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7.3 万有引力理论的成就 学案
知识点1 计算天体的质量
知识点2 天体密度的计算
知识点3 发现未知天体
作业 巩固训练
1、“称量”地球质量:若不考虑地球自转的影响，地面上质量为m的物体所受的重力mg等于地球对物体的引力，即→
2、环绕法：借助环绕中心天体做匀速圆周运动的行星（或卫星）计算中心天体的质量，俗称“借助外援法”。常见的情况如下：
万有引力提供向心力 中心天体的质量 说明
r为行星(或卫星)的轨道半径，v、、T为行星(或卫星)的线速度、角速度和周期
【典例1-1】一智能机器人登陆一行星，机器人将一小石块在高度为h处静止释放，经时间为t，小石块落在地面上，已知万有引力常量为G，此行星的半径为R，那么这个行星的质量为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】小球下落的过程中根据自由落体运动规律有
解得
质量为m的物体，在星球表面，星球对它的引力等于其重力，有
解得星球质量
故选B。
【典例1-2】（多选）2021年4月，我国自主研发的空间站“天和”核心舱成功发射并入轨运行。若核心舱绕地球的运行可视为匀速圆周运动，已知引力常量，由下列物理量能计算出地球质量的是（　　）
A．核心舱的质量和绕地半径 B．核心舱的绕地角速度和绕地半径
C．核心舱的质量和绕地周期 D．核心舱的绕地线速度和绕地半径
【答案】BD
【详解】根据核心舱做圆周运动的向心力由地球的万有引力提供，可得
可得
则已知核心舱的质量和绕地半径、已知核心舱的质量和绕地周期都不能求解地球的质量；若已知核心舱的绕地角速度和绕地半径、核心舱的绕地线速度和绕地半径可求解地球的质量。
故选BD。
【典例1-3】那么该卫星环绕行星运动的线速度大小v = ，该行星的质量M= 。（万有引力恒量为G）
【答案】
【详解】卫星线速度：；卫星的角速度：；
根据线速度与角速度的关系公式：，
卫星的万有引力提供向心力，有
联立解得
【典例1-4】中国空间站是我国自主建成的太空实验室。已知“空间站”绕地球做匀速圆周运动，经过时间t，运动的弧长为s，与地球中心连线扫过的角度为θ（弧度），引力常量为G，求：
（1）“空间站”的环绕周期T；
（2）地球的质量M。
【答案】（1）；（2）
【详解】（1）“空间站”做匀速圆周运动的角速度
“空间站”的环绕周期
所以
（2）“空间站”的轨道半径
“空间站”做匀速圆周运动万有引力提供向心力
所以地球质量
【变式1-1】宇航员在某星球表面将一物体竖直向上抛出，其运动的图像如图所示。地球质量为M，地球表面重力加速度为，已知该星球的半径是地球半径的2倍，则该星球的质量为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】根据图像，由自由落体公式可知星球表面的重力加速度为
m/s2
在星球表面，根据万有引力等于重力有
解得
则
故选A。
【变式1-2】（多选）2020年6月23日9时43分，长征三号乙运载火箭成功发射第55颗北斗导航卫星，并顺利进入地球静止轨道，实现了全球卫星导航系统组网成功。已知该卫星在地球静止轨道距离地面的高度为地球半径的N倍，其运行周期约为T，地球的半径为R，引力常量为G。则下列说法正确的是（　　）
A．地球的质量为
B．该卫星的质量为
C．地球的密度为
D．地球表面的重力加速度g=
【答案】AD
【详解】AC．假设地球的质量为M，卫星的质量为m，卫星环绕地球做圆周运动时万有引力提供向心力，则由
G＝mr， r＝（N＋1）R
解得
M＝，ρ＝＝
故A正确，C错误；
B．显然由A选项解析可知，卫星质量不可求，故B错误；
D．对于位于地球表面的物体，万有引力近似等于重力，则有
G＝mg
则
g＝
由以上整理得
g＝
故D正确。
故选AD。
【变式1-3】卡文迪许利用 实验测量了引力常量G。设地球表面物体受到的重力等于地球对物体的万有引力，已知地球表面重力加速度为g，半径为R，万有引力常量G，则地球质量为M＝ （用上述已知量表示）。
【答案】 扭秤
【详解】[1]卡文迪许利用扭秤实验测量了引力常量G。
[2]对地球表面的物体
解得
【变式1-4】2023年6月15日，我国航天事业完成“一箭40星”伟大壮举。其中一颗质量为m的人造地球卫星绕地球做匀速圆周运动的周期为T，卫星到地面的高度h，已知地球半径为R，万有引力常量为G，求：地球的质量M。
【答案】
【详解】据牛顿第二定律
解得
1、若天体的半径为R，则，。
（1）g、R法：→。
（2）T、r法：→。
2、特殊情况：当卫星环绕天体表面运动时，卫星的轨道半径r可认为等于天体半径R，则有：。
【典例2-1】假设某星球可视为质量均匀分布的球体，已知该星球表面的重力加速度在两极的大小为，在赤道的大小为，星球自转的周期为T，引力常量为G，则该星球的密度为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】设星球的质量为，半径为，在赤道处随地球做圆周运动物体的质量为，物体在赤道处随地球自转做圆周运动的周期等于地球自转的周期，根据万有引力定律和牛顿第二定律有
在两极处有
又
联立解得该星球的密度为
故选C。
【典例2-2】（多选）假设在半径为R的某天体发射一颗该天体的卫星，若它贴近天体的表面做匀速圆周运动的周期为T，已知引力常量为G，该天体表面的重力加速度为g，不考虑天体自转的影响，下列关于该天体密度ρ正确的是（　　）
A．ρ= B．ρ= C．ρ= D．ρ=
【答案】AC
【详解】由题意可得
解得
则天体密度
或者
故选AC。
【典例2-3】假设在月球表面将物体以某速度竖直上抛，经过时间t物体落回月面，上升的最大高度为h。已知月球半径为R、引力常量为G，不计一切阻力，则月球表面的重力加速度大小为 ，月球的密度为 。
【答案】
【详解】[1]由自由落体公式得
解得
g=
[2]设月球质量为M，月球表面质量为m的物体所受重力等于万有引力，有
mg=G
设月球体积为V，V=πR3，则月球的密度为ρ=，联立以上各式得
ρ=
【典例2-4】2023年5月，我国神舟十六号宇宙飞船成功发射，三位宇航员与神舟十五号的三位宇航员在中国空间站成功会师。空间站绕地球运行视为匀速圆周运动，运行周期为T。若不考虑地球自转，地球表面的重力加速度为g，地球半径为R，万有引力常量为G。求：
（1）地球的平均密度；
（2）空间站距离地面的高度h。
【答案】（1）；（2）
【详解】（1）在地球表面
根据密度公式
，
解得
（2）空间站绕地球做匀速圆周运动，万有引力提供向心力
在地球表面
解得
【变式2-1】2018年2月，我国口径射电望远镜（天眼）发现毫秒脉冲星“J0318+0253”，其自转周期为T，假设星体为质量均匀分布的球体，已知万有引力常量为G。以周期T稳定自转的星体的密度最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】毫秒脉冲星恰好稳定自转时由万有引力提供其表面物体做圆周运动的向心力，根据
解得
脉冲星体积为
所以密度最小值为
故选C。
【变式2-2】（多选）下列哪一组数据能够估算出地球的密度，引力常量G已知，则（　　）
A．月球绕地球运行的周期与地月之间的距离
B．地球表面的重力加速度与地球半径
C．绕地球运行卫星的周期与线速度
D．绕地球表面运行卫星的周期
【答案】BD
【详解】A．根据
即已知月球绕地球运行的周期与地月之间的距离可求解地球的质量，但由于地球的半径未知，不能求解地球的密度，选项A错误；
B．根据
可得
可得
即已知地球表面的重力加速度与地球半径可求解地球密度，选项B正确；
C．已知绕地球运行卫星的周期与线速度，根据
可求解卫星的轨道半径，但是由于地球质量未知，不能求解地球密度，选项C错误；
D．根据
可得
即已知绕地球表面运行卫星的周期可求解地球的密度，选项D正确。
故选BD。
【变式2-3】有一宇宙飞船到了某行星附近（该行星没有自传运动），以速度v绕行星表面做匀速圆周运动，测出运动的周期为T，已知引力常量为G，则该行星的半径为 和平均密度 。
【答案】
【详解】[1]根据
可得
[2]根据
解得
【变式2-4】2021年5月，“天问一号”探测器在火星成功着陆。探测器着陆前，若将其在贴近火星表面轨道上的运动看做匀速圆周运动，已知探测器的运动周期为，火星的半径为R，引力常量为G。求：
（1）探测器在火星表面做匀速圆周运动的线速度大小；
（2）火星的密度。
【答案】（1）；（2）
【分析】
【详解】（1）探测器在火星表面做匀速圆周运动的线速度大小为
（2）根据牛顿第二定律有
根据球体积公式有
根据密度公式有
解得
1、到了18世纪，人们已经知道太阳系有7颗行星，其中1781年发现的第七颗行星 —— 天王星的运动轨道有些“古怪”：根据万有引力定律计算出来的轨道与实际观测的结果总有一些偏差。
2、英国剑桥大学的学生亚当斯和法国年轻的天文学家勒维耶相信未知行星的存在。他们根据天王星的观测资料，各自独立地利用万有引力定律计算出这颗“新”行星的轨道。1846 年 9 月 23 日晚，德国的伽勒在勒维耶预言的位置附近发现了这颗行星，人们称其为“笔尖下发现的行星”——海王星。
3、海王星发现之后，人们发现它的轨道也与理论计算的不一致。于是几位学者用亚当斯和勒维耶列的方法预言另一颗行星的存在。在预言提出之后，1930年3月14日，汤博发现了这颗行星——冥王星。
4、预言哈雷彗星回归：哈雷依据万有引力定律，用一年时间计算了它们的轨道。发现 1531 年、1607 年和 1682 年出现的这三颗彗星轨道看起来如出一辙，他大胆预言，这三次出现的彗星是同一颗星（图 7.3-3），周期约为 76 年，并预言它将于 1758 年底或 1759 年初再次回归。1759 年 3 月这颗彗星如期通过了近日点，它最近一次回归是 1986 年，它的下次回归将在2061 年左右。
【典例3-1】2023年8月27日发生土星冲日现象，如图所示，土星冲日是指土星、地球和太阳几乎排列成-一线，地球位于太阳与土星之间。此时土星被太阳照亮的一-面完全朝向地球，所以明亮而易于观察。地球和土星绕太阳公转的方向相同，轨迹都可近似为圆，地球一年绕太阳一周，土星约29.5年绕太阳一周。则（ ）

A．在相同时间内，土星、地球与太阳中心连线扫过的面积相等
B．土星的运行速度比地球的运行速度大
C．土星表面重力加速度的数值比地球表面的大
D．下一次出现土星冲日现象是在2024年
【答案】D
【详解】A．根据开普勒第二定律可知，对同一行星而言，它与中心天体的连线在相等的时间内扫过的面积相等，选项A错误；
B．又由，可知土星的运行速度比地球的小，选项B错误；
C．行星表面的重力由万有引力提供，行星表面重力加速度，火星和地球的质量以及半径未知，无法比较其表面重力加速度的数值的大小，选项C错误；
D．根据年，则年，由
得距下一次土星冲日所需时间
年
选项D正确；
故选D。
【典例3-2】（多选）下列说法中正确的是（ ）
A．开普勒第三定律是开普勒利用第谷的行星观测数据发现的，无法在实验室验证
B．卡文迪什根据开普勒第三定律推出了行星与太阳间引力大小跟行星与太阳间距离的平方成反比的关系
C．万有引力理论成功地发现了未知天体、预言了彗星回归、解释了湖汐现象
D．引力常量的大小是牛顿根据大量实验数据得出的
【答案】AC
【详解】A．开普勒第三定律是开普勒利用第谷的行星观测数据发现的，无法在实验室验证，故A正确；
B．牛顿探究天体间的作用力，得到行星间引力与距离的平方成反比，并进一步扩展为万有引力定律，行星与太阳间引力大小跟行星与太阳间距离的平方成反比的关系并不是卡文迪什提出的，故B错误；
C．万有引力理论成功地发现了未知天体、预言了彗星回归、解释了湖汐现象，故C正确；
D．引力常量是卡文迪什测得的，故D错误。
故选AC。
【变式3-1】当我们远古的祖先惊叹星空的玄妙时，他们就开始试图破译日月星辰等天文现象的奥秘。下列叙述中正确的是（　　）
A．人们观察到太阳东升西落，说明地球是静止不动的，是宇宙的中心
B．牛顿总结了万有引力定律，并测出了引力常量
C．开普勒通过对第谷大量观测数据的深入研究，总结出了行星运动三大定律
D．天王星是人们根据万有引力定律计算出其轨道后才发现的，被称为“笔尖下的行星”
【答案】C
【详解】A．在太阳系中，地球及所有行星都在绕太阳转动，人们观察到太阳东升西落是选地球作为参考系造成的，宇宙没有中心，故A错误；
B．牛顿总结了万有引力定律，卡文迪许测出了引力常量，故B错误；
C．开普勒通过对第谷大量观测数据的深入研究，总结出了行星运动三大定律，故C正确；
D．海王星是人们根据万有引力定律计算出其轨道后才发现的，被称为“笔尖下的行星”，故D错误。
故选C。
【变式3-2】海王星的发现：英国剑桥大学的学生 和法国年轻的天文学家 根据天王星的观测资料，利用万有引力定律计算出天王星外“新”行星的轨道.1846年9月23日，德国的 在勒维耶预言的位置附近发现了这颗行星——海王星．
【答案】 亚当斯 勒维耶 伽勒
【详解】略
1．利用引力常量G和下列某一组数据，不能计算出地球质量的是（　　）
A．地球的半径及重力加速度（不考虑地球自转）
B．月球绕地球做圆周运动的周期及月球与地球间的距离
C．地球绕太阳做圆周运动的周期及地球与太阳间的距离
D．人造卫星在地面附近绕地球做圆周运动的速度及周期
【答案】C
【详解】A．由于不考虑地球自转，则在地球表面附近，有
可得
能计算地球质量，故A错误；
B．由万有引力提供月球绕地球运动的向心力，有
可得
能计算地球质量，故B错误；
C．同理，根据地球绕太阳做圆周运动的周期及地球与太阳间的距离，可求出太阳的质量，但不可求出地球的质量，故C正确；
D．由万有引力提供人造卫星的向心力，有
又
联立得
能计算地球质量，故D错误。
故选C。
2．已知地球的半径约为，地球表面的重力加速度约为，引力常量约为，则地球的质量约为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】设地球的质量为M，物体在地球表面的重力约等于万有引力，即
解得
故选C。
3．中子星是一种密度很大的特殊天体。若某中子星恰好能维持不解体，其自转的周期为T，已知引力常量为G，则中子星的平均密度为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】当中子星恰好能维持自转不解体时，万有引力充当向心力
又，解得
故选B。
4．假设地球可视为质量均匀分布的球体，地球表面重力加速度在两极的大小为g0，在赤道的大小为g，地球自转的周期为T，若地球表面上的质点与地心O的连线与赤道平面的夹角为60°。其他条件不变，则质点位置的向心加速度为（ ）
A． B． C． D．g0－g
【答案】A
【详解】根据重力和万有引力的关系，在两极有
在赤道有
则在与赤道平面的夹角为60°的质点的向心加速度为
解得
故选A。
5．一物体从一行星表面某高处自由下落（不计表层大气阻力），自开始下落计时，得到物体离该行星表面的高度h随时间t变化的图像如图所示，则下列说法正确的是（　　）
A．物体作匀速直线运动
B．行星表面重力加速度的大小为
C．物体落到行星表面时的速度大小为
D．物体下落到行星表面的过程中，平均速度的大小为
【答案】D
【详解】A．物体在星球行星表面某高处自由下落，只受重力，加速度为重力加速度，做匀加速直线运动，故A错误；
B．物体离该行星表面的高度为
代入，时，可得行星表面重力加速度为
故B错误；
C．物体落到行星表面时的速度大小为
故C错误；
D．物体下落到行星表面的过程中，平均速度的大小为
故D正确。
故选D。
6．2020年11月10日，我国“奋斗者”号潜水器在马里亚纳海沟成功坐底，坐底深度为（10.909km）；2022年11月29日，搭载3名宇航员的神舟15号飞船与在离地面高度为（400km）的空间站的天和核心舱成功对接，完成了空间站的最后建造工作。真正实现了“可上九天揽月，可下五洋捉鳖，谈笑凯歌还”的豪言壮语。已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零，假设地球质量分布均匀，半径为R，不考虑其自转，则马里亚纳海沟底部处和空间站所在轨道处的重力加速度之比为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】设质量为的物体在马里亚纳海沟底部，则有
又
质量为的物体在空间站上，有
联立可得马里亚纳海沟底部处和空间站所在轨道处的重力加速度之比为
故选B。
7．某同学针对以下四幅图说明所学的物理知识，下列说法错误的是（　　）
A．图甲中，在南极点行走的帝企鹅受到的重力是由于地球对它的引力
B．图乙中，足球向前运动是因为物体具有保持原来匀速直线运动的性质
C．图丙中，蹲在体重计上的人突然站起的瞬间指针示数会小于人的体重
D．图丁中，嫦娥五号返回时打开降落伞后伞绳对返回舱的作用力与返回舱对伞绳的作用力大小相等
【答案】C
【详解】A．图甲中，处在南极极点的帝企鹅的向心力为0，则在南极点行走的帝企鹅受到的重力是地球对它的引力，故A正确；
B．图乙中，足球被踢出后，与脚不接触，所以没有弹力，足球向前运动是因为物体具有保持原来匀速直线运动的性质，即惯性，故B正确；
C．图丙中，蹲在体重计上的人突然站起的瞬间，具有向上的加速度，处于超重状态，指针示数会大于人的体重，故C错误；
D．图丁中，嫦娥五号返回时打开降落伞后，伞绳对返回舱的作用力与返回舱对伞绳的作用力为一对相互作用力，大小相等，方向相反，故D正确。
本题选错误，故选C。
8．（多选）2022年3月，中国航天员翟志刚、王亚平、叶光富在离地球表面约400km的“天宫二号”空间站上通过天地连线，为同学们上了一堂精彩的科学课。“天宫二号”绕地球运动看做匀速圆周运动，引力常量G已知，由下面哪些数据，可以计算地球的质量（ ）
A．地球半径和“天宫二号”绕地球运动的周期
B．地球半径和“天宫二号”绕地球运动的线速度
C．“天宫二号”绕地球运动的线速度和周期
D．“天宫二号”绕地球运动的角速度和周期
【答案】ABC
【详解】ABC．“天宫二号”绕地球做圆周运动，万有引力提供向心力
ABC正确
D．若只知道角速度和周期，缺少半径条件，无法求出中心天体质量M，D错误。
故选ABC。
9．（多选）地球刚诞生时自转周期约是8小时，因为受到月球潮汐的影响，自转在持续减速，现在地球自转周期是24小时。与此同时，在数年、数十年的时间内，由于地球板块的运动、地壳的收缩、海洋、大气等一些复杂因素以及人类活动的影响，地球的自转周期会发生毫秒级别的微小波动。
科学研究指出，若不考虑月球的影响，在地球的总质量不变的情况下，地球上的所有物质满足常量，其中………m 表示地球各部分的质量，r 、r 、……n为地球各部分到地轴的距离，ω为地球自转的角速度，如图所示。根据以上信息，结合所学，判断下列说法正确的是
A．月球潮汐的影响使地球自转的角速度变小
B．若地球自转变慢，地球赤道处的重力加速度会变小
C．若仅考虑A处的冰川融化，质心下降，会使地球自转周期变小
D．若仅考虑B处板块向赤道漂移，会使地球自转周期变小
【答案】AC
【详解】A．由题中信息，因为受到月球潮汐的影响，自转在持续减速，使地球自转的角速度变小，选项A正确；
B．根据
可知
若地球自转变慢，地球赤道处的重力加速度会变大，选项B错误；
C．根据
=常量
若仅考虑A处的冰川融化，质心下降，则转动半径r减小，则角速度ω变大，则会使地球自转周期变小，选项C正确；
D．根据
=常量
若仅考虑B处板块向赤道漂移，则转动半径变大，则角速度ω减小，则会使地球自转周期变大，选项D错误。
故选AC。
10．（多选）我国计划在2030年前实现载人登陆月球开展科学探索，其后将探索建造月球科研试验站，开展系统、连续的月球探测和相关技术试验验证。若已知月球质量为M，半径为R，引力常量为G，以下说法正确的是（ ）
A．如果在月球上以初速度竖直上抛一个物体，则物体上升的最大高度为
B．如果在月球上以初速度竖直上抛一个物体，则物体落回到抛出点所用时间为
C．如果有一颗卫星绕月球做匀速圆周运动，则最大环绕运行速度为
D．如果在月球上发射一颗绕月球做圆周运动的卫星，则最小周期为
【答案】AC
【详解】A．在月球表面上有
在月球表面竖直上抛一个物体，能上升的最大高度为
联立解得
故A正确；
B．由
结合黄金代换式
得
故B错误；
C．若发射绕月卫星，当卫星绕月球匀速圆周运动的半径等于月球半径时，速度最大，周期最小，此时有
解得
故C正确；
D．最小周期为
故D错误。
故选AC。
11．（多选）两颗相距较远的行星A、B的半径分别为RA、RB，距A、B行星中心r处，各有一卫星分别围绕行星做匀速圆周运动，线速度的平方v2随半径r变化的关系如图甲所示，两图线左端的纵坐标相同；卫星做匀速圆周运动的周期为T，的图像如图乙所示的两平行直线，它们的截距分别为bA、bB．已知两图像数据均采用国际单位，，行星可看作质量分布均匀的球体，忽略行星的自转和其他星球的影响，下列说法正确的是（ ）
A．图乙中两条直线的斜率均为
B．行星A、B的质量之比为1∶3
C．行星A、B的密度之比为1∶9
D．行星A、B表面的重力加速度大小之比为3∶1
【答案】AC
【详解】A．根据万有引力提供向心力有
整理得
两边取对数得
整理可得
题图乙中两条直线的斜率均为，选项A正确；
B．根据已知条件有
解得
选项B错误；
C．由题图甲可知，两行星的第一宇宙速度相等，有
解得
两行星的密度满足
解得
选项C正确；
D．在星球表面
解得
选项D错误。
故选AC。
12．某天体的质量约为地球的，半径约为地球的3倍，则天体和地球的重力加速度之比为 ，若在该天体上，和地球从同样高度以同样速度平抛同一物体，水平位移之比为 。
【答案】 1:36 6:1
【详解】[1]根据
得
根据题意，可知
联立解得
[2]物体做平抛运动，有
解得
因此，两者水平位移之比为
13．假设某卫星绕月球表面做圆周运动，月球绕地球也做圆周运动，且轨道都在同一平面内。已知卫星绕月球运动的周期T0，地球表面处的重力加速度为g，地球半径为R0，月心与地心间的距离为r，引力常量为G，则月球的平均密度为 ；月球绕地球运动的周期为 。
【答案】
【详解】[1]设月球质量为m，卫星质量为m'，月球的半径为Rm，对于绕月球表面飞行的卫星，由万有引力提供向心力有
解得
则月球平均密度为
[2]设地球的质量为M，对于在地球表面的物体m表有
即
月球绕地球做圆周运动的向心力来自地球引力，则
解得
14．在离地面高度为h的轨道上，质量为m的飞船绕地球做匀速圆周运动。已知引力常量为G，地球半径为R，地球质量为M。求：
（1）地球对飞船的引力大小；
（2）飞船绕地球运行的向心加速度大小。
【答案】（1）；（2）
【详解】（1）根据万有引力定律，地球对飞船的引力大小
（2）根据牛顿第二定律有
解得
15．某卫星P在地球赤道平面内以周期T绕地球做匀速圆周运动，距离地面的高度与地球半径相等，且转动方向与地球自转方向相同，Q是位于赤道上的某观测站。已知地球的自转周期为，且，地球半径为R，引力常量为G，求：
（1）地球的质量M；
（2）卫星P连续三次经过观测站Q正上方的时间间隔。
【答案】（1）；（2）
【详解】（1）设卫星的质量为m，由万有引力提供卫星的向心力，可得
解得
（2）由题意知，时间内卫星相对地球转过的角度为，则
解7.3 万有引力理论的成就 学案（原卷版）
知识点1 计算天体的质量
知识点2 天体密度的计算
知识点3 发现未知天体
作业 巩固训练
1、“称量”地球质量:若不考虑地球自转的影响，地面上质量为m的物体所受的重力mg等于地球对物体的引力，即→
2、环绕法：借助环绕中心天体做匀速圆周运动的行星（或卫星）计算中心天体的质量，俗称“借助外援法”。常见的情况如下：
万有引力提供向心力 中心天体的质量 说明
r为行星(或卫星)的轨道半径，v、、T为行星(或卫星)的线速度、角速度和周期
【典例1-1】一智能机器人登陆一行星，机器人将一小石块在高度为h处静止释放，经时间为t，小石块落在地面上，已知万有引力常量为G，此行星的半径为R，那么这个行星的质量为（　　）
A． B． C． D．
【典例1-2】（多选）2021年4月，我国自主研发的空间站“天和”核心舱成功发射并入轨运行。若核心舱绕地球的运行可视为匀速圆周运动，已知引力常量，由下列物理量能计算出地球质量的是（　　）
A．核心舱的质量和绕地半径 B．核心舱的绕地角速度和绕地半径
C．核心舱的质量和绕地周期 D．核心舱的绕地线速度和绕地半径
【典例1-3】那么该卫星环绕行星运动的线速度大小v = ，该行星的质量M= 。（万有引力恒量为G）
【典例1-4】中国空间站是我国自主建成的太空实验室。已知“空间站”绕地球做匀速圆周运动，经过时间t，运动的弧长为s，与地球中心连线扫过的角度为θ（弧度），引力常量为G，求：
（1）“空间站”的环绕周期T；
（2）地球的质量M。
【变式1-1】宇航员在某星球表面将一物体竖直向上抛出，其运动的图像如图所示。地球质量为M，地球表面重力加速度为，已知该星球的半径是地球半径的2倍，则该星球的质量为（ ）
A． B． C． D．
【变式1-2】（多选）2020年6月23日9时43分，长征三号乙运载火箭成功发射第55颗北斗导航卫星，并顺利进入地球静止轨道，实现了全球卫星导航系统组网成功。已知该卫星在地球静止轨道距离地面的高度为地球半径的N倍，其运行周期约为T，地球的半径为R，引力常量为G。则下列说法正确的是（　　）
A．地球的质量为 B．该卫星的质量为
C．地球的密度为 D．地球表面的重力加速度g=
【变式1-3】卡文迪许利用 实验测量了引力常量G。设地球表面物体受到的重力等于地球对物体的万有引力，已知地球表面重力加速度为g，半径为R，万有引力常量G，则地球质量为M＝ （用上述已知量表示）。
【变式1-4】2023年6月15日，我国航天事业完成“一箭40星”伟大壮举。其中一颗质量为m的人造地球卫星绕地球做匀速圆周运动的周期为T，卫星到地面的高度h，已知地球半径为R，万有引力常量为G，求：地球的质量M。
1、若天体的半径为R，则，。
（1）g、R法：→。
（2）T、r法：→。
2、特殊情况：当卫星环绕天体表面运动时，卫星的轨道半径r可认为等于天体半径R，则有：。
【典例2-1】假设某星球可视为质量均匀分布的球体，已知该星球表面的重力加速度在两极的大小为，在赤道的大小为，星球自转的周期为T，引力常量为G，则该星球的密度为（　　）
A． B．
C． D．
【典例2-2】（多选）假设在半径为R的某天体发射一颗该天体的卫星，若它贴近天体的表面做匀速圆周运动的周期为T，已知引力常量为G，该天体表面的重力加速度为g，不考虑天体自转的影响，下列关于该天体密度ρ正确的是（　　）
A．ρ= B．ρ= C．ρ= D．ρ=
【典例2-3】假设在月球表面将物体以某速度竖直上抛，经过时间t物体落回月面，上升的最大高度为h。已知月球半径为R、引力常量为G，不计一切阻力，则月球表面的重力加速度大小为 ，月球的密度为 。
【典例2-4】2023年5月，我国神舟十六号宇宙飞船成功发射，三位宇航员与神舟十五号的三位宇航员在中国空间站成功会师。空间站绕地球运行视为匀速圆周运动，运行周期为T。若不考虑地球自转，地球表面的重力加速度为g，地球半径为R，万有引力常量为G。求：
（1）地球的平均密度；
（2）空间站距离地面的高度h。
【变式2-1】2018年2月，我国口径射电望远镜（天眼）发现毫秒脉冲星“J0318+0253”，其自转周期为T，假设星体为质量均匀分布的球体，已知万有引力常量为G。以周期T稳定自转的星体的密度最小值为（ ）
A． B． C． D．
【变式2-2】（多选）下列哪一组数据能够估算出地球的密度，引力常量G已知，则（　　）
A．月球绕地球运行的周期与地月之间的距离
B．地球表面的重力加速度与地球半径
C．绕地球运行卫星的周期与线速度
D．绕地球表面运行卫星的周期
【变式2-3】有一宇宙飞船到了某行星附近（该行星没有自传运动），以速度v绕行星表面做匀速圆周运动，测出运动的周期为T，已知引力常量为G，则该行星的半径为 和平均密度 。
【变式2-4】2021年5月，“天问一号”探测器在火星成功着陆。探测器着陆前，若将其在贴近火星表面轨道上的运动看做匀速圆周运动，已知探测器的运动周期为，火星的半径为R，引力常量为G。求：
（1）探测器在火星表面做匀速圆周运动的线速度大小；
（2）火星的密度。
1、到了18世纪，人们已经知道太阳系有7颗行星，其中1781年发现的第七颗行星 —— 天王星的运动轨道有些“古怪”：根据万有引力定律计算出来的轨道与实际观测的结果总有一些偏差。
2、英国剑桥大学的学生亚当斯和法国年轻的天文学家勒维耶相信未知行星的存在。他们根据天王星的观测资料，各自独立地利用万有引力定律计算出这颗“新”行星的轨道。1846 年 9 月 23 日晚，德国的伽勒在勒维耶预言的位置附近发现了这颗行星，人们称其为“笔尖下发现的行星”——海王星。
3、海王星发现之后，人们发现它的轨道也与理论计算的不一致。于是几位学者用亚当斯和勒维耶列的方法预言另一颗行星的存在。在预言提出之后，1930年3月14日，汤博发现了这颗行星——冥王星。
4、预言哈雷彗星回归：哈雷依据万有引力定律，用一年时间计算了它们的轨道。发现 1531 年、1607 年和 1682 年出现的这三颗彗星轨道看起来如出一辙，他大胆预言，这三次出现的彗星是同一颗星（图 7.3-3），周期约为 76 年，并预言它将于 1758 年底或 1759 年初再次回归。1759 年 3 月这颗彗星如期通过了近日点，它最近一次回归是 1986 年，它的下次回归将在2061 年左右。
【典例3-1】2023年8月27日发生土星冲日现象，如图所示，土星冲日是指土星、地球和太阳几乎排列成-一线，地球位于太阳与土星之间。此时土星被太阳照亮的一-面完全朝向地球，所以明亮而易于观察。地球和土星绕太阳公转的方向相同，轨迹都可近似为圆，地球一年绕太阳一周，土星约29.5年绕太阳一周。则（ ）

A．在相同时间内，土星、地球与太阳中心连线扫过的面积相等
B．土星的运行速度比地球的运行速度大
C．土星表面重力加速度的数值比地球表面的大
D．下一次出现土星冲日现象是在2024年
【典例3-2】（多选）下列说法中正确的是（ ）
A．开普勒第三定律是开普勒利用第谷的行星观测数据发现的，无法在实验室验证
B．卡文迪什根据开普勒第三定律推出了行星与太阳间引力大小跟行星与太阳间距离的平方成反比的关系
C．万有引力理论成功地发现了未知天体、预言了彗星回归、解释了湖汐现象
D．引力常量的大小是牛顿根据大量实验数据得出的
【变式3-1】当我们远古的祖先惊叹星空的玄妙时，他们就开始试图破译日月星辰等天文现象的奥秘。下列叙述中正确的是（　　）
A．人们观察到太阳东升西落，说明地球是静止不动的，是宇宙的中心
B．牛顿总结了万有引力定律，并测出了引力常量
C．开普勒通过对第谷大量观测数据的深入研究，总结出了行星运动三大定律
D．天王星是人们根据万有引力定律计算出其轨道后才发现的，被称为“笔尖下的行星”
【变式3-2】海王星的发现：英国剑桥大学的学生 和法国年轻的天文学家 根据天王星的观测资料，利用万有引力定律计算出天王星外“新”行星的轨道.1846年9月23日，德国的 在勒维耶预言的位置附近发现了这颗行星——海王星．
1．利用引力常量G和下列某一组数据，不能计算出地球质量的是（　　）
A．地球的半径及重力加速度（不考虑地球自转）
B．月球绕地球做圆周运动的周期及月球与地球间的距离
C．地球绕太阳做圆周运动的周期及地球与太阳间的距离
D．人造卫星在地面附近绕地球做圆周运动的速度及周期
2．已知地球的半径约为，地球表面的重力加速度约为，引力常量约为，则地球的质量约为（　　）
A． B．
C． D．
3．中子星是一种密度很大的特殊天体。若某中子星恰好能维持不解体，其自转的周期为T，已知引力常量为G，则中子星的平均密度为（　　）
A． B． C． D．
4．假设地球可视为质量均匀分布的球体，地球表面重力加速度在两极的大小为g0，在赤道的大小为g，地球自转的周期为T，若地球表面上的质点与地心O的连线与赤道平面的夹角为60°。其他条件不变，则质点位置的向心加速度为（ ）
A． B． C． D．g0－g
5．一物体从一行星表面某高处自由下落（不计表层大气阻力），自开始下落计时，得到物体离该行星表面的高度h随时间t变化的图像如图所示，则下列说法正确的是（　　）
A．物体作匀速直线运动
B．行星表面重力加速度的大小为
C．物体落到行星表面时的速度大小为
D．物体下落到行星表面的过程中，平均速度的大小为
6．2020年11月10日，我国“奋斗者”号潜水器在马里亚纳海沟成功坐底，坐底深度为（10.909km）；2022年11月29日，搭载3名宇航员的神舟15号飞船与在离地面高度为（400km）的空间站的天和核心舱成功对接，完成了空间站的最后建造工作。真正实现了“可上九天揽月，可下五洋捉鳖，谈笑凯歌还”的豪言壮语。已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零，假设地球质量分布均匀，半径为R，不考虑其自转，则马里亚纳海沟底部处和空间站所在轨道处的重力加速度之比为（ ）
A． B．
C． D．
7．某同学针对以下四幅图说明所学的物理知识，下列说法错误的是（　　）
A．图甲中，在南极点行走的帝企鹅受到的重力是由于地球对它的引力
B．图乙中，足球向前运动是因为物体具有保持原来匀速直线运动的性质
C．图丙中，蹲在体重计上的人突然站起的瞬间指针示数会小于人的体重
D．图丁中，嫦娥五号返回时打开降落伞后伞绳对返回舱的作用力与返回舱对伞绳的作用力大小相等
8．（多选）2022年3月，中国航天员翟志刚、王亚平、叶光富在离地球表面约400km的“天宫二号”空间站上通过天地连线，为同学们上了一堂精彩的科学课。“天宫二号”绕地球运动看做匀速圆周运动，引力常量G已知，由下面哪些数据，可以计算地球的质量（ ）
A．地球半径和“天宫二号”绕地球运动的周期
B．地球半径和“天宫二号”绕地球运动的线速度
C．“天宫二号”绕地球运动的线速度和周期
D．“天宫二号”绕地球运动的角速度和周期
9．（多选）地球刚诞生时自转周期约是8小时，因为受到月球潮汐的影响，自转在持续减速，现在地球自转周期是24小时。与此同时，在数年、数十年的时间内，由于地球板块的运动、地壳的收缩、海洋、大气等一些复杂因素以及人类活动的影响，地球的自转周期会发生毫秒级别的微小波动。
科学研究指出，若不考虑月球的影响，在地球的总质量不变的情况下，地球上的所有物质满足常量，其中………m 表示地球各部分的质量，r 、r 、……n为地球各部分到地轴的距离，ω为地球自转的角速度，如图所示。根据以上信息，结合所学，判断下列说法正确的是
A．月球潮汐的影响使地球自转的角速度变小
B．若地球自转变慢，地球赤道处的重力加速度会变小
C．若仅考虑A处的冰川融化，质心下降，会使地球自转周期变小
D．若仅考虑B处板块向赤道漂移，会使地球自转周期变小
10．（多选）我国计划在2030年前实现载人登陆月球开展科学探索，其后将探索建造月球科研试验站，开展系统、连续的月球探测和相关技术试验验证。若已知月球质量为M，半径为R，引力常量为G，以下说法正确的是（ ）
A．如果在月球上以初速度竖直上抛一个物体，则物体上升的最大高度为
B．如果在月球上以初速度竖直上抛一个物体，则物体落回到抛出点所用时间为
C．如果有一颗卫星绕月球做匀速圆周运动，则最大环绕运行速度为
D．如果在月球上发射一颗绕月球做圆周运动的卫星，则最小周期为
11．（多选）两颗相距较远的行星A、B的半径分别为RA、RB，距A、B行星中心r处，各有一卫星分别围绕行星做匀速圆周运动，线速度的平方v2随半径r变化的关系如图甲所示，两图线左端的纵坐标相同；卫星做匀速圆周运动的周期为T，的图像如图乙所示的两平行直线，它们的截距分别为bA、bB．已知两图像数据均采用国际单位，，行星可看作质量分布均匀的球体，忽略行星的自转和其他星球的影响，下列说法正确的是（ ）
A．图乙中两条直线的斜率均为
B．行星A、B的质量之比为1∶3
C．行星A、B的密度之比为1∶9
D．行星A、B表面的重力加速度大小之比为3∶1
12．某天体的质量约为地球的，半径约为地球的3倍，则天体和地球的重力加速度之比为 ，若在该天体上，和地球从同样高度以同样速度平抛同一物体，水平位移之比为 。
13．假设某卫星绕月球表面做圆周运动，月球绕地球也做圆周运动，且轨道都在同一平面内。已知卫星绕月球运动的周期T0，地球表面处的重力加速度为g，地球半径为R0，月心与地心间的距离为r，引力常量为G，则月球的平均密度为 ；月球绕地球运动的周期为 。
14．在离地面高度为h的轨道上，质量为m的飞船绕地球做匀速圆周运动。已知引力常量为G，地球半径为R，地球质量为M。求：
（1）地球对飞船的引力大小；
（2）飞船绕地球运行的向心加速度大小。
15．某卫星P在地球赤道平面内以周期T绕地球做匀速圆周运动，距离地面的高度与地球半径相等，且转动方向与地球自转方向相同，Q是位于赤道上的某观测站。已知地球的自转周期为，且，地球半径为R，引力常量为G，求：
（1）地球的质量M；
（2）卫星P连续三次经过观测站Q正上方的时间间隔。

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