资源简介

1.5全称量词与存在量词（精讲）
目录
第一部分：思维导图（总览全局）
第二部分：知识点精准记忆
第三部分：课前自我评估测试
第四部分：典 型 例 题 剖 析
重点题型一：全称量词命题与存在量词命题的真假判断
重点题型二：全称量词命题与存在量词命题的否定
重点题型三：存在量词命题、全称量词命题的综合应用
重点题型四：存在量词命题、全称量词命题中的探究性问题
第五部分：高考（模拟）题体验
知识点1：全称量词与全称量词命题
概念:短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词,并用符号“”表示.含有全称量词的命题,叫做全称量词命题.
表示:全称量词命题“对中任意一个,成立”可用符号简记为.　
对全称量词与全称量词命题的理解
(1)从集合的观点看,全称量词命题是陈述某集合中的所有元素都具有某种性质的命题.注意:全称量词表示的数量可能是有限的,也可能是无限的,由题目而定.
(2)常见的全称量词还有“一切”“任给”等.
(3)一个全称量词命题可以包含多个变量,如“”.
(4)全称量词命题含有全称量词,有些全称量词命题中的全称量词是省略的,理解时需把它补充出来.例如,命题“平行四边形的对角线互相平分”应理解为“所有的平行四边形的对角线都互相平分”.
知识点2：存在量词与存在量词命题
概念:短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词,用符号“”表示.含有存在量词的命题,叫做存在量词命题.
表示:存在量词命题“存在中的元素,成立”,可用符号简记为.
对存在量词与存在量词命题的理解
(1)从集合的观点看,存在量词命题是陈述某集合中有(存在)一些元素具有某种性质的命题.
(2)常见的存在量词还有“有些”“有一个”“对某个”“有的”等.
(3)含有存在量词的命题,不管包含的程度多大,都是存在量词命题.
(4)一个存在量词命题可以包含多个变量,如“”.
(5)含有存在量词“存在”“有一个”等的命题,或虽没有写出存在量词,但其意义具备“存在”“有一个”等特征的命题都是存在量词命题.
知识点3：全称量词命题和存在量词命题的否定
3.1全称量词命题及其否定（高频考点）
①全称量词命题：对中的任意一个，有成立；数学语言：.
②全称量词命题的否定：.
3.2存在量词命题及其否定（高频考点）
①存在量词命题：存在中的元素，有成立；数学语言：.
②存在量词命题的否定：.
知识点4：常用的正面叙述词语和它的否定词语
正面词语 等于（） 大于（） 小于（） 是
否定词语 不等于（） 不大于（） 不小于（） 不是
正面词语 都是 任意的 所有的 至多一个 至少一个
否定词语 不都是 某个 某些 至少两个 一个也没有
1．判断正误．
（1）命题“任意一个自然数都是正整数”是全称量词命题．( )
（2）命题“三角形的内角和是”是全称量词命题．( )
（3）命题“梯形有两边平行”不是全称量词命题．( )
2．判断正误．
（1）命题“”的否定是“”．( )
（2）与的真假性相反．( )
（3）从存在量词命题的否定看，是对“量词”和“”同时否定．( )
3．判断正误．
（1）命题“有些菱形是正方形”是全称命题．( )
（2）命题“存在一个菱形，它的四条边不相等”是存在量词命题．( )
（3）命题“有的实数绝对值是正数”是存在量词命题．( )
4．若命题，则命题p的否定为( )
A． B．
C． D．
5．已知命题，那么p的否定是___________．
重点题型一：全称量词命题与存在量词命题的真假判断
典型例题
例题1．（2022·广东广州·高一期末）下列全称量词命题与存在量词命题中：
①设、为两个集合，若，则对任意，都有；
②设、为两个集合，若，则存在，使得；
③是无理数，是有理数；
④是无理数，是无理数.
其中真命题的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
例题2．（2022·河南三门峡·高一期末）下列命题是全称量词命题，且是真命题的为（ ）
A．有些四边形的内角和不等于 B．，
C．， D．所有能被4整除的数都是偶数
同类题型演练
1．（2022·湖南·高一课时练习）下列命题中是全称量词命题并且是真命题的是（ ）
A．每个二次函数的图象都开口向上 B．存在一条直线与已知直线不平行
C．对任意实数a，b，若则 D．存在一个实数x，使等式成立
2．（2022·全国·高三专题练习）下列命题中是全称量词命题，并且又是真命题的是（ ）
A．是无理数 B．，使为偶数
C．对任意，都有 D．所有菱形的四条边都相等
3．（2022·内蒙古·赤峰红旗中学松山分校高二期末（文））有下列四个命题，其中真命题是（ ）．
A．， B．，，
C．，， D．，
重点题型二：全称量词命题与存在量词命题的否定
典型例题
例题1．（2022·江苏南通·高二期末）命题“”的否定是_________．
例题2．（2022·山西晋中·模拟预测（理））命题：，，则为___________.
例题3．（2022·四川·射洪中学高二阶段练习（文））命题：的否定为__________.
例题4．（2022·全国·高一专题练习）已知命题，则____________
同类题型演练
1．（2022·江苏·南京师大附中模拟预测）命题“，”的否定是___________.
2．（2022·吉林·梅河口市第五中学高二期中）若命题p是“对所有正数x，”，则命题p的否定是________________.
3．（2022·辽宁朝阳·高一开学考试）命题“”的否定为______．
4．（2022·四川省内江市第六中学高二阶段练习（理））曲线，，则为___________.
重点题型三：存在量词命题、全称量词命题的综合应用
典型例题
例题1．（2022·宁夏吴忠区青铜峡市教育局高二开学考试（文））若命题“使”是假命题，则实数的取值范围为_______．
例题2．（2022·全国·高三专题练习）若恒成立，则实数的取值范围为________.
例题3．（2022·江苏·高一）若命题“，”为假命题，则实数的取值范围为______.
同类题型演练
1．（2022·全国·高三专题练习）已知命题：“，”，若为假命题，则实数的取值范围为___________.
2．（2022·全国·高一）若命题“”是假命题，则实数a的取值范围的解集是______
3．（2022·上海青浦·二模）若命题：“存在整数使不等式成立”是假命题，则实数的取值范围是_________．
4．（2022·新疆·乌苏市第一中学高二阶段练习（理））已知命题p：，若命题P为假命题，则实数a的取值范围是___．
重点题型四：存在量词命题、全称量词命题中的探究性问题
典型例题
例题1．（2022·全国·高一期中）已知命题“，”为真命题.
(1)求实数的取值的集合；
(2)若，使得成立，记实数的范围为集合，若中只有一个整数，求实数的范围.
例题2．（2022·江苏扬州·高一期中）已知命题p：，命题：，使得
(1)若命题p是真命题，求实数a的取值范围；
(2)若p和q有且只有一个是真命题，求实数a的取值范围．
同类题型演练
1．（2022·江苏·高一）已知命题，使为假命题．
(1)求实数m的取值集合B；
(2)设为非空集合，若是的充分不必要条件，求实数a的取值围．
2．（2022·全国·高一专题练习）从两个符号“”“”中任选一个填写到①的位置，并完成下面的问题.
已知集合，，若命题：①，则是真命题，求m的取值范围.
3．（2022·甘肃·甘南藏族自治州合作第一中学高二期末（理））已知命题：“，”，命题：“，”，若“且”为真命题，求实数的取值范围．
4．（2021·广东·揭阳华侨高中高一阶段练习）命题：“，”是真命题，命题：“，”是真命题，求实数a的取值范围？
1．（2022·青海·海东市第一中学模拟预测（理））设命题p：，(x－1)(x+2)>0，则为（ ）
A．， B．，
C．， D．，或
2．（2022·云南昆明·模拟预测（文））已知命题p：，，则为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
3．（多选）（2022·湖北·鄂南高中模拟预测）给定命题，都有.若命题为假命题，则实数可以是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．（2022·山东聊城·三模）命题“，”为假命题，则实数的取值范围为______.
5．（2022·江苏·南京师大附中模拟预测）命题“，”的否定是___________.
1.5全称量词与存在量词（精讲）
目录
第一部分：思维导图（总览全局）
第二部分：知识点精准记忆
第三部分：课前自我评估测试
第四部分：典 型 例 题 剖 析
重点题型一：全称量词命题与存在量词命题的真假判断
重点题型二：全称量词命题与存在量词命题的否定
重点题型三：存在量词命题、全称量词命题的综合应用
重点题型四：存在量词命题、全称量词命题中的探究性问题
第五部分：高考（模拟）题体验
知识点1：全称量词与全称量词命题
概念:短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词,并用符号“”表示.含有全称量词的命题,叫做全称量词命题.
表示:全称量词命题“对中任意一个,成立”可用符号简记为.　
对全称量词与全称量词命题的理解
(1)从集合的观点看,全称量词命题是陈述某集合中的所有元素都具有某种性质的命题.注意:全称量词表示的数量可能是有限的,也可能是无限的,由题目而定.
(2)常见的全称量词还有“一切”“任给”等.
(3)一个全称量词命题可以包含多个变量,如“”.
(4)全称量词命题含有全称量词,有些全称量词命题中的全称量词是省略的,理解时需把它补充出来.例如,命题“平行四边形的对角线互相平分”应理解为“所有的平行四边形的对角线都互相平分”.
知识点2：存在量词与存在量词命题
概念:短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词,用符号“”表示.含有存在量词的命题,叫做存在量词命题.
表示:存在量词命题“存在中的元素,成立”,可用符号简记为.
对存在量词与存在量词命题的理解
(1)从集合的观点看,存在量词命题是陈述某集合中有(存在)一些元素具有某种性质的命题.
(2)常见的存在量词还有“有些”“有一个”“对某个”“有的”等.
(3)含有存在量词的命题,不管包含的程度多大,都是存在量词命题.
(4)一个存在量词命题可以包含多个变量,如“”.
(5)含有存在量词“存在”“有一个”等的命题,或虽没有写出存在量词,但其意义具备“存在”“有一个”等特征的命题都是存在量词命题.
知识点3：全称量词命题和存在量词命题的否定
3.1全称量词命题及其否定（高频考点）
①全称量词命题：对中的任意一个，有成立；数学语言：.
②全称量词命题的否定：.
3.2存在量词命题及其否定（高频考点）
①存在量词命题：存在中的元素，有成立；数学语言：.
②存在量词命题的否定：.
知识点4：常用的正面叙述词语和它的否定词语
正面词语 等于（） 大于（） 小于（） 是
否定词语 不等于（） 不大于（） 不小于（） 不是
正面词语 都是 任意的 所有的 至多一个 至少一个
否定词语 不都是 某个 某些 至少两个 一个也没有
1．判断正误．
（1）命题“任意一个自然数都是正整数”是全称量词命题．( )
（2）命题“三角形的内角和是”是全称量词命题．( )
（3）命题“梯形有两边平行”不是全称量词命题．( )
【答案】 正确 正确 错误
（1）“任意”是全称量词，所以它是全称量词命题，该结论正确.
（2）这里省略了全称量词“所有”，意思是“所有三角形内角和是180°”，该结论正确.
（3）这里省略了全称量词“所有”，意思是“所有梯形有两边平行”，该结论错误.
2．判断正误．
（1）命题“”的否定是“”．( )
（2）与的真假性相反．( )
（3）从存在量词命题的否定看，是对“量词”和“”同时否定．( )
【答案】 错误 正确 错误
（1）“，”的否定是“，”，故该结论错误．
（2）由特称命题的否定是全称命题可得，该结论正确．
（3）由特称命题的否定是全称命题可得，不是对量词否定，只是对“”否定，同时改量词．
3．判断正误．
（1）命题“有些菱形是正方形”是全称命题．( )
（2）命题“存在一个菱形，它的四条边不相等”是存在量词命题．( )
（3）命题“有的实数绝对值是正数”是存在量词命题．( )
【答案】 错误 正确 正确
（1）“有些”是存在量词，所以它是存在量词命题，不是全称命题，故该结论错误.
（2）“存在”是存在量词，所以它是存在量词命题，故该结论正确.
（3）“有的”是存在量词，所以它是存在量词命题，故该结论正确.
4．若命题，则命题p的否定为( )
A． B．
C． D．
【答案】C
由特称命题的否定可得，命题p的否定为“”
故选：C
5．已知命题，那么p的否定是___________．
【答案】
因为命题是全称命题，
所以其否定为特称命题
重点题型一：全称量词命题与存在量词命题的真假判断
典型例题
例题1．（2022·广东广州·高一期末）下列全称量词命题与存在量词命题中：
①设、为两个集合，若，则对任意，都有；
②设、为两个集合，若，则存在，使得；
③是无理数，是有理数；
④是无理数，是无理数.
其中真命题的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
对于①，因集合A、B满足，则由集合包含关系的定义知，对任意，都有，①是真命题；
对于②，因集合A、B满足，则由集合不包含关系的定义知，存在，使得，②是真命题；
对于③，显然是无理数，也是无理数，则③是假命题；
对于④，显然是无理数，却是有理数，则④是假命题.
所以①②是真命题.
故选：B
例题2．（2022·河南三门峡·高一期末）下列命题是全称量词命题，且是真命题的为（ ）
A．有些四边形的内角和不等于 B．，
C．， D．所有能被4整除的数都是偶数
【答案】D
A和C都是存在量词命题，B是全称量词命题，但其是假命题，如时，，D选项为全称命题且为真命题．
故选：D.
同类题型演练
1．（2022·湖南·高一课时练习）下列命题中是全称量词命题并且是真命题的是（ ）
A．每个二次函数的图象都开口向上 B．存在一条直线与已知直线不平行
C．对任意实数a，b，若则 D．存在一个实数x，使等式成立
【答案】C
易知C正确；
A选项是假命题；B选项是存在量词命题；D选项是存在量词命题.
故选：C.
2．（2022·全国·高三专题练习）下列命题中是全称量词命题，并且又是真命题的是（ ）
A．是无理数 B．，使为偶数
C．对任意，都有 D．所有菱形的四条边都相等
【答案】D
解：对于A，是特称命题；
对于B，是特称命题，是假命题；
对于C，是全称命题，而，所以是假命题；
对于D，是全称命题，是真命题，
故选：D
3．（2022·内蒙古·赤峰红旗中学松山分校高二期末（文））有下列四个命题，其中真命题是（ ）．
A．， B．，，
C．，， D．，
【答案】B
对于选项A，令，则，故A错；
对于选项B，令，则，显然成立，故B正确；
对于选项C，令，则显然无解，故C错；
对于选项D，令，则显然不成立，故D错.
故选B
重点题型二：全称量词命题与存在量词命题的否定
典型例题
例题1．（2022·江苏南通·高二期末）命题“”的否定是_________．
【答案】
命题“”是全称量词命题，其否定是“”.
故答案为：
例题2．（2022·山西晋中·模拟预测（理））命题：，，则为___________.
【答案】，
命题：，. 则为：，
故答案为：，
例题3．（2022·四川·射洪中学高二阶段练习（文））命题：的否定为__________.
【答案】
命题：是存在量词命题，其否定是全称量词命题，
所以命题：的否定是：.
故答案为：
例题4．（2022·全国·高一专题练习）已知命题，则____________
【答案】
解：因为命题，
所以根据特称命题的否定为全称命题，可得.
故答案为：.
同类题型演练
1．（2022·江苏·南京师大附中模拟预测）命题“，”的否定是___________.
【答案】“，”
解：因为命题“，”是全称量词命题，
所以其否定是存在量词命题，即 “，”，
故答案为：“，”
2．（2022·吉林·梅河口市第五中学高二期中）若命题p是“对所有正数x，”，则命题p的否定是________________.
【答案】
命题p的否定是.
故答案为：.
3．（2022·辽宁朝阳·高一开学考试）命题“”的否定为______．
【答案】
解：命题“，”的否定为“，”.
故答案为：，.
4．（2022·四川省内江市第六中学高二阶段练习（理））曲线，，则为___________.
【答案】，
命题“R，”的否定为：
“R，”.
故答案为：R，.
重点题型三：存在量词命题、全称量词命题的综合应用
典型例题
例题1．（2022·宁夏吴忠区青铜峡市教育局高二开学考试（文））若命题“使”是假命题，则实数的取值范围为_______．
【答案】
解：因为命题“使”是假命题
所以“使”是真命题，
所以当，即时，不等式成立；
当时，则需满足，解得
综上，实数a的取值范围为
故答案为：
例题2．（2022·全国·高三专题练习）若恒成立，则实数的取值范围为________.
【答案】.
由题意，命题恒成立，
可得，解得，
即实数的取值范围为.
故答案为：.
例题3．（2022·江苏·高一）若命题“，”为假命题，则实数的取值范围为______.
【答案】
若命题“，”为假命题，则一元二次方程无实数解，
∴.
∴a的取值范围是：.
故答案为：.
同类题型演练
1．（2022·全国·高三专题练习）已知命题：“，”，若为假命题，则实数的取值范围为___________.
【答案】
因为为假命题，所以命题为真命题，
，当且仅当，即时取等号，
因为，所以取不到等号，所以，
所以，
故答案为：
2．（2022·全国·高一）若命题“”是假命题，则实数a的取值范围的解集是______
【答案】
由命题“”是假命题，可得命题“”是真命题，
根据二次函数的性质，可得，即，解得，
所以实数a的取值范围的解集是.
故答案为：.
3．（2022·上海青浦·二模）若命题：“存在整数使不等式成立”是假命题，则实数的取值范围是_________．
【答案】；
“存在整数使不等式成立”是假命题，即不存在整数使不等式成立．
设不等式的解集为，
当时，得，不合题意；
当且时，原不等式化为，
，，要使不存在整数使不等式成立，
须，解得：且；
当时，，合题意，
当时，原不等式化为，或，不合题意，
综上所述，．
故答案为：
4．（2022·新疆·乌苏市第一中学高二阶段练习（理））已知命题p：，若命题P为假命题，则实数a的取值范围是___．
【答案】
根据题意，恒成立，所以.
故答案为：.
重点题型四：存在量词命题、全称量词命题中的探究性问题
典型例题
例题1．（2022·全国·高一期中）已知命题“，”为真命题.
(1)求实数的取值的集合；
(2)若，使得成立，记实数的范围为集合，若中只有一个整数，求实数的范围.
【答案】(1)；(2).
(1)依题意，关于x的不等式恒成立，
于是得，解得，
所以实数的取值的集合.
(2)若，使得成立，即，，
当时，，则，，
当时，，则，此时，
因此，当时，若使得只有一个整数，则必有，解得，
当时，，则，中有三个整数，与条件不符，
综上得，，
所以实数的取值范围是.
例题2．（2022·江苏扬州·高一期中）已知命题p：，命题：，使得
(1)若命题p是真命题，求实数a的取值范围；
(2)若p和q有且只有一个是真命题，求实数a的取值范围．
【答案】(1)(2)或
(1)解：命题是真命题时，在范围内恒成立，
∴①当时，有恒成立；
②当时，有，解得.
∴的取值范围为.
(2)解：命题q是真命题时，，使得，所以.
因为p和q有且只有一个是真命题，所以
①p真q假则； ②p假q真则 .
或，
综上或
同类题型演练
1．（2022·江苏·高一）已知命题，使为假命题．
(1)求实数m的取值集合B；
(2)设为非空集合，若是的充分不必要条件，求实数a的取值围．
【答案】(1)(2)
(1)解：由题意，得关于的方程无实数根，
所以，解得，
即；
(2)解：因为为非空集合，
所以，即，
因为是的充分不必要条件，
则，即，
所以
2．（2022·全国·高一专题练习）从两个符号“”“”中任选一个填写到①的位置，并完成下面的问题.
已知集合，，若命题：①，则是真命题，求m的取值范围.
【答案】选，；选，.
解：由已知集合，，
若选，则“，则”是真命题，则，
所以，解得；
若选，则：“，满足”是真命题，
若即“，则”为真命题，则，或，或，
解得，或，故若为真，只需.
3．（2022·甘肃·甘南藏族自治州合作第一中学高二期末（理））已知命题：“，”，命题：“，”，若“且”为真命题，求实数的取值范围．
【答案】或
若是真命题．则对任意恒成立，∴；
若为真命题，则方程有实根，
∴，解得或，
由题意，真也真，∴或．
即实数的取值范围是或.
4．（2021·广东·揭阳华侨高中高一阶段练习）命题：“，”是真命题，命题：“，”是真命题，求实数a的取值范围？
【答案】或
命题：“，”是真命题，则，故；
命题：“，”是真命题，则，
解得或.
综上所述：或.
1．（2022·青海·海东市第一中学模拟预测（理））设命题p：，(x－1)(x+2)>0，则为（ ）
A．， B．，
C．， D．，或
【答案】D
为，，等价于，或.
故选：D
2．（2022·云南昆明·模拟预测（文））已知命题p：，，则为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】D
：，.
故选：D
3．（多选）（2022·湖北·鄂南高中模拟预测）给定命题，都有.若命题为假命题，则实数可以是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】AB
解：由于命题为假命题，所以命题的否定：，是真命题.
当时，则，令，所以选项A正确；
当时，则，令，所以选项B正确；
当时，则，，不成立，所以选项C错误；
当时，则，，不成立，所以选项D错误.
故选：AB
4．（2022·山东聊城·三模）命题“，”为假命题，则实数的取值范围为______.
【答案】
由题意可知，命题“，”为真命题.
①当时，可得.
若，则有，合乎题意；
若，则有，解得，不合乎题意；
②若，则，解得.
综上所述，实数的取值范围是.
故答案为：.
5．（2022·江苏·南京师大附中模拟预测）命题“，”的否定是___________.
【答案】“，”
解：因为命题“，”是全称量词命题，
所以其否定是存在量词命题，即 “，”，
故答案为：“，”

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