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2023-2024学年吉林省吉林市高一（上）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.下列函数中，不是幂函数的是( )
A. B. C. D.
3.已知，那么角是( )
A. 第一或第二象限角 B. 第二或第三象限角 C. 第二或第四象限角 D. 第一或第四象限角
4.“圆材埋壁”是我国古代的数学著作九章算术中的一个问题，现有一个“圆材埋壁”模型，其截面如图所示若圆柱材料的截面圆的半径长为，圆心为，墙壁截面为矩形，且劣弧的长等于半径长的倍，则圆材埋在墙壁内部的截面面积是( )
A.
B.
C.
D.
5.已知命题：，若命题为假命题，则实数的取值范围是( )
A. B. ，
C. D.
6.函数的图象如图所示，则可能是( )
A.
B.
C.
D. ，
7.已知，，，则( )
A. B. C. D.
8.已知实数， 是函数的零点，则( )
A. B.
C. D.
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的是( )
A. 若，则
B. 若，，则
C. 若，则
D. 若，，则
10.已知函数，且的反函数为，则( )
A. ，且且定义域是
B. 函数与的图象关于直线对称
C. 若，则
D. 当时，函数与的图象的交点个数可能是，，
11.意大利画家达芬奇提出：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，那么项链所形成的曲线是什么？这就是著名的“悬链线问题”，其中双曲余弦函数就是一种特殊的悬链线函数，其函数表达式为，相应的双曲正弦函数的表达式为设函数，则( )
A.
B. 函数在其定义域上是增函数
C. 若实数满足不等式，则的取值范围是
D. 函数的值域为
12.海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近码头；卸货后，在落潮时返回海洋已知某港口水深单位：与时间单位：从时的关系可近似地用函数来表示，函数的图象如图所示，则( )
A.
B. 函数的图象关于点对称
C. 当时，水深度达到
D. 已知函数的定义域为， 有个零点，，则
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13. ______ ．
14.函数的单调递增区间为 ______ ．
15.已知，则 ______ ； ______ ．
16.已知函数是定义在上的奇函数，当时，，当时，若函数恰有个零点，则实数的取值范围是 ______ ．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知集合．
当时，求，；
若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围．
18.本小题分
已知，，．
Ⅰ求的最小值；
Ⅱ求的最小值．
19.本小题分
在平面直角坐标系中，已知锐角的终边与单位圆的交点为．
求，；
在，，这三个条件中任选一个条件补充在下面把序号填在答题卡对应位置的横线上并解答问题．
问题：已知，_____，求．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分
20.本小题分
茶，是中华民族的举国之饮，它发乎神农，闻于鲁周公，兴于唐朝，盛在宋代，如今已成了风靡世界的三大无酒精饮料茶叶、咖啡和可可之一，并将成为世纪的饮料大王中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是，空气温度是，那么后物体的温度单位：可由公式求得，其中是一个随着物体与空气的接触情况而定的常数现有某种刚泡好的普洱茶，茶水温度是，放在室温的环境中自然冷却，分钟后茶水的温度是．
求的值；
经验表明，当室温为摄氏度时，该种普洱茶用的水泡制，自然冷却至时饮用，可以产生最佳口感，那么，刚泡好的茶水在室温为时自然冷却大约需要放置多长时间才能达到最佳饮用口感？结果精确到
附：参考值，
21.本小题分
已知函数．
求函数的最小正周期及单调递增区间；
将函数的图象上所有点向上平移个单位得到曲线，再将上的各点纵坐标变为原来的倍横坐标不变，得到函数的图象若，，不等式成立，求实数的取值范围．
22.本小题分
已知函数．
若函数，且是增函数，求实数的取值范围；
若对任意的正数，不等式恒成立，求的取值范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：，因为，所以．
故选：．
列举集合中的元素，得．
本题主要考查交集及其定义，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：幂函数的通式为为常数，
则选项均符合幂函数的定义，
而选项为指数函数，不符合幂函数的定义，
故选：．
根据幂函数的定义判断即可．
本题主要考查幂函数的定义，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：由题意知，，
则或，所以角在第二或第四象限，
故选：．
根据题意列出不等式组，由三角函数值的符号判断出所在的象限．
本题考查角函数值的符号的应用，需要掌握口诀：一全正、二正弦、三正切、四余弦，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：由题意得劣弧的长为，半径，
设，则，即，
则扇形的面积为，
过点作，则，则，，，
则，
所以圆材埋在墙壁内部的截面面积等于．
故选：．
利用扇形面积公式和三角形面积公式即可．
本题主要考查了扇形的面积公式和三角形面积公式，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：由题意得命题的否定为真命题，
即，，
当时，恒成立，
当时，则有，解得，
综上，的取值范围为．
故选：．
分析得，，分和讨论即可．
本题主要考查存在量词和特称命题，属于基础题．
6.【答案】
【解析】解：对于，当时，，A错误；
对于，当时，，B错误；
对于，的图象经过，在上单调递增，适合题意，C正确；
对于，的开口向下，显然不符合题意，D错误．
故选：．
结合图象，对四个选项逐一分析可得答案．
本题考查函数的图象与图象的变换，考查识图能力与运算能力，属于中档题．
7.【答案】
【解析】解：因为，
所以，，
即，
又因为，
所以，，即，
所以．
故选：．
根据对数函数的性质比较大小．
本题主要考查了对数函数的性质，属于基础题．
8.【答案】
【解析】解：实数，是函数的零点，
实数，是方程的根，
实数，是函数与的交点，的横坐标，
画出函数与的图象，如图所示：
过点作直线，在第一象限与的图象交于点，点的横坐标设为，
，
，
，
即，
，
由图象可知，，，
，，
，
即．
故选：．
由题意可知实数，是函数与的交点，的横坐标，画出函数与的图象，数形结合求解即可．
本题主要考查了函数的零点与方程根的关系，考查了对数函数的图象和性质，属于中档题．
9.【答案】
【解析】解：对于，取，，满足，而，A错误；
对于，由，得，而，因此，B正确；
对于，由，得，因此，C正确；
对于，取，，，，满足，，而，D错误．
故选：．
举例说明判断；利用不等式性质推理判断．
本题主要考查了不等式性质在不等式大小比较中的应用，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：对，根据同底数的指数函数与对数函数互为反函数，则，且且定义域是，故A正确；
对，根据反函数的特点知函数与的图象关于直线对称，故B正确；
对，若，则，
解得或舍去，
则，则，故C错误；
对于：如图所示，
当时，函数与的图象无公共点 如图；
当时，函数与的图象有一个公共点如图；
当时，函数与 的图象有两个公共点如图，
所以当时，与的图象的交点个数可能为，，，故D正确，
故选：．
根据指数函数与对数函数的关系一一分析即可．
本题主要考查了指数函数和对数函数的性质，考查了数形结合的数学思想，属于中档题．
11.【答案】
【解析】解：依题意，，
对于，，A错误；
对于，函数的定义域为，显然函数在上单调递增，
函数在上单调递减，因此函数在上单调递增，B正确；
对于，显然，则不等式，
由选项B知，，解得，因此的取值范围是，C正确；
对于，，则，即有，因此函数的值域为，D错误．
故选：．
求出函数的解析式，再结合指数函数性质，逐项分析判断即可．
本题考查函数的单调性、奇偶性和值域，以及不等式的解法，考查转化思想和运算能力，属于中档题．
12.【答案】
【解析】解：由图知，，
，
又，故A，，
由”五点作图法“知，，解得．
故，A正确；
又，函数的图象不关于点对称，B错误；
，即当时，水深度达到，C正确；
的定义域为，
，解得．
令，得．
，
，，为的个零点，
，
，
，D正确．
故选：．
由的部分图象可确定其解析式为，再对四个选项逐一分析可得答案．
本题考查由的部分图象确定其解析式，考查转化与化归思想及综合运算能力，属于中档题．
13.【答案】
【解析】解：原式．
故答案为：．
根据指数、对数的运算律计算．
本题考查了指数、对数的运算，是基础题．
14.【答案】
【解析】解：令，求得函数的定义域为或，且，
故本题即求函数在定义域内的减区间．
再利用二次函数的性质可得函数在定义域或内的减区间为，
故答案为：．
令，求得函数的定义域，根据，本题即求函数在定义域内的减区间．再利用二次函数的性质可得函数在定义域内的减区间．
本题主要考查复合函数的单调性，对数函数、二次函数的性质，体现了转化的数学思想，属于基础题．
15.【答案】
【解析】解：，
．
故答案为：；．
根据诱导公式和二倍角的余弦公式即可得到答案．
本题考查三角恒等变换，属于基础题．
16.【答案】
【解析】解：当时，，当且仅当时等号成立，
当时，，则，
根据对勾函数和指数函数的性质以及函数为奇函数作出整个函数图象，如下图所示：
令，则，
显然由图知直线与图象最多个交点，
若要满足题意，则有两个不等实数解，，则，
且根据韦达定理得，显然当不适合方程，且，不妨设，
则由图知：当直线与有个交点，直线与有个交点，
，，则，即，无解；
，，则，即，解得；
当直线与有个交点，直线与有个交点，
，，则，即，无解；
，，则，即，解得；
当直线与有个交点，直线与有个交点，
，，则，即，无解；
当时，则，由图知此时符合题意，此，
综上所述的取值范围为．
故答案为：．
首先作出的图象，再利用换元法设，合理分类讨论，再利用二次函数的零点分布列出不等式组，解出即可．
本题考查了函数零点、方程的根及函数图像交点的关系，考查了数形结合思想及分类讨论思想，属于中档题．
17.【答案】解：由题意得，
当时，集合，或，；
若是的必要不充分条件，则，
满足或，解得，
综上所述：的取值范围为．
【解析】解出指数不等式，再利用补集和交集含义即可；
由题意得到，再列出不等式组解得即可．
本题主要考查了集合的补集及并集运算，还考查了集合的包含关系的应用，属于中档题．
18.【答案】解：Ⅰ，，，当且仅当，即，时取等号，
所以
即的最小值为；
Ⅱ因为，
所以，
所以，当且仅当时取等号，
所以的最小值为．
【解析】Ⅰ由已知结合基本不等式即可求解；
Ⅱ利用乘法，结合基本不等式即可求解．
本题主要考查了基本不等式求解最值，属于基础题．
19.【答案】解：为锐角，
，
，
．
选：，
，
．
，
，
，
；
，
，，
，
，
，
，
，
选：，，
，，
，
，，，
，
，
，，
，，
，
；
选：，
，；
，，
，，，
，
，，，，
；
．
【解析】根据三角函数定义结合同角三角函数关系和二倍角公式即可求出答案；
根据同角三角函数关系、二倍角公式和两角和与差的余弦公式即可．
本题考查的知识要点：三角函数的关系式的变换，倍角公式，同角三角函数的关系式，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．
20.【答案】解：根据题意，当，，，，
代入公式，整理得：，
解得：．
假设自然冷却大约时间能达到最佳饮用口感，
则有：，代入，
得：，
所以刚泡好的茶水在室温为时自然冷却大约需要放置后才能达到最佳饮用口感．
【解析】根据题意列出等量关系式，求解即可；
代入得 然后结合，求解时间．
本题考查了函数在解决实际问题的应用，属于中档题．
21.【答案】解：依题意，，
所以函数的最小正周期；
令，解得，
所以的单调递增区间为．
曲线所对函数解析式为，因此，
当时，，
则当或，即当或时，，
，不等式成立，
只需，即，
依题意，，成立，
令，于是，即，解得，
所以的取值范围为．
【解析】利用二倍角及辅助角公式化简函数，再利用正弦函数性质求解即得．
利用给定变换求出及在上的最小值，再利用关于的一次函数列出不等式组求解即得．
本题考查的知识要点：三角函数的关系式的变换，正弦型函数的性质，恒成立问题的应用，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．
22.【答案】解：因为函数是上的增函数，
所以，所以．
故的取值范围为．
因为的定义域为，
所以，
由得在上恒成立，
因为，所以，所以，所以，所以．
因为对任意的正数，不等式恒成立，
所以，
因为在上为增函数，
所以在上恒成立，
所以在上恒成立，令，
则，在上恒成立，
因为，当且仅当时，等号成立，
所以，
综上，的取值范围为．
【解析】根据二次函数单调性和边界值的大小关系得到不等式组，解出即可；
首先分离参数求出，再次分离得到在上恒成立，利用换元法和基本不等式求出右边最大值即可得到范围．
本题考查函数的基本性质和不等式恒成立问题，考查学生的逻辑思维能力，属中档题．
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