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第20章
勾股定理
20.1直角三角形与勾股定理
知识清单
可以用待号“Bt△”
1
直角三角形的性质☆女女
①直角三角形的性质这，表床
2勾股定理☆食☆
性质1：真角三角形的两个锐角互余.如右图所
3勾股定理的验证食
示，在△ABC中，∠C=90°，则∠A+∠B=90
4勾股定理的实际应用女☆
性质2：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半如
右图所示，在△ABC中，∠ACB=90°，CD为AB边上的
中线，则c0=方ia
由矩形的性质推出」
解析∠ACB=90°，∠A=
性质3：在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边
30°，.AB=2BC,∠B=60°，
又CD是△ABC的高，
的半.如右图所示，在△ABC中，∠C=90°，∠A=30
.∠BCD=30°
BD=2 cm,
则BC=8
∴BC=2BD=4cm,
例1如图，已知RL△ABC中，∠ACB=90°，CD是高，∠A=
.AB=8cm,故选C.
30°，BD=2cm,则AB的长为
(
章
A.4 cm
B.6 cm
C.8 cm
D.10 cm
答案C
2勾股定理☆☆女
1.文字语言：真角三角形两条直角边的平方和等
解析(1)∠C=90°，a=b=
于斜边的平方，勾股定理的前提森件
6,.由勾股定理得c=/a+b
2符号语言：如果直角三角形的两直角边长分别
=√6+6=62
为a,b,斜边长为c,那么a2+b2=c2
(2):∠C=90°，c=3,b=2,
3.变式：a2=62-b2,b2=e2-a2.
.由勾股定理得a=√c2-b=
√32-2=5
例2在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A,∠B,∠C的对边分别
(3)a:b=2:1,.a=2b.
是a,b,c
又…∠C=90°，c=5,
(1)已知a=b=6,求c;
.由勾股定理得(2b)2+
(2)已知c=3,6=2,求a;
=52,
章
(3)已知a:6=2:1,c=5,求b.
.b=5.
勾股定理
229
3勾股定理的验证☆☆
我国古代的数学家们不仅很早就发现并应用了
勾股定理，而且很早就尝试对勾股定理进行证明.最
早对勾股定理进行证明的是汉代数学家赵爽，他以
“弦图”为基本图形，后人称之为“赵爽弦图”，利用出入相补原
的餐
理证明了勾股定理
运用拼图的方式，即利用两种不同的方法计算同一个图形
说碳合按
的面积来验证勾股定理！
验证过程：图②是由4个全等的直角三角形（如图①）和1
个以直角三角形的斜边c为边长的小正方形拼成的一个以(a+
解析(1)用所给三角形可拼
b)为边长的大正方形，则大正方形的面积可表示为(“+6)2，又可
成如图所示的图形，它是一个
直角梯形
表示为25·4+e,所以(a+6)=6·4+d,整理得d+=2.
除安
用4个与图①完全相同的直角三角形，还可以拼成图③所
示的图形，与上面的方法类似，也能证明勾股定理
(2)证明：S形=2(a+b)(a
1
+b)=
（a+6)2,且S6=
2a6·2+
1
1
图⑦
图②勿
图③
2
例3图①是用硬纸板做成的两个全等的直三角形，两直
六2(a+b)2=ab+
1
12,整理。
2
角边的长分别为“和b,斜边长为c.图②是以c为直角边的等腰
得a2+b2-c2
直角三角形.请你将它们拼成一个能证明勾股定理的形
(3)拼图方案较多，现给出两
种，如图所示
(1)画出拼成的图形的示意图，写出它是什么图形；
(2)用这个图形证明勾股定理；
(3)假设图①中的直角三角形有若干个，你能运用图①中所
给的直角三角形拼出另一种能证明勾股定理的图形吗？请画出
示意图（无需证明）
底依度核游0
图①
图②
初中知识清单
4勾股定理的实际应用☆
1利用勾股定理解决实际问题的一般步骤
警
1)从实际问题中抽象出儿何图形；只有在同一直角三角形
2)确定与问题相关的真角三角形；中才能利用勾般定理.
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