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第4章
实数
4.1
平方根
知识清单
1算术平方根由女
①算术平方根☆☆
2平方版☆☆☆
1.定义：一般地，如果个正数x的平方等于4，即x2=a,那么这
3开平方☆食☆
个正数x叫做a的算术平方根.规定：0的算术平方根是0.如52
是的，并且你
=25,那么5叫做25的算术平方根（或者说25的算术平方根
我是a的算术
定是非负数
是5)
平方根呦！
2.表示方法：非负数a的算术平方根记作“a”,读作“根号a”,
其中α叫做被开方数如“25的算术平方根”记作“√25”，其中
25叫做被开方数，
例1求下列各数的算术平方根：
解析(1)因为72=49，所以
1
带分数要先他成假分数，再求算术
49的算术平方根是7，即√49
(1)49;(2
87(3)17
平方根
=7
M温蓉提示，
(2)因为
6八6
L.a具有重非负性：
算术平方根是
即
16
1)被开方数a≥0：2)其本身非负，即a≥0；
81
2.只有正数和0有算术平方根，负数没有平方根；
3.wa省略了a中的根指数2，因此a也读作“二次根号a”;
(3)因为1
)所
16
4.a既表示一种运算，又表示一个运算结果.但表示一个运
以1了的算术平方根是
,即
箅时，就是求红的算术平方根；当表示运算结果时，就是指
a的算术平方根为wa
2平方根☆☆女
。易混对比
1.定义：一般地，如果一个数的平方等于a,那么这个数叫做a
“5是25的平方根”这种
说法是正确的，反过来说“25
的平方根或二次方根.即如果x2=4,那么x叫做a的平方根.比
的平方根是5”就错了，因为正
如：（±3）2=9，所以9的平方根是±3.也叫做a的算术平方根。
数有两个平方根，所以必须说
“25的平方根是±5”
2.表示方法：一个数a(@0的的平方根，川符号“a”表示，
a叫做被开方数，2叫做根指数，a的负的平方根用“-a”表
中知识清单
我布两个平方根，
示，根指数是2时，通常略去不写.如a记作a,读作“根号a”,
就是它们俩.
我没有
±ā记作±a,读作“正、负根号a”.如：“4的平方根”表示为
负数
“±4”，“4的正的平方根”表示为“4”，“4的负的平方根”表
示为-4”
38
3.平方根的性质
解析(1)…（±15）2=225，
.225的平方根是±15，
1)一个正数a有两个平方根，它们互为相反数，记作±va。
即±√/225=±15.
2)零的平方根是零
相加特0
(2)(±0.3)2=0.09,0.09
3)负数没有平方根，
的平方根是±0.3，
例2求下列各数的平方根，
即±√0.09=±0.3.
(1)225:(2)0.09.
3开平方☆☆女
求一个数a(a≥0)的平方根的运算，叫做开平方.a(a≥0)
。注意事项
开平方是一种运算，它和
开平方用符号“±a”表示，“√”是个运算符号.如士w81=±9
平方运算是互逆的.
就是开平方运算
方法清单
A.2与3之间
B.3与4之间
C.4与5之问
D.5与6之间
利阳算术平方根的非负性解渔的方法夜夜
2刹用他棠确定装术平方根的取值范图的方法。盘
解析9<13<16，<√13<16，即3<
3开平方的方法☆奇女
w13<4.
4平方根的性质的立用方法安
答案B
5剥用平方根的桃念解方程的方法在
3开平方的方法☆☆
T利用算术平方根的非负性解题的方法☆女
1.当被开方数为带分数时，一般先将其化为假
任意非负数a的算术平方根是非负数，即
分数，再求其平方根.
a≥0(a≥0).若wa+w万=0，则a=0,b=0,反之
2.当被开方数为一个算式时，先求算式的值，也
亦然
可通过变形化成一个正数的平方的形式，再
例1若wx-1+√y+2=0,则(x+y)2014等于
求其平方根
例3计算：求2好即
的平方根，
(
4
A.-1
B.1
求484的算术
1
C.32014
D.-32m4
平方根
(1)484:(2)±W124:(3)8x10t女
AAAAAA
解析因为wx-1≥0，wy+2≥0，且Wx-1+
解析(1)因为222=484，所以w484=22.
y+2=0,所以x-1=0,y+2=0,解得x=1,y=
7249
-2,所以(x+y)2014=1.
(2)因为2
=年124所以±12
先把被开方数化筒，再求
答案B
其算术平方根，
②利用估算确定算术平方根的取值范围的
(3)因为8×10+1=81，且92=81，所以
方法女
确定算术平方根的取值范围，通常取与被
w8×10+1=9
第
开方数大小最接近的两个完全平方数，然后求
4平方根的性质的应用方法☆
章
它们的算术平方根即可估算所求算术平方根
若已知一个正数的算术平方根，则这个正
实
的取值范围
数等于其算术平方根的平方；若已知一个正数
数
例213的算术平方根介于
的平方根，则这个正数等于其任意一个平方根
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