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石家庄市2023~2024学年度第一学期期末教学质量检测
高二数学
（时间120分钟，满分150）
注意事项：
本试卷分为第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，答第I卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目写在答题卡上。
第I卷（选择题，共60分）
一、单项选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1.直线的倾斜角为（ ）
A.30° B.60° C.120° D.150°
2.空间直角坐标系中，平行四边形的A、B、C三点坐标分别为，，，则D的坐标为（ ）
A.（0，-1，-3） B.（-2，5，3） C.（4，-1，3） D.（3，-2，0）
3.若圆心坐标为（2，2）的圆被直线截得的弦长为，则该圆的一般方程为（ ）
A. B.
C. D.
4.设数列是等比数列，且，，则（ ）
A.12 B.24 C.30 D.32
5.将一颗骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，将第一次向上的点数记为m，第二次向上的点数记为n，则的概率等于（ ）
A. B. C. D.
6.若抛物线上的点到其焦点的距离是A到y轴距离的3倍，则（ ）
A. B.1 C. D.2
7.斐波那契数列因意大利数学家斐波那契以兔子繁殖为例引入，故又称为“兔子数列”，即1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，….在实际生活中，很多花朵（如梅花、飞燕草、万寿菊等）的瓣数恰是斐波那契数列中的数，斐波那契数列在现代物理及化学等领域也有着广泛的应用.斐波那契数列满足：，，则是斐波那契数列中的第（ ）项
A.2020 B.2021 C.2022 D.2023
8.在三棱锥中，，，E是的中点，F满足，则异而直线，所成角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.）
9.袋子中有六个大小质地相同的小球，编号分别为1，2，3，4，5，6，从中随机摸出两个球，设事件A为摸出的小球编号都为奇数，事件B为摸出的小球编号之和为偶数，事件C为摸出的小球编号恰好只有一个奇数，则下列说法全部正确的是（ ）
A.事件A与B是互斥事件 B.事件A与C是互斥事件
C.事件B与C是对立事件 D.事件A与B相互独立
10.已知椭圆C：的左右焦点分别为，，P是椭圆C上的动点，点，则下列结论正确的是（ ）
A. B.面积的最大值是
C.椭圆C的离心率为 D.最小值为
11.已知向量，，则下列说法不正确的是（ ）
A.向量（-2，-4，4）与向量、共面学
B.向量在向量上的投影向量为
C.若两个不同的平面，的法向量分别是，，则
D.若平面的法向量是，直线的方向向量是，则直线与平面所成角的余弦值为
12.在数学课堂上，教师引导学生构造新数列：在数列的每相邻两项之间插入此两项的和，形成新的数列，再把所得数列按照同样的方法不断构造出新的数列，将数列1，2进行构造，第1次得到数列1，3，2；第2次得到数列1，4，3，5，2；…；第次得到数列；….记，数列的前项和为，则（ ）
A. B.
C. D.
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13.如图所示，在平行六面体中，，，，点M是的中点，点是上的点，且，若，则___________.
14.天气预报预测在今后的三天中，每天下雨的概率都为60%.现采用随机模拟的方法估计这三天中恰有两天
下雨的概率用1，2，3，4，5，6表示下雨，7，8，9，0表示不下雨.用计算机产生了10组随机数为180，792，454，417，165，809，798，386，196，206.据此估计这三天中恰有两天下雨的概率近似为____________.
15.等差数列、的前项和分别为和，若，则___________.
16.已知过点的直线与双曲线：交于A、B两点，若点P是线段的中点，则双曲线C的离心率取值范围是____________.
四、解答题（本大题共6道小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
17.（本小题满分10分）
已知直线经过点.
（I）若向量是直线的一个方向向量，求直线的方程；
（Ⅱ）若直线在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程.
18.（本小题满分12分
已知圆：.
（I）当时，求直线被圆截得的弦长；
（Ⅱ）若直线与圆没有公共点，求的取值范围.
19.（本小题满分12分）
已知是各项均为正数的等比数列，且，.
（1）求数列的通项公式；
（2）数列为各项非零的等差数列，其前项和为，已知，求数列的前项和.
20.（本小题满分12分）
如图，在四棱锥中，平面，，，.
（I）证明：平面平面；
（Ⅱ）若，求平面与平面夹角的余弦值.
21.（本小题满分12分）
甲，乙两人进行围棋比赛，采取积分制，规则如下：每胜1局得1分，负1局或平局都不得分，积分先达到2分者获胜；若第四局结束，没有人积分达到2分，则积分多的一方获胜；若第四局结束，没有人积分达到2分，且积分相等，则比赛最终打平.假设在每局比赛中，甲胜的概率为，负的概率为，且每局比赛之间的胜负相互独立.
（I）求第三局结束时乙获胜的概率；
（Ⅱ）求甲获胜的概率.
22.（本小题满分12分）
已知是椭圆：的左顶点，过点的直线与椭圆C交于P，Q（异于点A），当直线的斜率不存在时，.
（I）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）求面积的取值范围.
石家庄市2023-2024学年度第一学期阶段性检测
高二数学答案
一、单项选择题
1~5CBADD 6~8DCD
二、多项选择题
9.BC 10.ACD 11.ACD 12.ABD
三、填空题
13. 14. 15. 16.
四、解答题
17.解：（Ⅰ）因为向量是直线的一个方向向量，所以斜率，
又因为经过点，则方程为：，即：.
故直线的方程为.
（Ⅱ）根据题意，分2种情况讨论：
若直线过原点，又由直线过点，
则直线的方程为，即；
若直线不过原点，设直线的方程为，
又由直线过点，则有，解可得；
即直线的方程为；
综上所述：直线的方程为或.
18.解：
（Ⅰ）当时，圆：，圆心，半径，
所以圆心到直线的距离，
设直线与圆交于A、B两点，则弦长
故直线被圆C截得的弦长为.
（Ⅱ）由：，
得，
因为直线与圆C没有公共点，
所以，即，
解得：，
故的取值范围是.
19.解：（Ⅰ）记正项等比数列的公比为，
因为，，
所以，，
解得：，
所以；
（Ⅱ）因为为各项非零的等差数列，所以，
又因为，所以，
，
所以，
，
两式相减得：，
即，
即
.
20.（Ⅰ）证明：因为平面，所以.
在中，可知.
在中，因为，，所以，
所以.
又平面，所以.
因为，平面，
所以平面.
又平面，故平面平面.
（Ⅱ）解：因为，平面，
所以以点A为原点，、所在直线为x轴、y轴建立空间直角坐标系如图所示，
则，，，
所以，.
设面的法向量为，
可得，
即，取.
因为在中，，，所以，
由（Ⅰ）知面的法向量可取，
设平面与平面PAD的夹角为 ，
则.
21.解：（Ⅰ）设事件A为“第三局结束乙获胜”.
由题意知，乙每局获胜的概率为，不获胜的概率为.
若第三局结束乙获胜，则乙第三局必定获胜，
按乙三局比赛结果排序总共有2种情况：（胜，不胜，胜），（不胜，胜，胜）
故.
（Ⅱ）设事件B为“甲获胜”.
若第二局结束甲获胜，则甲两局连胜，此时的概率.
若第三局结束甲获胜，则甲第三局必定获胜，按甲的比赛结果排序，
总共有2种情况：（胜，不胜，胜），（不胜，胜，胜），
此时的概率.
若第四局结束甲以积分2分获胜，则甲第四局必定获胜，前三局为1胜2平或1胜1平1负，
按甲的比赛结果排序，总共有9种情况：（胜，平，平，胜），（平，胜，平，胜），
（平，平，胜，胜），（胜，平，负，胜），（胜，负，平，胜），（平，胜，负，胜），
（负，胜，平，胜），（平，负，胜，胜），（负，平，胜，胜），
此时的概率.
若第四局结束甲以积分1分获胜，则乙的积分为0分，按甲的比赛结果排序，总共有4种情况：
（胜，平，平，平），（平，胜，平，平），（平，平，胜，平），（平，平，平，胜），
此时的概率.
故.
22.解：（Ⅰ）由题可知，.
当直线的斜率不存在时，由，得，则，
故椭圆C的方程为.
（Ⅱ）依题意，直线不垂直于y轴，设直线的方程为，，，
由消去x整理得，
则，，
于是的面积
，
令，因为函数在上单调递增，
所以，即，
从而，（当且仅当时取等号）
故面积的取值范围为.

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