资源简介

1.2集合间的基本关系（精讲）
目录
第一部分：思维导图（总览全局）
第二部分：知识点精准记忆
第三部分：课前自我评估测试
第四部分：典 型 例 题 剖 析
重点题型一：集合的子集、真子集问题
重点题型二：集合之间关系的判断
重点题型三：求子集、真子集
重点题型四：集合相等关系的应用
重点题型五：由集合间的关系求参数的范围
高频易错点：忽视空集
第五部分：新定义问题
第六部分：高考（模拟）题体验
知识点1：图（韦恩图）
在数学中，我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图形称为图。
图和数轴一样，都是用来解决集合问题的直观的工具。利用图，可以使问题简单明了地得到解决。
对图的理解
(1)表示集合的图的边界是封闭曲线,它可以是圆、椭圆、矩形,也可以是其他封闭曲线.
(2)用图表示集合的优点是能够呈现清晰的视觉形象,即能够直观地表示集合之间的关系,缺点是集合元素的公共特征不明显.
知识点2：子集
2.1子集：
一般地，对于两个集合，，如果集合中任意一个元素都是集合中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合为集合的子集
（1）记法与读法：记作(或)，读作“含于”(或“包含”)
（2）性质：
①任何一个集合是它本身的子集，即.
②对于集合，，，若，且，则
（3）图表示：
2.2集合与集合的关系与元素与集合关系的区别
符号“”表示集合与集合之间的包含关系,而符号“”表示元素与集合之间的从属关系.
知识点3：集合相等
一般地,如果集合的任何一个元素都是集合的元素,同时集合的任何一个元素都是集合的元素,那么集合与集合相等,记作.也就是说,若,且,则.
（1）的图表示
（2）若两集合相等，则两集合所含元素完全相同，与元素排列顺序无关
知识点4：真子集的含义
如果集合，但存在元素，且，我们称集合是集合的真子集;
（1）记法与读法：记作，读作“真包含于”(或“真包含”)
（2）性质：
①任何一个集合都不是是它本身的真子集.
②对于集合，，，若，且，则
（3）图表示：
知识点5：空集的含义
我们把不含任何元素的集合，叫做空集，记作：
规定：空集是任何集合的子集，即;
性质：①空集只有一个子集，即它的本身，
(2)，则
和 和 和
相同点 都表示无 都是集合 都是集合
不同点 表示集合； 是实数 不含任何元素 含有一个元素 不含任何元素 含有一个元素，该元素为：
关系 或者
1．（2022·江苏盐城·高一期末）设集合{是正四棱柱}，{是长方体}，{是正方体}，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·江苏·高一）下列集合中表示同一集合的是（ ）．
A．，
B．，
C．，
D．，
3．（2022·全国·高一专题练习）下列四个选项中正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·北京密云·高三期中）已知集合，且，则可以是（ ）
A． B． C． D．
5．（2022·江苏·高一）已知集合，集合．若，则实数m的取值集合为（ ）
A． B． C． D．
重点题型一：集合的子集、真子集问题
典型例题
例题1．（2022·黑龙江齐齐哈尔·二模（理））设集合，则集合的真子集个数为（ ）
A．16 B．15 C．8 D．7
例题2．（2022·全国·模拟预测）已知集合，则的非空子集的个数为（ ）
A． B． C． D．
例题3．（2022·上海徐汇·高一期末）已知集合，，则满足条件的集合的个数为_________个
同类题型演练
1．（2022·河南·开封市东信学校模拟预测（文））集合的非空真子集的个数为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
2．（2022·海南中学高三阶段练习）已知集合，则A的子集共有（ ）
A．3个 B．4个 C．8个 D．16个
3．（2022·全国·高一专题练习）设集合，且，则满足条件的集合的个数为（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·江苏·高一单元测试）满足{1，2，3}的所有集合A是___________．
5．（2022·上海金山·高一期末）满足条件：的集合M的个数为______.
6．（2022·上海·同济大学第二附属中学高一期末）若集合有且仅有两个不同的子集，则实数=_______；
重点题型二：集合之间关系的判断
典型例题
例题1．（2022·江苏·高一）设集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
例题2．（2022·广西桂林·二模（文））已知集合，则下列关系正确的是（ ）
A． B． C． D．
例题3．（2022·四川·雅安中学高一阶段练习）设集合，则（ ）
A． B． C． D．
同类题型演练
1．（2022·福建龙岩·模拟预测）已知集合，或，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·全国·高一专题练习）集合，，则M、P之间的关系为（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·全国·高一专题练习）下面五个式子中：①；②；③{a }{a，b}；④；⑤a {b，c，a}；正确的有（ ）
A．②④⑤ B．②③④⑤ C．②④ D．①⑤
4．（2021·湖北黄冈·高一期中）设集合，.
(1)若，试判断集合与的关系；
5．（2021·全国·高一课时练习）判断下列两个集合之间的关系：（1），；
（2），；
（3）是4与10的公倍数}，.
重点题型三：求子集、真子集
典型例题
例题1．（2022·江苏省灌云高级中学高二阶段练习）集合的一个真子集可以为（ ）
A． B． C． D．
例题2．（2022·全国·高一专题练习）已知集合，且．
(1)求实数的值；
(2)写出集合的所有子集．
同类题型演练
1．（2022·北京大兴·高一期末）集合的非空子集是________________．
2．（2022·全国·高三专题练习）已知集合，，．
（1）写出集合的所有子集；
重点题型四：集合相等关系的应用
典型例题
例题1．（2022·浙江·慈溪市三山高级中学高二学业考试）已知集合， 若， 则 （ ）
A．3 B．4 C． D．
例题2．（2022·广东佛山·高一期末）已知集合，.若，求实数的值；
同类题型演练
1．（2022·全国·高三专题练习）已知集合，，若A=B，则a+2b=（ ）
A．-2 B．2 C．-1 D．1
2．（2022·全国·高一）已知集合A＝{2，－1}，集合B＝{m2－m，－1}，且A＝B，则实数m等于___________．
3．（2021·湖南·衡阳市田家炳实验中学高一阶段练习）已知，.若，则______.
4．（2021·上海市建平中学高三阶段练习）已知集合，，若，则___________.
5．（2022·全国·高一课时练习）设，若集合，则___________．
重点题型五：由集合间的关系求参数的范围
典型例题
例题1．（2022·江苏·高一）已知集合或，，若，则实数的取值范围_________．
例题2．（2022·全国·高一）设，若，则的取值范围是_____．
同类题型演练
1．（2022·全国·高三专题练习（理））已知集合，，则下列命题中不正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则或 D．若时，则或
2．（2022·江苏·高一）设集合，集合，若，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·全国·高一专题练习）已知，，若，则的值为( )
A．1或－1 B．0或1或－1 C． D．
4．（2022·四川攀枝花·三模（理））设集合，，若，则实数a的取值范围是（ ）．
A． B．
C． D．
5．（2022·江苏·高一）设，，若，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．（2022·湖南湘潭·三模）已知集合，，若，则m的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
7．（2022·全国·高一专题练习）已知集合，，若，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．（2022·河南·临颍县第一高级中学高二阶段练习（文））已知集合, ,若，则实数a的取值范围为______．
9．（2022·全国·高一专题练习）设不等式的解集为A，若，则a的取值范围为________.
10．（2022·江苏·高一）已知集合，集合，若，则实数a的取值范围是______.
高频易错点：忽视空集
典型例题
例题1．（2022·广东·大埔县虎山中学高三阶段练习）已知集合，，若，则实数 =（ ）
A． B．1 C．0或 D．0或1
例题2．（2022·海南华侨中学模拟预测）设集合，若，则由实数组成的集合为（ ）
A． B． C． D．
同类题型演练
1．（2022·全国·高一专题练习）已知集合，，且，则实数a的值为___________.
2．（2022·全国·高一专题练习）已知集合，，且，则实数的取值集合为___________.
1．（2022·全国·高三专题练习）若，则，就称是伙伴集合．其中的所有非空子集中具有伙伴关系的集合个数是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·安徽·淮南第二中学高二阶段练习）若一个集合是另一个集合的子集，则称两个集合构成“鲸吞”；若两个集合有公共元素且互不为对方的子集，则称两个集合构成“蚕食”，对于集合，，若这两个集合构成“鲸吞”或“蚕食”，则a的取值集合为（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·全国·高三专题练习）设集合，，，，其中，下列说法正确的是（ ）
A．对任意，是的子集，对任意的，不是的子集
B．对任意，是的子集，存在，使得是的子集
C．存在，使得不是的子集，对任意的，不是的子集
D．存在，使得不是的子集，存在，使得是的子集
4．（2022·全国·高一）设集合，且都是集合的子集，如果把叫作集合的“长度”，那么集合的“长度”的最小值是___________.
1．（2022·湖北·华中师大一附中模拟预测）若集合，则对于集合的关系，则下列关系中一定正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2022·浙江·舟山中学模拟预测）若集合，，则能使成立的所有a组成的集合为（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·上海金山·二模）已知集合，若，则实数的值为__________.
1.2集合间的基本关系（精讲）
目录
第一部分：思维导图（总览全局）
第二部分：知识点精准记忆
第三部分：课前自我评估测试
第四部分：典 型 例 题 剖 析
重点题型一：集合的子集、真子集问题
重点题型二：集合之间关系的判断
重点题型三：求子集、真子集
重点题型四：集合相等关系的应用
重点题型五：由集合间的关系求参数的范围
高频易错点：忽视空集
第五部分：新定义问题
第六部分：高考（模拟）题体验
知识点1：图（韦恩图）
在数学中，我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图形称为图。
图和数轴一样，都是用来解决集合问题的直观的工具。利用图，可以使问题简单明了地得到解决。
对图的理解
(1)表示集合的图的边界是封闭曲线,它可以是圆、椭圆、矩形,也可以是其他封闭曲线.
(2)用图表示集合的优点是能够呈现清晰的视觉形象,即能够直观地表示集合之间的关系,缺点是集合元素的公共特征不明显.
知识点2：子集
2.1子集：
一般地，对于两个集合，，如果集合中任意一个元素都是集合中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合为集合的子集
（1）记法与读法：记作(或)，读作“含于”(或“包含”)
（2）性质：
①任何一个集合是它本身的子集，即.
②对于集合，，，若，且，则
（3）图表示：
2.2集合与集合的关系与元素与集合关系的区别
符号“”表示集合与集合之间的包含关系,而符号“”表示元素与集合之间的从属关系.
知识点3：集合相等
一般地,如果集合的任何一个元素都是集合的元素,同时集合的任何一个元素都是集合的元素,那么集合与集合相等,记作.也就是说,若,且,则.
（1）的图表示
（2）若两集合相等，则两集合所含元素完全相同，与元素排列顺序无关
知识点4：真子集的含义
如果集合，但存在元素，且，我们称集合是集合的真子集;
（1）记法与读法：记作，读作“真包含于”(或“真包含”)
（2）性质：
①任何一个集合都不是是它本身的真子集.
②对于集合，，，若，且，则
（3）图表示：
知识点5：空集的含义
我们把不含任何元素的集合，叫做空集，记作：
规定：空集是任何集合的子集，即;
性质：①空集只有一个子集，即它的本身，
(2)，则
和 和 和
相同点 都表示无 都是集合 都是集合
不同点 表示集合； 是实数 不含任何元素 含有一个元素 不含任何元素 含有一个元素，该元素为：
关系 或者
1．（2022·江苏盐城·高一期末）设集合{是正四棱柱}，{是长方体}，{是正方体}，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
当正四棱柱的高与底面边长相等时，该正四棱柱为正方体；
当长方体底面为正方形时，该长方体为正四棱柱；.
故选：B.
2．（2022·江苏·高一）下列集合中表示同一集合的是（ ）．
A．，
B．，
C．，
D．，
【答案】B
选项A，集合，为点集，而点与点为不同的点，故A错；选项C，集合为点集，集合为数集，故C错；选项D，集合为数集，集合为点集，故D错；选项B，集合，表示的都是“大于的实数”，为同一个集合．
故选：B
3．（2022·全国·高一专题练习）下列四个选项中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
解：对于A：，故A错误；
对于B：，故B错误；
对于C：，故C错误；
对于D：，故D正确；
故选：D
4．（2022·北京密云·高三期中）已知集合，且，则可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
因为，又，所以任取，则，
所以可能为，A对，
又 ，，
∴ 不可能为，，，B，C，D错，
故选：A.
5．（2022·江苏·高一）已知集合，集合．若，则实数m的取值集合为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
由于，所以，
所以实数m的取值集合为.
故选：C
重点题型一：集合的子集、真子集问题
典型例题
例题1．（2022·黑龙江齐齐哈尔·二模（理））设集合，则集合的真子集个数为（ ）
A．16 B．15 C．8 D．7
【答案】D
由题意，
因此其真子集个数为．
故选：D．
例题2．（2022·全国·模拟预测）已知集合，则的非空子集的个数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
，
即集合含有个元素，则的非空子集有（个）.
故选：B.
例题3．（2022·上海徐汇·高一期末）已知集合，，则满足条件的集合的个数为_________个
【答案】7
因为，
,
因为，所以1，2都是集合C的元素，
集合C中的元素还可以有3，4，5，且至少有一个，
所以集合C为：，，，，，， ，共7个.
故答案为：7
同类题型演练
1．（2022·河南·开封市东信学校模拟预测（文））集合的非空真子集的个数为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】B
由题意可知，集合A的非空真子集为，共6个.
故选：B.
2．（2022·海南中学高三阶段练习）已知集合，则A的子集共有（ ）
A．3个 B．4个 C．8个 D．16个
【答案】C
由，得集合
所以集合A的子集有个，
故选： C
3．（2022·全国·高一专题练习）设集合，且，则满足条件的集合的个数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
因为，由题意可知，集合为的子集，
则满足条件的集合的个数为.
故选：B.
4．（2022·江苏·高一单元测试）满足{1，2，3}的所有集合A是___________．
【答案】{1}或{1，2}或{1，3}
因为{1，2，3}，
所以集合A中至少有一个元素1，且为集合{1，2，3}的真子集，
所以集合A是{1}或{1，2}或{1，3}，
故答案为：{1}或{1，2}或{1，3}
5．（2022·上海金山·高一期末）满足条件：的集合M的个数为______.
【答案】7
由可知，
M中的元素个数多于中的元素个数，不多于中的元素个数
因此M中的元素来自于b,c,d中，
即在b,c,d中取1元素时，M有3个；取2个元素时，有3个；取3个元素时，有1个，
故足条件：的集合M的个数有7个，
故答案为：7.
6．（2022·上海·同济大学第二附属中学高一期末）若集合有且仅有两个不同的子集，则实数=_______；
【答案】或.
因为集合仅有两个不同子集，所以集合中仅有个元素，
当时，，所以，满足要求；
当时，，所以，此时方程解为，即，满足要求，
所以或，
故答案为：或.
重点题型二：集合之间关系的判断
典型例题
例题1．（2022·江苏·高一）设集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
由且，即，而，
所以为的子集，则.
故选：A
例题2．（2022·广西桂林·二模（文））已知集合，则下列关系正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
解：因为集合，
所以根据子集的定义可知，
故选：C.
例题3．（2022·四川·雅安中学高一阶段练习）设集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
由，解得，即，即，
又由，即，
所以.
故选：D.
同类题型演练
1．（2022·福建龙岩·模拟预测）已知集合，或，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
因为或，则，，，
故选：A.
2．（2022·全国·高一专题练习）集合，，则M、P之间的关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
解：因为，
，
所以，
故选：C
3．（2022·全国·高一专题练习）下面五个式子中：①；②；③{a }{a，b}；④；⑤a {b，c，a}；正确的有（ ）
A．②④⑤ B．②③④⑤ C．②④ D．①⑤
【答案】A
中，是集合{a}中的一个元素，，所以错误；
空集是任一集合的子集，所以正确；
是的子集，所以错误；
任何集合是其本身的子集，所以正确；
a是的元素，所以正确.
故选：A.
4．（2021·湖北黄冈·高一期中）设集合，.
(1)若，试判断集合与的关系；
【答案】(1)
当时，，
因为，
所以.
5．（2021·全国·高一课时练习）判断下列两个集合之间的关系：（1），；
（2），；
（3）是4与10的公倍数}，.
【答案】（1） ；（2） ；（3）.
(1)根据数轴可知, 表示左边的数的集合, 表示左边的数的集合,故 .
(2) 表示3的整数倍 ,
表示6的整数倍.故 .
(3) 是4与10的公倍数}即 20的正整数倍, 也表示20的正整数倍.故
重点题型三：求子集、真子集
典型例题
例题1．（2022·江苏省灌云高级中学高二阶段练习）集合的一个真子集可以为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
解：由，即，解得，
所以，所以的一个真子集可以为．
故选：C
例题2．（2022·全国·高一专题练习）已知集合，且．
(1)求实数的值；
(2)写出集合的所有子集．
【答案】(1)1
(2)，，，，，，，
(1)∵，
当时，，此时，由于集合中的元素不能重复，故舍去
当时，或，当时，符合要求；当时，，此时集合A中有两个0，故舍去，综上：
(2)由（1）知，，故A的所有子集为：，，，，，，，
同类题型演练
1．（2022·北京大兴·高一期末）集合的非空子集是________________．
【答案】
集合的所有非空子集是.
故答案为：.
2．（2022·全国·高三专题练习）已知集合，，．
（1）写出集合的所有子集；
【答案】（1），，，，；（2）．
（1），，
集合的所有子集有：，，，，．
重点题型四：集合相等关系的应用
典型例题
例题1．（2022·浙江·慈溪市三山高级中学高二学业考试）已知集合， 若， 则 （ ）
A．3 B．4 C． D．
【答案】D
解：因为且，
所以，且，
又，
所以和为方程的两个实数根，
所以；
故选：D
例题2．（2022·广东佛山·高一期末）已知集合，.若，求实数的值；
【答案】(1)
由已知得
，
解得；
同类题型演练
1．（2022·全国·高三专题练习）已知集合，，若A=B，则a+2b=（ ）
A．-2 B．2 C．-1 D．1
【答案】D
由于，
所以
（1），结合集合元素的互异性可知此方程组无解.
（2）解得.
故选：D
2．（2022·全国·高一）已知集合A＝{2，－1}，集合B＝{m2－m，－1}，且A＝B，则实数m等于___________．
【答案】2或－1##－1或2
，且，
，
解得，或
故答案为：－1或2
3．（2021·湖南·衡阳市田家炳实验中学高一阶段练习）已知，.若，则______.
【答案】
因为
所以解之得：
故答案为：
4．（2021·上海市建平中学高三阶段练习）已知集合，，若，则___________.
【答案】0
由题意可知，∴，
又
∴，∴.
故答案为：.
5．（2022·全国·高一课时练习）设，若集合，则___________．
【答案】
由，所以
故答案为：
重点题型五：由集合间的关系求参数的范围
典型例题
例题1．（2022·江苏·高一）已知集合或，，若，则实数的取值范围_________．
【答案】或
用数轴表示两集合的位置关系，如上图所示，
或
要使，只需或，解得或．
所以实数的取值范围或.
故答案为：或
例题2．（2022·全国·高一）设，若，则的取值范围是_____．
【答案】
根据题意作图：
由图可知，，则只要即可，即的取值范围是．
故答案为：.
同类题型演练
1．（2022·全国·高三专题练习（理））已知集合，，则下列命题中不正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则或 D．若时，则或
【答案】D
，若，则，且，故A正确，
时，，故D不正确，
若，则且，解得，故B正确，
当时，，解得或，故C正确，
故选：D．
2．（2022·江苏·高一）设集合，集合，若，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
由可得.
故选：D.
3．（2022·全国·高一专题练习）已知，，若，则的值为( )
A．1或－1 B．0或1或－1 C． D．
【答案】A
，，
若，则＝1或－1，故a＝1或－1．
故选：A．
4．（2022·四川攀枝花·三模（理））设集合，，若，则实数a的取值范围是（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】D
或.
因为集合，，所以.
故选：D
5．（2022·江苏·高一）设，，若，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
由题：，，则.
故选：B
6．（2022·湖南湘潭·三模）已知集合，，若，则m的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
因为，所以，解得.
故选：A.
7．（2022·全国·高一专题练习）已知集合，，若，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
当时，即当时，，合乎题意；
当时，即当时，由可得，解得，此时.
综上所述，.
故选：A.
8．（2022·河南·临颍县第一高级中学高二阶段练习（文））已知集合, ,若，则实数a的取值范围为______．
【答案】
依题意，，当，即时，，
当，即时，，当，即时，，
又，，于是得，解得，或，解得，
而，则，综上得：，
所以实数a的取值范围为．
故答案为：
9．（2022·全国·高一专题练习）设不等式的解集为A，若，则a的取值范围为________.
【答案】
因不等式的解集为A，且，
则当时，，解得：，此时满足，即，
当时，不妨令()，则一元二次方程在上有两个根，
于是有，解得或，解得：，
则有，综合得：，
所以a的取值范围为.
故答案为：
10．（2022·江苏·高一）已知集合，集合，若，则实数a的取值范围是______.
【答案】或
由题可得，集合，当时，，满足；
当时，，若，则，且，即
综上可得，实数a的取值范围是
故答案为：或
高频易错点：忽视空集
典型例题
例题1．（2022·广东·大埔县虎山中学高三阶段练习）已知集合，，若，则实数 =（ ）
A． B．1 C．0或 D．0或1
【答案】C
解：当时，，满足；
当时，，所以，解得，
综上实数的所有可能取值的集合为．
故选：C．
例题2．（2022·海南华侨中学模拟预测）设集合，若，则由实数组成的集合为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
解析：由题意，当时，的值为；
当时，的值为；
当时，的值为，
故选：D
同类题型演练
1．（2022·全国·高一专题练习）已知集合，，且，则实数a的值为___________.
【答案】或或0
解：已知集合，，
当，满足；
当时，，
因为，故得到或，解得或；
故答案为：或或0
2．（2022·全国·高一专题练习）已知集合，，且，则实数的取值集合为___________.
【答案】
当时，，满足；
当时，，因为，所以或，解得或
即实数的取值集合为.
故答案为：
1．（2022·全国·高三专题练习）若，则，就称是伙伴集合．其中的所有非空子集中具有伙伴关系的集合个数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
若，则，就称是伙伴集合，
，
的所有非空子集中具有伙伴关系的集合有，，．
的所有非空子集中具有伙伴关系的集合个数是3．
故选:B
2．（2022·安徽·淮南第二中学高二阶段练习）若一个集合是另一个集合的子集，则称两个集合构成“鲸吞”；若两个集合有公共元素且互不为对方的子集，则称两个集合构成“蚕食”，对于集合，，若这两个集合构成“鲸吞”或“蚕食”，则a的取值集合为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
解：集合，，
，，
若，则，
即有；
若，可得，，
不满足；
若，两个集合有公共元素，但互不为对方子集，
可得或，解得或．
综上可得，或或2.
故选：A.
3．（2022·全国·高三专题练习）设集合，，，，其中，下列说法正确的是（ ）
A．对任意，是的子集，对任意的，不是的子集
B．对任意，是的子集，存在，使得是的子集
C．存在，使得不是的子集，对任意的，不是的子集
D．存在，使得不是的子集，存在，使得是的子集
【答案】B
解：对于集合，，
可得当，即，可得，
即有，可得对任意，是的子集；故C、D错误
当时，，，
可得是的子集；
当时，，且，
可得不是的子集，故A错误．
综上可得，对任意，是的子集，存在，使得是的子集．
故选：B.
4．（2022·全国·高一）设集合，且都是集合的子集，如果把叫作集合的“长度”，那么集合的“长度”的最小值是___________.
【答案】
由题可知，的长度为 ，的长度为， 都是集合的子集，
当的长度的最小值时，与应分别在区间的左右两端，
即，则，
故此时的长度的最小值是：.
故答案为：
1．（2022·湖北·华中师大一附中模拟预测）若集合，则对于集合的关系，则下列关系中一定正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
由于，同理知，故，
故选：A
2．（2022·浙江·舟山中学模拟预测）若集合，，则能使成立的所有a组成的集合为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
当时，即，时成立；
当时，满足，解得；
综上所述：.
故选：C.
3．（2022·上海金山·二模）已知集合，若，则实数的值为__________.
【答案】0
解：因为，所以（舍去）或，
所以.故答案为：0

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