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1.1.2 空间向量的数量积运算
（基础知识+基本题型）
知识点一 空间向量的夹角
1．概念
如图3.1-26，已知两个非零向量，在空间任取一点O，作，，则么叫做向量的夹角，记.
2．范围
．
3．特别地，如果，那么向量互相垂直，记作．
对空间两个向量的夹角的理解，应注意以下几点：
(1)由概念，知两个非零向量才有夹角，当两非零向量同向时，夹角为0；反向时，夹角为，故(或)(为非零向量)．
(2)零向量与其他向量之间不定义夹角，并约定与任何向量都是共线的，即∥．两非零向量的夹角是唯一确定的．
(3)对空间任意两个向量，有；
①；②；③．
拓展
若两个向量所在直线为异面直线，两异面直线所成的角为，
(1)向量夹角的范围是0<<><，异面直线的夹角的范围是0<<，
(2)当两向量的夹角为锐角时，；当两向量的夹角为时，两异面直线垂直；当两向量的夹角为钝角时，.
知识点二 空间向量的数量积
定义 已知两个非零向量，则叫做向量的数量积，记作，即. 零向量与任意向量的数量积为，即.
几何意义 向量的数量积等于的长度与在的方向上的投影的乘积或等于的长度与在的方向上的投影的乘积.
运算律
（交换律）
（分配律）
1． 对于空间向量的数量积，我们可以从以下几个方面理解：
(1)向量的数量积记为．而不能表示为或;
(2)向量的数量积的结果为实数，而不是向量，其符号由夹角的余弦值的符号决定：当为锐角时，>0，但当>0时， 也可能为0；当为钝角时．<0，但当<0时，也可能为：
(3)当≠0时， =0不能推出一定是零向量，这是因为对于任一个与垂直的非零向量．都有=0．
2． 在考向量数量积的运算律时，要准确区分两向量的数量积与向量的数乘 、实数与实数的乘积之问的差异.
（1）向量的数量积的运算不满足消去律，即=推不出，
（2）向量数量积的运算不满足结合律，即不一定等于 ．
（3）向量数量积的运算不满足除法，即对于向量，若=k，不能得到（或）．例如，当非零向量垂直时，=0，但显然是不正确的．
知识点三 空间向量数量积的性质
若是非零向量，是与方向相同的单位向量，为与夹角，则：
(l) .
(2)
(3)若与同向，则；若与反向，则．特别地，．
(4)若为与的夹角．则cos.
(5).
拓展
空间向量数量积的性质可以看作数量积的定义的．引申和拓展，空间向量数量积与向量的模和夹角有关，更多的是以它为工具解决立体几何中与夹角和距离有关的问题．例如．
（1）求空间中两点间的距离或线段的长度，可以理解为求解为求相应线段所对应的向量的模．
(2)求空间中两条直线的夹角（特别是两条异面直线所成的角），即求这两条直线所对应的两个向量的夹角或其补角．
(3)证明线线垂直问题时，可以通过计算两条直线所对应的两向量的数量积为零来说明这两条直线垂直．
考点一 空间向量数量积的运算问题
例1 已知向量之间的夹角为30，且=3，4，求．
解：，，
总结：有关向量数量积的运算应注意的问题：
⑴要与数乘运算区分开，数乘运算的结果仍是向量，向量的数量积为实数．
⑵书写规范：不能写成，也不能写成．
⑶向量数量积运算不满足结合律，也不满足消去律．
(4)向量数量积与实数运算有很多是相同的，如平方差公式、完全平方公式、多项式展开法则等，但也有很多区别，要注意总结．
考点二 利用向量的数量积求角
例2如图3．1—30．在正方体中，求向量与的夹角的大小．
解：方法1：因为，所以的大小就等于
因为△为等边三角形，所以，所以与的夹角的大小为．
方法2．设正方体的棱长为1，
又因为，所以cos，
因为，所以与的夹角的大小为．
求两个向量的夹角有两种方法：⑴结合图形，平移向量，利用空间向量的夹角定义来求，但要注意向量夹角的范围；⑵先求，再利用公式，求，最后确定．
考点三 利用向量的数量积求距离
例3 已知线段AB在平面内，线段，线段，且与所成的角是，如果，求C，D间的距离．
解：如图，由，知，过点D作于点，连接，
则，所以
故．
总结：（1）线段长度的计算通常有两种方法：一是构建三角形，解三角形；二是向量法，计算相应向量的模，此时常需将待求向量转化为关系明确的向量（一般向几何体的棱上转化）．
（2）应牢记并能熟练地考公式
．
考点四 利用向量的数量积证明垂直
例4 如图，在四面体中，M,N,P,Q分别为BC，AC，OA，OB的中点，若，求证：．
分析：欲证，只要证明，需将用其他向量表示后再进行计算．
证明：如图3．1-34，连接OM，设．
因为P，M分别为OA，BC的中点，所以．
同理，连接ON，所以．
所以．
又因为，所以
所以，所以，即．

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