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7.1.2 复数的几何意义
知识点：1.复数的几何意义
对任意复数z=a+bi（a,b∈R），a称实部记作Re(z),b称虚部记作Im(z). z=ai称为代数形式，它由实部、虚部两部分构成；若将(a,b)作为坐标平面内点的坐标，那么z与坐标平面唯一一个点相对应，从而可以建立复数集与坐标平面内所有的点构成的集合之间的一一映射。因此复数可以用点来表示，表示复数的平面称为复平面，x轴称为实轴，y轴去掉原点称为虚轴，点称为复数的几何形式；如果将(a,b)作为向量的坐标，复数z又对应唯一一个向量。
2.复平面：建立直角坐标系来表示复数的平面叫复平面；，对应点坐标为；（象限的复习）
3.复数的摸
若向量表示复数，则称的模为复数的模，
(
复数
复平面
内的点
Z
（
a,b
）
平面向量
)
考点01：复数的坐标表示
1．如图，复平面内点所表示的复数为（每个小方格的边长为1）（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据复数的坐标表示分析判断.
【详解】由题意可知：点的坐标为，
所以复平面内点所表示的复数为.
故选：D.
2．在复平面内，复数和表示的点关于虚轴对称，则复数z＝（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据复数的几何意义求解即可.
【详解】由题意可得对应的点为，
该点关于虚轴对称的点为，所以复数对应的点为，
所以.
故选：B
3．已知复平面上有点和点，使得向量所对应的复数是，则点的坐标为 .
【答案】
【分析】先求出向量的坐标，根据可得点的坐标.
【详解】因向量所对应的复数是，
所以，
因，所以.
故答案为：.
考点02：在各象限内点对应复数的特征
4．已知是复平面内表示复数的点，若复数是虚数，则点P（ ）
A．在虚轴上 B．不在虚轴上 C．在实轴上 D．不在实轴上
【答案】D
【分析】根据复数的分类和其几何意义即可得到答案.
【详解】由题意得，则点P不在实轴上，则C错误，D正确，
若，则A错误，若，则其在虚轴上，则B错误，
故选：D.
5．（多选）已知复平面内表示复数：的点为，则下列结论中正确的为（ ）
A．若，则 B．若在直线上，则
C．若为纯虚数，则 D．若在第四象限，则
【答案】CD
【分析】根据复数的基本概念直接判断选项即可.
【详解】对于A，若，则，得，故A错误；
对于B，因为在直线上，所以，则，故B错误；
对于C，若为纯虚数，则，即，此时虚部不为0，故C正确；
对于D，若在第四象限，则，解得，故D正确.
故选：CD
6．（多选）若复数，则下列说法正确的是（ ）
A．若为实数，则
B．若为纯虚数，则或
C．在复平面内对应的点不可能在第二象限
D．在复平面内对应的点不可能在第三象限
【答案】AD
【分析】根据复数的类型即可求解的值，即可判断AB，根据复数对应点所在象限的特征即可判断CD.
【详解】对于A，令，A正确；
对于B，或，当时，不是纯虚数，B错误；
对于C，当时，，所以在复平面内对应的点在第二象限，C错误；
对于D，由于，故在复平面内对应的点不可能在第三象限，故D正确.
故选：AD
考点03：实轴、虚轴上点对应的复数
7．（多选）对于复数（，），下列说法正确的是（ ）
A．若，则为实数
B．若，则为纯虚数
C．若，，则在复平面上对应的点位于第四象限
D．若，则在复平面上对应的点的集合所构成的图形的面积为4
【答案】AC
【分析】根据复数的概念以及几何意义，结合圆的性质，可得答案.
【详解】对于A，由，，则，故A正确；
对于B，当时，，故B错误；
对于C，由，则其在复平面上对应的点为，由，，则该点在第四象限，故C正确；
对于D，，则在复平面上对应的点的集合所构成的图形为以原点为圆心，以为半径的圆，则其面积，故D错误.
故选：AC.
8．若复数在复平面内对应的点位于虚轴上，则实数的取值集合为 .
【答案】
【分析】根据复平面的概念以及复数的坐标表示列式可求出结果.
【详解】因为为实数，且复数在复平面内对应的点位于虚轴上，
所以，解得或.
故答案为：.
9．已知复数在复平面上对应的点为Z，
(1)求点Z在实轴上时，实数m的取值；
(2)求点Z在虚轴上时，实数m的取值；
(3)求点Z在第一象限时，实数m的取值范围.
【答案】(1)或；
(2)或；
(3)或.
【分析】（1）由实轴上点对应的复数虚部为0求解；
（2）由虚轴上的点对应的实部为0求解；
（3）根据第一象限中点的坐标对应实部、虚部正负列不等式组求解.
【详解】（1）因为点Z在实轴上，所以虚部，
解得或.
（2）点Z在虚轴上时,复数的实部为0，
所以，解得或.
（3）点Z在第一象限，复数的实部与虚部都大于0，
即，解得或.
考点04：求复数的模
10．已知复数（是虚数单位），则为（ ）
A． B．1 C．2 D．3
【答案】A
【分析】根据复数模长公式求出答案.
【详解】.
故选：A
11．已知复数满足，其中是虚数单位，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】求出复数，利用复数的模长公式可求得的值.
【详解】因为，则，故.
故选：B.
12．已知，则（ ）
A．2 B．4 C． D．8
【答案】C
【分析】根据复数的模长计算公式，可得答案.
【详解】因为，所以.
故选：C.
考点05：由复数模求参数
13．已知复数的模为5，则 .
【答案】
【分析】根据复数的模长公式，建立方程，可得答案.
【详解】由题意，可得，且，解得.
故答案为：.
14．已知复平面内复数对应的点在射线上，且，则 ．
【答案】
【分析】根据题意 得到复数，其中，结合，列出方程求得的值，即可求解.
【详解】由复平面内复数对应的点在射线上，所以，，其中，
因为，可得，
又因为，解得，所以.
故答案为：.
15．已知复数的模是且其虚部大于0，则实数 .
【答案】/1.8
【分析】根据模长公式及虚部大于0，列式求解即得.
【详解】由题可知,或，
且，
所以.
故答案为:.
考点06：与复数模相关的轨迹(图形)问题
16．复数满足，且在复平面内对应的点为Z，则复平面内点Z的轨迹是（ ）.
A．点 B．圆 C．线段 D．圆环
【答案】B
【分析】根据复数模的知识求得正确答案.
【详解】由于，故对应点到原点的距离为，
所以复平面内点Z的轨迹是单位圆.
故选：B
17．若复数满足，则复数在复平面内对应点组成图形的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据复数的几何意义判断在复平面对应的点是半径为2的圆及圆内所有点，进而求出其面积.
【详解】在复平面对应的点是半径为2的圆及圆内所有点，，
故选：D.
18．设复数满足，在复平面内对应的点为（x，y），则（ ）
A．y=x－1 B．y=－x－1 C．y=x+1 D．y=－x+1
【答案】B
【分析】根据复数的模长公式列出方程，整理后得到答案.
【详解】由已知得，化简得y＝－x－1，
故选：B．
考点07：判断复数对应的点所在的象限
19．设，则在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【分析】根据复数的几何意义求出即可.
【详解】因为，
所以对应复平面内点的坐标，
所以位于第二象限，
故选：B
20．若复数，则在复平面上的点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【分析】利用复数的几何意义即可求解.
【详解】复数在复平面上的对应的点为，
所以在复平面上的点在第四象限.
故选：D.
21．已知，若复数为纯虚数，则复数在复平面内对应的点所在的象限为（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【分析】先由复数为纯虚数，求出的值，从而可求出复数在复平面内对应的点所在的象限
【详解】因为为纯虚数，
所以，解得，
所以复数，其复平面内对应的点在第四象限，
故选：D
考点08：根据复数的坐标写出对应的复数
22．复数与复平面内的点一一对应，则复平面内的点对应的复数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由复数的几何意义得到复平面内的点对应的复数.
【详解】复平面内的点对应的复数为.
故选：A
23．在复平面内，复数对应的点关于直线对称，若，则（ ）
A． B．2 C． D．4
【答案】C
【分析】根据对称性得到，从而计算出，求出模长.
【详解】对应的点为，其中关于的对称点为，
故，
故.
故选：C
24．在复平面内，复数与所对应的向量分别是和，其中O是原点，则向量对应的复数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据复数的几何意义即可求解.
【详解】解：因为复数与所对应的向量分别是和，其中O是原点，
所以，，
所以，
所以对应的复数为，
故选：D.
考点09：根据复数对应坐标的特点求参数
25．（多选）在复平面内，复数对应的点位于第四象限，则实数的可能取值为（ ）
A．2 B．0 C． D．1
【答案】AD
【分析】根据复数的几何意义求出的取值范围，即可判断.
【详解】复数在复平面内对应的点的坐标为位于第四象限，
则，所以符合题意的只有A、D.
故选：AD
26．当实数为何值时，．
(1)为纯虚数；
(2)复数对应的点在直线．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由纯虚数定义列方程组求参数即可；
（2）由题意，即可求参数.
【详解】（1）由题意，则，可得.
（2）由题意，可得.
27．已知复数：，.
(1)若复数在复平面上对应的点在虚轴上，求的值.
(2)若复数在复平面上对应的点在第一象限，求的范围.
【答案】(1)或
(2)或
【分析】（1）复数在复平面上对应的点在虚轴上可知实部为零,解之可得;
（2）复数在复平面上对应的点在第一象限，可知实部虚部都大于零，解之可得的范围.
【详解】（1），且复数在复平面上对应的点在虚轴上
解得或
（2），且复数在复平面上对应的点在第一象限
即
则
解得：或7.1.2 复数的几何意义
知识点：1.复数的几何意义
对任意复数z=a+bi（a,b∈R），a称实部记作Re(z),b称虚部记作Im(z). z=ai称为代数形式，它由实部、虚部两部分构成；若将(a,b)作为坐标平面内点的坐标，那么z与坐标平面唯一一个点相对应，从而可以建立复数集与坐标平面内所有的点构成的集合之间的一一映射。因此复数可以用点来表示，表示复数的平面称为复平面，x轴称为实轴，y轴去掉原点称为虚轴，点称为复数的几何形式；如果将(a,b)作为向量的坐标，复数z又对应唯一一个向量。
2.复平面：建立直角坐标系来表示复数的平面叫复平面；，对应点坐标为；（象限的复习）
3.复数的摸
若向量表示复数，则称的模为复数的模，
(
复数
复平面
内的点
Z
（
a,b
）
平面向量
)
考点01：复数的坐标表示
1．如图，复平面内点所表示的复数为（每个小方格的边长为1）（ ）
A． B． C． D．
2．在复平面内，复数和表示的点关于虚轴对称，则复数z＝（ ）
A． B． C． D．
3．已知复平面上有点和点，使得向量所对应的复数是，则点的坐标为 .
考点02：在各象限内点对应复数的特征
4．已知是复平面内表示复数的点，若复数是虚数，则点P（ ）
A．在虚轴上 B．不在虚轴上 C．在实轴上 D．不在实轴上
5．（多选）已知复平面内表示复数：的点为，则下列结论中正确的为（ ）
A．若，则 B．若在直线上，则
C．若为纯虚数，则 D．若在第四象限，则
6．（多选）若复数，则下列说法正确的是（ ）
A．若为实数，则
B．若为纯虚数，则或
C．在复平面内对应的点不可能在第二象限
D．在复平面内对应的点不可能在第三象限
考点03：实轴、虚轴上点对应的复数
7．（多选）对于复数（，），下列说法正确的是（ ）
A．若，则为实数
B．若，则为纯虚数
C．若，，则在复平面上对应的点位于第四象限
D．若，则在复平面上对应的点的集合所构成的图形的面积为4
8．若复数在复平面内对应的点位于虚轴上，则实数的取值集合为 .
9．已知复数在复平面上对应的点为Z，
(1)求点Z在实轴上时，实数m的取值；
(2)求点Z在虚轴上时，实数m的取值；
(3)求点Z在第一象限时，实数m的取值范围.
考点04：求复数的模
10．已知复数（是虚数单位），则为（ ）
A． B．1 C．2 D．3
11．已知复数满足，其中是虚数单位，则（ ）
A． B． C． D．
12．已知，则（ ）
A．2 B．4 C． D．8
考点05：由复数模求参数
13．已知复数的模为5，则 .
14．已知复平面内复数对应的点在射线上，且，则 ．
15．已知复数的模是且其虚部大于0，则实数 .
考点06：与复数模相关的轨迹(图形)问题
16．复数满足，且在复平面内对应的点为Z，则复平面内点Z的轨迹是（ ）.
A．点 B．圆 C．线段 D．圆环
17．若复数满足，则复数在复平面内对应点组成图形的面积为（ ）
A． B． C． D．
18．设复数满足，在复平面内对应的点为（x，y），则（ ）
A．y=x－1 B．y=－x－1 C．y=x+1 D．y=－x+1
【
考点07：判断复数对应的点所在的象限
19．设，则在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
20．若复数，则在复平面上的点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
21．已知，若复数为纯虚数，则复数在复平面内对应的点所在的象限为（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
考点08：根据复数的坐标写出对应的复数
22．复数与复平面内的点一一对应，则复平面内的点对应的复数是（ ）
A． B． C． D．
23．在复平面内，复数对应的点关于直线对称，若，则（ ）
A． B．2 C． D．4
24．在复平面内，复数与所对应的向量分别是和，其中O是原点，则向量对应的复数为（ ）
A． B． C． D．
考点09：根据复数对应坐标的特点求参数
25．（多选）在复平面内，复数对应的点位于第四象限，则实数的可能取值为（ ）
A．2 B．0 C． D．1
26．当实数为何值时，．
(1)为纯虚数；
(2)复数对应的点在直线．
27．已知复数：，.
(1)若复数在复平面上对应的点在虚轴上，求的值.
(2)若复数在复平面上对应的点在第一象限，求的范围.

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