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赣州市2023~2024学年度第一学期期末考试
高一数学试题
（考试时间120分钟，试卷满分150分）
第I卷（选择题共60分）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2.某学校高一、高二、高三分别有600人、500人、700人，现采用分层随机抽样的方法从该校三个年级中抽取18人参加全市主题研学活动，则应从高三抽取（ ）
A.5人 B.6人 C.7人 D.8人
3.已知函数的定义域为，若，，则是的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
4.函数的部分图象如图所示（其中为自然对数的底数），则可以为（ ）
A. B. C. D.
5.已知是函数的零点，则属于区间（ ）
A. B. C. D.
6.已知，，，则（ ）
A. B. C. D.
7.实验开始时某物质的含量为，每经过1小时，该物质的含量都会减少.若该物质的含量不超过，则实验进入第二阶段.实验进入第二阶段至少需要（ ）小时.（需要的小时数取整数，参考数据：，）
A.7 B.8 C.10 D.11
8.函数图象上总存在两点关于直线对称（其中为自然对数的底数），则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求、全部选对的得5分，部分选对的得2分，有错选的得0分.
9.下列命题为真命题的是（ ）
A.命题“，”的否定为“，”
B.若函数在区间上单调递减，则
C.一组样本数据为，，…，，若将该组的每个数据都试1，得到一组新数据，，…，，则新数据与原数据的众数一样
D.随机数表第6行为3457 8607 3625 3007 3286 8442 1253 3123 4578 8907 2368.某工厂利用随机数表对生产的80个零件进行抽样测试，先将80个零件进行编号：01，02，03，…，79，80.若从表中第6行第3列开始向右读取数据抽取8个样本，则得到的第6个样本编号为07
10.已知正数，满足，则（ ）
A. B. C. D.
11.袋中有4个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，从中不放回地依次随机摸取2个，每次摸1个，事件表示“第一次取出的球的数字是1”，事件表示“第二次取出的球的数字是偶数”，事件表示“两次取出的球的数字之和是偶数”，事件表示“两次取出的球的数字之和是奇数”，则（ ）
A.与对立 B.与互斥 C.与相互独立 D.与相互独立
12.已知偶函数的定义域为，函数，，，，，则（ ）
A.的图象关于对称 B.
C. D.
第II卷（非选择题共90分）
三、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13.已知函数则______.
14.已知幂函数在单调递减，则的值为______.
15.已知，是相互独立事件，但不是互斥事件，若，，则事件的概率为______.
16.已知函数，若对任意，，都有恒成立，则的取值范围为______.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.（本小题满分10分）
已知集合，.
（1）若，求；
（2）若______，求实数的取值范围.
请从①②③中选取一个作为条件补充到上面的横线处，解答相应问题.
①；②“”是“”充分不必要条件；③.
注：若选择不同的条件分别解答，则按第一个解答计分.
18.（本小题满分12分）
设函数.
（1）在平面直角坐标系中画出它的图象；
（2）解不等式.
19.（本小题满分12分）
我省从2024年开始，高考不分文理科，实行“”模式，其中“3”指的是语文、数学，外语这3门必选科目，“1”指的是考生需要在物理、历史这2门首选科目中选择1门，“2”指的是考生需要在思想政治、地理、化学、生物这4门再选科目中选择2门.已知某高校临床医学类招生选科要求是首选科目为物理，再选科目为化学、生物至少1门.
（1）从所有选科组合中任意选取1个，求该选科组合符合某高校临床医学类招生选科要求的概率；
（2）假设甲、乙两人每人选择任意1个选科组合是等可能的且相互独立，求这两人中恰好有一人的选科组合符合某高校临床医学类招生选科要求的概率.
20.（本小题满分12分）
已知函数是定义域为的奇函数.
（1）求实数的值，判断函数的单调性并说明理由：
（2）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围.
21.（本小题满分12分）
为了监控生产线上某种零件的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸（单位：）.记样本平均数为，样本标准差为.下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：
9.95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.04
10.26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95
经计算得，，其中为抽取的第个零件的尺寸，，，…，.
（1）计算该组数据的分位数；
（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查.根据以上信息判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除之外的数据，用剩下的数据组成一个新样本，计算新样本的平均数与方差（精确到，）.
22.（本小题满分12分）
已知定义在上的函数、满足，且为偶函数，为奇函数.
（1）求函数和的解析式；
（2）函数，若关于的方程在区间上恰有两个不同的实数解，求实数的取值范围.
赣州市2023~2024学年度第一学期期末考试
高一数学参考答案
一、单选题：（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A C A D B D B C
二、多选题：（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有错选的得0分）
题号 9 10 11 12
答案 AB ABCD ACD ABD
三、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13.0； 14.-1； 15.； 16..
四、解答题：（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17.解：（1）当时，
则
由于因此.
（2）因为，所以
若选取①：因为，所以
所以解得
即的取值范围是
若选取②：由“”是“”的充分不必要条件
可得
则或
解得
即的取值范围是
若选取③：因为
所以或，解得或
即的取值范围是.
18.解：（1）
图象如下：
（2）由，结合（1）可得
①或②
解①得或
解②得
故的解集为.
19.解：（1）用，分别表示“选择物理”“选择历史”，，，，分别表示“选择化学”“选择生物”“选择思想政治”“选择地理”，
则所有选科组合的样本空间
则
设表示“从所有选科组合中任意选取1个，有选科组合符合该医科大学临床医学类招生选科要求”
则
则
则.
（2）设甲、乙两人每人的选科组合符合该医科大学临床医学类招生选科要求的事件分别为，，由题意知事件，相互独立
由（1）知
记“甲、乙两人中恰好有一人的选科组合符合该医科大学临床医学类招生选科要求”，
则
易知事件，两两互斥，
根据互斥事件概率加法公式得
.
20.解：（1）因为为奇函数，所以
所以，可得
解得
所以
所以在上单调递减.
证明如下：
法一：任取，，且
则
由于，所以，
所以.
所以在上单调递减.
法二：因为在上单调递增，所以在上单调递减，
所以在上单调递减.
（2）由得
因为为奇函数，所以，
由（1）知是减函数
所以原问题转化为
所以对恒成立.
因为当时，取最小值
所以.
【注：利用得出不给分】
21.解：（1）将16个数据排序为：
9.22，9.91，9.92，9.95，9.95，9.96，9.96，9.98，10.01，10.02，10.04，10.04，10.05，10.12，10.13，10.26
该组数据的分位数为第4个和第5个数据的平均数
即该组数据的分位数为.
（2）因为，所以，
显然数据9.22不在区间内，故需要对当天的生产过程进行检查
法一：把这16个数据分为两层：
第一层15个数据：，解得
第二层1个数据：，方差为
因为全部16个数据：，
因为
即
解得.
法二：剔除之外的数据9.22，剩下数据的平均数为
剩下数据的样本方差为
.
22.解：（1）因为，为偶函数，为奇函数
所以
解得，，
（2）由（1）可知，
①当时在单调递增，不满足题意
②当时
故在单调递减，在单调递增
所以，，
则解得
③当时，在区间上单调递减，不满足题意
④当时，，对称轴为
故在单调递增，在单调递减
所以，，，
则解得.
⑤当时，在区间上单调递增，不满足题意
综上所述，的范围为.

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