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7.2复数的四则运算
知识点：1.复数的四则运算
设，
（1）加法：，即实部与实部相加，虚部与虚部相加；
（2）减法：，即实部与实部相减，虚部与虚部相减；
（3）乘法： ， 特别；
（4）除法（是均不为0的实数）的化简就是通过分母实数化的方法将分母化为实数，即分子分母同时乘以分母的共轭复数，然后再化简：；
（5）四则运算的交换率、结合率；分配率都适合于复数的情况。即对有:
, ,
2. 共轭复数
若两个复数的实部相等，而虚部是互为相反数时，这两个复数叫互为共轭复数；特别地，虚部不为的两个共轭复数也叫做共轭虚数；【注：两个共轭复数之差是纯虚数.（×）[之差可能为零，此时两个复数是相等的]】
若z=a+bi，则的共轭复数记作；
为实数，为纯虚数(b≠0).
共轭复数的性质：⑴ ;⑵；⑶;⑷; （5）；（6）若，则.
3. 复数的摸
若向量表示复数，则称的模为复数的模，
4.一些常用的结论
1两个复数不能比较大小，只能由定义判断它们相等或不相等（两个复数，如果不全是实数，就不能比较大小.）。
⑴若为复数
：当时，则（×）[为复数，而不是实数]；
：当时，则.（√）
⑵若，则是的必要不充分条件.（当， 时，上式成立）
2 性质：T=4；；
3复数相等的充要条件：两个复数实部和虚部分别对应相等。
4复数z是实数的充要条件是z=;z是纯虚数的充要条件是：z+=0（且z≠0）.
考点01：复数加减法的代数运算
1．已知复数，，则的实部与虚部分别为（ ）
A．， B．， C．， D．，
2．计算：
(1)；(2)；
(3)；(4)．
考点02：复数加减法几何意义的运用
3．复数与分别表示向量与，则表示向量的复数为（ ）
A． B． C． D．
4．已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
考点03：根据复数的加减运算结果求参数
5．设z1=2+b，z2=a+，当z1+z2=0时，复数a+b为（ ）
A．1+ B．2+
C．3 D．
6．已知，，其中为实数，为虚数单位，若，则的值为 ．
考点04：根据复数加减运算结果求复数特征.
7．复数对应的点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
8．如果一个复数的实部和虚部相等，则称这个复数为“等部复数”，若复数（其中）为“等部复数”，则复数在复平面内对应的点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
考点05：复数代数形式的乘法运算
9．（多选）若，且，则（ ）
A． B． C． D．
10．（多选）已知是虚数单位，是复数，且，则下列说法正确的是（ ）
A．在复平面上对应的点位于第一象限 B．在复平面上对应的点位于第二象限
C． D．
考点06：复数的乘方
11．（多选）若复数，下列说法正确的是（ ）
A．若z在复平面内对应点位于第二象限，则
B．若z为纯虚数，则
C．若，则
D．若，则
12．（多选）设n是正整数，当一个数的n次乘方等于1时，称此数为n次“单位根”；在复数范围内，n次单位根有n个，例如，是的四个根；1，，是的三个根，则下列式子正确的是（ ）
A． B． C． D．
考点07：复数范围内分解因式
13．已知是关于的方程的一个根，则实数的值为（ ）
A．8 B． C．4 D．
14．已知复数z满足，则（ ）
A．1 B． C． D．
考点08：复数范围内方程的根
15．在复数范围内分解因式= .
16．在复数范围内因式分解： ．
考点09：共轭复数的概念及计算
17．已知为虚数单位，且，则（ ）
A．1 B． C． D．2
18．已知复数满足，其中为的共轭复数，则的虚部为（ ）
A． B． C． D．1
考点10：复数的除法运算
19．已知为虚数单位，则复数的虚部为（ ）
A． B． C．0 D．1
20．计算复数（ ）
A． B．
C． D．
考点11：复数的平方根与立方根
21．（多选）在代数史上，代数基本定理是数学中最重要的定理之一，它说的是：任何一元次复系数多项式 在复数集中有个复数根（重根按重数计）.在复数集范围内，若是的一个根，则=（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
22．的平方根为
考点12：根据复数乘法运算结果求复数的特征
23．复数在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
24．已知复数，则的虚部为（ ）
A．2 B． C． D．
考点13：根据复数乘法运算结果求参数
25．若，其中，则（　　）
A．3 B．2 C．-2 D．-3
26．设，其中，是实数，是虚数单位，则（ ）
A．1 B． C． D．2
考点14：根据除法运算结果求参数
27．已知（，为虚数单位），则（ ）
A． B．3 C．1 D．2
28．已知为虚数单位，若，则（ ）
A．1 B． C． D．2
考点15：根据除法运算结果求复数特征
29．若复数z满足z（1＋i）＝2（i为虚数单位），则在复平面内复数z对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
30．复数满足，则在复平面内对应的点位于（ ）
A．实轴 B．虚轴 C．第一象限 D．第四象限
考点16：求共轭复数的复数特征
31．设复数，则的共轭复数在复平面内对应的点在第（ ）
A．一象限 B．二象限
C．三象限 D．四象限
32．若复数满足，则复数的虚部是（ ）
A． B． C． D．7.2复数的四则运算
知识点：1.复数的四则运算
设，
（1）加法：，即实部与实部相加，虚部与虚部相加；
（2）减法：，即实部与实部相减，虚部与虚部相减；
（3）乘法： ， 特别；
（4）除法（是均不为0的实数）的化简就是通过分母实数化的方法将分母化为实数，即分子分母同时乘以分母的共轭复数，然后再化简：；
（5）四则运算的交换率、结合率；分配率都适合于复数的情况。即对有:
, ,
2. 共轭复数
若两个复数的实部相等，而虚部是互为相反数时，这两个复数叫互为共轭复数；特别地，虚部不为的两个共轭复数也叫做共轭虚数；【注：两个共轭复数之差是纯虚数.（×）[之差可能为零，此时两个复数是相等的]】
若z=a+bi，则的共轭复数记作；
为实数，为纯虚数(b≠0).
共轭复数的性质：⑴ ;⑵；⑶;⑷; （5）；（6）若，则.
3. 复数的摸
若向量表示复数，则称的模为复数的模，
4.一些常用的结论
1两个复数不能比较大小，只能由定义判断它们相等或不相等（两个复数，如果不全是实数，就不能比较大小.）。
⑴若为复数
：当时，则（×）[为复数，而不是实数]；
：当时，则.（√）
⑵若，则是的必要不充分条件.（当， 时，上式成立）
2 性质：T=4；；
3复数相等的充要条件：两个复数实部和虚部分别对应相等。
4复数z是实数的充要条件是z=;z是纯虚数的充要条件是：z+=0（且z≠0）.
考点01：复数加减法的代数运算
1．已知复数，，则的实部与虚部分别为（ ）
A．， B．， C．， D．，
【答案】A
【分析】应用复数加法求，根据实部、虚部定义得答案.
【详解】因为，，所以，其实部与虚部分别为，.
故选：A
2．计算：
(1)；(2)；
(3)；(4)．
【详解】（1）
（2）
（3）
（4）
考点02：复数加减法几何意义的运用
3．复数与分别表示向量与，则表示向量的复数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据及向量的复数表示，运算得到答案.
【详解】复数与分别表示向量与，
因为，所以表示向量的复数为.
故选：D.
4．已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据复数加减运算的几何意义运算求解.
【详解】在复平面中，设分别与向量对应，
由题意可得，，
因为，
即，解得，即.
故选：B.
考点03：根据复数的加减运算结果求参数
5．设z1=2+b，z2=a+，当z1+z2=0时，复数a+b为（ ）
A．1+ B．2+
C．3 D．
【答案】D
【分析】由已知可得(2+a)+(b+1)=0，即可求，写出复数a＋b即可.
【详解】因为z1+z2=(2+b)+(a+)=(2+a)+(b+1)=0，
所以于是
故.
故选：D.
6．已知，，其中为实数，为虚数单位，若，则的值为 ．
【答案】
【分析】根据复数相等的充要条件列出方程组解出即可.
【详解】由题意可得，即，
根据两个复数相等的充要条件可得，解得，
故答案为：.
考点04：根据复数加减运算结果求复数特征.
7．复数对应的点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【分析】根据复数的运算法则，求得复数为，结合复数的几何意义，即可求解.
【详解】由复数，可得复数在复平面内对应的点位于第二象限.
故选：B.
8．如果一个复数的实部和虚部相等，则称这个复数为“等部复数”，若复数（其中）为“等部复数”，则复数在复平面内对应的点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】A
【分析】根据题意求得，得到，化简，结合复数的几何意义，即可求解.
【详解】因为复数（其中）为“等部复数，可得，
即，可得，
则在复平面内对应的点为位于第一象限.
故选：A.
考点05：复数代数形式的乘法运算
9．（多选）若，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】AD
【分析】根据复数的乘法运算和复数相等的定义计算即可.
【详解】因为，
所以.
故选：AD.
10．（多选）已知是虚数单位，是复数，且，则下列说法正确的是（ ）
A．在复平面上对应的点位于第一象限 B．在复平面上对应的点位于第二象限
C． D．
【答案】BD
【分析】根据复数的乘除运算求出，利用复数的几何意义可判断A、B；利用复数模的求法可判断C、D.
【详解】由，
则，
所以在复平面上对应的点为，
即在复平面上对应的点位于第二象限.
所以.
故选：BD
考点06：复数的乘方
11．（多选）若复数，下列说法正确的是（ ）
A．若z在复平面内对应点位于第二象限，则
B．若z为纯虚数，则
C．若，则
D．若，则
【答案】ABC
【分析】求出a，b正负判断A；利用纯虚数判断B；利用复数的乘法结合复数是实数的条件判断C；计算复数的乘方判断D作答.
【详解】对于A，z在复平面内对应点位于第二象限，则，有，A正确；
对于B，z为纯虚数，则且，B正确；
对于C，，而，则，C正确；
对于D，，则，D错误.
故选：ABC
12．（多选）设n是正整数，当一个数的n次乘方等于1时，称此数为n次“单位根”；在复数范围内，n次单位根有n个，例如，是的四个根；1，，是的三个根，则下列式子正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABD
【分析】根据复数模运算法则计算判断A；根据通过因式分解进而判断B；通过复数的计算即可判断C和D.
【详解】对于A选项，，故A正确；
对于B选项，因为，而是的一个根，则，故B正确；
对于C选项，，，故C错误；
对于D选项，，故D正确.
故选：ABD
考点07：复数范围内分解因式
13．已知是关于的方程的一个根，则实数的值为（ ）
A．8 B． C．4 D．
【答案】A
【分析】利用复数的四则运算即可得解.
【详解】因为是关于的方程的一个根，
所以，则.
故选：A.
14．已知复数z满足，则（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】A
【分析】根据原式求出再求模即可.
【详解】由，得，
则，
所以，则.
故选：A
考点08：复数范围内方程的根
15．在复数范围内分解因式= .
【答案】
【分析】先求得的根，然后进行因式分解.
【详解】由得，
解得，
所以.
故答案为：
16．在复数范围内因式分解： ．
【答案】或
【分析】将式子变形，构造出平方差形式在因式分解.
【详解】因为，
所以
①，
②，
故答案为：或.
考点09：共轭复数的概念及计算
17．已知为虚数单位，且，则（ ）
A．1 B． C． D．2
【答案】D
【分析】根据复数的乘法运算可得，结合共轭复数的概念可得，相乘即可求解.
【详解】由题意知，，即，
所以，所以.
故选：D
18．已知复数满足，其中为的共轭复数，则的虚部为（ ）
A． B． C． D．1
【答案】A
【分析】先设出复数；再利用复数的运算法则得出；最后根据复数相等的充要条件即可求解.
【详解】设.
所以
因为,
所以，
所以，解得.
故选A．
考点10：复数的除法运算
19．已知为虚数单位，则复数的虚部为（ ）
A． B． C．0 D．1
【答案】D
【分析】利用复数的除法运算，得到复数的代数形式，由此求得复数的虚部.
【详解】因为，所以虚部为1.
故选：D．
20．计算复数（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】利用复数的除法运算法则求解即可.
【详解】，
故选：A.
考点11：复数的平方根与立方根
21．（多选）在代数史上，代数基本定理是数学中最重要的定理之一，它说的是：任何一元次复系数多项式 在复数集中有个复数根（重根按重数计）.在复数集范围内，若是的一个根，则=（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】AD
【分析】分解因式，求解的值，分别代入计算.
【详解】解：因为，所以，即，所以或.即或.
当时，；
当时，.
故选：AD
22．的平方根为
【答案】或
【分析】设的平方根为(为实数)，根据平方根的定义得到，然后根据复数相等的条件求出的值，即可求出平方根.
【详解】设的平方根为(为实数)，则
，即，
所以，解得 或 ，
所以的平方根为或.
故答案为：或.
考点12：根据复数乘法运算结果求复数的特征
23．复数在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【分析】根据复数的乘法运算求得z，然后根据复数与对应点的关系，可得结果.
【详解】因为，
所以复数z在复平面内对应的点位于第四象限.
故选：D.
24．已知复数，则的虚部为（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】C
【分析】根据复数乘除法运算法则得到，再结合虚部的定义判断即可.
【详解】，则的虚部为-2.
故选：C.
考点13：根据复数乘法运算结果求参数
25．若，其中，则（　　）
A．3 B．2 C．-2 D．-3
【答案】D
【分析】等式左侧展开，应用两个复数相等（实部等于实部且虚部等于虚部）列方程组求解即可.
【详解】∵
∴ 解得
故选：D.
26．设，其中，是实数，是虚数单位，则（ ）
A．1 B． C． D．2
【答案】D
【分析】利用复数的乘法运算法则化简后，根据复数相等的条件即可得解.
【详解】,
为实数，所以,
故选：D.
考点14：根据除法运算结果求参数
27．已知（，为虚数单位），则（ ）
A． B．3 C．1 D．2
【答案】B
【分析】根据复数的四则运算、复数相等的概念即可求得的值，可得结果.
【详解】由，
可得，，
因此．
故选：B．
28．已知为虚数单位，若，则（ ）
A．1 B． C． D．2
【答案】B
【分析】由复数的除法运算公式将其化为可求得a，b的值，再由分数指数幂与根式互化公式 可求得结果.
【详解】∵
∴
∴
故选：B.
考点15：根据除法运算结果求复数特征
29．若复数z满足z（1＋i）＝2（i为虚数单位），则在复平面内复数z对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【分析】根据复数的乘除法运算，求得，再求其对应点即可判断.
【详解】∵，∴，
∴在复平面内复数z对应的点位于第四象限．
故选：D．
30．复数满足，则在复平面内对应的点位于（ ）
A．实轴 B．虚轴 C．第一象限 D．第四象限
【答案】B
【分析】利用复数的乘除运算可解.
【详解】解：由题意得：
所以复平面内对应的点位于虚轴上
故选：B
考点16：求共轭复数的复数特征
31．设复数，则的共轭复数在复平面内对应的点在第（ ）
A．一象限 B．二象限
C．三象限 D．四象限
【答案】A
【分析】利用共轭复数的定义结合复数的几何意义可得出结论.
【详解】由题意可知，复数的共轭复数为，
则复数在复平面内对应的点的坐标为，位于第一象限.
故选：A.
32．若复数满足，则复数的虚部是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据复数模和四则运算，即可得到答案；
【详解】
，
复数的虚部是，
故选：C.

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