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第10章
二次根式
10.1二次根式的有关概念和性质
知识清单
二次根式食食
①二次根式★☆
特征：含有“v√”：被开方数a是非更数
使二次根式有意义的素件
女负女
形如wa(a≥0)的式子叫做二次根式，其中符号“√厂”叫做
二次根式的性质女食
二次根号，二次根号下的数叫做被开方数.如3，-√2都是二次根
。温馨提示
式，3，a及都不是二次根式a0,-40,-a2-3<0.
1.被开方数a可以是一个具体
2使二次根式有意义的条件☆★☆
的数，也可以是代数式
在二次根式a中，要求字母a必须满足条件a0,即被开方
6
2.定义中a≥0不能省略
10
3.二次根式与算术平方根有
数是非负的1，所以当a≥0时，二次根式a有意义，当a<0时，二
着内在的联系，a(a≥0)就
次根式a无意义，
表示a的算术平方根，
例1求使下列式子有意义的：的取值范围，
(1)2-5;(2)
2-4(3)
-2
解析(1)式子√2-5x有意义，则必有2-5x≥0
为什么不
非负数才有
2
欢迎我？
资格进来！
解得x≤二一的取值范围是x≤
5
负数
(2)式子
1
1
有意义，则必有
>0，解得x>2,
2x-4
2x-4
注意（√a和√a2的区别：
.x的取值范围是x>2.
分母不为0所以2x-4>0.
(@P是先开方，后平方，
（3)式子3有意义，则必有
-x≥0，
x-2
解得x≤3且需≠2，
√0是先平方，后开方.当
-2≠0，
∴.x的取值池围是x≤3且x≠2
a≥0时，(WaP=/a2=a.
3二次根式的性质女
有了2在头上保
[a(a>0),
护，正数、负数
出了根号还
1)a≥0(a≥0)；2)(a)三a(a≥0)；3)Vd白a=0(a=0),
0随我选，想取
有绝对值保
什么都可以.
护，真好！
-a(a<0)
例2化简：V（x+2)2+(√x-2)2=
第
解析根据被开方数为非负数可得x-2≥0，所以x+2>0,所
章
以V(x+2)7+(√x-2)2=1x+21+x-2=x+2+x-2=2x
答案2x
二次根式
101
方法清单
y-1=0,解得x=2,y=1,.x-y=2-1=1.
】二次根武的辩别方法☆
答案D
2利佣二次根或的非负性解题的方法奇奇
3二次根式a2的化简方法☆☆
3二次报或Na2的化管方法食☆
对√a进行化简时，要先得到√a2=|al,再
4二次报式2的应闹食
a(a>0),
5二次报式(Na)2(4≥0)的订算方孩安盘
根据a的取值化简.依据|a|=0(a=0),或
6送用(wa)2=a(a≥0)在笑数而国内分解因式☆
√a2的结果是非负数
-a(a<0)
1二次根式的辨别方法女
寸a2=a(a≥0)得l出结果
判断一个根式是二次根式，一定要满足被
2
例3化简：(1)w16:(2)
开方数大于或等于零，根指数是2，当被开方数
4
是字母时，要根据字母的取值进行讨论
(3)-√(-6)；(4)N(3-2)2
例1下列各式：①
,a.
解析（1)√16=w42=4.
③x+y2,④-5，⑤5.其中是二次根式的有
-哥
(3)-(-6)2=-√6=-6.
A.1个
B.2个
0.3个
D.4个
解析①合有二次根号，被开方数)是非
(4)W(3-2)2=Iw3-21=2-3」
4二次根式a的应用☆
负数，是二次根式②虽含有二次根号，但被开
在解决二次根式的有关问题中，如果被开
方数可能是负数，所以不一定是二次根式③含
方数是完全平方式，就可以利用“/a2=a”这
有二次根号，被开方数x2+y2≥0，所以是二次
性质进行化简或求值.在解题过程中一定要
根式④虽含有二次根号，但被开方数是负数，
注意“a”的取值范围
所以不是二次根式.⑤含有三次根号，所以不是
例4已知实数&，所对应的点在数轴上
二次根式
答案B
的位赏如图所示，试化简√(a-b)2-√
+(a-1)F.
数轴上隐含着字母a、b的范围，可
2利用二次根式的非负性解题的方法☆☆
6101一
确定-b,
因为二次根式a(a≥0)表示a的算术平
1的正免，
方根，所以a≥0，这个性质也是非负数的算术
解析由数轴上点的位置可知a-6>0,a-1
平方根的性质.对于二次根式非负性的应用，常
<0,b<0,.√/(a-b)2-√62+w(a-1)2=1a-bl-
见题型是“几个非负数之和等于0，则每个非负
1b|+1a-1|=a-b+b+1-a=1.
数都等于0”，这一性质在解题中应用广泛，
5二次根式(a)2(a≥0)的计算方法☆☆
初
例2已知x,y为实数，且wx-2+3(y-1)2
一个正数a的算术平方根是a,由平方根
知
=0,则x-y的值为
的定义可知(a)2=a(a≥0).在进行含有二次
单
A.3
B.-3
C.-1
D.1
根式的平方运算时，常常直接利用(a)2三a(a
警
解析'√x-2+3(y-1)2=0,且wx-2≥0，
0)这一性质掉根号，在计算过程中要时刻
102
(y-1)2≥0，wx-2=0,(y-1)2=0,∴.x-2=0,
注意“a”的非负性，

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