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第12章
元二次方程
12.1一元二次方程的有关概念
知识清单
]一元二次方程在食
①一元二次方程☆
一元二次方程的一般形式
2
1定义：等式两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未
☆应
知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程.例如，
3一二次方程的板女
4x2=9,x2+3x=0.分母或报号内不能含有未知数
2.一元二次方程的三要素：整式方程、只含有一个末知数、术知
数的最高次数是2.
例1判断下列关于x的方程是不是一元二次方程。
咱俩可以是
①a2+te=0,②+1=0：
俄不能为0四
任意实数哦」
oxbec-o
③2x2-x-1=2(x-1)(x+3):④(x+1)2=2(x+1)
解析①若a=0,则没有二次项，ax2+bx+c=0不是一元二次
方程；若a≠0，则ax2+bx+c=0是一元二次方程，因此不确定
②方程中含有分式二，不是整式方程，因此不是一元二次
方程
p果阳确3ax2+bx+c=0是
③整式方程2x2-x-1=2(x-1)(x+3)化简后得5x-5=0,不
一元二次方程，就隐含a≠0
含有二次项，因此不是一元二次方程
这个条件.
④整式方程(x+1)2=2(x+1)化简后得￥2-1=0，只含有一个
未知数x,并且未知数的最高次数是2，因此是一元二次方程。
故①②③不是·元二次方程，④是一元二次方程
解析(1)去括号，得x2-2x=
2一元二次方程的一般形式☆☆
4x2-3x,移项、合并同类项，得
3x2-x=0,所以二次项系数为
元二次方程的一般形式是ax2+x+0三0(a≠Q).它的特征
3,一次项系数为-1，常数项
是等号左边是一个关于未知数的二次多项式，等号右边是0其
为0.
巾x2是二次项，“是二次项系数：x是一次项，b是一次项系
(2)去分母，得2x2-3(x+1)=
3(-x-1),去括号，得2x2-3x-N
数；c是常数项，
3=-3x-3,移项、合并同类项，
例2把下列方程化为一元二次方程的一般形式，并指出二
得2x2=0,所以二次项系数为
次项系数、一次项系数和常数项，
2,一次项系数为0，常数项
知识清单
为0.
(1)x(x-2)=4x2-3x;确定二次项系数、一次项系数和常
2
数项的前提是将一而二次方程化为
一般形式
126
解析（1)当x=2时，左边
3一元二次方程的根☆
2)-3x+1-0=右边
1.定义：使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次
方程的解，也叫做一元二次方程的根，
当x=1时，左边=2×12-3×1+
2.判断一个数是不是一元二次方程的根：将此数代入这个一元
1=0=右边x=
2,t=1都
二次方程的左、右两边，看是否相等，若相等，则是方程的根；
是原方程的解。
若不相等，则不是方程的根
(2)当x=√3时，左边=(3)月
例3判断下列方程后面括号里的数是不是方程的解。
-23×/5+3=0=右边：当x=
1时，左边=12-23×1+3=4-
2-3x*1=02月
23≠右边.，￥=√3是原方程
的解，x=1不是原方程的解，
(2)x2-23x+3=0(3,1).
菊方法清单
将方程的根代人原方程，再解方程即可求出参
数的值.
】应用一二次方程的定义求字母参数的方法
例2关于x的一元二次方程(a-1)x2+x+
2一二次方程的报的应用方法商商
3估算一元二次方程的解的一般步骤女
a2-1=0的一个根是x=0,则a的值为(
4应闹整体代入园想求伐敌式的值在衣
.1
B.-1
C.1或-1
D.
2
应用一元二次方程的定义求字母参数的方
解析把x=0代人一元二次方程，得a2-1
法★
=0,解得a=±1.因为0，所以a≠1，所以
我们知道，含有一个未知数，并且未知数
a=-1,故选B.求出参数的值后，还需注意限
的最高次数是2（其中二次项系数不为0的整
答案阝制参数取值的其他隐含秦件.
式方程是一元二次方程，因此要求与一元二次
3估算一元二次方程的解的一般步骤☆
方程有关的字母参数，只要先根据指数条件列
1.列表，利用未知数的取值分别计算方程2+
方程，即指数等于2，通过解方程求得字母参数
bx+c=0(a≠0)中ax2+bx+c的值，
的值，再通过二次项系数不能为0的条件排除
2.在表中找出使ax2+x+c的值可能等于0的
不合题意的值即可
未知数符合要水的范围
例1已知(m-1)xm+1+mx-1=0是关于x
3.进一步在上述范围内例表、计算、缩小估计范
的一元二次方程，则m=
围，直到符合题中精确度要求为止
解析(m-1)x++mx-1=0是关于x的
例3根据关于x的一元二次方程x2+px+
一元二次方程，则二次项是(m-1)xm",
g=0,可列表如下：
所以1m+11=2,必1≠Q,
0
0.5
1
1.1
1.2
1.3
第
由1m+11=2得m=1或-3，
x2+px+q
-15-8.75-2
-0.59
0.84
2.29
章
由m-1≠0，得m≠1，所以m=-3.
则方程x2+px+g=0的正数解是
答案一3心须保证二次项系数不等于0
A.整数部分是1，十分位是1
元
2一元二次方程的根的应用方法☆
B.整数部分是1，十分位是2
与一元二次方程的根相关的题日多以填
C.整数部分是0，十分位是5
次方程
空题、选择题的形式出现.利用方程根的概念，
D.整数部分是0，十分位是8
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