资源简介

1.1集合的概念（精讲）
目录
第一部分：思维导图（总览全局）
第二部分：知识点精准记忆
第三部分：课前自我评估测试
第四部分：典 型 例 题 剖 析
重点题型一：集合的概念
重点题型二：元素与集合的关系
重点题型三：集合中元素的特性及其应用
重点题型四：集合的表示方法
重点题型五：集合中的含参问题
角度1：已知集合相等求参数
角度2：已知集合元素个数求参数
重点题型六：集合与方程的综合问题
第五部分：新定义问题
第六部分：高考（模拟）题体验
知识点1：集合的含义
一般地,我们把研究对象统称为元素,通常用小写拉丁字母,,,…表示.
把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集),通常用大写拉丁字母,,,…表示集合.
知识拓展集合的三个特性：
①描述性：集合是一个原始的不加定义的概念，像点、直线一样，只能描述性地说明.
②广泛性：凡是看得见、摸得着、想得到的任何事物都可以作为组成集合的对象.
③整体性：集合是一个整体，已暗示“所有”“全部”“全体”的含义，因此一些对象一旦组成了集合，那么这个集合就是这些对象的全体，而非个别对象.
知识点2：元素与集合
2.1元素与集合的关系
(1)属于(belong to)：如果是集合的元素，就说属于，记作 .
(2)不属于(not belong to)：如果不是集合的元素，就说不属于，记作.
特别说明：表示一个元素，表示一个集合.它们间的关系为：.
2.2集合元素的三大特性
（1）确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的，也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了，我们把这个性质称为集合元素的确定性.
（2）互异性（考试常考特点，注意检验集合的互异性）：一个给定集合中元素是互不相同的，也就是说，集合中的元素是不重复出现的，我们把这个性质称为集合元素的互异性.
（3）无序性：集合中的元素是没有固定顺序的，也就是说，集合中的元素没有前后之分，我们把这个性质称为集合元素的无序性.
知识点3：集合的表示方法与分类
3.1常用数集及其符号
常用数集 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集
数学符合 或
3.2集合的表示方法
（1）自然语言法：用文字叙述的形式描述集合的方法叫做自然语言法
（2）列举法：把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“”括起来表示集合的方法叫做列举法．
注用列举法表示集合时注意：
①元素与元素之间必须用“，”隔开．
②集合中的元素必须是明确的．
③集合中的元素不能重复．
④集合中的元素可以是任何事物．
（3）描述法定义：一般地，设表示一个集合，把集合中所有具有共同特征的元素所组成的集合表示为，这种表示集合的方法称为描述法．有时也用冒号或分号代替竖线．
具体方法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征．
（4）（韦恩图法）：
在数学中，我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图形称为图。
3.3集合的分类
根据集合中元素的个数可以将集合分为有限集和无限集.
（1）有限集：含有有限个元素的集合是有限集，如方程的实数解组成的集合，其中元素的个数为有限个，故为有限集.有限集通常推荐用列举法或描述法表示，也可将元素写在图中来表示.
（2）无限集：含有无限个元素的集合是无限集，如不等式的解组成的集合，其中元素的个数为无限个，故为无限集.通常用描述法表示。
知识点4：集合相等
只要构成两个集合的元素是一样的,我们就称这两个集合是相等的.记作：,例如： ，
1．（2022·全国·高一课时练习）判断正误．
（1）接近于0的数可以组成集合．( )
（2）分别由元素0，1，2和2，0，1组成的两个集合是相等的．( )
（3）一个集合中可以找到两个相同的元素．( )
2．（2022·全国·高一课时练习）已知集合M有两个元素3和，且，则实数___________．
3．（2022·全国·高一课时练习）用“”或“”填空．
___________N；___________Z；___________Q；___________R．
4．（2022·全国·高一课时练习）方程的解集用列举法表示为( )
A． B． C． D．
5．（2022·全国·高一课时练习）已知集合，那么正确的是( )
A． B． C． D．
重点题型一：集合的概念
典型例题
例题1．下面各组对象中不能形成集合的是（ ）
A．所有的直角三角形 B．一次函数
C．高一年级中家离学校很远的学生 D．大于2的所有实数
例题2．判断下列各组对象能否构成集合．若能构成集合，指出是有限集还是无限集；若不能构成集合，试说明理由．
(1)北京各区县的名称；
(2)尾数是5的自然数；
(3)我们班身高大于1.7m的同学．
同类题型演练
1．给出下列表述：①联合国常任理事国；②充分接近的实数的全体；③方程的实数根④全国著名的高等院校.以上能构成集合的是（ ）
A．①③ B．①② C．①②③ D．①②③④
2．下列说法中正确的是（ ）
A．与定点A，B等距离的点不能构成集合
B．由“title”中的字母构成的集合中元素的个数为5
C．一个集合中有三个元素a，b，c，其中a，b，c是的三边长，则不可能是等边三角形
D．高中学生中的游泳能手能构成集合
重点题型二：元素与集合的关系
典型例题
例题1．（2022·江苏·高一）给出下列关系：①；②；③；④，其中正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
例题2．（2022·全国·高一专题练习）用符号“”和“”填空：
（1）______； （2）1______； （3）_____；
（4）______； （5）______； （6）0______．
同类题型演练
1．（2022·全国·高一）给出下列四个关系：π∈R， 0 Q ，0.7∈N， 0∈ ，其中正确的关系个数为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
2．（2022·广西桂林·高一期末）下列关系中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·湖南·高一课时练习）用符号“∈”或“ ”填空：
1____N， －3____N， ___Q， ___N，
1__Z， －3___Q， 0___Z， ___R，
0___N*， π___R， ___Q， ___Z．
重点题型三：集合中元素的特性及其应用
典型例题
例题1．（2022·全国·高三专题练习）设集合，若，则的值为（ ）．
A．，2 B． C．，，2 D．，2
例题2．（2022·全国·高一专题练习）已知集合，且．求实数的值；
同类题型演练
1．（2021·江苏·常州市第一中学高一期中）已知集合，若，则实数的值为（ ）．
A． B． C．或 D．或
2．（2022·全国·高一专题练习）若，则的可能值为（ ）
A．0，2 B．0，1
C．1，2 D．0，1，2
3．（2022·上海民办南模中学高三阶段练习）若，则实数a的取值集合为______．
重点题型四：集合的表示方法(1)列举法
典型例题
例题1．（2022·广西·高二学业考试）设为我国四大河流长江、黄河、黑龙江、珠江组成的集合，那么集合等于（ ）
A．{长江，黄河} B． {长江，黑龙江}
C． {长江，珠江} D． {长江，黄河，黑龙江，珠江}
例题2．（2022·内蒙古·赤峰红旗中学松山分校高一期末（文））方程的所有实数根组成的集合为（　　）
A． B． C． D．
例题3．（2022·全国·高一课时练习）方程组的解集是（ ）．
A． B．
C． D．
同类题型演练
1．（2022·广东广雅中学高一阶段练习）方程的解集可表示为（ ）
A． B．
C． D．
2．（2022·北京·高一期中）方程组的解集是（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·全国·高一课时练习）一元二次方程的解集为（ ）
A． B． C． D．
重点题型四：集合的表示方法(2)描述法
典型例题
例题1．（2022·全国·高一课时练习）由大于且小于的偶数所组成的集合是（ ）
A． B．
C． D．
例题2．（2022·江西省崇义中学高一期中）集合用列举法表示是（ ）
A．{1，2，3，4} B．{1，2，3，4，5}
C．{0，1，2，3，4，5} D．{0，1，2，3，4}
例题3．（2022·辽宁·大连八中高一阶段练习）集合的元素个数为（ ）
A．4 B．5 C．10 D．12
同类题型演练
1．（2022·全国·高一专题练习）用描述法表示奇数集合：
①A＝{a|a＝2k+1，k∈Z}②B＝{a|a＝2k﹣1，k∈Z}
③C＝{2b+1|b∈Z}④D＝{d|d＝4k±1，k∈Z}．
上述表示方法正确的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．（2022·江苏·高一课时练习）由大于-3且小于11的偶数所组成的集合是（ ）
A．{x|-3B．{x|-3C．{x|-3D．{x|-33．（2022·湖南·雅礼中学高一阶段练习）已知集合，则集合A的真子集个数为（ ）
A．32 B．4 C．5 D．31
重点题型五：集合中的含参问题
角度1：已知集合相等求参数
典型例题
例题1．（2022·浙江·慈溪市三山高级中学高二学业考试）已知集合， 若， 则 （ ）
A．3 B．4 C． D．
例题2．（2022·全国·高一）集合，则的值为（ ）
A．0 B．1 C．－1 D．±1
同类题型演练
1．（2022·浙江丽水·高一期末）已知集合，，若，则实数 _______
2．（2022·湖南·衡阳市田家炳实验中学高一阶段练习）已知，.若，则______.
3．（2022·河北唐山·高一期中）设集合，，若，则_____________．
角度2：已知集合元素个数求参数
典型例题
例题1．（2022·上海市建平中学高二阶段练习）若集合有且只有一个元素，则的取值集合为__________．
例题2．（2021·全国·高一专题练习）若为单元素集，则实数的取值的集合为______．
例题3．（2022·上海市奉贤中学高一阶段练习）已知集合.
（1）若中只有一个元素，求及；
（2）若中至多有一个元素，求的取值范围.
同类题型演练
1．（2021·福建宁德·高三期中）集合至多有一个元素，则的取值范围是___________.
2．（2022·全国·高一专题练习）已知集合，在下列条件下分别求实数m的取值范围：
(1)；
(2)恰有一个元素.
3．（2021·全国·高一专题练习）已知集合，其中为常数，且.
（1）若A是单元素集合，求的取值范围；
（2）若A中至少有一个元素，求的取值范围；
（3）若A中至多有一个元素，求的取值范围.
重点题型六：集合与方程的综合问题
典型例题
例题1．（2022·全国·高一专题练习）已知集合.
(1)若，求，的值；
(2)若，且，求，的值.
例题2．（2021·全国·高一课时练习）已知关于的方程（、）.
(1)求方程的解集.
(2)若，关于上述方程仅有正整数解，求的所有取值组成的集合.
同类题型演练
1．（2021·全国·高一课时练习）已知集合．
(1)若，求实数a的值；
(2)若集合A中仅含有一个元素，求实数a的值；
(3)若集合A中仅含有两个元素，求实数a的取值范围．
2．（2021·全国·高一课时练习）若集合.
（1）若，求的值；
（2）若，求的值．
1．（2022·全国·高一）当一个非空数集满足：如果，则，且时，时，我们称就是一个数域，以下关于数域的说法：①是任何数域的元素；②若数域有非零元素，则；③集合是一个数域；④有理数集是一个数域；⑤任何一个有限数域的元素个数必为奇数，其中正确的选项是（ ）
A．①②④ B．②③④⑤ C．①④⑤ D．①②④⑤
2．（2021·湖北省武昌实验中学高一阶段练习）非空集合A具有下列性质：（1）若x、y∈A，则∈A；（2）若x、y∈A，则x+y∈A，下列判断一定成立的是（ ）
①﹣1 A；②∈A；③若x、y∈A，则xy∈A；④若x、y∈A，则x﹣y A．
A．①③ B．①② C．①②③ D．①②③④
3．（2020·上海市嘉定区第一中学高一期中）当一个非空数集满足“如果，则，且时，”时，我们称就是一个数域，以下四个数域的命题；
①0是任何数域的元素；
②若数域有非零元素，则;
③集合是一个数域
④有理数集是一个数域
其中假命题的是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
4．（2021·浙江·高一单元测试）在整数集中，被除所得余数为的所有整数组成一个“类”，记为，即，，给出如下四个结论：①；②；③若整数属于同一“类”，则；④若，则整数属于同一“类”.其中，正确结论的个数是（ ）.
A．1 B．2 C．3 D．4
1．（2022·贵州·贵阳一中模拟预测（文））已知集合则集合的元素个数为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
2．（2022·河北·模拟预测）已知集合中所含元素的个数为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
3．（2022·陕西·模拟预测（文））已知表示正整数集合，若集合，则中元素的个数为（ ）
A．16 B．15 C．14 D．13
4．（2022·山东济南·二模）已知集合，， ，则C中元素的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
5．（2022·重庆南开中学模拟预测）已知集合，，则集合（ ）
A． B． C． D．
6．（2022·湖南·岳阳一中一模）定义集合的一种运算：，若，，则中的元素个数为（ ）
A． B． C． D．
1.1集合的概念（精讲）
目录
第一部分：思维导图（总览全局）
第二部分：知识点精准记忆
第三部分：课前自我评估测试
第四部分：典 型 例 题 剖 析
重点题型一：集合的概念
重点题型二：元素与集合的关系
重点题型三：集合中元素的特性及其应用
重点题型四：集合的表示方法
重点题型五：集合中的含参问题
角度1：已知集合相等求参数
角度2：已知集合元素个数求参数
重点题型六：集合与方程的综合问题
第五部分：新定义问题
第六部分：高考（模拟）题体验
知识点1：集合的含义
一般地,我们把研究对象统称为元素,通常用小写拉丁字母,,,…表示.
把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集),通常用大写拉丁字母,,,…表示集合.
知识拓展集合的三个特性：
①描述性：集合是一个原始的不加定义的概念，像点、直线一样，只能描述性地说明.
②广泛性：凡是看得见、摸得着、想得到的任何事物都可以作为组成集合的对象.
③整体性：集合是一个整体，已暗示“所有”“全部”“全体”的含义，因此一些对象一旦组成了集合，那么这个集合就是这些对象的全体，而非个别对象.
知识点2：元素与集合
2.1元素与集合的关系
(1)属于(belong to)：如果是集合的元素，就说属于，记作 .
(2)不属于(not belong to)：如果不是集合的元素，就说不属于，记作.
特别说明：表示一个元素，表示一个集合.它们间的关系为：.
2.2集合元素的三大特性
（1）确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的，也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了，我们把这个性质称为集合元素的确定性.
（2）互异性（考试常考特点，注意检验集合的互异性）：一个给定集合中元素是互不相同的，也就是说，集合中的元素是不重复出现的，我们把这个性质称为集合元素的互异性.
（3）无序性：集合中的元素是没有固定顺序的，也就是说，集合中的元素没有前后之分，我们把这个性质称为集合元素的无序性.
知识点3：集合的表示方法与分类
3.1常用数集及其符号
常用数集 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集
数学符合 或
3.2集合的表示方法
（1）自然语言法：用文字叙述的形式描述集合的方法叫做自然语言法
（2）列举法：把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“”括起来表示集合的方法叫做列举法．
注用列举法表示集合时注意：
①元素与元素之间必须用“，”隔开．
②集合中的元素必须是明确的．
③集合中的元素不能重复．
④集合中的元素可以是任何事物．
（3）描述法定义：一般地，设表示一个集合，把集合中所有具有共同特征的元素所组成的集合表示为，这种表示集合的方法称为描述法．有时也用冒号或分号代替竖线．
具体方法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征．
（4）（韦恩图法）：
在数学中，我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图形称为图。
3.3集合的分类
根据集合中元素的个数可以将集合分为有限集和无限集.
（1）有限集：含有有限个元素的集合是有限集，如方程的实数解组成的集合，其中元素的个数为有限个，故为有限集.有限集通常推荐用列举法或描述法表示，也可将元素写在图中来表示.
（2）无限集：含有无限个元素的集合是无限集，如不等式的解组成的集合，其中元素的个数为无限个，故为无限集.通常用描述法表示。
知识点4：集合相等
只要构成两个集合的元素是一样的,我们就称这两个集合是相等的.记作：,例如： ，
1．（2022·全国·高一课时练习）判断正误．
（1）接近于0的数可以组成集合．( )
（2）分别由元素0，1，2和2，0，1组成的两个集合是相等的．( )
（3）一个集合中可以找到两个相同的元素．( )
【答案】 错误 正确 错误
【详解】
（1）接近于0的数不确定是哪些数，对象不确定，所以接近于0的数不能组成一个集合．该结论错误．
（2）两个集合的元素完全相同，所以两个集合是相等的．该结论正确．
（3）一个集合中的元素互异，不能找到两个相同的元素，该结论错误．
2．（2022·全国·高一课时练习）已知集合M有两个元素3和，且，则实数___________．
【答案】3
因为，且集合M有两个元素3和a+1，
所以或，
又不成立，所以
∴
故答案为：3
3．（2022·全国·高一课时练习）用“”或“”填空．
___________N；___________Z；___________Q；___________R．
【答案】 ∈ ∈
4．（2022·全国·高一课时练习）方程的解集用列举法表示为( )
A． B． C． D．
【答案】B
，所以方程的解集为
故选：B
5．（2022·全国·高一课时练习）已知集合，那么正确的是( )
A． B． C． D．
【答案】A
由或
故A对，B、C、D错
故选：A
重点题型一：集合的概念
典型例题
例题1．下面各组对象中不能形成集合的是（ ）
A．所有的直角三角形 B．一次函数
C．高一年级中家离学校很远的学生 D．大于2的所有实数
【答案】C
所有的直角三角形，能形成直角三角形集合，一次函数，元素是确定的，可以形成集合，大于2的所有实数，能形成集合，
而高一年级中家离学校很远的学生，这里的“很远”的标准不确定，因而这里的学生就不确定，所以高一年级中家离学校很远的学生不能形成集合，
故选：C
例题2．判断下列各组对象能否构成集合．若能构成集合，指出是有限集还是无限集；若不能构成集合，试说明理由．
(1)北京各区县的名称；
(2)尾数是5的自然数；
(3)我们班身高大于1.7m的同学．
【答案】(1)能；有限集；(2)能；无限集；(3)能；有限集.
(1)因为北京各区县的名称是确定的，故北京各区县的名称能构成集合；因为北京各区县是有限的，故该集合为有限集；
(2)因为尾数是5的自然数是确定的，故尾数是5的自然数能构成集合；因为尾数是5的自然数是无限的，故该集合为无限集；
(3)因为我们班身高大于1.7m的同学是确定的，故我们班身高大于1.7m的同学能构成集合；因为我们班身高大于1.7m的同学是有限的，故该集合为有限集.
同类题型演练
1．给出下列表述：①联合国常任理事国；②充分接近的实数的全体；③方程的实数根④全国著名的高等院校.以上能构成集合的是（ ）
A．①③ B．①② C．①②③ D．①②③④
【答案】A
① 联合国的常任理事国有：中国、法国、美国、俄罗斯、英国.所以可以构成集合.
② 中的元素是不确定的，不满足集合确定性的条件，不能构成集合.
③ 方程的实数根是确定，所以能构成集合.
④ 全国著名的高等院校.不满足集合确定性的条件，不构成集合.
故选：A
2．下列说法中正确的是（ ）
A．与定点A，B等距离的点不能构成集合
B．由“title”中的字母构成的集合中元素的个数为5
C．一个集合中有三个元素a，b，c，其中a，b，c是的三边长，则不可能是等边三角形
D．高中学生中的游泳能手能构成集合
【答案】C
解：对于A：与定点A，B等距离的点在线段的中垂线上，故可以组成集合，即A错误；
对于B：由集合元素的互异性可知，由“title”中的字母构成的集合中元素的个数为4，故B错误；
对于C：因为集合的元素具有互异性，所以a，b，c互不相等，故不可能是等边三角形，即C正确；
对于D：游泳能手模棱两可，不具有确定性，故D错误；
故选：C
重点题型二：元素与集合的关系
典型例题
例题1．（2022·江苏·高一）给出下列关系：①；②；③；④，其中正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
是实数，①正确；是无理数，②错误；－3是整数，③错误；－是无理数，④正确.
所以正确的个数为2.
故选：B.
例题2．（2022·全国·高一专题练习）用符号“”和“”填空：
（1）______； （2）1______； （3）_____；
（4）______； （5）______； （6）0______．
【答案】
由所表示的集合，由元素与集合的关系可判断
（1）（2）（3）（4）（5）（6）.
故答案为：（1）（2）（3）（4）（5）（6）
同类题型演练
1．（2022·全国·高一）给出下列四个关系：π∈R， 0 Q ，0.7∈N， 0∈ ，其中正确的关系个数为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】D
∵R表示实数集，Q表示有理数集，N表示自然数集， 表示空集，
∴π∈R，0∈Q，0.7 N，0 ，
∴正确的个数为1 .
故选:D.
2．（2022·广西桂林·高一期末）下列关系中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
对于A，，所以A错误；
对于B，不是整数，所以，所以B错误；
对于C，，所以C正确；
对于D， 因为不含任何元素，则，所以D错误.
故选：C.
.3．（2022·湖南·高一课时练习）用符号“∈”或“ ”填空：
1____N， －3____N， ___Q， ___N，
1__Z， －3___Q， 0___Z， ___R，
0___N*， π___R， ___Q， ___Z．
【答案】 ∈ ∈ ∈ ∈ ∈ ∈ ∈ ∈
表示自然数集；表示正整数集；
表示整数集；表示有理数集；表示实数集.
故答案为：；；；；；；；；；；；.
重点题型三：集合中元素的特性及其应用
典型例题
例题1．（2022·全国·高三专题练习）设集合，若，则的值为（ ）．
A．，2 B． C．，，2 D．，2
【答案】D
由集合中元素的确定性知或．
当时，或；当时，．
当时，不满足集合中元素的互异性，故舍去；
当时，满足集合中元素的互异性，故满足要求；
当时，满足集合中元素的互异性，故满足要求．
综上，或．
故选：D．
例题2．（2022·全国·高一专题练习）已知集合，且．求实数的值；
【答案】(1)1
∵，
当时，，此时，由于集合中的元素不能重复，故舍去
当时，或，当时，符合要求；当时，，此时集合A中有两个0，故舍去，综上：
同类题型演练
1．（2021·江苏·常州市第一中学高一期中）已知集合，若，则实数的值为（ ）．
A． B． C．或 D．或
【答案】B
，且，或
⑴、当即或，
①、当时，，，此时，不满足集合元素的互异性，故舍去；
②、当时，，，此时，符合题意；
⑵、当即时，此时，不满足集合元素的互异性，故舍去；
综上所述：实数的值为1.
故选：B
2．（2022·全国·高一专题练习）若，则的可能值为（ ）
A．0，2 B．0，1
C．1，2 D．0，1，2
【答案】A
因为，
当时，集合为，不成立；
当时，集合为，成立；
当时，则（舍去）或，当时，集合为，成立；
∴或.
故选：A
3．（2022·上海民办南模中学高三阶段练习）若，则实数a的取值集合为______．
【答案】
因为，故或或，
当时，，与元素的互异性矛盾，舍；
当时，，符合；
当时，或，根据元素的互异性，符合，
故a的取值集合为.
故答案为：
重点题型四：集合的表示方法(1)列举法
典型例题
例题1．（2022·广西·高二学业考试）设为我国四大河流长江、黄河、黑龙江、珠江组成的集合，那么集合等于（ ）
A．{长江，黄河} B． {长江，黑龙江}
C． {长江，珠江} D． {长江，黄河，黑龙江，珠江}
【答案】D
∵M为我国四大河流长江、黄河、黑龙江、珠江组成的集合，
∴M ={长江，黄河，黑龙江，珠江}.
故选：D.
例题2．（2022·内蒙古·赤峰红旗中学松山分校高一期末（文））方程的所有实数根组成的集合为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
解：由，解得或，所以方程的所有实数根组成的集合为；
故选：C
例题3．（2022·全国·高一课时练习）方程组的解集是（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】C
由题意，可得，即，代入方程可得，
∴解集是.
故选：C
同类题型演练
1．（2022·广东广雅中学高一阶段练习）方程的解集可表示为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
因为，所以，故方程的解集可表示为，
故选：C.
2．（2022·北京·高一期中）方程组的解集是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
,解得：，
则方程组的解集为：.
故选：C.
3．（2022·全国·高一课时练习）一元二次方程的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
可化为，解得或
所以一元二次方程的解集为
故选：B
重点题型四：集合的表示方法(2)描述法
典型例题
例题1．（2022·全国·高一课时练习）由大于且小于的偶数所组成的集合是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
由题意可知，由大于且小于的偶数所组成的集合是.
故选：D.
例题2．（2022·江西省崇义中学高一期中）集合用列举法表示是（ ）
A．{1，2，3，4} B．{1，2，3，4，5}
C．{0，1，2，3，4，5} D．{0，1，2，3，4}
【答案】D
解：由题知
故选：D
例题3．（2022·辽宁·大连八中高一阶段练习）集合的元素个数为（ ）
A．4 B．5 C．10 D．12
【答案】A
由题意，集合中的元素满足
是自然数，且是自然数，
由此可得=0，1，3，9；
此时的值分别为： 4，3，2，1，
符合条件的共有4个，
故选：A．
同类题型演练
1．（2022·全国·高一专题练习）用描述法表示奇数集合：
①A＝{a|a＝2k+1，k∈Z}②B＝{a|a＝2k﹣1，k∈Z}
③C＝{2b+1|b∈Z}④D＝{d|d＝4k±1，k∈Z}．
上述表示方法正确的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
由题意得：①②表示奇数集合，
③的表示方法错误，
④D＝{x|x＝4k±1，k∈z}，表示除以4余1的整数或除以4余3的整数，
∵一个奇数除以4之后，余数不是1就是3，
故④表示奇数集合；
故选：C．
2．（2022·江苏·高一课时练习）由大于-3且小于11的偶数所组成的集合是（ ）
A．{x|-3B．{x|-3C．{x|-3D．{x|-3【答案】D
解：大于-3且小于11的偶数，可表示为-3所以由大于-3且小于11的偶数所组成的集合是{x|-3对于A，集合表示的是大于-3且小于11的整数，不符题意；
对于B，集合表示的是大于-3且小于11的数，不符题意；
对于C，集合表示的是大于-3且小于11的数，，但不一定是整数，不符题意.
故选：D.
3．（2022·湖南·雅礼中学高一阶段练习）已知集合，则集合A的真子集个数为（ ）
A．32 B．4 C．5 D．31
【答案】D
∵
∴为12的正约数，又，
∴ ，4，3，2，0
∴集合，
∴ 集合A的真子集个数为31，
故选：D.
重点题型五：集合中的含参问题
角度1：已知集合相等求参数
典型例题
例题1．（2022·浙江·慈溪市三山高级中学高二学业考试）已知集合， 若， 则 （ ）
A．3 B．4 C． D．
【答案】D
解：因为且，
所以，且，
又，
所以和为方程的两个实数根，
所以；
故选：D
例题2．（2022·全国·高一）集合，则的值为（ ）
A．0 B．1 C．－1 D．±1
【答案】B
因为，且，
所以，即，
所以，，
又因为，所以，
所以，
故选B.
同类题型演练
1．（2022·浙江丽水·高一期末）已知集合，，若，则实数 _______
【答案】
解：因为，
所以方程有且只有一个实数根，
所以，解得.
所以
故答案为：
2．（2022·湖南·衡阳市田家炳实验中学高一阶段练习）已知，.若，则______.
【答案】
因为
所以解之得：
故答案为：
3．（2022·河北唐山·高一期中）设集合，，若，则_____________．
【答案】1
根据题意，可知，解得.
故答案为：1.
角度2：已知集合元素个数求参数
典型例题
例题1．（2022·上海市建平中学高二阶段练习）若集合有且只有一个元素，则的取值集合为__________．
【答案】##
①若，则，解得，满足集合A 中只有一个元素，所以符合题意；
②若，则为二次方程，集合A有且只有一个元素等价于，解得.
故答案为：.
例题2．（2021·全国·高一专题练习）若为单元素集，则实数的取值的集合为______．
【答案】
由题意方程只有一解或两个相等的实根，
(*)，,，此时，方程的解为，满足题意，；
若方程(*)有一个根是，则另一根是，，；
若方程(*)有一个根是，则另一根是，，．
综上，的取值集合为．
故答案为：．
例题3．（2022·上海市奉贤中学高一阶段练习）已知集合.
（1）若中只有一个元素，求及；
（2）若中至多有一个元素，求的取值范围.
【答案】（1）时，；时，；（2）；
（1）当时，，解得： ，
所以中只有一个元素，即，
当时，，解得：，
，解得：，此时
综上可知时，时.
（2）当集合时，，解得：
由（1）可知集合有1个元素时，或，
综上可知：或，
即.
同类题型演练
1．（2021·福建宁德·高三期中）集合至多有一个元素，则的取值范围是___________.
【答案】
解：集合至多有一个元素
即集合有一个元素或者零个元素
①当集合有一个元素时，等价于有一个根
即，解得
②当集合有零个元素，即时，等价于无实数根
即，解得
综上，的取值范围是
故答案为：.
2．（2022·全国·高一专题练习）已知集合，在下列条件下分别求实数m的取值范围：
(1)；
(2)恰有一个元素.
【答案】(1)(2)
(1)若，则关于x的方程没有实数解，
则，且，
所以，实数m的取值范围是；
(2)若A恰有一个元素，
所以关于x的方程恰有一个实数解，
讨论：当时，，满足题意；
当时，，所以．
综上所述，m的取值范围为．
3．（2021·全国·高一专题练习）已知集合，其中为常数，且.
（1）若A是单元素集合，求的取值范围；
（2）若A中至少有一个元素，求的取值范围；
（3）若A中至多有一个元素，求的取值范围.
【答案】（1）0或；（2）；（3）或
（1）若A是单元素集合，则方程只有一个实数根，
当时，原方程为，解得，满足题意；
当时，一元二次方程只有一个实数根，则，解得.
所以a的值为0或.
（2）若A中只有一个元素，由（1）知或；
若A中有两个元素，则，且，解得.
综上，时，A中至少有一个元素.
（3）若A中只有一个元素，由（1）知或；
若A中没有元素，则，且，解得，此时方程没有实数根.
综上，或时，A中至多有一个元素.
重点题型六：集合与方程的综合问题
典型例题
例题1．（2022·全国·高一专题练习）已知集合.
(1)若，求，的值；
(2)若，且，求，的值.
【答案】(1)(2)
(1)解：若，
则有，解得；
(2)解：，
因为，
所以，解得.
例题2．（2021·全国·高一课时练习）已知关于的方程（、）.
(1)求方程的解集.
(2)若，关于上述方程仅有正整数解，求的所有取值组成的集合.
【答案】(1)答案见解析
(2)
(1)解：由题意，可得，
①当时，解集为；
②当，时，解集为；
③当，时，解集为.
(2)解：由题意及（1）问结论知，，且，
所以或2或4或8，所以.
同类题型演练
1．（2021·全国·高一课时练习）已知集合．
(1)若，求实数a的值；
(2)若集合A中仅含有一个元素，求实数a的值；
(3)若集合A中仅含有两个元素，求实数a的取值范围．
【答案】(1)(2)或(3)
(1)∵，∴，
∴；
(2)当时，，符合题意；
当时，，∴．
综上，或；
(3)集合中含有两个元素，即关于的方程有两个不相等的实数解，
∴，且，
解得且，
∴实数的取值范围为．
2．（2021·全国·高一课时练习）若集合.
（1）若，求的值；
（2）若，求的值．
【答案】（1）；（2）或
（1）若，则的两个根分别为，
由韦达定理可得，故.
（2）若，则或，故.
综上若，则或
1．（2022·全国·高一）当一个非空数集满足：如果，则，且时，时，我们称就是一个数域，以下关于数域的说法：①是任何数域的元素；②若数域有非零元素，则；③集合是一个数域；④有理数集是一个数域；⑤任何一个有限数域的元素个数必为奇数，其中正确的选项是（ ）
A．①②④ B．②③④⑤ C．①④⑤ D．①②④⑤
【答案】D
对于①，当且时，由数域定义知：，是任何数域的元素，①正确；
对于②，当且时，由数域定义知：，
，，，…，，②正确；
对于③，当，时，，③错误；
对于④，若，则，且当时，，则有理数集是一个数域，④正确；
对于⑤，，若且，则，则这个数不为则必成对出现，
数域的元素个数必为奇数，⑤正确.
故选：D.
2．（2021·湖北省武昌实验中学高一阶段练习）非空集合A具有下列性质：（1）若x、y∈A，则∈A；（2）若x、y∈A，则x+y∈A，下列判断一定成立的是（ ）
①﹣1 A；②∈A；③若x、y∈A，则xy∈A；④若x、y∈A，则x﹣y A．
A．①③ B．①② C．①②③ D．①②③④
【答案】C
解：对于①：假设，则令，则，，
令，则，令，不存在，即，矛盾，所以，故①对；
对于②：由题意知，，则，，故②正确；
对于③：，，故③正确；
对于④：，若，则，故④错误，
所以一定成立的是①②③，
故选：C.
3．（2020·上海市嘉定区第一中学高一期中）当一个非空数集满足“如果，则，且时，”时，我们称就是一个数域，以下四个数域的命题；
①0是任何数域的元素；
②若数域有非零元素，则;
③集合是一个数域
④有理数集是一个数域
其中假命题的是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
【答案】C
解：对于①，根据新定义，，，当时，，对于，可得，故正确，
对于②，若数域中有非零元素，可以取实数域，可取，，可得，故正确，
对于③，由的元素知，是3的倍数，当，时，，故错误，
对于④，若是有理数，则当，，则，，，且当时，都成立，故正确，
故假命题为③．
故选：C．
4．（2021·浙江·高一单元测试）在整数集中，被除所得余数为的所有整数组成一个“类”，记为，即，，给出如下四个结论：①；②；③若整数属于同一“类”，则；④若，则整数属于同一“类”.其中，正确结论的个数是（ ）.
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
对于①，，，①正确；
对于②，，即被除余，，②错误；
对于③，设，，，能被整除，
，③正确；
对于④，设，，即，，
不妨令，，，
则，，，，
属于同一“类”， ④正确；
综上所述：正确结论的个数为个.
故选：.
1．（2022·贵州·贵阳一中模拟预测（文））已知集合则集合的元素个数为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】B
由解得，所以.
又
所以，共有7个元素，
故选：B.
2．（2022·河北·模拟预测）已知集合中所含元素的个数为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】C
解：因为，
所以中含6个元素．
故选：C.
3．（2022·陕西·模拟预测（文））已知表示正整数集合，若集合，则中元素的个数为（ ）
A．16 B．15 C．14 D．13
【答案】D
由题设，又，
由，则，
由，则，
由，则，
同理，均属于集合A，
所以第一象限中有13个点属于集合A.
故选：D
4．（2022·山东济南·二模）已知集合，， ，则C中元素的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
由题意，当时， ，当，时， ，
当，时， ，
即C中有三个元素，
故选：C
5．（2022·重庆南开中学模拟预测）已知集合，，则集合（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
由题，当时最小为，最大为，且可得，故集合
故选：D
6．（2022·湖南·岳阳一中一模）定义集合的一种运算：，若，，则中的元素个数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
因为，，，
所以，
故集合中的元素个数为3，
故选：C.

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