资源简介

2023年秋期宜宾市普通高中学业质量监测
高一年级 数学
（考试时间：120分钟；满分：150分）
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用 2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改
动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本卷上
无效．
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的.
1．设集合A= 1,3,5,7 ,B= x|0≤ x≤ 4 ，则A∩B=
A． {1,3} B． {3,5} C． {1,5} D． {5,7}
2．命题“ x≤ 1，x2- x+ 1> 0”的否定是
A． x > 1，x2- x + 1≤ 0 B． x ≤ 1，x20 0 0 0 0- x0+ 1≤ 0
C． x> 1，x2- x+ 1≤ 0 D． x≤ 1，x2- x+ 1> 0
log2x, x> 0,3 f(x) = f f 1．函数 则 3x, x≤ 0, 4 =
A 1 1．- 9 B． 9 C．-9 D． 9
4．角 α的终边过点P(-2,4)，则 tan2α的值为
A 4 B - 4． 3 ． 3 C
4 4
． 5 D．- 5
= 4|x|5．函数 y 2 的图象大致为x + 1
A． B．
C． D．
高一年级数学试卷 第 1页 共 4页
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6．已知幂函数 f x = m2- 3m+ 3 xm+1为偶函数，若函数 y= f x - 2 a- 1 x在区间 -1,1
上为单调函数，则实数 a的取值范围为
A． -∞,0 B． 2,+∞ C． 0,2 D． -∞,0 ∪ 2,+∞
7．函数 y= ax+1- 2 a> 0,a≠ 1 的图象恒过定点A，且点A的坐标满足方程mx+ ny+ 1= 0，
其中m> 0,n> 0 2 1，则 m + n 的最小值为
A． 7 B． 6 C． 3+ 2 2 D． 2+ 2
8 π．已知函数 f x = sin ωx- 6 ω> 0 在区间 0,π 上恰有 3个零点，则ω的取值范围为
A 5 , 13 B 5 19 13． 3 6 ． 3 , 6 C． 6 ,
8
3 D．
13 , 19 6 6
二、选择题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全
部选对的得 5分，部分选对的得 2分，有选错的得 0分.
9．下列说法正确的是
A．若 a> b，则 a2> b2 B．若 a> b,c> d，则 a- d> b- c
C．若 a> b,c> d a > b，则 d c D．若 a> b> 0,m> 0
b+m > b，则 a+m a
10．下列式子中正确的是
A． 6 24 × 3 3 × 32 = 3 B． lg lg10 = 0
C． lg22+ lg5 lg20= 2 D 21+log． 25= 10
11 π π．已知函数 f x =Asin(ωx+ φ) A> 0,ω> 0,- 2 < φ< 2 的部分
图象如图所示，则
A． f x 的最小正周期为 π
B．当 x∈ π 1 1 0, 2 时，f x 的值域为 - 2 , 2
C．将函数 f π x 的图象向右平移 6 个单位长度可得函数
g(x) = sin2x的图象
D．将函数 f x 的图象上所有点的横坐标伸长为原来的 2倍，纵坐标不变，得到的函数图象
5π关于点 6 ,0 对称
-2x2+ 4x, x≥ 0,
12．已知函数 f x = 则下列说法正确的是 3x+ 6 - x- 2, x< 0,
A．当m<-2，n<-2时，f(m+n) = f(m) + f(n) + 8
B．对于 x1∈ 0,2 ， x2∈ -2,0 ， f x1 - f x2 ≤ 2
C．若方程 f (x) - a = 0有 4个不相等的实根 x1,x2,x3,x4，则 x1+ x2+ x3+ x4的范围为
-2,- 32
D．函数 y= f( f(x)) - 2有 6个不同的零点
高一年级数学试卷 第 2页 共 4页
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三、填空题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20分.
13．函数 f(x) = 1- log x的定义域为 .
2
14．“学如逆水行舟，不进则退；心似平原跑马，易放难收.” (明 《增广贤文》)是勉励人们专心学
习的.如果每天的“进步”率都是 1%，那么一年后是 1+ 1% 365= 1.01365；如果每天的“退步”率
365
都是 1%，那么一年后是 1- 1% 365= 0.99365 “ ” “ ” 1.01 = 1.01
365
，一年后 进步 的是 退步 的
0.99365 0.99
≈ 1481倍.甲乙两位同学以相同分数考入某高中，甲同学每天以饱满的热情去学习，每天都在
“进步”，乙同学沉迷于手机，每天都在“退步”.如果甲每月的“进步”率和乙每月的“退步”率都
是 20%，那么甲“进步”的是乙“退步”的 100倍需要经过的时间大约是 个月 (四舍五
入,精确到整数) (参考数据：lg2≈ 0.3010,lg3≈ 0.4771).
15．已知 sin(α- π ) = 112 3 ，则 cos(2 α+
5π
6 ) = .
16．已知函数 f x = asinx+ 3cosx满足：f x ≤ f π6 .若函数 f x 在区间 x1,x2 上单调，且
f x1 + f x2 = 0，则当 x1+ x2 取得最小值时，sin x1+ x2 = .
四、解答题：本题共 7小题，共 70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（10分）
x- 2
已知集合A={x ≤ 0 x+ 1 ,集合B={x|(x-m) (x-m- 2)≤ 0,m∈R}.
(1)当m=-2时，求A∪B；
(2)若A∩B=B，求实数m的取值范围.
18．（12分）
已知定义在R上的函数 f(x) = 1- 2ax 是奇函数．2 + 1
(1)判断 f(x)的单调性，并用定义证明；
(2)解不等式 f t- 1 + f 2t < 0．
19．（12分）
sin π - α cos π 3π
f α = 2 2
+ α - sin 2 + α cos -α
已知 .
cos π- α
(1)若 f α = cosα sinα+ cosα，求 sinα- cosα 的值；
(2)若 f α = 15 ，0≤ α≤ π
π
，求 sin 2α- 4 的值.
高一年级数学试卷 第 3页 共 4页
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20．（12分）
已知函数 f x = 2sin ωx- π6 cos ωx-
π
6 - 2cos
2 ωx+ π12 + 1 ω> 0 ，且满足____.
(1)求函数 f x 的解析式；
(2)若关于 x的方程 f x = 1在区间 0,m 上有两个不同解，求实数m的取值范围.
从① f x 的图象与直线 y=-2的两个相邻交点之间的距离等于 π；② f x 的两个相邻对称
π
中心之间的距离为 2 .这两个条件中选择一个，补充在上面问题中并作答.
21．（12分）
第 31届世界大学生夏季运动会于 2023年 7月 28日至 2023年 8月 8日在成都举办.成都大运
会吉祥物“蓉宝”以熊猫“芝麻”为原型创作,手中握有“31”字样火焰的大运火炬.成都大运会激发
了全世界对“国宝”熊猫的喜爱，与熊猫有关的商品销量持续增长.现有某工厂代为加工成都大运
会吉祥物“蓉宝”玩偶，已知该工厂代加工玩偶需投入固定成本 5万元，每代加工 1万件玩偶，需另
投入 a万元．现根据市场行情，该工厂代加工 x万件玩偶，可获得 f(x)万元的代加工费，且 f x =
x
2+ x, 0< x≤ 10,
4x- 900 已知该代工厂代加工 20万件时，获得的利润为 90万元.x + 160, 10< x≤ 50.
(1)求该工厂代加工成都大运会吉祥物“蓉宝”玩偶的利润 y(单位：万元)关于代加工量 x(单
位：万件)的函数解析式；
(2)当代加工量为多少万件时，该工厂代加工成都大运会吉祥物“蓉宝”玩偶的利润最大？并
求出利润的最大值.
22．（12分）
对于函数 y= f x ,x∈D，若存在 x0∈D，使得 f x0 = x0，则称函数 f x 为“不动点”函数，其
中 x0是 f x 的一个不动点；若存在 x0∈D，使得 f x0 =-x0，则称函数 f x 为“次不动点”函数，其
中 x0是 f x 的一个次不动点.
(1)判断函数 f x = 3- lnx是否为不动点函数，并说明理由；
(2)若函数 h x = log x -x -x2 4 + 4 + 2 - b 在区间 0,1 上有且仅有两个不同的不动点和一个次
不动点，求实数 b的取值范围.
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{#{QQABCQCAogiIAAJAAQhCQwXICgKQkAAAACoOAAAIsAAAyBNABAA=}#}2023年秋期高中教育阶段学业质量监测
高一年级 数学参考答案
一.选择题：本大题共 12个题，每小题 5分，共 60分．
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 A B B A C D C D BD ABD AD ACD
二.填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分.
13 7 3. (0,2] 14. 11 15. - 9 16. - 2
三.解答题：本大题共 6小题，共 70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17. (本小题满分 10分)
解： (1) x- 2由 x+ 1 ≤ 0解得-1< x≤ 2，
所以A= x -1< x≤ 2 ，
当m=-2时，B= x -2≤ x≤ 0 ,
所以A∪B= x -2≤ x≤ 2 . 5分
(2)因为m因为A∩B=B，所以B A，
m所以 m>-1 ，解得-1所以实数m的取值范围为 m -1注：(1)和 (2)问，如出现端点错误，只扣1分.
18. (本小题满分 12分)
(1) 2a由题意知 f(0) = 1- 0 = 1- a= 0，2 +1
所以 a= 1,
经检验 a= 1满足. 2分
所以 f(x) = 1- 2 .
2x+1
x1,x2∈R，不妨设 x1< x2，
( ) - ( )= 2 - 2 = 2(2
x1-2x2)
则 f x1 f x2 x ,2 2+1 2x1+1 2x2+1 2x1+1
x
因为 x 11< x2，所以 2 +1> 0，2x2+1> 0，2x1< 2x2，
从而 f(x1) - f(x2)< 0,
所以 f(x)在R上单调递增. 6分
(2)由题意，f(t- 1) + f 2t < 0 f(t- 1)<-f 2t = f -2t ，
于是 t- 1<-2t，解得 t< 13 ,
1
所以实数 t的取值范围为 (-∞, 3 ). 12分
19. (本小题满分 12分)
解：(1)由题意可得
sin π2 - α cos
π + α - sin 3π2 2 + α cos -α f(α) =
cos π- α
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cosα -sinα - -cosα=
cosα
-cosα = sinα- cosα，
因为 f(α) = cosα，
所以 tanα= 2，
sinα+ cosα tanα+ 1
所以 sinα- cosα = tanα- 1 = 3. 6分
(2) 1若 f(α) = 5 ，则 sinα- cosα=
1
5 ，两边平方得 1- 2sinαcosα=
1
25 ,
sin2α= 24经计算知 25 ,且 α∈ (
π , π4 2 ) 8分
所以 cos2α=- 725， 10分
所以 sin 2α- π4 = sin2αcos
π
4 - cos2αsin
π 31 2
4 = 50 . 12分
20. (本小题满分 12分)
解：(1)f(x) = 2sin ωx- π6 cos ωx-
π
6 - 2cos
2 ωx+ π12 + 1
= sin 2ωx- π3 - cos 2ωx+
π
6
= sin 2ωx- π3 - cos 2ωx-
π + π3 2
= sin 2ωx- π3 + sin 2ωx-
π
3
= 2sin 2ωx- π3 4分
若选择①:
f x 的图象与直线 y=-2的两个相邻交点之间的距离等于 π，则函数 f(x)的最小正周期为T= π,
2π
即 2ω = π，所以ω= 1,
若选择②:
f π 2π x 的两个相邻对称中心之间的距离为 2 ,则函数 f(x)的最小正周期为T= π，即 2ω = π，
所以ω= 1,
所以 f(x) = 2sin 2x- π3 . 6分
(2)由 (1)知函数 f(x)的最小值为-2，
因为关于 x的方程 f(x) = 1在区间 0,m 上有两个不同解，
所以当 x∈ π π π 0,m 时，2x- 3 ∈

- 3 ,2m- 3 ，
5π ≤ 2m- π < 13π所以 6 3 6 ,
7π
解得 12 ≤m<
5π
4 ，
即实数m的取值范围为 7π , 5π 12 4 ) . 12分
21. (本小题满分 12分)
解：(1)当 0< x≤ 10时，y= f x - 5- ax= x2+x- ax- 5
10< x≤ 50 y= f x - 5- ax= 4x- 900当 时， x - ax+ 155
因为 x= 20时，y= f 20 - 5- 10a= 80- 45- 20a+ 155= 190- 20a= 90，解得 a= 5
2
x -4x- 5, 0< x≤ 10,∴ y= 900 6分-x- x + 155, 10< x≤ 50.
(2)当 0< x≤ 10时，y= x2-4x- 5= x- 2 2-9，
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∴当 x= 10时，ymax= 55，
当 10< x≤ 50时，y=-x- 900 + 155= 155- x+ 900 ≤ 155- 2 x 900x x x = 95，
x= 900当且仅当 x ，即 x= 30时，等号成立，
∴当 x= 30时，ymax= 95
又95> 55,
所以当代加工量为 30万件时，该工厂代加工“蓉宝”玩偶的利润最大，最大利润为 95万元. 12分
22. (本小题满分 12分)
解：(1)假设 f(x) = 3- lnx(x> 0)为不动点函数，则 x0，使得 3- lnx0= x0，
令 g(x) = lnx+ x- 3(x> 0),
易知函数 g(x)在定义域内为增函数，
且 g(1) =-2< 0,g(3) = ln3> 0,
根据零点存在性定理可知，函数 g(x)在区间 (0,+∞)上存在唯一的零点，
所以 f(x) = 3- lnx(x> 0)为不动点函数. 4分
(2) 函数 h x = log2 4x+4-x+2-x-b 在区间 0,1 上有且仅有两个不同的不动点，
所以方程 4x+4-x+2-x-b= 2x在区间 0,1 上有两个不同的解，
则 b= 4x+4-x- (2x-2-x),
令 t= 2x-2-x，因为 t= 2x-2-x在区间 0,1 3 上单调递增，所以 t∈ 0, 2 ,
所以 b= (2x-2-x)2- (2x-2-x) + 2= t2-t+ 2= (t- 1 )2+ 72 4
要使 y= b，与 g(t) = t2-t+ 2在 3 0, 2 上有两个交点，则 b∈ (
7
4 ,2]. 8分
又函数 h x = log 4x+4-x+2-x2 -b 在区间 0,1 上有且仅有 1个次不动点，
所以方程 4x+4-x+2-x-b= 2-x在区间 0,1 上有唯一解，
则 b= 4x+4-x= (2x-2-x)2+2= t2+2,t∈ 0,
3
2 ,
令m(t) = t2+2,m(t)在 0, 3 2 单调递增
要使 y= b，与m(t) = t2+2 3在 17 0, 2 上有 1个交点,则 b∈ [2, 4 ] 11分
所以 b= 2
经检验 b= 2满足 4x+4-x+2-x-b> 0在区间 0,1 上恒成立，
所以实数 b的取值范围为 {2}. 12分
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