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7.1.1数系的扩充和复数的概念
知识点：
复数的定义：设为方程的根，称为虚数单位，形如的数，称为复数.所有复数构成的集合称复数集,通常用来表示.
a为实部，b为虚部
2．复数集
3.两个复数相等的定义：
考点01：虚数单位i及其性质
1．复数（ ）
A．i B． C．1 D．
2．若复数满足方程（i是虚数单位），则（ ）
A．1 B．i C． D．
3．已知为虚数单位，则（ ）
A． B． C．1 D．
考点02：复数的基本概念
4．已知，“”是“复数为虚数”的（ ）
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．若复数是纯虚数，则实数的值为（ ）
A．0 B．2 C．3 D．0或2
6．已知复数，则的虚部为（ ）
A．1 B． C． D．
考点03：求复数的实部与虚部
7．已知，，若，则z的虚部是（ ）
A．-2 B．1 C．-2i D．2i
8．的实部与虚部互为相反数，则的取值可能是（ ）
A． B． C． D．
9．（多选）下列说法不正确的是（ ）
A．复数的虚部是 B．形如的数一定是虚数
C．若，，则是纯虚数 D．若两个复数能够比较大小，则它们都是实数
考点04：复数的相等
10．若，，则复数等于（ ）
A． B． C． D．
11．（多选）已知复数，则下列结论正确的是（　　）
A．的实部是
B．的虚部是
C．若，则
D．当且时，是纯虚数
12．（多选）若，且，则等于（ ）
A．4 B． C．2 D．0
考点05：复数的分类及辨析
13．已知，．若，则的值为（ ）
A．2 B．3 C．2或3 D．不存在
14．（多选）对于复数，下列结论错误的是（ ）
A．若，则为纯虚数
B．若，则
C．若，则为实数
D．
15．（多选）下列命题不正确的是（ ）
A．复数不可能是纯虚数
B．若，则复数为纯虚数
C．若是纯虚数，则实数
D．若复数，则当且仅当时，为虚数
考点06：已知复数的类型求参数
16．若，则“”是复数“为纯虚数”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
17．已知复数是纯虚数，则实数的值为（ ）
A． B．1或6 C． D．1
18．已知，则
考点07：根据相等条件求参数
19．已知，其中，i为虚数单位，则以为根的一个一元二次方程是（ ）
A． B． C． D．
20．已知复数，且，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
21．已知复数.
(1)若z为实数，求m的值.
(2)若z为纯虚数，求m的值.7.1.1数系的扩充和复数的概念
知识点：
复数的定义：设为方程的根，称为虚数单位，形如的数，称为复数.所有复数构成的集合称复数集,通常用来表示.
a为实部，b为虚部
2．复数集
3.两个复数相等的定义：
考点01：虚数单位i及其性质
1．复数（ ）
A．i B． C．1 D．
【答案】D
【分析】直接根据复数的运算得答案.
【详解】.
故选：D.
2．若复数满足方程（i是虚数单位），则（ ）
A．1 B．i C． D．
【答案】C
【分析】根据题意结合虚数单位的概念运算求解
【详解】因为，即，所以.
故选：C.
3．已知为虚数单位，则（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】A
【分析】根据的次方运算的周期性可得答案.
【详解】，
故选：A
考点02：复数的基本概念
4．已知，“”是“复数为虚数”的（ ）
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】根据复数的定义以及充要条件的定义，可得答案.
【详解】充分性：当时，显然为虚数，则“”是“复数为虚数”的充分条件；
必要性：复数为虚数，则必定，则“”是“复数为虚数”的必要条件，
综上所述，“”是“复数为虚数”的充分必要条件.
故选：C.
5．若复数是纯虚数，则实数的值为（ ）
A．0 B．2 C．3 D．0或2
【答案】B
【分析】根据复数的概念列方程求解即可得实数的值.
【详解】因为复数是纯虚数，所以，解得.
故选：B.
6．已知复数，则的虚部为（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】C
【分析】由复数虚部的概念即可得解.
【详解】由题意复数的虚部为.
故选：C.
考点03：求复数的实部与虚部
7．已知，，若，则z的虚部是（ ）
A．-2 B．1 C．-2i D．2i
【答案】A
【分析】根据复数相等求得，然后利用共轭复数的概念求虚部，即可求解．
【详解】由，可得，所以，所以的虚部是．
故选：A．
8．的实部与虚部互为相反数，则的取值可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】ACD
【分析】由实部和虚部互为相反数，结合二倍角公式可构造关于的一元二次方程，解方程求得，根据特殊角三角函数值和的范围可求得结果.
【详解】由题意得：，，
解得：或，，或或，
故选：ACD.
9．（多选）下列说法不正确的是（ ）
A．复数的虚部是 B．形如的数一定是虚数
C．若，，则是纯虚数 D．若两个复数能够比较大小，则它们都是实数
【答案】AB
【分析】根据复数的相关概念逐一判断即可.
【详解】复数的虚部是3，故A中说法不正确；
形如的数不一定是虚数，例如，当，时，不是虚数，故B中说法不正确；
只有当，，即时，是纯虚数，故C中说法正确；
因为虚数不能比较大小，所以若两个复数能够比较大小，则它们都是实数，故D中说法正确.
故选：AB.
考点04：复数的相等
10．若，，则复数等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用复数相等的条件即可得解.
【详解】由，得，则，
根据复数相等的充要条件得，解得，
故．
故选：B．
11．（多选）已知复数，则下列结论正确的是（　　）
A．的实部是
B．的虚部是
C．若，则
D．当且时，是纯虚数
【答案】ACD
【分析】根据复数实部和虚部的定义即可判断AB；根据复数相等的定义即可判断C；根据纯虚数的定义即可判断D.
【详解】复数，
则的实部是，虚部为，故A正确，B错误；
若，则，故C正确；
当且时，是纯虚数，故D正确.
故选：ACD.
12．（多选）若，且，则等于（ ）
A．4 B． C．2 D．0
【答案】AD
【分析】根据，列方程组求解即可.
【详解】因为，且，
所以，解得或，
所以或0．
故选：AD
考点05：复数的分类及辨析
13．已知，．若，则的值为（ ）
A．2 B．3 C．2或3 D．不存在
【答案】C
【分析】根据两个实数才能比较大小进行求解即可.
【详解】因为，
所以，解得或．
故选：C
14．（多选）对于复数，下列结论错误的是（ ）
A．若，则为纯虚数
B．若，则
C．若，则为实数
D．
【答案】AB
【分析】根据复数的概念判断AC，根据复数相等判断B，根据虚数单位的定义判断D.
【详解】对于A：当，，当时为实数，A错误；
对于B：若，则，B错误；
对于C：若，则为实数，C正确；
对于D：，D正确.
故选：AB.
15．（多选）下列命题不正确的是（ ）
A．复数不可能是纯虚数
B．若，则复数为纯虚数
C．若是纯虚数，则实数
D．若复数，则当且仅当时，为虚数
【答案】ACD
【分析】根据复数的概念逐项判断即可.
【详解】选项A中，当，时，复数是纯虚数，错误；
选项B中，时，为纯虚数，正确；
选项C中，若是纯虚数，则，即，
所以，错误；
选项D中，没有给出是实数，当时，
也是虚数，错误.
故选：ACD
考点06：已知复数的类型求参数
16．若，则“”是复数“为纯虚数”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】由复数为纯虚数求出参数的值，再根据充分条件、必要条件的定义判断即可.
【详解】由“”为纯虚数，得，解得，
故“”是复数“为纯虚数”的充要条件.
故选：C.
17．已知复数是纯虚数，则实数的值为（ ）
A． B．1或6 C． D．1
【答案】D
【分析】根据实部为零，虚部不为零列式计算.
【详解】由题意可得：且，则.
故选：D.
18．已知，则
【答案】3
【分析】由复数分类的定义可知，实部和虚部都为0，则复数为0，联立方程求解即可
【详解】因为，，
所以 解得.
所以.
故答案为：3.
考点07：根据相等条件求参数
19．已知，其中，i为虚数单位，则以为根的一个一元二次方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先根据复数相等求解出，然后再判断出能满足条件的方程即可.
【详解】因为，所以，
所以，所以，
因此所选方程的两根为，仅有符合要求，
故选：A.
20．已知复数，且，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】利用复数相等可得和三角函数的平方关系可得，再根据正弦函数的取值范围与二次函数的性质可得的取值范围.
【详解】复数，且，
所以，则
因为，所以，当时，，当时，
所以的取值范围是.
故选：B.
21．已知复数.
(1)若z为实数，求m的值.
(2)若z为纯虚数，求m的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据复数表示实数的条件列方程求参数m即可.
（2）根据复数表示纯虚数的条件列方程或不等式求参数m即可.
【详解】（1）由题意得，得，即.
（2）由题意得，得，即.

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