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集合与常用逻辑用语
学校____________ 姓名____________ 班级____________
一、知识梳理
1.元素与集合
(1)集合中元素的三个特性：确定性、_______、无序性.
(2)元素与集合的关系是______或不属于，表示符号分别为∈和 .
(3)集合的三种表示方法：______、______、图示法.
(4)常用数集及记法
名称 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集
记法 ______ ______ ______ ______ ______
2.集合间的基本关系
(1)子集：如果集合A的任意一个元素都是集合B的元素，那么集合A称为集合B的子集.记作A B(或B A).
(2)真子集：如果集合A是集合B的子集，并且B中至少有一个元素不属于A，那么集合A称为集合B的真子集.记作______.
(3)相等：若A B，且______，则A＝B.
(4)空集的性质： 是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.
3.集合的基本运算
集合的并集 集合的交集 集合的补集
符号表示 A∪B A∩B 若全集为U，则集合A的补集为 UA
图形表示
集合表示 {x|x∈A，或x∈B} ______ {x|x∈U，且x A}
4.集合的运算性质
(1)A∩A＝A，A∩ ＝ ，A∩B＝B∩A.
(2)A∪A＝A，A∪ ＝A，A∪B＝B∪A.
(3)A∩( UA)＝ ，A∪( UA)＝U， U( UA)＝A.
5.全称量词与存在量词
(1)全称量词：一般地，“任意”“所有”“每一个”在陈述中表示所述事物的全体，称为全称量词，用符号“ ”表示.
(2)存在量词：“存在”“有”“至少有一个”在陈述中表示所述事物的个体或部分，称为存在量词，用符号“ ”表示.
6.全称量词命题和存在量词命题
名称 全称量词命题 存在量词命题
结构 对M中的任意一个x，有q(x)成立 存在M中的一个x，使p(x)成立
简记 ______ x∈M，p(x)
否定 x∈M，綈q(x) ______
7.充分条件、必要条件与充要条件的概念
若p q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件
p是q的充分不必要条件 p q且q p
p是q的必要不充分条件 p q且q p
p是q的充要条件 p q
p是q的既不充分也不必要条件 p q且q p
考点和典型例题
集合的性质
【例题1-1】（2022·北京密云·高三期中）已知集合，且，则可以是（ ）
A． B． C． D．
【例题1-2】（2022·山东聊城·二模）已知集合，，则集合中元素个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【例题1-3】（2022·海南海口·模拟预测）已知集合，，若，则实数a＝（ ）
A．2 B．1 C．0 D．-1
【例题1-4】（2022·湖南·雅礼中学二模）已知集合，下列选项中均为A的元素的是（ ）
（1）（2）（3）（4）
A．（1）（2） B．（1）（3） C．（2）（3） D．（2）（4）
集合的运算
【例题2-1】（2022·广东韶关·二模）已知全集U={1，2，3，4，5}，集合A={1，2}，B={2，3}，则 （ ）
A．{4，5} B．{1，2}
C．{2，3} D．{1，2，3，4}
【例题2-2】（2022·重庆巴蜀中学高三阶段练习）已知全集为，集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【例题2-3】（2022·河北唐山·二模）设全集，集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【例题2-4】（2022·广东·二模）已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
【例题2-5】（2022·广东潮州·二模）已知集合或，则（ ）．
A． B．
C． D．或
量词命题的否定、充分条件和必要条件
【例题3-1】（2022·辽宁·建平县实验中学模拟预测）命题“，”的否定是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【例题3-2】（2022·山东济宁·二模）“”的一个充分不必要条件是（ ）
A． B． C． D．
【例题3-3】（2022·江西南昌·二模（文））已知，，则是的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【例题3-4】（2022·陕西·安康市高新中学三模（理））直线与函数的图象有两个公共点的充要条件为（ ）
A． B． C． D．
【例题3-5】（2022·山西吕梁·模拟预测（理））“，使得成立”的充要条件是（ ）
A． B． C． D．
综合应用
【例题4-1】（2022·陕西·武功县普集高级中学高三阶段练习（理））已知条件，条件．．
(1)若，求．
(2)若是的必要不充分条件，求的取值范围．
【例题4-2】（2022·北京密云·高三期中）设且，集合，若对的任意元子集，都存在，满足：，，且为偶数，则称为理想集，并将的最小值记为.
(1)当时，是否存在理想集？若存在，求出相应的；若不存在，请说明理由；
(2)当时，是否存在理想集？若存在，直接写出对应的 以及满足条件的；若不存在，请说明理由；
(3)证明：当时，.
【例题4-3】（2022·天津·汉沽一中高三阶段练习）不等式的解集是，关于x的不等式的解集是.
(1)若，求；
(2)若，求实数的取值范围.
(3)设实数x满足，其中，命题实数x满足.若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围.
【例题4-4】（2022·北京丰台·二模）设，，…，，，是个互不相同的闭区间，若存在实数使得，则称这个闭区间为聚合区间，为该聚合区间的聚合点．
(1)已知，为聚合区间，求t的值；
(2)已知，，…，，为聚合区间．
（ⅰ）设，是该聚合区间的两个不同的聚合点．求证：存在k，，使得；
（ⅱ）若对任意p，q（且p，），都有，互不包含．求证：存在不同的i，，使得．
【例题4-5】（2022·北京朝阳·一模）对非空数集，，定义与的和集.对任意有限集，记为集合中元素的个数.
(1)若集合，，写出集合与；
(2)若集合满足，，且，求证：数列，，，是等差数列；
(3)设集合满足，，且，集合（，），求证：存在集合满足且.
集合与常用逻辑用语
学校____________ 姓名____________ 班级____________
一、知识梳理
1.元素与集合
(1)集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性.
(2)元素与集合的关系是属于或不属于，表示符号分别为∈和 .
(3)集合的三种表示方法：列举法、描述法、图示法.
(4)常用数集及记法
名称 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集
记法 N N*或N＋ Z Q R
2.集合间的基本关系
(1)子集：如果集合A的任意一个元素都是集合B的元素，那么集合A称为集合B的子集.记作A B(或B A).
(2)真子集：如果集合A是集合B的子集，并且B中至少有一个元素不属于A，那么集合A称为集合B的真子集.记作AB(或BA).
(3)相等：若A B，且B A，则A＝B.
(4)空集的性质： 是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.
3.集合的基本运算
集合的并集 集合的交集 集合的补集
符号表示 A∪B A∩B 若全集为U，则集合A的补集为 UA
图形表示
集合表示 {x|x∈A，或x∈B} {x|x∈A，且x∈B} {x|x∈U，且x A}
4.集合的运算性质
(1)A∩A＝A，A∩ ＝ ，A∩B＝B∩A.
(2)A∪A＝A，A∪ ＝A，A∪B＝B∪A.
(3)A∩( UA)＝ ，A∪( UA)＝U， U( UA)＝A.
5.全称量词与存在量词
(1)全称量词：一般地，“任意”“所有”“每一个”在陈述中表示所述事物的全体，称为全称量词，用符号“ ”表示.
(2)存在量词：“存在”“有”“至少有一个”在陈述中表示所述事物的个体或部分，称为存在量词，用符号“ ”表示.
6.全称量词命题和存在量词命题
名称 全称量词命题 存在量词命题
结构 对M中的任意一个x，有q(x)成立 存在M中的一个x，使p(x)成立
简记 x∈M，q(x) x∈M，p(x)
否定 x∈M，非q(x) x∈M，非p(x)
7.充分条件、必要条件与充要条件的概念
若p q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件
p是q的充分不必要条件 p q且q p
p是q的必要不充分条件 p q且q p
p是q的充要条件 p q
p是q的既不充分也不必要条件 p q且q p
考点和典型例题
集合的性质
【例题1-1】（2022·北京密云·高三期中）已知集合，且，则可以是（ ）
A． B． C． D．
【详解】
因为，又，所以任取，则，
所以可能为，A对，
又 ，，
∴ 不可能为，，，B，C，D错，
故选：A.
【例题1-2】（2022·山东聊城·二模）已知集合，，则集合中元素个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【详解】
解：因为，，所以或或或，
故，即集合中含有个元素；
故选：C
【例题1-3】（2022·海南海口·模拟预测）已知集合，，若，则实数a＝（ ）
A．2 B．1 C．0 D．-1
【详解】
对于集合N，因为，
所以N中有两个元素，且乘积为-2，
又因为，所以，
所以．即a＝1．
故选：B.
【例题1-4】（2022·湖南·雅礼中学二模）已知集合，下列选项中均为A的元素的是（ ）
（1）（2）（3）（4）
A．（1）（2） B．（1）（3） C．（2）（3） D．（2）（4）
【详解】
集合有两个元素：和，
故选：B
集合的运算
【例题2-1】（2022·广东韶关·二模）已知全集U={1，2，3，4，5}，集合A={1，2}，B={2，3}，则 （ ）
A．{4，5} B．{1，2}
C．{2，3} D．{1，2，3，4}
【详解】
，则，
故选：A．
【例题2-2】（2022·重庆巴蜀中学高三阶段练习）已知全集为，集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【详解】
集合，解得，
，
，
由集合交集运算得到： .
【例题2-3】（2022·河北唐山·二模）设全集，集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【详解】
解：因为，所以，又；
所以；
【例题2-4】（2022·广东·二模）已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
【详解】
集合，，
则 ，
故选：C
【例题2-5】（2022·广东潮州·二模）已知集合或，则（ ）．
A． B．
C． D．或
【详解】
因为或，所以 ，
故选：B
量词命题的否定、充分条件和必要条件
【例题3-1】（2022·辽宁·建平县实验中学模拟预测）命题“，”的否定是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【详解】
由特称命题的否定知原命题的否定为：，.
故选：C.
【例题3-2】（2022·山东济宁·二模）“”的一个充分不必要条件是（ ）
A． B． C． D．
【详解】
因为，所以，由于，而，故A选项满足题意；
令，则满足，但不满足，故B错误；
由得：，故C选项是一个充分必要条件，故C选项错误；
令，则满足，但不满足，D错误.
故选：A
【例题3-3】（2022·江西南昌·二模（文））已知，，则是的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【详解】
对于不等式，作出曲线与的图象如下图所示：
由图象可知，不等式的解集为，
因为，因此，是的必要不充分条件，
故选：B.
【例题3-4】（2022·陕西·安康市高新中学三模（理））直线与函数的图象有两个公共点的充要条件为（ ）
A． B． C． D．
【详解】
由题意知直线定点，函数的图象是以为圆心，1为半径的半圆，
如图所示．易求，的斜率分别为0，，
由图知，当l介于与之间（含）时，l与函数的图象有两个公共点，即．
故选:C．
【例题3-5】（2022·山西吕梁·模拟预测（理））“，使得成立”的充要条件是（ ）
A． B． C． D．
【详解】
，，等价于，
又，当且仅当时等号成立，
即，故．
故选：A．
综合应用
【例题4-1】（2022·陕西·武功县普集高级中学高三阶段练习（理））已知条件，条件．．
(1)若，求．
(2)若是的必要不充分条件，求的取值范围．
【解析】
(1)
由，得，
所以，
由，得，所以
当时，.所以
所以；
(2)
由（1）知，，，
是的必要不充分条件，，
所以，解得
所以实数的取值范围为.
【例题4-2】（2022·北京密云·高三期中）设且，集合，若对的任意元子集，都存在，满足：，，且为偶数，则称为理想集，并将的最小值记为.
(1)当时，是否存在理想集？若存在，求出相应的；若不存在，请说明理由；
(2)当时，是否存在理想集？若存在，直接写出对应的 以及满足条件的；若不存在，请说明理由；
(3)证明：当时，.
【解析】
(1)
依题意，要为理想集，，
当时，，显然，有，而不是偶数，即存在3元子集不符合理想集定义，
而，在中任取3个数，有4种结果，；；；，它们都不符合理想集定义，
所以，当时，不存在理想集.
(2)
当时，，由（1）知，存在3元子集、4元子集均不符合理想集定义，
5元子集，在此集合中任取3个数，满足较小的两数和大于另一个数的只有与两种，但这3数和不为偶数，
即存在5元子集不符合理想集定义，
而的6元子集是，是偶数，是偶数，
即的6元子集符合理想集定义，是理想集，
所以，当时，存在理想子集，满足条件的可分别为或.
(3)
当时，，由（1），（2）知，存在的3元子集、4元子集、5元子集不满足理想集定义，
要为理想集，，显然符合理想集的定义，满足条件的分别为或，
的6元子集中含有的共有个，这10个集合都符合理想集的定义，
的6元子集中含有不含6的有5个，其中含有4的有4个，这4个集合都符合理想集的定义，不含4的为，
显然有为偶数，即的6元子集中含有不含6的5个都符合理想集的定义，
的6元子集中含有不含5的有5个，它们是，，
它们对应的可依次为：；；；；，
即的6元子集中含有不含5的5个都符合理想集的定义，
的6元子集中含有不含3的有5个，它们是，，
它们对应的可依次为：；；；；，
即的6元子集中含有不含3的5个都符合理想集的定义，
的6元子集中含有之一的有3个，它们是，对应的可依次为：；；，
即的6元子集中含有之一的3个都符合理想集的定义，
因此，的所有个6元子集都符合理想集的定义，是理想集，
的7元子集有个，其中含有的有5个，这5个集合都符合理想集的定义，不全含的有3个，
它们是，对应的可依次为：；；，
即的所有8个7元子集都符合理想集的定义，是理想集，
的8元子集是，对应的可以为：，因此，是理想集，
因此，的6元子集，7元子集，8元子集都是理想集，，
所以当时，.
【例题4-3】（2022·天津·汉沽一中高三阶段练习）不等式的解集是，关于x的不等式的解集是.
(1)若，求；
(2)若，求实数的取值范围.
(3)设实数x满足，其中，命题实数x满足.若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围.
【解析】
(1)
由的解集是，解得：.
当m=1时，可化为，解得.
所以.
(2)
因为，所以.
由（1）得：.
当时，由可解得.要使，只需，解得：；
当时，由可解得.不符合，舍去；
当时，由可解得.要使，只需，解得：；
所以，或.
所以实数的取值范围为：.
(3)
设关于x的不等式（其中）的解集为M，则；
不等式组的解集为N，则；
要使p是q的必要不充分条件，只需NM，即，解得：.
即实数a的取值范围.
【例题4-4】（2022·北京丰台·二模）设，，…，，，是个互不相同的闭区间，若存在实数使得，则称这个闭区间为聚合区间，为该聚合区间的聚合点．
(1)已知，为聚合区间，求t的值；
(2)已知，，…，，为聚合区间．
（ⅰ）设，是该聚合区间的两个不同的聚合点．求证：存在k，，使得；
（ⅱ）若对任意p，q（且p，），都有，互不包含．求证：存在不同的i，，使得．
【解析】
(1)
由可得，又，为聚合区间，由定义可得，故当且仅当时成立，故
(2)
（ⅰ）由，是该聚合区间的两个不同的聚合点，不妨设，因为，故，又，故，不妨设中的最大值为，中最小值为，则，即，故存在区间
（ⅱ）若存在 则或，与已知条件矛盾
不妨设 ，则
否则，若，则，与已知条件矛盾
取，设
当时，，
又，所以，所以，
即，所以，
此时取，则，
当时，同理可取，使得，
综上，存在不同的i，，使得
【例题4-5】（2022·北京朝阳·一模）对非空数集，，定义与的和集.对任意有限集，记为集合中元素的个数.
(1)若集合，，写出集合与；
(2)若集合满足，，且，求证：数列，，，是等差数列；
(3)设集合满足，，且，集合（，），求证：存在集合满足且.
【解析】
(1)
∵集合，，
∴，；
(2)
∵，
∴集合中至少包含个元素，
所以，又，
由题可知，又为整数，
∴，
∴，
∴中的所有元素为，
又是中的个元素，且，
∴，即，
∴，
∴数列，，，是等差数列；
(3)
∵集合，
∴，
设，其中，
设是首项为，公差为的等差数列，即，
令集合，
则，
∴，
即，
∵，
∴，
所以，
故存在集合满足且.

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