以切点为false，
又因为false，所以false，即切线的斜率等于2，
根据点斜式得false，整理得false.
（2）false,false
当false时，false恒成立，所以false在false上单调递增，
当false时，令false即false解得false，
令false即false解得false，
所以false在false单调递增，false单调递减.
例题3．（2023·全国·高二专题练习）设函数false，求false的单调区间．
【答案】答案见解析
【详解】false的定义域为false，false．
若false，则false，所以false在false上单调递增．
若false，则当false时，false；当false时，false．
所以false在false上单调递减，在false上单调递增．
综上所述，当false时，函数false在false上单调递增；
当false时，false在false上单调递减，在false上单调递增．
练透核心考点
1．（2023·全国·高二专题练习）已知函数false.讨论false的单调性；
【答案】答案见解析
【详解】由题可得false的定义域为false，且false，
当false时，false成立，所以false在false上单调递增；
当false时，由false，可得false，所以false在false上为增函数；
由false，可得false，所以false在false上为减函数.
综上，false时，函数false在false上为增函数；false时，函数false在false上为增函数，函数false在false上为减函数.
2．（2023·全国·高二专题练习）已知函数false，其中false.讨论函数false的单调性；
【答案】答案见解析
【详解】由false，得false，
当false时，false恒成立，false在false上单调递增；
当false时，令false，解得false，
当false时，false，false单调递减，当false时，false，false单调递增；
综上所述：当false时，false在false上单调递增；当false时，false在false上单调递减，在false上单调递增.
角度2：导函数有效部分是二次型（或可化为二次型）且可因式分解型
典型例题
例题1．（2023·全国·高三专题练习）设函数false.当false时，讨论函数false的单调性；
【答案】见解析
【详解】由题知，函数false的定义域为false，
所以求导得false，
若false，
由false得false或false，
由false得false，
所以函数false在false，和false上单调递增，在false上单调递减，
若false，恒有false，当且仅当false时取等号，因此函数false在false上单调递增，
若false，
由false得false或false，
由false得false，
所以函数false在false，false上单调递增，在false上单调递减，
所以当false时，函数false在false，false上单调递增，在false上单调递减；
当false时，函数false在false上单调递增；
当false时，函数false在false，false上单调递增，在false上单调递减.
例题2．（2023·高二课时练习）已知函数false．讨论false的单调性；
【答案】答案见解析
【详解】定义域为R，
false．
当false时，则false，false在R上单调递增，
当false时，令false，则false，
当false时，false，false单调递减，
当false时，false，false单调递增．
综上，当false时，false在R上单调递增；当false时，false在false上单调递减，在false上单调递增．
例题3．（2023·全国·高三专题练习）已知函数false，讨论false的单调性；
【答案】答案见解析
【详解】函数false定义域R，
求导得false，
若false，
当false时，false，当false或false时，false，
即false在false上单调递减，在false和false上单调递增；
若false，恒有false.即false在false上单调递增；
若false，
当false时，false；当false或false时，false，即false在false上单调递减，在false和false上单调递增，
所以当false时，函数false的递减区间是false，递增区间是false和false；
当false时，函数false在false上单调递增；
当false时，函数false的递减区间是false，递增区间是false和false.
练透核心考点
1．（2023·高二课时练习）已知函数false．求函数false的单调区间；
【答案】答案见解析
【详解】函数false的定义域为false
则false
当false，false时，false恒成立，所以false单调递减；
当false时，令false，解得false或false（舍去），
令false，false，令false，false
所以false在false上单调递减；false上单调递增．
综上所述：当false时，false的单调递减区间为false，无单调递增区间；
当false时，false的单调递增区间为false，单调递减区间为false
2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数false，false.讨论false的单调性；
【答案】答案见解析
【详解】false ，
当false即false时，false或false，
故false在false和false上单调递增，在false上单调递减；
当false即false时，false，false在false上单调递增；
当false即false时，false或false，
故false在false和false上单调递增，在false上单调递减；
综上可知：false时，故false在false和false上单调递增，在false上单调递减；
false时， false在false上单调递增；
false时，false在false和false上单调递增，在false上单调递减；
3．（2023·高二课时练习）已知函数false，讨论函数false的单调性；
【答案】答案见解析
【详解】解：因为false，
所以false
若false时，false，false在false上单调递增；
若false时，false，当false或false时，false，false为增函数，
当false时，false，false为减函数，
若false时，false，当false或false时，false，false为增函数，
当false时，false，false为减函数.
综上，false时，false在false上单调递增；
当false时，false在false和false上单调递增，在false上单调递减；
当false时，false在false和false上单调递增，在false上单调递减.
角度3：导函数有效部分是二次型且不可因式分解型
典型例题
例题1．（2023春·山东青岛·高二青岛二中校考开学考试）已知函数false.
(1)若函数false在区间false上单调递增，求实数false的取值范围；
(2)讨论函数false的单调性.
【答案】(1)false
(2)答案见解析
【详解】（1）false在false上单调递增，false在false上恒成立，
即false在false上恒成立，
当false时，false，false，false，
即实数false的取值范围为false.
（2）由题意得：false，则false；
令false，
①当false时，false，false在false上单调递增；
②当false时，false；
若false，即false时，false恒成立，false恒成立，
false在false上单调递增；
若false，即false且false时，令false，解得：false，false；
（i）若false，则false，则false在false上恒成立，
false恒成立，false在false上单调递增；
（ii）若false，则false，
false当false时，false；当false时，false；
false当false时，false；当false时，false；
false在false上单调递增，在false上单调递减；
综上所述：当false时，false在false上单调递增；当false时，false在false上单调递增，在false上单调递减.
例题2．（2023·辽宁抚顺·统考模拟预测）已知函数false．
(1)讨论函数false的单调性；
【答案】(1)当false时，false在false是增函数；
当false时，false在false单调递增，在false单调递减，在false单调递增.
【详解】（1）由已知得函数false的定义城为false，
false．当且仅当false时，等号成立，
当false时，恒有false，所以false在false是增函数；
当false时，方程false有两个不等的正根false，false，
由false，即false，解得false，或false．
由false，即false，解得false，
所以false在false单调递增，在false单调递减，在false单调递增．
综上，当false时，false在false是增函数；
当false时，false在false单调递增，在false单调递减，在false单调递增．
练透核心考点
1．（2023·全国·高三专题练习）已知函数false.讨论函数false的单调性；
【答案】答案见解析
【详解】由false，可知定义域false，
false，令false，则false，
①当false时，false，则false成立，即false成立，
所以false的单调增区间为false；
②当false时，令false，得false，记false，
false，当false变化时，false，false的变化情况如下表
false
false
false
false
false
false
false
+
0
-
0
+
false
↗
极大值
↘
极小值
↗
所以false的增区间为false，false上单调递增，减区间为false，
综上，当false时，false的单调增区间为false；
当false时，false的增区间为false，false上单调递增，减区间为false.
2．（2023·全国·高三专题练习）讨论函数false的单调性
【答案】答案见解析
【详解】由题可知，函数false的定义域为false，
false，
令false，false，
当false时，
false在false恒成立，
所以false在false恒成立，
所以函数false在false单调递增；
当false时，false，
false在false恒成立，
所以false在false恒成立，
所以函数false在false单调递增；
当false时，false，
方程false 的两个根记为false，
有false，可得false，
由求根公式可得false
所以当false时，false，
当false或false时，false；
综上，
(i) 当false时，函数false在false单调递增，
false单调递减，false单调递增；
(ii) 当false时，函数false在false单调递增.
第四部分：高考新题型
①开放性试题
1．（2023秋·福建福州·高二福州三中校考期末）写出一个同时具备下列性质①②的函数false：__________．
①false；②false ．
【答案】false（答案不唯一）
【详解】因为false 是加变乘，所以考虑指数函数类型，又false 是减函数，
false false 满足要求；
故答案为：false （答案不唯一）.
2．（2023·全国·高二专题练习）写出一个同时具有下列性质①②的函数false___________.
①false；②当false时，false；
【答案】false（答案不唯一）
【详解】依题意，当false时，false，
即false在区间false上为减函数，
且false，
对函数false，在区间false上为减函数，
任取false，false，符合题意.
故答案为：false（答案不唯一）
第五部分：数学思想方法
①分类讨论的思想
1．（2023·全国·高二专题练习）已知函数false.讨论false的单调性
【答案】答案见解析
【详解】由题意可知：函数false的定义域为false，false.
①当false时，令false，即false，解得：false.
令false，解得：false；令false，解得：false；
所以函数false在false上单调递增，在false上单调递减.
②当false时，则false，
所以函数false在false上单调递增；
综上所述：当false时，函数false在false上单调递增，在false上单调递减.
当false时，函数false在false上单调递增.
2．（2023·全国·高二专题练习）已知函数false，讨论函数false的单调性
【答案】答案见解析
【详解】因为函数false，则false，
注意到false，令false，false，
当false，即false时，令false，解得false，false，且false，
令false，即false，解得false或false，令false，即false，解得false，
所以函数false在false和false上单调递增，在false上单调递减；
当false，即false时，则false在定义域内恒成立，故false在定义域内恒成立，
所以false在false上单调递增；
综上所述：当false时，函数false在false和false上单调递增，在false上单调递减；
当false时，函数false在false上单调递增.
②转化与化归思想
1．（2023·江西九江·高二统考）若函数false在定义域内单调，则false的取值范围是（????）
A．false B．false C．false D．false
【答案】A
【详解】false，
依题意可得：函数false在定义域内只能单调递增，
false恒成立，即false恒成立，
false，
false，
故选：A
2．（2023·全国·高二专题练习）已知函数false，若false在false上是单调减函数，则实数false的取值范围是（????）
A．false B．false C．false D．false
【答案】A
【详解】解：由false，得false，
false函数false在false上为单调减函数，
false对false恒成立，
即false对false恒成立，
false，解得false，
falsefalse的取值范围是false.
故选：A.
3．（2023·全国·高三专题练习）已知函数false（false）若对任意false，false恒成立，则false的取值范围是（????）
A．false B．false C．false D．false
【答案】A
【详解】条件等价于对任意false.
false恒成立，设false（false）.
则false在false上单调递减，
则false在false上恒成立，
得false（false）恒成立，
∴false（对false，false仅在false时成立），
故false的取值范围是false.
故选：A.

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