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三轮复习谈高考数学解答题的解题策略
一．知识探究：
1．数学综合题的解题策略
解综合性问题的三字诀“三性”：综合题从题设到结论，从题型到内容，条件隐蔽，变化多样，因此就决定了审题思考的复杂性和解题设计的多样性。在审题思考中，要把握好“三性”，即(1)目的性：明确解题结果的终极目标和每一步骤分项目标。(2)准确性：提高概念把握的准确性和运算的准确性。(3)隐含性：注意题设条件的隐含性。审题这第一步，不要怕慢，其实慢中有快，解题方向明确，解题手段合理，这是提高解题速度和准确性的前提和保证。
　　“三化”：(1)问题具体化(包括抽象函数用具有相同性质的具体函数作为代表来研究，字母用常数来代表)。即把题目中所涉及的各种概念或概念之间的关系具体明确，有时可画表格或图形，以便于把一般原理、一般规律应用到具体的解题过程中去。(2)问题简单化。即把综合问题分解为与各相关知识相联系的简单问题，把复杂的形式转化为简单的形式。(3)问题和谐化。即强调变换问题的条件或结论，使其表现形式符合数或形内部固有的和谐统一的特点，或者突出所涉及的各种数学对象之间的知识联系。
　　“三转”：(1)语言转换能力。每个数学综合题都是由一些特定的文字语言、符号语言、图形语言所组成。解综合题往往需要较强的语言转换能力。还需要有把普通语言转换成数学语言的能力。(2)概念转换能力：综合题的转译常常需要较强的数学概念的转换能力。(3)数形转换能力。解题中的数形结合，就是对题目的条件和结论既分析其代数含义又分析其几何意义，力图在代数与几何的结合上找出解题思路。运用数形转换策略要注意特殊性，否则解题会出现漏洞。
　　“三思”：(1)思路：由于综合题具有知识容量大，解题方法多，因此，审题时应考虑多种解题思路。(2)思想：高考综合题的设置往往会突显考查数学思想方法，解题时应注意数学思想方法的运用。(3)思辩：即在解综合题时注意思路的选择和运算方法的选择。
“三联”：(1)联系相关知识，(2)连接相似问题，(2)联想类似方法。
2．数学综合题的解题策略
求解应用题的一般步骤是（四步法）：
（1）、读题：读懂和深刻理解，译为数学语言，找出主要关系；
（2）、建模：把主要关系近似化、形式化，抽象成数学问题；
（3）、求解：化归为常规问题，选择合适的数学方法求解；
（4）、评价：对结果进行验证或评估，对错误加以调节，最后将结果应用于现实，作出解释或验证.
4．在近几年高考中，经常涉及的数学模型，有以下一些类型：数列模型、函数模型、不等式模型、三角模型、排列组合模型等等。
Ⅰ．函数模型 函数是中学数学中最重要的一部分内容，现实世界中普遍存在着的最优化问题，常常可归结为函数的最值问题，通过建立相应的目标函数，确定变量的限制条件，运用函数知识和方法去解决；
⑴ 根据题意，熟练地建立函数模型；
⑵ 运用函数性质、不等式等知识处理所得的函数模型。
Ⅱ．几何模型 诸如航行、建桥、测量、人造卫星等涉及一定图形属性的应用问题，常常需要应用几何图形的性质，或用方程、不等式或用三角函数知识来求解；
Ⅲ．数列模型 在经济活动中，诸如增长率、降低率、存款复利、分期付款等与年（月）份有关的实际问题，大多可归结为数列问题，即通过建立相应的数列模型来解决.在解应用题时，是否是数列问题一是看自变量是否与正整数有关；二是看是否符合一定的规律，可先从特殊的情形入手，再寻找一般的规律。
二．命题趋势
数学综合性试题常常是高考试卷中把关题和压轴题。在高考中举足轻重，高考的区分层次和选拔使命主要靠这类题型来完成预设目标。目前的高考综合题已经由单纯的知识叠加型转化为知识、方法和能力综合型尤其是创新能力型试题。综合题是高考数学试题的精华部分，具有知识容量大、解题方法多、能力要求高、突显数学思想方法的运用以及要求考生具有一定的创新意识和创新能力等特点。像圆锥曲线综合题、函数方程不等式的交汇题、三角向量的结合问题等将是08年高考的重点；
高考应用性问题的热门话题是增减比率型和方案优化型，另外,估测计算型和信息迁移型也时有出现。当然，数学高考应用性问题关注当前国内外的政治、经济、文化，紧扣时代的主旋律，凸显了学科综合的特色,是历年高考命题的一道亮丽的风景线。多数出现在像理科概率中分布列的期望方差解释实际问题、函数和数列知识及其性质解释、解决实际问题，它们将是08年高考的热点。
三．例题点评
题型1：二次函数综合问题
例1．(2007广东) 已知a是实数，函数，如果函数在区间上有零点，求a的取值范围。
解析：若 , ,显然在上没有零点, 所以 .
令 , 解得
①当 时, 恰有一个零点在上;
②当，即时，在
上也恰有一个零点.
③当在上有两个零点时, 则
或
解得或
综上所求实数的取值范围是 或 。
点评：二次函数的图像具有连续性，且由于二次方程至多有两个实数根. 所以存在实数使得且在区间上，必存在的唯一的实数根。
例2．设，若，，, 试证明：对于任意，有.
分析：同上题，可以用来表示.
解：∵ ,
∴ ,
∴ .
∴ 当时，
当时，
综上，问题获证。
点评：由于二次函数的解析式简捷明了，易于变形（一般式、顶点式、零点式等），所以，在解决二次函数的问题时，常常借助其解析式，通过纯代数推理，进而导出二次函数的有关性质。
题型2：代数推理题的典例解析
例3．已知
的单调区间；
（2）若
解析：（1） 对 已 知 函 数 进 行 降 次 分 项 变 形 , 得 ,
（2）首先证明任意
事实上：
而



.
点评：函 数 与 不 等 式 证 明 的 综 合 题 在 高 考 中 常 考 常 新 , 是 既 考 知 识 又 考 能 力 的 好 题 型 , 在 高 考 备 考 中 有 较 高 的 训 练 价 值.. 针对本例的求解, 你能够想到证明任意采用逆向分析法, 给出你的想法。
例4．对于函数，若存在成立，则称的不动点。如果函数有且只有两个不动点0，2，且
（1）求函数的解析式；
（2）已知各项不为零的数列，求数列通项；
（3）如果数列满足，求证：当时，恒有成立.
解析：依题意有,化简为 由违达定理,
得：
解得 代入表达式，
由得 不止有两个不动点，
（2）由题设得 （*）
且 （**）
由（*）与（**）两式相减得：


解得（舍去）或，由，若这与矛盾，，即{是以-1为首项，-1为公差的等差数列，
；
（3）采用反证法，假设则由（1）知
,有，
而当这与假设矛盾，故假设不成立，。
关于本例的第(3)题,我们还可给出直接证法,事实上：
由得<0或
结论成立；
若，此时从而即数列{}在时单调递减，由，可知上成立.
点评：比较上述两种证法,你能找出其中的异同吗? 数学解题后需要进行必要的反思, 学会反思才能长进。
题型3：解析几何综合问题
例5．已知双曲线，直线过点，斜率为，当时，双曲线的上支上有且仅有一点B到直线的距离为，试求的值及此时点B的坐标。
分析1：解析几何是用代数方法来研究几何图形的一门学科，因此，数形结合必然是研究解析几何问题的重要手段. 从“有且仅有”这个微观入手，对照草图，不难想到：过点B作与平行的直线，必与双曲线C相切. 而相切的代数表现形式是所构造方程的判别式. 由此出发，可设计如下解题思路：
解题过程略.
分析2：如果从代数推理的角度去思考，就应当把距离用代数式表达，即所谓“有且仅有一点B到直线的距离为”，相当于化归的方程有唯一解. 据此设计出如下解题思路：
解析：设点为双曲线C上支上任一点，则点M到直线的距离为：

于是，问题即可转化为如上关于的方程.
由于，所以，从而有
于是关于的方程



由可知：
方程的二根同正，故恒成立，于是等价于
.
由如上关于的方程有唯一解，得其判别式，就可解得 .
点评：上述解法紧扣解题目标，不断进行问题转换，充分体现了全局观念与整体思维的优越性。
例6．已知椭圆C:和点P（4，1），过P作直线交椭圆于A、B两点，在线段AB上取点Q，使，求动点Q的轨迹所在曲线的方程。
分析：这是一个轨迹问题，解题困难在于多动点的困扰，学生往往不知从何入手。其实，应该想到轨迹问题可以通过参数法求解. 因此，首先是选定参数，然后想方设法将点Q的横、纵坐标用参数表达，最后通过消参可达到解题的目的。
由于点的变化是由直线AB的变化引起的，自然可选择直线AB的斜率作为参数，如何将与联系起来？一方面利用点Q在直线AB上；另一方面就是运用题目条件：来转化.由A、B、P、Q四点共线，不难得到，要建立与的关系，只需将直线AB的方程代入椭圆C的方程，利用韦达定理即可。
通过这样的分析，可以看出，虽然我们还没有开始解题，但对于如何解决本题，已经做到心中有数。
在得到之后，如果能够从整体上把握，认识到：所谓消参，目的不过是得到关于的方程（不含k），则可由解得，直接代入即可得到轨迹方程。从而简化消去参的过程。
简解：设，则由可得：，
解之得： （1）
设直线AB的方程为：，代入椭圆C的方程，消去得出关于 x的一元二次方程：
（2）
∴
代入（1），化简得： (3)
与联立，消去得：
在（2）中，由，解得 ，结合（3）可求得
故知点Q的轨迹方程为： （）.
点评：由方程组实施消元，产生一个标准的关于一个变量的一元二次方程，其判别式、韦达定理模块思维易于想到. 这当中，难点在引出参，活点在应用参，重点在消去参，而“引参、用参、消参”三步曲，正是解析几何综合问题求解的一条有效通道。
题型4：立体几何应用问题
例7．在边长为a的正三角形的三个角处各剪去一个四边形．这个四边形是由两个全等的直角三角形组成的，并且这三个四边形也全等，如图①．若用剩下的部分折成一个无盖的正三棱柱形容器，如图②．则当容器的高为多少时，可使这个容器的容积最大，并求出容积的最大值。
图① 图②
解析：设容器的高为x．则容器底面正三角形的边长为,

.
当且仅当 .
故当容器的高为时，容器的容积最大，其最大容积为
点评：对学过导数的同学来讲，三次函数的最值问题用导数求解是最方便的，请读者不妨一试. 另外，本题的深化似乎与2002年全国高考文科数学压轴题有关，还请做做对照. 类似的问题是：某企业设计一个容积为V的密闭容器，下部是圆柱形，上部是半球形，当圆柱的底面半径r和圆柱的高h为何值时，制造这个密闭容器的用料最省（即容器的表面积最小）。
例8．（06江西卷）如图，已知正三棱柱的底面边长为1，高为8，一质点自点出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达点的最短路线的长为 。
解析：将正三棱柱沿侧棱CC1展开，其侧面展开图如图所示，由图中路线可得结论。
点评：解决此类问题要结合问题的实际情景，把问题分解、转化解决。
题型5：数列中的实际应用问题
例9．某城市2001年末汽车保有量为30万辆，预计此后每年报废上一年末汽车保有量的6%，并且每年新增汽车数量相同.为保护城市环境，要求该城市汽车保有量不超过60万辆，那么每年新增汽车数量不应超过多少辆?
解析：设2001年末汽车保有量为万辆，以后各年末汽车保有量依次为万辆，万辆，……，每年新增汽车万辆，则
，
所以，当时，，两式相减得：
（1）显然，若，则，即，此时
（2）若，则数列为以为首项，以为公比的等比数列，所以，.
（i）若，则对于任意正整数，均有，所以，，此时，
（ii）当时，，则对于任意正整数，均有，所以，，
由，
得：
，
要使对于任意正整数，均有恒成立，
即
对于任意正整数恒成立，解这个关于x的一元一次不等式 , 得
,
上式恒成立的条件为：，由于关于的函数单调递减，所以，。
点评：本题是2002年全国高考题，上面的解法不同于参考答案，其关键是化归为含参数的不等式恒成立问题，其分离变量后又转化为函数的最值问题。
例10．为促进个人住房商品化的进程，我国1999年元月公布了个人住房公积金贷款利率和商业性贷款利率如下：
贷款期(年数)
公积金贷款月利率(‰)
商业性贷款月利率(‰)
……
11
12
13
14
15
……
……
4.365
4.455
4.545
4.635
4.725
……
……
5.025
5.025
5.025
5.025
5.025
……
汪先生家要购买一套商品房，计划贷款25万元，其中公积金贷款10万元，分十二年还清；商业贷款15万元，分十五年还清．每种贷款分别按月等额还款，问： (1)汪先生家每月应还款多少元?
(2)在第十二年底汪先生家还清了公积金贷款，如果他想把余下的商业贷款也一次性还清；那么他家在这个月的还款总数是多少? (参考数据：1.004455144＝1.8966，1.005025144＝2.0581，1.005025180＝2.4651)
解析：设月利率为r，每月还款数为a元，总贷款数为A元，还款期限为n月，
第1月末欠款数　A(1＋r)－a
第2月末欠款数　[A(1＋r)－a](1＋r)－a＝ A(1＋r)2－a (1＋r)－a
第3月末欠款数　[A(1＋r)2－a (1＋r)－a](1＋r)－a＝A(1＋r)3－a (1＋r)2－a(1＋r)－a……
第n月末欠款数　，
得：
对于12年期的10万元贷款，n＝144，r＝4.455‰
∴
对于15年期的15万元贷款，n＝180，r＝5.025‰
∴
由此可知，汪先生家前12年每月还款942.37＋1268.22＝2210.59元，后3年每月还款1268.22元。
(2)至12年末，汪先生家按计划还款以后还欠商业贷款
其中A＝150000，a＝1268.22，r＝5.025‰ ∴X＝41669.53
再加上当月的计划还款数2210.59元，当月共还款43880.12元。
点评：需要提及的是，本题的计算如果不许用计算器，就要用到二项展开式进行估算，这在2002年全国高考第（12）题中得到考查。
题型6：函数、导数应用题
例11．（2007重庆文20）用长为18 cm的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为2：1，问该长方体的长、宽、高各为多少时，其体积最大？最大体积是多少？
解：设长方体的宽为x（m），则长为2x(m)，高为
.
故长方体的体积为
从而
令V′（x）＝0，解得x=0（舍去）或x=1，因此x=1.
当0＜x＜1时，V′（x）＞0；当1＜x＜时，V′（x）＜0，
故在x=1处V（x）取得极大值，并且这个极大值就是V（x）的最大值。
从而最大体积V＝V′（x）＝9×12-6×13（m3），此时长方体的长为2 m，高为1.5 m.
答：当长方体的长为2 m时，宽为1 m，高为1.5 m时，体积最大，最大体积为3 m3。
例12．（2006福建卷）统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时耗油量y（升）关于行驶速度x（千米/小时）的函数解析式可以表示为：y=(0（Ⅰ）当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？
（Ⅱ）当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？
解析：（I）当时，汽车从甲地到乙地行驶了小时，
要耗没（升）。
答：当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油17.5升。
（II）当速度为千米/小时时，汽车从甲地到乙地行驶了小时，设耗油量为升，
依题意得

令得
当时，是减函数；
当时，是增函数。
当时，取到极小值
因为在上只有一个极值，所以它是最小值。
答：当汽车以80千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少为11.25升。
点评：本小题主要考查函数、导数及其应用等基本知识，考查运用数学知识分析和解决实际问题的能力。
四．思维总结
1．第一轮复习一般以知识、技能、方法的逐点扫描和梳理为主，综合运用知识为辅，第二轮复习以专题性复习为主，这一阶段所涉及的数学问题多半是综合性问题，提高解数学综合性问题的能力是提高高考数学成绩的根本保证。解好综合题对于那些想考一流大学，并对数学成绩期望值较高的同学来说，是一道生命线，往往成也萧何败也萧何；对于那些定位在二流大学的学生而言，这里可是放手一搏的好地方。
2．数学应用性问题是历年高考命题的主要题型之一， 也是考生失分较多的一种题型。高考中一般命制一道解答题和两道选择填空题.解答这类问题的要害是能阅读、理解陈述的材料，深刻理解题意，学会文字语言向数学的符号语言的翻译转化，能结合应用所学数学知识、思想方法解决问题，包括解决带有实际意义的或者相关学科、生产、生活中的数学问题，并能用数学语言正确的加以表述.考生的弱点主要表现在将实际问题转化成数学问题的能力上.实际问题转化为数学问题，关键是提高阅读能力即数学审题能力，审出函数、方程、不等式、等式，要求我们读懂材料，辨析文字叙述所反应的实际背景，领悟从背景中概括出来的数学实质，抽象其中的数量关系，将文字语言叙述转译成数学式符号语言，建立对应的数学模型解答.可以说，解答一个应用题重点要过三关：一是事理关，即读懂题意，需要一定的阅读理解能力；二是文理关，即把文字语言转化为数学的符号语言；三是数理关，即构建相应的数学模型，构建之后还需要扎实的基础知识和较强的数理能力。
由于数学问题的广泛性，实际问题的复杂性，干扰因素的多元性，更由于实际问题的专一性，这些都给学生能读懂题目提供的条件和要求，在陌生的情景中找出本质的内容，转化为函数、方程、不等式、数列、排列、组合、概率、曲线、解三角形等问题。

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