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第13章
二次函数
13.1二次函数的有关概念
知识清单
1二次两数女女
①二次函数女→自变童的最高次数是2.
2二次函敌的一般形式在在
1.概，念：一般地形如y=ax2+bx+c(ab、c是常数，a≠0)的函数
3二次西数的常见表达式音安
叫做三次函数，其中x是自变量，a、6、c分别是函数解析式的
二次函数图象的顶点坐标
4
二次项系数、一次项系数和常数项，
及其意义安奇
2.举例：函数y=x2-14x+8是二次函数，其中1、-14、8分别是二
次项系数、一次项系数和常数项！
。温馨提示
2二次函数的一般形式女
当b=0时，y=ax2+c;当c
=0时，y=ax2+bx;当b=0,c=
1.任何一个二次函数的解析式都可以化成y=ax2+x+c(a、b、c
0时，y=ux2,它们都是特殊的
是常数，a≠0)的形式.等号右边是关于自变量x的二次三项式
二次函数.a≠0是隐含条件，
2.结构特征：1)函数关系式是整式：2)自变量的最高次数是2：
不能忽视
3)二次项系数不等于零
·温等提示
3二次函数的常见表达式
1.顶点式、交点式化为一般
式，主罗运用去括号、合并
1.二次函数的顶点式：y=a(x-h)2+(a≠0)，可以从表达式看
同类项等方法
出抛物线的顶点坐标为(h,),对称轴为直线x=h.
2.一般式化为顶点式、交点
2.二次函数的交点式：y=a(x-,)(x-x2)(a≠0)，可以从表达
式，主要运用配方法、因式
分解等方法
式看出抛物线与x轴的两个交点的坐标为(x1,0),(2,0)
摇出4而不
4二次函数图象的顶点坐标及其意义放，是除以“
加上一次项系数一半的平
1顶点式的推导过程：y=a+c*c=2++=e[+2
-(a≠0)
保代数式的值不变
2.特点：y=ax+
b2.4ac-b2
(4≠0)的图象的顶点坐标为
2a
Aa
b Aac-bi
解析
2a’4a
对称轴为直线=-6
例将二次函数y=2x2-8x-1化成y=a(-)2+你的形式，结
果为
第
()
=2[-2]2(-2
A.y=2(x-2)2-1
B.y=2(x-4)2+32
章
C.y=2(x-2)2-9
Dy=2(常-4)2-33
答案C
一次函数
135
方法清单
(1,0),(x2,0),则设所求二次函数为y=
】二次函数的识别方法安安
a(x-x1)(x-2)(a≠0)，将第三个点的坐标
2用特定系敌法求二次函数解析或的方法☆☆身
(m,)(其中m,n为已知数)或其他已知条
3列二次函数关系或的一服步骤奇☆
件代入，求出待定系数a,最后将解析式化为
利用二次两敌图象的顶惊坐杭的意义解决实际
般形式
间砸的方法起
例2根据下列条件，分别求出对应的二
1二次函数的识别方法☆女
次函数的表达式
(1)二次函数的图象经过点(0，-1)，（1，
判断一个函数是不是二次函数的步骤
1)看它是不是整式，若不是整式，则不是二次
0),(-1,2)；
函数；
(2)抛物线的顶点坐标为(L,一3)具与y
2)当它是整式时，再看它是不是一个二次的
轴交于点(0)：
整式；已知抛物绒的项京坐标与名一扁的
(3)抛物线与x轴交于点(-3,0)、（5,0)，
3)考虑其二次项的系数是不是0.·
坐械，设顶
且与y轴交于点(0，-3)
例1下列函数哪些是二次函数？点式求解，
解析（1)设二次函数的表达式为y=ax2+
x+c.因为这个函数的图象过点(0，-1)，所以c
1y=2-,2y(3)y=2(1+
=-1,又因为其图象过点(1,0)、(-1,2)，
4x);(4)y=mx2+x+p(m、n、p均为常数).
a+b=1
所以有
解得2，
所以所求二
解析(1)是二次函数；(2)函数是用含月
a-b=3
(6=-1.
变量的分式表示的，不符合二次函数的定义
次函数的表达式是y=2x2-x-1
不是二次函数；(3)y=2x(1+4x)可整理为y=
(2)因为抛物线的顶点为(1，-3)，所以设
8x2+2x,是二次函数；(4)函数y=mx2++p
二次函数的表达式为y=a(x-1)2-3
中，没有给定m的范围，当m=0时，y=mx2+nx
又因为抛物线经过点(0,1)，所以1=a(0-
+p不是二次函数
1)2-3,解得a=4.
所以所求二次函数的表达式是y=4(x
②用待定系数法求二次函数解析式的方
1)2-3=4x2-8x+1.
法☆★☆
(3)因为抛物线与x轴交于点(-3,0)、
1.设一般式：y=ux2+bx+c(a≠0).若已知条件
(5,0),所以设二次函数的表达式为y=a(x+
是图象上的三个点，则设所求二次函数为y=
3)(x-5).又因为抛物线经过点(0，-3)，所以
a2+x+c(a≠0)，将已知条件代入解析式，得
到关于a,6,c的三元一次方程组，解方程组
-3=a(0+3)x(0-5),解得a=5
求出a,b,c的值，即可得到解析式
1
2.设顶点式：y=a(x-h)2+k(a≠0).若已知二次
所以所求二次函数的表达式是y=5（x+
初
函数图象的顶，点坐标或对称轴方程与最大值
122
知
(或最小值)，则设所求二次函数为y=a(x
3)(x-5)=5-53,
识清
h)2+k(a≠0)，将已知条件代人，求出待定系
3列二次函数关系式的一般步骤☆
数，最后将解析式化为一般形式
1.理解题意：审清题意，分清实际问题中的已知
3.设交，点式：y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0).若已知
量（常量）和未知量（变量），并分析它们之间
136
二次函数图象与x轴的两个交点的坐标为
的关系，找出等量关系

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