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函数的应用
题型1 求函数的零点
1．（2023上·江苏宿迁·高一校考阶段练习）函数的零点为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】解方程，求出零点.
【详解】令，解得或，
故的零点为.
故选：A
2．（2023上·云南·高一云南师大附中校考期末）函数的零点个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【分析】直接根据函数零点定义将零点求出来即可.
【详解】函数的定义域为，令，解得，
则函数的零点个数是1个.
故选：B．
3．（2023上·吉林·高一校联考期末）函数的零点个数为（ ）
A．l B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】先解出时，函数的零点；当时，令，根据函数的单调性，结合零点存在定理，即可得出答案.
【详解】当时，由，解得或或1（舍去）；
当时，由，
令，
由以及均在上单调递增可得，
在上单调递增.
又，，
根据零点存在定理可得，在上存在一个零点，
根据函数的单调性可知，在上存在唯一零点，
所以，存在唯一解.
综上所述，的零点个数为3.
故选：C.
4．（2023上·江苏·高一专题练习）函数的零点为（ ）
A．(1，0) B．1 C．e D．
【答案】B
【分析】根据函数零点的定义可知，函数的零点即为时的横坐标.
【详解】根据零点的定义，将x＝1代入函数，
则即零点为：1.
故选：B．
5．（2023上·河南郑州·高一校考阶段练习）函数零点是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】A
【分析】分和两种情况，直接解方程即可.
【详解】当时，由解得；
当时，令，显然无实数解.
综上，函数的零点为0.
故选：A
题型2 已知函数的零点求参数
1．（2023下·江苏宿迁·高一统考期中）函数有且只有一个零点，则实数m的值为（ ）
A．9 B．12 C．0或9 D．0或12
【答案】C
【分析】令，将函数零点转化成方程的根，再对进行分类讨论即可得到结果.
【详解】因为，令，得到，
当时，，得到，满足题意，
当时，因为函数有且只有一个零点，故，得到，综上，或.
故选：C.
2．（2023·高一课时练习）已知2是函数（为常数）的零点，且，则的值为 （ ）
A． B． C．4 D．3
【答案】C
【分析】由题意可得，得，从而可得函数解析式为，从而由可求出的值
【详解】因为2是函数（为常数）的零点，
所以，得，所以，
因为，所以，得，
故选：C
3．（2023·高一课时练习）函数的零点为，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由已知可得，即可求得实数的值.
【详解】由题意得，即．
故选：B.
4．（2023·全国·高一专题练习）若关于x的方程有两个实根1，2，则函数的零点为（ ）
A．1，2 B．-1，-2 C．1， D．-1，
【答案】C
【分析】由韦达定理得出的关系，代入方程可求得的零点．
【详解】方程有两个实根1，2，则，所以，，于是
所以该函数的零点是1，．
故选C
【点睛】本题考查零点的定义，解方程可得函数的零点．本题属于基础题．
题型3 判断函数零点的个数
1．（2023上·北京·高一北京市十一学校校考期末）函数的零点个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【分析】分解因式求解方程的根.
【详解】函数的零点，即方程的实数根.
由解得，或.
故函数函数的零点个数是.
故选：D.
2．（2023上·江苏扬州·高一扬州市广陵区红桥高级中学校考阶段练习）函数的零点个数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】考虑和两种情况，解方程得到答案.
【详解】当时，，解得或；
当时，，解得；
综上所述：函数共有3个零点.
故选：C
3．（2023上·陕西西安·高一校考阶段练习）函数零点的个数是（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】B
【分析】根据函数的单调性和零点存在性定理求得正确答案.
【详解】在上单调递减，
，
，所以零点所在的区间是,所以该函数只有一个零点.
故选：B
4．（2023上·北京·高一北京市十一学校校考期末）函数的零点个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【分析】数形结合，结合指数函数和二次函数的变化趋势分析两函数交点情况，进而确定零点个数.
【详解】由，得，
令，，
在同一直角坐标系中画出两函数图象，如下：
当时，两图象由一个交点，
当时，函数上升趋势明显大于，故无交点，
所以两函数有一个交点，所以函数的零点个数是1.
故选：A
5．（2023上·辽宁大连·高一大连八中校考期中）函数的零点个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【分析】分和两种情况，根据函数单调性和零点存在性定理分析求解.
【详解】当时，则，即，
可得，
所以在内无零点；
当时，则，即，
可得，
因为在定义域内单调递增，则在内单调递减，
且，
所以在内有且仅有一个零点；
综上所述：函数的零点个数为1个.
故选：A.
6．（2023·全国·高一专题练习）函数的零点的个数为 （ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【分析】将函数零点个数问题转化为函数图像的交点个数问题，画出函数图像，利用数形结合求解即可.
【详解】令，
所以函数的零点的个数等价于：方程解得个数，
等价于函数与图像交点的个数，
如图所示：

由图可知函数与只有一个交点，
即方程只有一个解，
即函数只有1个零点，
故选：B.
7．（2023上·新疆乌鲁木齐·高一乌鲁木齐市第二十三中学校考阶段练习）已知是定义在上的偶函数，且满足，当时，，则方程的根的个数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】求根的个数，即求与的图像的交点个数，可利用数型结合方法作出图像即可求解.
【详解】由题意知，所以函数的对称轴为，
又因为为偶函数，所以，即函数的周期为，
方程根的个数即为函数与图象交点的个数，
如图所示为函数与图象，
令，得，两函数图象在区间有个交点，
所以共有个交点，故D项正确.
故选：D.
8．（2023上·广东佛山·高一佛山市南海区桂华中学校考阶段练习）若偶函数在上单调递减，在单调递增，且，，则函数的零点个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【分析】根据函数的奇偶性、单调性以及图象确定正确答案.
【详解】为偶函数，且在上单调递减，在单调递增，
，，
画出函数的大致图象如下图所示，由图可知有4个零点.
故选：D
9．（2023上·北京·高一汇文中学校考期中）设是定义在R上的奇函数，且在上单调递减，，则下列结论错误的是（ ）
A．在上单调递减
B．的图象与x轴只有2个公共点
C．
D．不等式的解集为
【答案】B
【分析】由奇函数性质易知在上单调递减，且，再结合单调性和零点判断各项正误.
【详解】由题设，奇函数在上单调递减，且，A对，B错，
由在上单调递减，则，C对，
由上分析知：上，上，
所以的解集为，D对.
故选：B
10．（2023上·高一课时练习）若函数满足，且时，，已知函数则函数在区间内的零点个数为（ ）
A．14 B．13 C．12 D．11
【答案】C
【分析】由题设易知是周期为2函数，结合函数解析式画出、的函数图象，判断它们在的交点个数即可.
【详解】因为，则，
所以是周期为2函数，
因为时，则、的图象如下：
时且递增，时且递减，时且递增，
又，，，

由图知：区间上函数交点共有12个．
故选：C．
11．（2023上·重庆九龙坡·高一重庆市育才中学校考阶段练习）已知函数，则函数的零点个数是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【分析】先求的零点，结合图象判断出函数的零点个数.
【详解】由解得或，
构造函数，
在上单调递减，，
，所以存在唯一零点，
所以对于，有唯一解.
令，
得或或，
得或或，
时，，
画出的大致图象如下图所示，
由图可知，函数的零点个数是.
故选：C

【点睛】求和函数的零点，可以考虑的方向有：直接法、零点存在性定理法、图象法.直接法即由求得函数的零点. 零点存在性定理法即利用来判断零点所在区间.图象法即利用图象来判断函数的零点.
12．（2023下·云南红河·高一开远市第一中学校校考阶段练习）已知，则函数的零点个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】由解析式及指对数的性质分析分段函数的性质，求函数时对应值，应用数形结合法判断零点个数.
【详解】由题设，当时且递减，当时且递减，
令，则，可得或，如下图示：

由图知：时有一个零点，时有两个零点，故共有3个零点.
故选：C
13．（2023上·全国·高一专题练习）已知，则函数的零点个数是（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】A
【分析】首先由函数的零点转化为方程和的根，再利用数形结合即可求得函数的零点个数.
【详解】函数的零点，
即方程和的根，
函数的图象如下图所示：

由图可得方程和共有5个根，
即函数有5个零点，
故选：A
题型4 求函数零点的和
1．（2023上·四川凉山·高一统考期末）函数，则函数的所有零点之和为（ ）
A．0 B．3 C．10 D．13
【答案】D
【分析】令，根据，求得或，再根据和，结合分段函数的解析式，即可求解.
【详解】令，
由得或，所以或，
当时，或，
当时，则或，解得，
所以函数的所有零点之和为.
故选：D.
2．（2022上·河北邢台·高一邢台市第二中学校考期末）已知函数，若方程有四个不同的解且，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】由题意作函数与的图象，从而可得，，从而得到结果.
【详解】由题意作函数与的图象，
∵方程有四个不同的解且，
∴关于对称，即，
当得或，则，
由题知，，故，
所以，
故，
因为，
设，则由对勾函数的性质可知，
在单调递增，所以，
的取值范围是
故选：B.
3．（2023上·河北保定·高一保定市第三中学校考期末）已知函数，若方程有四个不同的解，且，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由题意作函数与的图象，从而可得，，从而得到结果．
【详解】由题意作函数与的图象如下，
∵方程有四个不同的解，且，
∴关于对称，即，
当得或，则，故，
故选：A.
4．（2022上·湖北武汉·高一华中师大一附中校考期末）已知函数，，函数有4个不同的零点且，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】令，得，问题转化为，有4个不同的根，即
函数与函数有4个不同的交点，分别作出与的图像，利用二次函数与对数函数的图像性质，计算可得答案.
【详解】，令，得，
函数有4个不同的零点，即有4个不同的根；
根据题意，作出的图像，如图
明显地，根据二次函数和对数函数的性质，有，，
因为，故，
令，得或，故，
又因为，
则，整理得
故的取值范围为.
故选：B
5．（2022上·河南平顶山·高一校考期末）已知函数，函数有三个不同的零点 且满足，则（ ）
A． B．的取值范围为
C．的取值范围为, D．的取值范围为
【答案】D
【分析】有三个不同的零点，转化为方程有三个不同的解，然后画出函数的图象和直线，结合图象求解．
【详解】有三个不同的零点，即方程有三个不同的解，
的图象如图所示，
结合图象可得，且，，
由二次函数的对称性，可得，
故的取值范围为，
故选：D．
题型5 判断函数零点所在区间
1．（2024上·天津·高一校联考期末）函数的零点所在的区间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】在求得函数定义域上，根据函数的单调性和某区间的端点函数值异号即可判定.
【详解】因函数的定义域为，且在上单调递增，由，
根据零点存在定理该函数的零点所在的区间是.
故选：A.
2．（2022上·江苏泰州·高一靖江高级中学校考期中）已知函数，若存在，使得，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】设，则直线与函数的图象有三个交点，分析可知点、关于直线对称，可得出的值，求出的取值范围，由此可求得的取值范围.
【详解】设，作出函数与的图象如下图所示：
由图可知，当时，直线与函数的图象有三个交点，
由图可知，点、关于直线对称，则，
且函数在上为增函数，
由，因为，解得，
所以，.
故选：D.
【点睛】关键点点睛：本题考查利用函数零点和的取值范围，解题的关键在于分析函数图象的对称性，求出，结合不等式求出的取值范围，进而求解.
3．（2024上·四川凉山·高一统考期末）方程的实数根所在的区间是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据给定条件，构造函数，探讨当时，函数取值情况，再借助零点存在性定理判断即得.
【详解】令函数，
当时，，
因此函数在上不存在零点，而，
由零点存在性定理，得函数在上有零点，
当时，，函数在上递减，
于是，则当时，，即函数在上无零点，
从而函数的零点只能在上，所以方程的实数根所在的区间是.
故选：D
4．（2024上·河北张家口·高一统考期末）已知，则的零点所处的区间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由函数的单调性与零点存在性定理可得.
【详解】，且是上的减函数.
由，，
根据区间上零点存在性定理，有且只有一个零点，且在区间上.
故选：B.
题型6 已知函数零点区间求范围
1．（2024上·北京朝阳·高一统考期末）已知是函数的一个零点，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】判断出的单调性，根据是函数的一个零点求出的值域可得答案.
【详解】因为为上的单调递增函数，
所以为上的单调递增函数，
又因为是函数的一个零点，
所以时，时，
若，则.
故选：D.
2．（2023·全国·高一专题练习）函数在区间上存在零点，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】由函数的单调性，根据零点存在性定理可得.
【详解】若函数在区间上存在零点，
由函数在的图象连续不断，且为增函数，
则根据零点存在定理可知，只需满足，
即，
解得，
所以实数的取值范围是.
故选：D.
3．（2024上·江苏扬州·高一扬州市江都区丁沟中学校考期末）关于x的方程的唯一解在区间内，则k的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】A
【分析】由零点存在性定理结合函数单调性可判断得解.
【详解】由题意得，关于x的方程的唯一解在区间内可转化为：
函数的唯一零点在区间内，
由，且，
由零点存在性定理可得在上有零点，
又因为函数的唯一零点在区间内，
所以.
故选：A．
4．（2023上·江苏·高一专题练习）若函数在存在零点，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．∪
【答案】D
【分析】根据零点存在性定理结合题意求解即可.
【详解】当时，，不存在零点；
当时，是一次函数，必然单调，
故只需即可，即，解得或，
即的取值范围是∪，
故选：D
5．（2023·全国·高一专题练习）若函数存在1个零点位于内，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】应用零点存在定理结合函数单调性列不等式求解即可.
【详解】若函数存在1个零点位于内，
单调递增,又因为零点存在定理，
.
故选：A.
题型7 已知零点个数求参数
1．（2023上·河南洛阳·高一校联考阶段练习）若函数有个零点，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】分析可知，函数在上有一个零点，在上有两个零点，求出这三个零点，根据题意可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围.
【详解】当时，函数单调递增，则函数在上至多一个零点，
当时，函数至多两个零点，
因为函数有三个零点，则函数在上有一个零点，在上有两个零点，
当时，令，可得，必有，解得，
所以，，解得；
当时，由，可得或，
所以，，解得.
综上所述，实数的取值范围为.
故选：C.
2．（2023上·四川凉山·高一校联考期末）设函数，若方程有6个不同的实数解，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】画出的图象，利用换元法以及一元二次方程根的分布等知识列不等式，从而求得的取值范围.
【详解】画出的图象如下图所示，由图可知要使有个解，则需，
依题意，方程有6个不同的实数解，
令，则有两个不相等的实数根，
且，令，
则，解得，
所以实数a的取值范围为.
故选：B
【点睛】含有绝对值的指数函数图象（如，且，）的画法如下：先画出的图象，然后向下平移个单位，得到的图象，然后保留轴上方的图象，轴下方的图象关于轴对称向上翻折，从而得到的图象.
3．（2024·全国·高一假期作业）已知函数，若函数有3个零点，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】转化为与图象有3个不同的交点，画出两函数图象，数形结合得到答案.
【详解】令，故，
画出与的图象，
函数有3个零点，即与图象有3个不同的交点，
则，
解得.
故选：D
4．（2023上·江苏·高一校联考阶段练习）已知函数若方程恰有3个不同的实数根，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】画出的图象，根据方程恰有3个不同的实数根求得的取值范围.
【详解】当时，单调递减；
当时，的图象开口向下，对称轴为，
所以当时，函数的最大值为.
作出函数的图象如图，
由图可知：函数的图象和直线有3个不同的交点，
则实数的取值范围是.
故选：A
5．（2024上·河北沧州·高一泊头市第一中学校考阶段练习）已知函数，若在上有3个零点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先利用辅助角公式进行化简，然后结合的范围及正弦函数的图象和性质，求出的取值范围．
【详解】，
因为，则，结合正弦函数图象可知，，
解得，
故选：D．
6．（2023上·江苏淮安·高一校考阶段练习）已知函数在上有且只有一个零点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据题意将零点问题转化为函数图象公共点问题进而求解答案即可.
【详解】因为函数在上有且只有一个零点，
所以，即在上有且只有一个实根，
所以与的函数图象在时有一个公共点，
由于在单调递减，
所以，即.
故选：D
7．（2023上·山东青岛·高一校考阶段练习）设函数，若有三个不同的实数根，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】分析函数的性质，作出函数图象，借助图象求出的范围.
【详解】当时，函数单调递增，函数值集合为，
当时，函数单调递减，函数值集合为，
当时，函数单调递增，函数值集合为，
作出函数的图象与直线，如图，

观察图象知，当时，函数的图象与直线有3个交点，
所以有三个不同的实数根，实数的取值范围是.
故选：C
8．（2021上·内蒙古赤峰·高一校考期中）若函数在区间上存在零点，则常数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据函数在上的单调性，判断唯一零点，得到不等式组，求解参数范围.
【详解】由，可知在上单调递增，
因为在上存在零点，
所以在上存在唯一零点，
所以，即，
解得.
故选：A
题型8 二分法
1．（2023上·湖北襄阳·高一校考期末）已知函数在区间内存在一个零点，用二分法求方程近似解时，至少需要求（ ）次中点值可以求得近似解（精确度为0.01）.
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】C
【分析】根据二分法结合零点的近似值求解.
【详解】由所给区间的长度等于1，每经过一次操作，区间长度变为原来的一半，经过n次操作后，区间长度变为，
故需，解得，所以至少需要操作7次.
故选：C
2．（2024上·湖北恩施·高一利川市第一中学校联考期末）下列方程中，不能用二分法求近似解的为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】转化为不能用二分法求零点的函数问题，必须满足函数在零点的左右两侧函数值异号，逐一检验各选项即可得出结论.
【详解】对于A，在上单调递增，且，
可以使用二分法，故A错误；
对于B，在R上连续且单调递增，且，可以使用二分法，
故B错误；
对于C，，故不可以使用二分法，故C正确；
对于D，在上单调递增，且，
可以使用二分法，故D错误.
故选：C
3．（2024上·云南昆明·高一云南师大附中校考期末）若函数的一个正零点用二分法计算，零点附近函数值的参考数据如下：，，，，，，那么方程的一个近似根（精确度）为（ ）
A．1.2 B．1.3 C．1.4 D．1.5
【答案】C
【分析】由参考数据可得，区间满足题干要求精确到，结合选项可得答案.
【详解】因为，所以不必考虑端点；
因为，所以不必考虑端点和；
因为，，所以，所以函数在内有零点，
因为，所以满足精确度0.1；
所以方程的一个近似根（精确度0.1）是区间内的任意一个值（包括端点值），
根据四个选项可知：.
故选：C.
4．（2024上·江西吉安·高一江西省新干中学期末）用二分法研究函数的零点时，第一次经过计算发现，，可得其中一个零点，则第二次还需计算函数值（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据二分法，可得答案.
【详解】由题意，第一次经过计算发现，，可得其中一个零点，
由于，则第二次需计算，
故选：C．
5．（2022上·湖北武汉·高一湖北省武昌实验中学校考期末）已知函数的部分函数值如下表所示：
1 0.625 0.5625
0.632 0.2776 0.0897
那么的一个零点的近似值（精确到0.01）为（ ）
A．0.55 B．0.57 C．0.65 D．0.70
【答案】B
【分析】根据给定条件直接判断函数的单调性，再结合零点存在性定理判断作答.
【详解】因为在上均单调递增，
则函数在R上单调递增，
由数表知：，
由零点存在性定义知，函数的零点在区间内，
所以函数的一个零点的近似值为.
故选：B
题型9 二次函数、分段函数模型的应用
1．（2024·全国·高一专题练习）某杂志能以每本1.20元的价格销售12万本，假设定价每降低0.1元，销售量就增加4万本，要使总销售收入不低于20万元，则杂志的价格最低为（ ）
A．0.5元 B．0.8元
C．1元 D．1.1元
【答案】A
【分析】由题意设杂志的价格降低了x个0.1元，即可确定降价后的价格以及卖出的数量，可得总销售收入的表达式，解不等式即可求得x的范围，由此可得答案.
【详解】设杂志的价格降低了x个0.1元，
则此时价格为元，卖出万本，
设总销售收入为y万元，
则，
要使，即，即，解得，
当时，价格最低，为(元).
故选：A.
2．（2023上·四川广元·高一四川省苍溪中学校校考阶段练习）设某公司原有员工100人从事产品的生产，平均每人每年创造产值万元（为正常数），公司决定从原有员工中分流人去进行新开发的产品的生产，分流后，继续从事产品生产的员工平均每人每年创造产值在原有的基础上增长了.若要保证产品的年产值不减少，则最多能分流的人数是（ ）
A．15 B．16 C．23 D．28
【答案】C
【分析】依题意得到，解二次不等式即可得解.
【详解】依题意，分流前每年创造的产值为（万元），
分流人后，每年创造的产值为，
则，解得，
又，所以的最大值为，即最多能分流的人数是.
故选：C.
3．（2023上·四川绵阳·高一统考期中）红星幼儿园要建一个长方形露天活动区，活动区的一面利用房屋边墙（墙长），其它三面用某种环保材料围建，但要开一扇宽的进出口（不需材料），共用该种环保材料，则可围成该活动区的最大面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】设这个活动区垂直于墙的一边长是，则平行于墙的一边是，面积，再利用二次函数的性质解答即可．
【详解】设这个活动区垂直于墙的一边长是，则平行于墙的一边是，
面积，
墙长，所以，
解得，
对称轴方程，
抛物线开口向下，，函数在上递减，
当时，最大为（），
故选：C．
4．（2023上·湖南长沙·高一长郡中学校考期中）如图，把直截面半径为的圆柱形木头锯成直截面为矩形的木料，如果矩形的一边长为（单位：），面积为（单位：），则把表示为的函数的解析式为（ ）

A． B．，
C． D．，
【答案】B
【分析】根据题意建立函数关系即可.
【详解】如图，

圆的直径，矩形的边.
∵，
∴由勾股定理，得，
∴矩形的面积，
又∵，
∴.
故选：B.
5．（2023上·山东烟台·高一统考期中）某地民用燃气执行“阶梯气价”，按照用气量收费，具体计费方法如下表所示．若某户居民去年缴纳的燃气费为868元，则该户居民去年的用气量为（ ）
每户每年用气量 单价
不超过的部分
超过但不超过的部分
超过的部分
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据题意，分段讨论列方程求解.
【详解】该户居民去年的用气量为，缴纳的燃气费为元，
当时，，令，解得，不合题意；
当时，，
令，解得，符合题意；
当时，，
令，解得，不合题意，
综上，.
故选：C.
6．（2023上·黑龙江大庆·高一大庆外国语学校校考期中）为了保护水资源，提倡节约用水，六安市对居民生活用水实行“阶梯水价”.假设计费方法如下:
每户每月用水量 水价
不超过12m3的部分 3元/
超过12m3但不超过18m3的部分 6元/
超过18m3的部分 9元/
若某户居民本月交纳的水费为99元，求此户居民本月的用水量（　　）
A．11 B．21 C．22.5 D．33
【答案】B
【分析】判断用水量超过18m3 ，列方程解得答案.
【详解】若用水量不超过12m3 ，交纳的水费最多为，不成立；
若用水量不超过18m3 ，交纳的水费最多为，不成立；
故用水量超过18m3 ，设用水量为，，
则，解得.
故选：B
7．（2023上·湖南·高一校联考期中）某企业为了鼓励职工节约用水，作出了以下规定：每位职工每个月用水量不超过15吨，按每吨3元收费；每个月用水量超过15吨，超过部分按每吨5元收费.职工小王10月份的水费为70元，则小王10月份的实际用水量为（ ）
A．18吨 B．20吨 C．22吨 D．24吨
【答案】B
【分析】先根据题意可以判断出职工小王10月份的用水量超过15吨，再依据超过部分按每吨5元收费求出超出部分的吨数，最后两者相加即可得出结果.
【详解】小王10月份的实际用水量为（吨）.
故选：B.
8．（2021上·陕西渭南·高一统考期末）某单位准备印制一批证书，现有两个印刷厂可供选择，甲厂费用分为制版费和印刷费两部分，先收取固定的制版费，再按印刷数量收取印刷费；乙厂直接按印刷数量收取印刷费，甲、乙两厂的总费用（千元）与印制证书数量（千个）的函数图像分别如图中甲、乙所示，则下列说法正确的是（ ）

A．选择甲厂比较划算
B．选择乙厂比较划算
C．若该单位需印制证书数量为8千个，则选择乙厂比较划算
D．当该单位需印制证书数量小于2千个时，不管选择哪个厂，总费用都一样
【答案】C
【分析】由图象写出甲乙厂费用函数解析式，数形结合判断印制证书数量与甲、乙两厂总费用大小关系，即可判断各项的正误.
【详解】由图知：甲厂费用函数为，乙厂费用函数为，
当时，，可得；当时，，可得；
结合图象知：当或时乙厂划算；当时甲厂划算；当或时甲乙费用相同；
所以A、B、D错，C对.
故选：C
9．（2022上·广西柳州·高一统考期中）如图，是边长为2的等边三角形，点E由点A沿线段AB向点B移动，过点E作AB的垂线l，设，记位于直线l左侧的图形的面积为y，那么y与x的函数关系的图象大致是（ ）

A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】建立关于的关系式，分为点在中点左侧和右侧分类讨论，结合函数图象变化情况即可求解．
【详解】因为是边长为2的等边三角形，
所以当时，设直线与交点为，
当点在中点左侧时，，，
此时函数为开口向上的二次函数；此时可排除BC，
当点在中点右侧时，，
此时左侧部分面积为：，
此时函数为开口向下d额二次函数，此时可排除A，
故选：D
故选：D．

题型10 指数、对数函数模型的应用
1．（2024上·四川泸州·高一统考期末）某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量P（单位：）与时间t（单位：h）间的关系为，其中，k是正的常数.如果在前5h消除了的污染物，则15h后还剩污染物的百分数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据题意，求出，然后带入，即可求出15h后还剩污染物的百分数.
【详解】根据题意时，，又在前5h消除了的污染物，
则，
则15h后还剩污染物为，
所以15h后还剩污染物的百分数为.
故选：C
2．（2024上·广西玉林·高一统考期末）2024年1月5日，第40届中国·哈尔滨国际冰雪节，在哈尔滨冰雪大世界园区开幕，现场流光溢彩，游客如湖，充满热情与活力．该园区为了倡导绿色可循环的理念，配备了先进的污水、雨水过滤系统．已知过滤过程中废水的污染物数量）与时间的关系为（为最初污染物数量）．如果前2个小时消除了20%的污染物，那么前6个小时消除了污染物的（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先通过前2小时消除了20%的污染物求出 ，再令可求出答案.
【详解】依题意有， 可得，
当时，
因此，前6个小时消除了污染物的.
故选∶B．
3．（2024上·云南昆明·高一校考期末）酒驾是严重危害交通安全的违法行为，为了保障安全，根据国家有关规定：血液中酒精含量达到的驾驶员即为酒后驾车，及以上人定为醉酒驾车，某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中酒精含量上升到了，如果停止饮酒后，他的血液中的酒精会以每小时的速度减少，那么他至少要经过几个小时后才能驾车（ ）（参考数据：）
A．7 B．6 C．5 D．4
【答案】D
【分析】由题意可知经过小时后，体内的酒精含量为，令求出t的取值范围，即可求出结果．
【详解】解：经过t小时后，体内的酒精含量为：，
只需，
可得，
所以他至少要经过4个小时后才能驾车.
故选：D．
4．（2024上·云南昆明·高一统考期末）滇池是云南省面积最大的高原淡水湖，一段时间曾由于人类活动的加剧，滇池水质恶化，藻类水华事件频发．在适当的条件下，藻类的生长会进入指数增长阶段．滇池外海北部某年从1月到7月的水华面积占比符合指数增长，其模型为．经研究“以鱼控藻”模式能有效控制藻类水华．如果3月开始向滇池投放一定量的鱼群后，鱼群消耗水华面积占比呈现一次函数，将两函数模型放在同期进行比较，如图所示．下列说法正确的是（参考数据：）（ ）
A．水华面积占比每月增长率为1.65
B．如果不采取有效措施，到8月水华的面积占比就会达到左右
C．“以鱼控藻”模式并没有对水华面积占比减少起到作用
D．7月后滇池藻类水华会因“以鱼控藻”模式得到彻底治理
【答案】B
【分析】结合函数模型与图象，逐一分析各选项即可得解.
【详解】对于A，由于模型呈指数增长，故A错误；
对于B，当时，，故B正确；
对于C，因为鱼群消耗水华面积占比呈现一次函数，
所以“以鱼控藻”模式对水华面积占比减少起到作用，故C错误；
对于D，由两函数模型放在同期进行比较的图象可知，
7月后滇池藻类水华并不会因“以鱼控藻”模式得到彻底治理，故D错误.
故选：B.
5．（2024上·江苏徐州·高一统考期末）2023年12月30日，我国在酒泉卫星发射中心使用长征二号丙运载火箭成功发射卫星互联网技术试验卫星. 在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度（单位：）和燃料的质量（单位：）、火箭（除燃料外）的质量（单位：）的函数关系是（是参数）. 当时，大约为（ ）（参考数据：）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用，计算出答案.
【详解】由于5000远大于1，
故
，
因为，所以.
故选：B
6．（2024上·河北张家口·高三统考期末）某工厂生产过程中产生的废水含有毒物质，需循环过滤后排放，过滤过程中有毒物质的含量与时间之间的关系为，若循环过滤2h后消除了10％的有毒物质，则6h后有毒物质的含量占原有有毒物质的百分比约为（ ）
A．70％ B．71％ C．73％ D．76％
【答案】C
【分析】根据题意得到方程，求出，从而得到6h后有毒物质的含量占原有有毒物质的百分比.
【详解】设为过滤过程中有毒物质的含量与时间的函数，
由题意知，，，
又，故，所以．
设，则．
故选：C．
7．（2024上·广东深圳·高一统考期末）生物学家认为，睡眠中的恒温动物的脉搏率（单位：心跳次数）与体重（单位：）的次方成反比.若、为两个睡眠中的恒温动物，的体重为、脉搏率为210次，的脉搏率是70次，则的体重为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据题意设，代入求解，然后计算出的体重，确定选项.
【详解】根据题意设，
当，,则，
当，则，所以
故选：D
8．（2023上·山西大同·高三统考期末）头孢类药物具有广谱抗菌、抗菌作用强等优点，是高效、低毒、临床应用广泛的重要抗生素.已知某人服用一定量某种头孢类药物后，血浆中的药物浓度在2h后达到最大值80mg/L，随后按照确定的比例衰减，半衰期（血浆中的药物浓度降低一半所需的时间）为2.4h，那么从服药后开始到血浆中的药物浓度下降到8mg/L，经过的时间约为（参考数据：）（ ）
A．8h B．9h C．10h D．11h
【答案】C
【分析】根据题意列出方程，把指数式化为对数式求解即可.
【详解】设血浆中的药物浓度从最大值80mg/L下降到8mg/L需要经过，则，
所以，则，
故从服药后开始到血浆中的药物浓度下降到8mg/L需要8+2=10（h）.
故选：C.函数的应用
题型1 求函数的零点
1．（2023上·江苏宿迁·高一校考阶段练习）函数的零点为（ ）
A． B． C． D．
2．（2023上·云南·高一云南师大附中校考期末）函数的零点个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
3．（2023上·吉林·高一校联考期末）函数的零点个数为（ ）
A．l B．2 C．3 D．4
4．（2023上·江苏·高一专题练习）函数的零点为（ ）
A．(1，0) B．1 C．e D．
5．（2023上·河南郑州·高一校考阶段练习）函数零点是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
题型2 已知函数的零点求参数
1．（2023下·江苏宿迁·高一统考期中）函数有且只有一个零点，则实数m的值为（ ）
A．9 B．12 C．0或9 D．0或12
2．（2023·高一课时练习）已知2是函数（为常数）的零点，且，则的值为 （ ）
A． B． C．4 D．3
3．（2023·高一课时练习）函数的零点为，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·全国·高一专题练习）若关于x的方程有两个实根1，2，则函数的零点为（ ）
A．1，2 B．-1，-2 C．1， D．-1，
题型3 判断函数零点的个数
1．（2023上·北京·高一北京市十一学校校考期末）函数的零点个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
2．（2023上·江苏扬州·高一扬州市广陵区红桥高级中学校考阶段练习）函数的零点个数是（ ）
A． B． C． D．
3．（2023上·陕西西安·高一校考阶段练习）函数零点的个数是（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
4．（2023上·北京·高一北京市十一学校校考期末）函数的零点个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
5．（2023上·辽宁大连·高一大连八中校考期中）函数的零点个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．（2023·全国·高一专题练习）函数的零点的个数为 （ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
7．（2023上·新疆乌鲁木齐·高一乌鲁木齐市第二十三中学校考阶段练习）已知是定义在上的偶函数，且满足，当时，，则方程的根的个数为（ ）
A． B． C． D．
8．（2023上·广东佛山·高一佛山市南海区桂华中学校考阶段练习）若偶函数在上单调递减，在单调递增，且，，则函数的零点个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
9．（2023上·北京·高一汇文中学校考期中）设是定义在R上的奇函数，且在上单调递减，，则下列结论错误的是（ ）
A．在上单调递减
B．的图象与x轴只有2个公共点
C．
D．不等式的解集为
10．（2023上·高一课时练习）若函数满足，且时，，已知函数则函数在区间内的零点个数为（ ）
A．14 B．13 C．12 D．11
11．（2023上·重庆九龙坡·高一重庆市育才中学校考阶段练习）已知函数，则函数的零点个数是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
12．（2023下·云南红河·高一开远市第一中学校校考阶段练习）已知，则函数的零点个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
13．（2023上·全国·高一专题练习）已知，则函数的零点个数是（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
题型4 求函数零点的和
1．（2023上·四川凉山·高一统考期末）函数，则函数的所有零点之和为（ ）
A．0 B．3 C．10 D．13
2．（2022上·河北邢台·高一邢台市第二中学校考期末）已知函数，若方程有四个不同的解且，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2023上·河北保定·高一保定市第三中学校考期末）已知函数，若方程有四个不同的解，且，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．（2022上·湖北武汉·高一华中师大一附中校考期末）已知函数，，函数有4个不同的零点且，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
5．（2022上·河南平顶山·高一校考期末）已知函数，函数有三个不同的零点 且满足，则（ ）
A． B．的取值范围为
C．的取值范围为, D．的取值范围为
题型5 判断函数零点所在区间
1．（2024上·天津·高一校联考期末）函数的零点所在的区间是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022上·江苏泰州·高一靖江高级中学校考期中）已知函数，若存在，使得，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．（2024上·四川凉山·高一统考期末）方程的实数根所在的区间是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2024上·河北张家口·高一统考期末）已知，则的零点所处的区间是（ ）
A． B． C． D．
题型6 已知函数零点区间求范围
1．（2024上·北京朝阳·高一统考期末）已知是函数的一个零点，且，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·全国·高一专题练习）函数在区间上存在零点，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2024上·江苏扬州·高一扬州市江都区丁沟中学校考期末）关于x的方程的唯一解在区间内，则k的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
4．（2023上·江苏·高一专题练习）若函数在存在零点，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．∪
5．（2023·全国·高一专题练习）若函数存在1个零点位于内，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
题型7 已知零点个数求参数
1．（2023上·河南洛阳·高一校联考阶段练习）若函数有个零点，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023上·四川凉山·高一校联考期末）设函数，若方程有6个不同的实数解，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·全国·高一假期作业）已知函数，若函数有3个零点，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2023上·江苏·高一校联考阶段练习）已知函数若方程恰有3个不同的实数根，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
5．（2024上·河北沧州·高一泊头市第一中学校考阶段练习）已知函数，若在上有3个零点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．（2023上·江苏淮安·高一校考阶段练习）已知函数在上有且只有一个零点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．（2023上·山东青岛·高一校考阶段练习）设函数，若有三个不同的实数根，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．（2021上·内蒙古赤峰·高一校考期中）若函数在区间上存在零点，则常数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
题型8 二分法
1．（2023上·湖北襄阳·高一校考期末）已知函数在区间内存在一个零点，用二分法求方程近似解时，至少需要求（ ）次中点值可以求得近似解（精确度为0.01）.
A．5 B．6 C．7 D．8
2．（2024上·湖北恩施·高一利川市第一中学校联考期末）下列方程中，不能用二分法求近似解的为（ ）
A． B． C． D．
3．（2024上·云南昆明·高一云南师大附中校考期末）若函数的一个正零点用二分法计算，零点附近函数值的参考数据如下：，，，，，，那么方程的一个近似根（精确度）为（ ）
A．1.2 B．1.3 C．1.4 D．1.5
4．（2024上·江西吉安·高一江西省新干中学期末）用二分法研究函数的零点时，第一次经过计算发现，，可得其中一个零点，则第二次还需计算函数值（ ）
A． B． C． D．
5．（2022上·湖北武汉·高一湖北省武昌实验中学校考期末）已知函数的部分函数值如下表所示：
1 0.625 0.5625
0.632 0.2776 0.0897
那么的一个零点的近似值（精确到0.01）为（ ）
A．0.55 B．0.57 C．0.65 D．0.70
题型9 二次函数、分段函数模型的应用
1．（2024·全国·高一专题练习）某杂志能以每本1.20元的价格销售12万本，假设定价每降低0.1元，销售量就增加4万本，要使总销售收入不低于20万元，则杂志的价格最低为（ ）
A．0.5元 B．0.8元
C．1元 D．1.1元
2．（2023上·四川广元·高一四川省苍溪中学校校考阶段练习）设某公司原有员工100人从事产品的生产，平均每人每年创造产值万元（为正常数），公司决定从原有员工中分流人去进行新开发的产品的生产，分流后，继续从事产品生产的员工平均每人每年创造产值在原有的基础上增长了.若要保证产品的年产值不减少，则最多能分流的人数是（ ）
A．15 B．16 C．23 D．28
3．（2023上·四川绵阳·高一统考期中）红星幼儿园要建一个长方形露天活动区，活动区的一面利用房屋边墙（墙长），其它三面用某种环保材料围建，但要开一扇宽的进出口（不需材料），共用该种环保材料，则可围成该活动区的最大面积为（ ）
A． B． C． D．
4．（2023上·湖南长沙·高一长郡中学校考期中）如图，把直截面半径为的圆柱形木头锯成直截面为矩形的木料，如果矩形的一边长为（单位：），面积为（单位：），则把表示为的函数的解析式为（ ）

A． B．，
C． D．，
5．（2023上·山东烟台·高一统考期中）某地民用燃气执行“阶梯气价”，按照用气量收费，具体计费方法如下表所示．若某户居民去年缴纳的燃气费为868元，则该户居民去年的用气量为（ ）
每户每年用气量 单价
不超过的部分
超过但不超过的部分
超过的部分
A． B． C． D．
6．（2023上·黑龙江大庆·高一大庆外国语学校校考期中）为了保护水资源，提倡节约用水，六安市对居民生活用水实行“阶梯水价”.假设计费方法如下:
每户每月用水量 水价
不超过12m3的部分 3元/
超过12m3但不超过18m3的部分 6元/
超过18m3的部分 9元/
若某户居民本月交纳的水费为99元，求此户居民本月的用水量（　　）
A．11 B．21 C．22.5 D．33
7．（2023上·湖南·高一校联考期中）某企业为了鼓励职工节约用水，作出了以下规定：每位职工每个月用水量不超过15吨，按每吨3元收费；每个月用水量超过15吨，超过部分按每吨5元收费.职工小王10月份的水费为70元，则小王10月份的实际用水量为（ ）
A．18吨 B．20吨 C．22吨 D．24吨
8．（2021上·陕西渭南·高一统考期末）某单位准备印制一批证书，现有两个印刷厂可供选择，甲厂费用分为制版费和印刷费两部分，先收取固定的制版费，再按印刷数量收取印刷费；乙厂直接按印刷数量收取印刷费，甲、乙两厂的总费用（千元）与印制证书数量（千个）的函数图像分别如图中甲、乙所示，则下列说法正确的是（ ）

A．选择甲厂比较划算
B．选择乙厂比较划算
C．若该单位需印制证书数量为8千个，则选择乙厂比较划算
D．当该单位需印制证书数量小于2千个时，不管选择哪个厂，总费用都一样
9．（2022上·广西柳州·高一统考期中）如图，是边长为2的等边三角形，点E由点A沿线段AB向点B移动，过点E作AB的垂线l，设，记位于直线l左侧的图形的面积为y，那么y与x的函数关系的图象大致是（ ）

A． B．
C． D．
题型10 指数、对数函数模型的应用
1．（2024上·四川泸州·高一统考期末）某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量P（单位：）与时间t（单位：h）间的关系为，其中，k是正的常数.如果在前5h消除了的污染物，则15h后还剩污染物的百分数为（ ）
A． B． C． D．
2．（2024上·广西玉林·高一统考期末）2024年1月5日，第40届中国·哈尔滨国际冰雪节，在哈尔滨冰雪大世界园区开幕，现场流光溢彩，游客如湖，充满热情与活力．该园区为了倡导绿色可循环的理念，配备了先进的污水、雨水过滤系统．已知过滤过程中废水的污染物数量）与时间的关系为（为最初污染物数量）．如果前2个小时消除了20%的污染物，那么前6个小时消除了污染物的（ ）
A． B． C． D．
3．（2024上·云南昆明·高一校考期末）酒驾是严重危害交通安全的违法行为，为了保障安全，根据国家有关规定：血液中酒精含量达到的驾驶员即为酒后驾车，及以上人定为醉酒驾车，某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中酒精含量上升到了，如果停止饮酒后，他的血液中的酒精会以每小时的速度减少，那么他至少要经过几个小时后才能驾车（ ）（参考数据：）
A．7 B．6 C．5 D．4
4．（2024上·云南昆明·高一统考期末）滇池是云南省面积最大的高原淡水湖，一段时间曾由于人类活动的加剧，滇池水质恶化，藻类水华事件频发．在适当的条件下，藻类的生长会进入指数增长阶段．滇池外海北部某年从1月到7月的水华面积占比符合指数增长，其模型为．经研究“以鱼控藻”模式能有效控制藻类水华．如果3月开始向滇池投放一定量的鱼群后，鱼群消耗水华面积占比呈现一次函数，将两函数模型放在同期进行比较，如图所示．下列说法正确的是（参考数据：）（ ）
A．水华面积占比每月增长率为1.65
B．如果不采取有效措施，到8月水华的面积占比就会达到左右
C．“以鱼控藻”模式并没有对水华面积占比减少起到作用
D．7月后滇池藻类水华会因“以鱼控藻”模式得到彻底治理
5．（2024上·江苏徐州·高一统考期末）2023年12月30日，我国在酒泉卫星发射中心使用长征二号丙运载火箭成功发射卫星互联网技术试验卫星. 在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度（单位：）和燃料的质量（单位：）、火箭（除燃料外）的质量（单位：）的函数关系是（是参数）. 当时，大约为（ ）（参考数据：）
A． B． C． D．
6．（2024上·河北张家口·高三统考期末）某工厂生产过程中产生的废水含有毒物质，需循环过滤后排放，过滤过程中有毒物质的含量与时间之间的关系为，若循环过滤2h后消除了10％的有毒物质，则6h后有毒物质的含量占原有有毒物质的百分比约为（ ）
A．70％ B．71％ C．73％ D．76％
7．（2024上·广东深圳·高一统考期末）生物学家认为，睡眠中的恒温动物的脉搏率（单位：心跳次数）与体重（单位：）的次方成反比.若、为两个睡眠中的恒温动物，的体重为、脉搏率为210次，的脉搏率是70次，则的体重为（ ）
A． B． C． D．
8．（2023上·山西大同·高三统考期末）头孢类药物具有广谱抗菌、抗菌作用强等优点，是高效、低毒、临床应用广泛的重要抗生素.已知某人服用一定量某种头孢类药物后，血浆中的药物浓度在2h后达到最大值80mg/L，随后按照确定的比例衰减，半衰期（血浆中的药物浓度降低一半所需的时间）为2.4h，那么从服药后开始到血浆中的药物浓度下降到8mg/L，经过的时间约为（参考数据：）（ ）
A．8h B．9h C．10h D．11h

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