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函数的图像与性质
1．【答案】．
【解析】设，则
．
所以为奇函数，的图像关于原点对称．
所以的图像关于点对称．
2．【答案】．
【解析】（用排除法）令，则得．
若，则，与矛盾；
若，则，与“在区间上单调递增”矛盾；
若，则，也与“在区间上单调递增”矛盾．
3．【答案】．
【解析】画出图像．当时，显然在区间上不可能有两个解．
当时，若，即时，只需要在区间内有且只有一个根，即，故，此时得到；
当时两个根相等且都是1，不合题意；当-时，在区间内无解，则要求在区间内有两个不等实根，但此时不合题意．
4．【答案】．
【解析1】由题设条件知
因此有，故
．
【解析2】令，则
，
，
即，，
故，
得是周期为2的周期函数，所以
．
5．【答案】．
【解析】若为有理数，且．设，由知，，．
当时，不存在；
当时，存在唯一的，此时，；
当时，设，其中，且，此时．
因为，所以若为有理数，则当时，取最大值．
又为无理数，且当时，．
综上所述，在区间上的最大值为
6．【答案】．
【解析】若，即或，则由恒成立，得，，由解得，从而或．
若，则符合题意．
若，即，则由恒成立，得，
由，解得或，从而．综上所述，的取
值范围是．
7．【答案】．
【解析】函数的定义为．
当时，有，，所以；
当时，有，，所以．
所以，原函数的定义域为．
8．【答案】．
【解析】由题设知则．因此，原不等式等价于．
因为在上是增函数，所以，即．又，所以当时，取得最大值．因此，，解得．故的取值范围是．
9．【解析】运用单调性的定义．
（1）当时，，当且仅当时不等式成立，所以；又时，，故的值域为．
（2）任取，，
，
由于在定义域内为增函数，故，，从而有，所以，该不等式对恒成立，故．
10．【解析】构造函数令，则
，
所以是上以1为周期的周期函数；又由条件当时有可得，当时，，所以周期函数在上有，据此知，
在上，．
11．【解析】由题意，函数图像为开口向上的抛物线，且在区间上的最大值只能在闭区间的端点处取得，故有，从而且．
若有实根，则，在区间上有
，即，消去，解出，
即，这时，且．
若无实根，则，将代入，解得．
综上所述，，所以，在区间上，关于的二次函数单调递减，故．
12．【解析】（1），显然，当时，
（与无关），故定点为．
（2）的顶点的坐标为消去，得，这就是的顶点所在的那条抛物线方程，即．
（3）解法设，即的两个整数根为和，且，则消去，得，
，
，
所以（41是素数），从而
或或．
以上仅是必要条件，下面来逐一检验：
当时，方程为，即，解方程，得，合乎题目要求．当时，方程为，即，解方程，得，合乎题目要求．
综上所述，所求的整数或23．
解法2：（利用判别式）设，即的两个整数根为和，且，则，而
，
于是是非负整数．
所以（41是素数），从而或或．
检验如下：
当时，或，合乎题目要求．
当时，或，合乎题目要求．
综上所述，所求的整数或23．
13．【解析】，令，可知是奇函数，且严格单调，所以，当时，，所以，以，即图像和轴交点的坐标为．
14．【解析】先作出的图像（答图中实线部分，然后将图像上所有点的纵坐标扩大2倍而横坐标不变，再将所得图像向下平移1单位，并保留轴上方的部分，将轴下方的部分对称地翻折到轴上方，便得的图像，如答图所示．
同样的方法，可作函数的图像，如答图所示，它与直线在上有8个交点．因此，原方程有8个实数解．
15．【解析】（1）若函数有奇偶性，则无论奇偶，由有，又，令，则，这与在闭区间上，只有矛盾，故函数无奇偶性．
又，故在闭区间和上均有两个解，从而可知函数在闭区间上有402个解，在闭区间上有400个解，所以函数在闭区间上共有802个解．
16．【解析】解法的定义域为，当时，；，当时，，从而当时有最大值．
解法2：的定义域为，令，，，
因为，所以，即．①
因为，所以，代入式①，得，易知，即
②
所以，．
当时，式①、式②同时取等号，故有最大值．
解法3：的定义域为，，因为后在上都是减函数，所以当时有最大值．
评注 解法1运用知识点“若，，同时在处取得最大值”，则在处取得最大值；解法2运用不等式的放缩法求解；解法3运用知识点“若在闭区间上为单调函数，则在端点处取得最值”．函数的图像与性质
知识方法扫描
一、映射
对于任意两个集合与，依对应法则，若对巾的任意一个元素，在中都有唯一一个元素与之对应，则称为一个映射．若：是一个映射，对任意，且，都有则称之为单射．若是映射且对任意，都存在一个，使得，则称是到上的满射．若既是单射又是满射，则叫作一一映射．一一映射存在逆映射，即从到由相反的对应法则构成的映射，记作．
二、函数的基本性质
1．单调性：设函数在区间上满足对任意的，并且，总有，则称在区间上是增（减）函数，区问称为单调增（减）区间．
2．奇偶性：设函数的定义域为，且是关于原点对称的数集，若对于任意的，都有，则称是奇函数；若对任意的，都有，则称是偶函数．奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于轴对称．
3．周期性：对于函数，如果存在一个不为零的常数，使得当取定义域内每一个数时，总成立，则称为周期函数，称为这个函数的周期，如果周期中存在最小的正数，则这个正数叫作函数的最小正周期．
4．点集称为函数的图像，其中为的定义域．函数的图像与其他函数图像之间的关系为
（1）向右平移个单位得到的图像；
（2）向左平移个单位得到的图像；
（3）向下平移个单位得到的图像；
（4）与函数的图像关于轴对称；
（5）与函数的图像关于原点成中心对称；
（6）与函数的图像关于直线对称；
（7）与函数的图像关于轴对称．
5．对勾函数的单调递增区间是和，单调递减区间为和．（请读者自己用定义证明）
6．连续函数的性质：若，在上连续，且，则在区间内至少有一个实根．
处理函数问题时考生要注意运用数形结合思想．经常要将函数与方程结合起来一起考虑．要求熟练掌握常用的基本初等函数（二次函数、指数、对数、三角函数）的图像与性质．还要注意函数中的应用性、开放性和探索性问题．
典型例题剖析
【例1】已知实数，满足，求．
【分析】利用函数的单调性和奇偶性．
【解】由已知有．
令，可知该函数是奇函数，且严格单调递增，故，即．所以，即．
评注 这类问题一般是利用函数的特殊性质来解决．
【例２】设是一个给定的实数，试求所有的函数：为全体实数的集合），使得对于任何的，都有及．
【分析】由可得，，又由，于是可考虑从，的最小公倍数12入手将两者联系起来．
【解】由知，，则．
由知，，
则所以，
所以．于是由，所以．综上可知，当时，；当时，不存在．
评注 这类问题对函数的周期性进行挖掘和延伸，值得留意．
【例3】已知，求的最小值
【分析】本题结构较为复杂，颇难处理，但若将条件变形为并自然联想起函数的单调性，则问题迎刃而解．
【解】已知条件可以变形为．
构造函数，则以上不等式即为．由于，易知在与上均单调递增，于是在上单调递增．所以由知，，又因为，所以，所以，当且仅当时等号成立．
评注 灵活利用函数的性质解题，往往可以事半功倍．
【例4】求的最小值．
【分析】绝对值型函数的最值问题，可以考虑绝对值的几何意义，也可以首先分析最值点可能在哪些地方取得进行突破．
【解法1】由绝对值的几何意义，想到将整理为
，
共项，则表示数轴上点到，
，这个点距离之和，由于，
所以的最小值在第和第个点之间取得，又由于，则，所以第和第个点均
为，所以．
【解法2】当与时，均有，且为连续函数，
由图像知， 的最小值只可能在转折点处取
得，则
又由于，所以的最小值一定在，两者中取得，而．
所以，当时，．
评注 解法1从绝对值的几何意义出发求最值，解法2从函数图像的角度分析求最值．
【例5】求函数的值域．
【分析】要求函数的最值或值域，首先考虑函数在定义域内的单调性．
【解法1】函数的定义域为．
（1）当时，易知函数，，于是，，当时等号取得．
（2）当时，．因为
，则，则，所以．
所以，原函数的值域为．
【解法2】由得，
（1）当时，易知函数是增函数，故，从而．
当时，易知函数是减函数，
故，从而，即．
【解法3】由得，
平方后即，解得，由，解得．
所以，原函数的值域为．
评注 随着学习的进一步深入，处理手段的增多，该题还会有一些其他解法（如求导、三角代换等）．
【例6】试构造函数、，其定义域为，值域为，并且对任意的，只有一解，而则有无穷多解．
【分析】构造函数的主要难点在于定义域为开区间而值域为闭区间．
【解】事实上，题目要求构造的函数是一个单射，为了使定义域为，值域为，我们构造这样的：
易验证， 满足题设的条件．而题目要求构造的函数不是一个单射，在我们所接触的函数中，最常见的非单射的函数是三角函数．设，易知，满足题设的条件．
评注 本题有大学数学的风格．
【例7】讨论关于的方程的根的个数．
【分析】要求方程的根的个数，我们可考虑画出函数和的图像，前者可采用零点分段法去掉绝对值符号变为分段函数，后者是经过定点的直线．
【解】原方程的根的个数即函数与的图像
的交点个数（图2-1），
利用绝对值函数的零点分段讨论法，不难得到．
另一方面，一次函数恒过定点，经计算，可得的分界点为，所以，可以得到方程根的个数为
评注 利用数形结合的方法，将代数问题几何化避免了复杂的计算，正如华罗庚教授的名言：数缺形时少直观，形缺数时难入微．
【例8】已知函数．
（1）是否存在实数和，使得函数的定义域和值域都是 若存在，请求出和的值；若不存在，请说明理由．
（2）若存在实数和，使得函数的定义域是，值域是，求实数的取值范围．
【分析】需要利用函数的单调性、不等式关系，以及代数方程来讨论．
【解】（1）不存在满足题目条件的实数和．事实上，若存在满足题目条件的实数和，则有．故．
（i）当，时，在区间上为减函数，所以即．
由此推得，与已知矛盾，故此时不存在满足题目条件的实数和
（ii）当时，在区间上为增函数，
所以
即，于是和为方程的实根．
而此时这个方程无实根，故此时也不存在满足题目条件的实数和
（iii）当，时，显然，而，所以，这与中的无法取0矛盾．综上可知，不存在满足题目条件的实数和．
（2）若存在实数和满足的定义域是，值域是，易得．仿（1）知，当或，时，满足题目条件的实数和不存在．
只有当时，在上为增函数，有
即，
于是和为方程的两个大于1的实根．
所以要满足解得．
所以的取值范围为．
评注 解决此类探索性问题时需要充分利用题设条件．
同步训练
一、选择题
1．函数的图像的对称中心是（ ）．
A． B． C． D．
2．函数是区间上的单调递增函数，当时，，且，则的值等于（ ）．
A． B． C． D．
二、填空题
3．已知，若关于的方程在区间内有两个不同的解，则的取值范围是 ．
4．设是定义在上的函数，若，且对任意，满足， ，则 ．
5．已知函数，
则函数在区间上的最大值为 ．
6．若对满足的一切，恒成立，则的取值范围是 ．
7．已知函数的定义域为，则函数的定义域为 ．
8．设是定义在上的奇函数，且当时，．若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是 ．
三、解答题
9．已知函数的定义域为．
（1）当时，求函数的值域；
（2）若函数在定义域内为增函数，求实数的取值范围．
10．设函数满足：，且当时有，证明：当时，有．
11．设．当时，，在区间上的最大值为1，求的最大值和最小值．
12．设是实数，．
（1）求证：所有这样的抛物线都经过同一个定点，并求出点的坐标；
（2）求证：所有这样的抛物线的顶点都在同一条抛物线上，并求出的解析式；
（3）求出所有的，使得与轴的两个交点皆为整数点（即的根均是整数）．
13．求的图像与轴交点的坐标．
14．已知，，求方程的实数解的个数．
15．设函数在上满足，且在闭区间上，只有．
（1）试判断函数的奇偶性；
（2）试求方程在闭区间上根的个数，并证明你的结论．
16．对实数，求函数的最大值．

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