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第二章+一元二次函数、方程和不等式（知识清单）-【满分全攻略】（人教A版2019必修第一册）
第二章 一元二次函数、方程和不等式（知识清单）（16个考点梳理+典型例题+变式练习）
【知识导图】
【知识清单】
考点1：不等式的基本性质
（1）对称性：a＞b b＜a.
（2）传递性：a＞b，b＞c a＞c.
（3）可加性：a＞b a＋c＞b＋c.
（4）可乘性：a＞b，c＞0 ac＞bc；a＞b，c＜0 ac＜bc.
（5）加法法则：a＞b，c＞d a＋c＞b＋d.
（6）乘法法则：a＞b＞0，c＞d＞0 ac＞bd.
（7）乘方法则：a＞b＞0 an＞bn＞0（n∈N，n≥2）．
【例1】　
1．若，，求证：.
利用不等式的性质证明不等式注意事项
（1）利用不等式的性质及其推论可以证明一些不等式.解决此类问题一定要在理解的基础上，记准、记熟不等式的性质并注意在解题中灵活准确地加以应用.
（2）应用不等式的性质进行推导时，应注意紧扣不等式的性质成立的条件，且不可省略条件或跳步推导，更不能随意构造性质与法则.
【变式】
2．已知，，，求证：．
考点2：真分数、假分数的性质
【例2】
3．设a＞b＞1，y1，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y1＜y3 C．y3＜y2＜y1 D．y2＜y3＜y1
【变式】
4．请根据“糖水加糖变得更甜了”提炼出一个不等式： （设糖水为a克，含糖为b克，加入的糖为m克）．
考点3：比较大小的方法
比较两实数大小基本方法:
一、差值比较原理：设a、b∈R，则a＞b a－b＞0，a＝b a－b＝0，a＜b a－b<0.
二、商值比较原理：设a、b∈，则＞1 a＞b，＝1 a＝b， <1 a三、介值比较法
介值比较法的理论依据是：若 a > b ， b > c ， 则 a > c， 其中 b 是 a 与 c 的中介值．
介值比较法的关键是通过不等式的恰当放缩，找出一个比较合适的中介值
四、平方法
平方法的一般步骤：对两式先平方，再比较大小．
两个实数大小比较的一般步骤
①作差比较法其一般步骤是:
作差→变形→判断符号→确定大小.
注：作差比较大小的关键是作差后的变形，作差变形中，可采用配方、因式分解、通分、有理化等手段进行恒等变形（常数、几个平方和的形式或几个因式积的形式）．变形的过程是至关重要的，无论施以什么方法，最终要变到能够判断符号为止．注意变形过程中要保持等价性及正确性．
【例3】
5．已知，，满足：、、，，当，时，比较与的大小．
【变式1】
6．比较2x2＋5x＋3与x2＋4x＋2的大小．
【变式2】
7．比较下列各组中两个代数式的大小：
(1)与；
(2)已知a，b为正数，且，比较与.
【变式3】
8．已知x，y均为正数，设，比较m和n的大小．
【变式4】
9．比较下列各组数的大小.
（1）与，；
（2）与.
考点4：利用不等式的性质求取值范围
利用不等式的性质求取值范围的一般思路：借助性质 ，转化为同向不等式相加进行解答；借助所给条件整体使用，切不可随意拆分所 给条件；结合不等式的传递性进行求解
【例4】
10．已知30＜x＜42，16＜y＜24，分别求下列范围.
(1)x＋y
(2)x－3y
(3)．
【变式1】
11．已知－≤α<β≤，求，的范围．
【变式2】
12．已知，，求的取值范围.
【变式3】
13．已知1考点5.几个重要的不等式
1．重要不等式
a，b∈R，有a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立
2．基本不等式
（1）有关概念：当a，b均为正数时，把叫做正数a，b的算术平均数，把叫做正数a，b的几何平均数．
（2）不等式：当a，b是任意正实数时，a，b的几何平均数不大于它们的算术平均数，即≤，当且仅当a＝b时，等号成立．
基本不等式可变形为.
【例5】　
14．给出下面三个推导过程：
①∵a、b为正实数，∴＋＝2；
②∵a∈R，a≠0，∴＋a＝4；
③∵x、y∈R，xy＜0，∴＋＝－＝－2.
其中正确的推导为（ ）
A．①② B．①③
C．②③ D．①②③
【变式】
15．下列不等式的推导过程正确的是 ．
①若，则；
②若，则；
③若，则.
考点6.利用基本不等式求最值
（1）若x＋y＝S（和为定值），则当x＝y时，积xy取得最大值.
（2）若xy＝p（积为定值），则当x＝y时，和x＋y取得最小值2.
上述命题可归纳为口诀：积定和最小，和定积最大．
【例6】
16．已知函数，该函数有最大值还是最小值？能否通过基本不等式求它的最值？
【变式1】
17．已知，求函数的最小值；
【变式2】
18．（1）已知，求函数的最小值；
（2）已知0求函数的最大值.
【例7】　
19．已知x＞0，y＞0，且满足＋＝1.求x＋2y的最小值．
【变式1】
20．已知，，，则的最小值为 ．
【变式2】
21．已知，求的最小值.
考点7.利用基本不等式求解最值、范围问题
基本不等式又叫均值不等式，应用时，要注意构造满足基本不等式的条件，常用的解题技巧是合理拆分项或配凑因式，目的在千满足”和为定值或积为定值". 在应用时必须注意保证”一正、二定、三相等".
一要正：各项必须为正数；
二定值：必须满足”和为定值”或“积为定值＂，要凑出“和为定值”或“积为定值＂的式子结构，否则求最值就会出错；
三相等：要保证等号能成立，如果等号不能成立，那么求出的值仍不是最值．
【例7】　
22．（1）已知，求的最大值；
（2）已知，求y＝的最大值.
考点8.掌握基本不等式求最值时的一些技巧
应用基本不等式解题的关键是凑出“定和”或“定积”及保证能取到等号，此时往往需要采用拆项、补项、平方、平衡系数、"1 "的整体代入、消元化归部分分式等变形技巧，选择合理的变形技巧可以使复杂问题简单化，达到事半功倍的效果．
方法1：配凑法
【例8】
23．已知都是正实数，求证：.
方法2 : “1”的整体带入
【例9】
24．已知a，b，c是互不相等的正数，且a＋b＋c＝1，求证：＋＋>9.
【变式】
25．若正实数x，y满足，求的最小值．
方法3：消元法
【例10】
26．已知，，，求证：.
考点9.多次应用基本不等式求最值时等号同时成立的条件
多次应用基本不等式求最值时，一定要求出同时取等号的变量的值，只有保证每次取等号的条件相同，即等号步步传递，才能求得最后的最大（小）值．
若多次不能同时取等号，此时可应用整体代入、恒等变换等技巧，凑出定值，再应用基本不等式求解
【例11】（2023·陕西西安·高二西安中学校考期中）
27．均值不等式可以推广成均值不等式链，在不等式证明和求最值中有广泛的应用，具体为：.
(1)证明不等式.
(2)上面给出的均值不等式链是二元形式，其中指的是两个正数的平方平均数不小它们的算数平均数，类比这个不等式给出对应的三元形式，即三个正数的平方平均数不小于它们的算数平均数，并尝试用分析法证明猜想.（个数的平方平均数为）
考点10.用基本不等式解决实际应用问题
在应用基本不等式解决实际问题时，应注意如下思路和方法：
（1）先理解题意，设出变量，一般把要求最值的量定为函数；
（2）建立相应的函数关系，把实际问题抽象成函数的最大值或最小值问题；
（3）在定义域内，求出函数的最大值或最小值；
（4）正确写出答案．
【例12】
28．某单位用2160万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少10层、每层2000平方米的楼房.经测算，如果将楼房建为x(x≥10)层，则每平方米的平均建筑费用为560+48x（单位：元）.为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？
（注：平均综合费用＝平均建筑费用+平均购地费用，平均购地费用＝）
考点11.应用基本不等式无法完成的最值问题的解题策略
应用基本不等式求最值时，“一正、二定、三相等“三个条件缺一不可，但是相等条件有时却成为求最值的最大障碍，此时就要转换思路，可换元化归，或借助函数图象求解
【例13】
29．已知y＝x2＋ax＋3－a，若－2≤x≤2，x2＋ax＋3－a≥0恒成立，求a的取值范围．
【变式】（多选）（2023春 京口区校级月考）
30．已知，，且，则（ ）
A． B．
C． D．
考点12一元二次不等式的解法
（1）化标准.通过对不等式的变形，使不等式右侧为0，使二次项系数为正.
（2）判别式.对不等式左侧因式分解，若不易分解，则计算对应方程的判别式.
（3）求实根.求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程有无实根.
（4）画草图.根据一元二次方程根的情况画出对应的二次函数的草图.
（5）写解集.根据图象写出不等式的解集.
对于一元二次方程的两根为且，设，它的解按照，，可分三种情况，相应地，二次函数的图像与轴的位置关系也分为三种情况．因此我们分三种情况来讨论一元二次不等式或的解集．
二次函数（）的图象
有两相异实根 有两相等实根 无实根
知识点诠释：
（1）一元二次方程的两根是相应的不等式的解集的端点的取值，是抛物线与轴的交点的横坐标；
（2）表中不等式的二次系数均为正，如果不等式的二次项系数为负，应先利用不等式的性质转化为二次项系数为正的形式，然后讨论解决；
（3）解集分三种情况，得到一元二次不等式与的解集．
【例14】　
31．解下列不等式：
（1）2x2＋7x＋3>0；
（2）－4x2＋18x－≥0；
（3）－2x2＋3x－2<0.
【变式】（2023·江苏·高一专题练习）
32．解下列不等式：
(1)；
(2)；
(3).
考点13.含参数的一元二次不等式的解法
解含参数的一元二次不等式的一般步骤
提醒：对参数分类讨论的每一种情况是相互独立的一元二次不等式的解集，不能合并．
【例15】
33．解关于x的不等式：.
【变式1】（2023·全国·高一专题练习）
34．解下列关于的不等式：（）.
【变式2】
35．已知关于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|2考点14.与一元二次不等式有关的恒成立问题
（1）转化为一元二次不等式解集为的情况，即恒成立恒成立
（2）分离参数，将恒成立问题转化为求最值问题．
【例16】　
36．已知y＝x2＋ax＋3－a，若－2≤x≤2，x2＋ax＋3－a≥0恒成立，求a的取值范围．
【变式1】
37．已知函数.
(1)若，求不等式的解集；
(2)若不等式对一切实数都成立，求的取值范围.
【变式2】
38．已知二次函数（为实数）
(1)若的解集为（1，2），求不等式的解集；
(2)若对任意，时，恒成立，求的最小值；
(3)若对任意，恒成立，求ab的最大值．
考点15.高次（或分式）不等式的解法
系数化为正，大于取“两端”，小于取“中间”
【例17】　
39．解下列不等式：
（1）；
（2）.
【变式】
40．解下列不等式：
（1）；
（2）.
考点16.构建一元二次不等式模型求解应用题
求解一元二次不等式应用问题的步骤
【例18】
41．国家原计划以2400元/t的价格收购某种农产品按规定,农户向国家纳税为:每收入100元的税为8元(称作税率为8个百分点,即8%).为了减轻农民负担,制定积极的收购政策,根据市场规律税率降低x个百分点,收购量能增加2x个百分点,试确定x的范围,使税率调低后,国家此项税收总收入不低于原计划的78%.
【变式1】
42．某校园内有一块长为800m，宽为600m的长方形地面，现要对该地面进行绿化，规划四周种花卉(花卉带的宽度相同)，中间种草坪，若要求草坪的面积不小于总面积的一半，求花卉带宽度的范围.
【变式2】
43．为了保护环境，发展低碳经济，某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的产品.已知该单位每月处理二氧化碳最少400吨，最多为600吨，月处理成本y(元)与月处理量x(吨)之间的函数关系可近似表示为y＝x2－200x＋80000，且每处理1吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元.
（1）若该单位每月成本(每月成本＝每月处理成本－每月可利用的化工产品价值)支出不超过105000元，求月处理量x的取值范围.
（2）该单位每月能否获利 如果能获利，求出能获得的最大利润；如果不能获利，那么国家每月至少补贴多少元，才能使该单位不亏损
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．证明见解析
【分析】先根据不等式性质判断的大小关系，然后结合不等式性质可判断的大小关系，由此即可证明的大小关系.
【详解】因为，则，
又因为，则，
可得，则，
且，所以．
2．证明见解析.
【分析】应用不等式的基本性质；同乘性：不等式两边同时乘以一个正数，不等号不变；不等式两边同时乘以一个负数，不等号改变．同向可加性：由，，能推出
【详解】证明：，，
．．
又，
．
即．
【点睛】考查不等式的基本性质，同乘性与同向可加性，属于基础题．
3．C
【分析】利用作差法先比较y1，y2，再比较y2，y3即可得出y1，y2，y3的大小关系.
【详解】解：由a＞b＞1，有y1﹣y20，即y1＞y2，
由a＞b＞1，有y2﹣y30，即y2＞y3，
所以y1＞y2＞y3，
故选：C.
4．
【分析】克糖水中有克糖，若再添克糖，浓度发生了变化，只要分别计算出添糖前后的浓度进行比较即得．
【详解】克糖水中有克糖，
糖水的浓度为：；
克糖水中有克糖，若再添克糖，
则糖水的浓度为，
又糖水变甜了，说明浓度变大了，
，，，，.
故答案为：，
5．答案见解析
【分析】利用指数函数的单调性比较大小.
【详解】、、，，
，，，
与均为减函数，
当时，，，
当时，，
即当时，.
6．2x2＋5x＋3>x2＋4x＋2.
【分析】利用作差法即可比较大小.
【详解】(2x2＋5x＋3)－(x2＋4x＋2)＝x2＋x＋1＝(x＋)2＋.
因为(x＋)2≥0，所以(x＋)2＋≥>0，所以(2x2＋5x＋3)－(x2＋4x＋2)>0，
所以2x2＋5x＋3>x2＋4x＋2.
7．(1)
(2)
【分析】（1）可采用作差法比较两个代数式的大小，再配方得到，已知恒成立，即可解得答案；
（2）采用作差法比较两个代数式的大小，再利用平方差公式，移项化简得到，结合题中已知条件，即可得到答案
【详解】（1），
.
（2）
且，
，
，即
8．m≥n.
【分析】用作差的方法，因式分解，判断符号，判断与0的关系，可得结果.
【详解】∵.
又x，y均为正数，
∴x>0，y>0，xy>0，x＋y>0，(x－y)2≥0.
∴m－n≥0，即m≥n(当x＝y时，等号成立)．
【点睛】本题考查了作差法比较大小，考查了运算求解能力和逻辑推理能力，属于中档题目.
9．（1）；（2）.
【解析】利用作差法求解即可.
【详解】（1），
，且，
，.
，即.
（2）
（当且仅当时取等号），
又，，.
.
【点睛】本题主要考查了利用作差法比较大小，属于较难题.
10．(1)46＜x＋y＜66
(2)－42＜x－3y＜－6.
(3).
【分析】（1）直接根据不等式基本性质的同向可加性可求解.
（2）先求得的范围，再根据同向可加性求解.
（3）根据第（2）小问的范围结合反比例函数性质求得的范围，再根据同向可乘性即可求解.
【详解】（1）因为30＜x＜42，16＜y＜24，所以30＋16＜x＋y＜42＋24，故46＜x＋y＜66.
（2）因为30＜x＜42，－72＜－3y＜－48，所以30－72＜x－3y＜42－48，
故－42＜x－3y＜－6.
（3）因为30＜x＜42，－42＜x－3y＜－6，所以,
所以,所以,故.
11．，≤<0.
【分析】由已知可得，两式相加可得的范围，由得，再与相加，再结合α<β可求出的范围.
【详解】∵－≤α<β≤，∴.
两式相加，得.
∵，
∴，
∴－≤.
又∵α<β，∴.
∴.
【点睛】此题考查不等式性质的应用，属于基础题.
12．
【分析】先把转化为，利用不等式的可乘性和同向不等式相加即可求得.
【详解】设，则有：
，解得：，所以.
因为，所以，
因为，所以，
所以，
即，
所以的取值范围为.
13．－3【分析】利用不等式的性质即可得到结果.
【详解】解：∵3又1∴1－4又，1∴，
故：－3【点睛】本题考查不等式的性质，考查推理能力与运算能力，属于基础题.
14．B
【分析】利用特殊值确定错误推导，结合基本不等式判断正确推导.
【详解】①，根据基本不等式的知识可知①正确.
②，当时，，所以②错误.
③，根据基本不等式的知识可知③正确.
所以正确的为①③.
故选：B
15．②
【分析】根据基本不等式成立的条件进行判断即可.
【详解】①中忽视了基本不等式等号成立的条件，
当，即时，等号成立，
因为，所以，故①错误；
②因为，所以，
所以，
当且仅当，即时，等号成立，故②正确；
③中忽视了利用基本不等式时每一项必须为正数这一条件，
当时，，故③错误．
故答案为： ②.
16．最大值；能
【分析】利用基本不等式求最值即可.
【详解】∵，∴，
由基本不等式，可得，
当且仅当，即时，有最大值.
17．9
【分析】依题意将表达式变形整理，利用基本不等式即可求得结果.
【详解】由可得，
当且仅当时，即时等号成立，
故的最小值为9.
18．（1）；（2） .
【分析】（1）由＝，利用基本不等式即可求最值；
（2）由，利用基本不等式即可求最值.
【详解】（1）
，
，
当且仅当 ，即时“＝”成立．
的最小值为.
（2），
当且仅当 ，即时“＝”成立，
的最大值为.
【点睛】本题主要考查了利用基本不等式求解最值，意在考查基本公式和计算能力，属于基础题.
19．18
【解析】由已知把变形为，展开后用基本不等式求得最小值．
【详解】∵x0，y0，＋＝1，∴x＋2y＝(x＋2y)＝10＋＋≥10＋2＝18，
当且仅当，即时，等号成立，故当x＝12，y＝3时，(x＋2y)min＝18.
【点睛】本题考查用基本不等式求最小值．解题关键是“1”的代换，通过“1”的代换转化已知式可用基本不等式求最值．
20．
【分析】利用代入变形后根据基本不等式可求出结果.
【详解】
，当且仅当析，时，等号成立.
故答案为：
21．
【分析】变换得到化简利用均值不等式计算得到答案.
【详解】
当即时等号成立.
.
【点睛】本题考查了利用均值不等式求最值，其中变换得到是解题的关键.
22．（1）1；（2）
【分析】（1）由，再利用基本不等式可得到答案.
（2）由，再利用基本不等式即可得到答案.
【详解】（1）因为，
又因为，，
所以，
当且仅当，即时取等号.
所以.
（2）因为，所以.
所以.
当且仅当，即时取等号.
【点睛】本题主要考查了利用基本不等式求解最值，要注意和为定值时，积有最大值，积为定值时，和有最小值的应用，属于简单题.
23．见解析
【解析】由都是正实数，三次利用基本不等式，再相加整理即得.
【详解】证明：，，
，当且仅当时取等号；
，当且仅当时取等号；
，当且仅当时取等号；
上述三式相加可得，
即.当且仅当时，等号成立.
【点睛】本题考查基本不等式的应用，属于基础题.
24．证明见解析
【解析】根据a，b，c∈R＋，且a＋b＋c＝1，利用“1”的代换，变形为＋＋＝ ＝3＋＋＋，再利用基本不等式求解.
【详解】∵a，b，c∈R＋，且a＋b＋c＝1，
∴＋＋＝ ，
＝3＋＋＋＋＋＋＝3＋＋＋，
≥3＋2＋2＋2＝3＋2＋2＋2＝9.
当且仅当a＝b＝c时取等号，
所以＋＋>9.
【点睛】本题主要考查基本不等式证明不等式，“1”的代换是解题的关键，属于中档题.
25．
【分析】利用“1”的代换，式子变形展开后利用基本不等式求最值即可.
【详解】因为，所以，又，
所以＝
当且仅当，即时，等号成立．
所以的最小值为.
26．证明见解析
【分析】根据题意化简得，结合基本不等式，即可求解.
【详解】由，，，
则，
当且仅当时，即时，等号成立，
所以.
27．(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）由基本不等式得出，从而证明；
（2）要证，即证，结合基本不等式证明即可.
【详解】（1）由题意可知，，则
（当且仅当时，取等号）
（2）要证.
只要证.
即证.
（当且仅当时，取等号）
即（当且仅当时，取等号）
.
证毕.
28．为了楼房每平方米的平均综合费最少，该楼房应建为15层．
【分析】设楼房应建为层，楼房每平方米的平均综合费为元，根据平均综合费用=平均建筑费用+平均购地费用，列出函数关系式，然后运用导数函数的最小值，并求出此时的取值即可.
【详解】解：设楼房应建为层，楼房每平方米的平均综合费为元，
则
，
当且仅当，即时，取最小值2000．
答：为了楼房每平方米的平均综合费最少，该楼房应建为15层．
29．－7≤a≤2.
【分析】讨论对称轴的位置，求出函数在－2≤x≤2时的最小值g(a)，满足即可.
【详解】设函数y＝x2＋ax＋3－a在－2≤x≤2时的最小值为关于a的一次函数，设为g(a)，则
当对称轴x＝－<－2，即a>4时，g(a)＝(－2)2＋(－2)a＋3－a＝7－3a≥0，解得a≤，与a>4矛盾，不符合题意．
当－2≤－≤2，即－4≤a≤4时，g(a)＝3－a－≥0，解得－6≤a≤2，此时－4≤a≤2.
当－>2，即a<－4时，g(a)＝22＋2a＋3－a＝7＋a≥0，解得a≥－7，此时－7≤a<－4.
综上，a的取值范围为－7≤a≤2.
30．ABD
【分析】对于A：根据题意分析可得，运算求解即可；对于B：根据题意整理得，分类讨论，分类讨论，结合对勾函数以及基本不等式运算求解；对于C：构建，结合函数零点分析判断；对于D：根据题意整理可得，换元结合基本不等式运算求解.
【详解】对于选项A：因为，则，
可得，解得，故A正确；
对于选项B：因为，则，即，
又因为，且，
可得，则，
令，则，
1.当时，则，即；
2.当时，令，
则，
①当时，在上单调递减，
则，可得，所以；
②当时，，
可得，所以；
综上所述：，即，故B正确；
对于选项C：因为，即，
构建，则在上单调递增，
由，则，
且，
所以函数在内的零点，整理得，故C错误；
对于选项D：因为，且，即，则，
可得，
令，则，
当且仅当，即时，等号成立，
所以，故D正确；
故选：ABD.
【点睛】方法点睛：
1．用基本不等式求最值时，要注意“一正、二定、三相等”，一定要明确什么时候等号成立，要注意“代入消元”、“拆、拼、凑”、“1的代换”等技巧的应用；
2．不等式恒成立问题一般用分离参数法转化为函数最值求解或用赋值法讨论求解．
31．（1）或；（2）；（3）R.
【解析】先将二次项系数变为正数，考察相应方程的根的判别式，确定相应方程的根的情况，从而求出原不等式的解集
【详解】（1）因为Δ＝72－4×2×3＝25>0，
所以方程2x2＋7x＋3＝0有两个不等实根x1＝－3，x2＝.
所以原不等式的解集为或.
（2）原不等式可化为，
所以原不等式的解集为.
（3）原不等式可化为2x2－3x＋2>0，
因为Δ＝9－4×2×2＝－7<0，
所以方程2x2－3x＋2＝0无实根，
又二次函数y＝2x2－3x＋2的图象开口向上，
所以原不等式的解集为R.
【点睛】本题考查一元二次不等式的解法，解一元二次不等式通常步骤是：（1）通过对不等式变形，使二次项系数大于零；（2）计算对应方程的判别式；（3）求出相应的一元二次方程的解，或根据判别式说明方程没有实根；（4）根据函数图象与轴的相关位置写出不等式的解集.
32．(1)
(2)或
(3)
【分析】（1）因式分解可得结果；
（2）配方法可得结果；
（3）配方法可得结果.
【详解】（1）由，得，得，
所以不等式的解集为.
（2）由得，得，
得，得或，即或，
所以原不等式的解集为或.
（3）由得，所以.
所以原不等式的解集为.
33．答案见解析
【分析】分，，三种情况，再结合根的大小进行分类讨论，得到不等式的解集.
【详解】当时，，解得，不等式的解集为；
当时，分解因式，
当时，原不等式为，
不等式的解集为或；
当时，原不等式为，
当时，，不等式的解集为；
当时，，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为，
综上所述，当时，不等式的解集为或；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为．
34．答案见解析
【分析】分成，，，，五种情况分别讨论不等式的解.
【详解】不等式化为：，
当，原不等式化为，解得，
当，原不等式化为，解得或，
当，原不等式化为，
当时，解得，当时，不等式无解，当时，解得，
所以当，原不等式的解集为或；
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为.
35．或.
【解析】根据一元二次不等式的解，得出对应一元二次方程的解，进而得到关系，化简不等式，即可求解.
【详解】法一：由不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|2且2和3是方程ax2＋bx＋c＝0的两根，
由根与系数的关系可知.
由a<0，故不等式cx2＋bx＋a<0化为，，
即，解得或，
所以不等式cx2＋bx＋a<0的解集为或.
法二：由不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|2a<0，且2和3是方程ax2＋bx＋c＝0的两根，
所以ax2＋bx＋c＝a(x－2)(x－3)＝ax2－5ax＋6a b＝－5a，c＝6a，
故不等式cx2＋bx＋a<0，即6ax2－5ax＋a<0 6a，
故原不等式的解集为或.
【点睛】本题考查一元二次不等式的解法，深刻理解“三个二次”的关系是解题的关键，属于中档题.
36．－7≤a≤2.
【分析】讨论对称轴的位置，求出函数在－2≤x≤2时的最小值g(a)，满足即可.
【详解】设函数y＝x2＋ax＋3－a在－2≤x≤2时的最小值为关于a的一次函数，设为g(a)，则
当对称轴x＝－<－2，即a>4时，g(a)＝(－2)2＋(－2)a＋3－a＝7－3a≥0，解得a≤，与a>4矛盾，不符合题意．
当－2≤－≤2，即－4≤a≤4时，g(a)＝3－a－≥0，解得－6≤a≤2，此时－4≤a≤2.
当－>2，即a<－4时，g(a)＝22＋2a＋3－a＝7＋a≥0，解得a≥－7，此时－7≤a<－4.
综上，a的取值范围为－7≤a≤2.
37．(1)
(2)
【分析】（1）直接解一元二次不等式即可，
（2）由题意可得对一切实数都成立，然后分和两种情况求解
【详解】（1）当时，，
由，得，
，解得，
所以不等式的解集为
（2）由题意可得对一切实数都成立，
当时，恒成立，符合题意，
当时，因为对一切实数都成立，
所以，解得，
综上，，
即的取值范围为
38．(1)
(2)1
(3)
【分析】（1）根据一元二次不等式的解与一元二次方程的根之间的关系即可求解.
（2）根据二次函数的性质可得，进而根据基本不等式即可求解.
（3）取得，根据判别式小于0可得，进而可得的关系，根据基本不等式即可求解
【详解】（1）依题意知，，且方程的两根为1，2
由根与系数间的关系得，则．
故不等式
解得：，即原不等式的解集为．
（2）因为时，恒成立，
故得，那，即，
所以（当且仅当时等号成立）
（3）令，则，所以．
对任意，恒成立，
所以恒成立．
所以且
所以，此时，
因此，当且仅当时等号成立，此时，（或）
验证，成立
故ab的最大值为．
39．（1）{x|－2【解析】（1）等价转化为一元二次不等式，求解即可；
（2）移项通分，不等式一边为0，等价转化为一元二次不等式，即可求出结论.
【详解】（1） (x－3)(x＋2)<0 －2∴原不等式的解集为{x|－2（2）∵，∴，
此不等式等价于解得x<或x≥4，
∴原不等式的解集为或.
【点睛】本题考查分式不等式的解法，等价转化为整式不等式，属于基础题.
40．（1）；（2）.
【分析】（1）原不等式可转化为；
（2）将原不等式可化为，即成2(x－1)(x＋1)<0.
【详解】（1）原不等式可转化为，
解不等式组可得x≤－1或x>3.
即知原不等式的解集为．
（2）移项并整理，可将原不等式可化为，即成2(x－1)(x＋1)<0，
解得－1所以，原不等式的解集为．
41．
【解析】设税率调低后的“税收总收入”为y元,根据题意可得关于的二次函数解析式.由题意知,进而得关于的一元二次不等式,解不等式即可求得的取值范围.
【详解】设税率调低后的“税收总收入”为y元,则
.
依题意,得,
即,
整理,得,解得.
根据x的实际意义,知,所以为所求.
故x的取值范围是.
【点睛】本题考查了二次函数与一元二次不等式的关系,一元二次不等式的解法,属于基础题.
42．花卉带宽度的范围为(0，100].
【分析】设花卉带的宽度为xm(0【详解】解：设花卉带的宽度为xm(0根据题意可得(800－2x)(600－2x)≥×800×600，
整理得x2－700x＋600×100≥0，即(x－600)(x－100)≥0，
所以0故所求花卉带宽度的范围为(0，100].
【点睛】本题考查生活中的函数的应用，关键在于找出变量之间的关系，注意其变量的实际问题中的范围，属于基础题.
43．（1）；（2）单位每月不能获利，需国家每月至少补贴元，才能使该单位不亏损.
【分析】（1）根据题意列不等式组，再解一元二次不等式，最后求交集得结果；
（2）列出利润函数，求其最大值，根据最大值与零关系得结果.
【详解】（1）由题意得
所以月处理量x的取值范围为；
（2）设利润为元，,则，
所以 在单调递减，即时
因此单位每月不能获利，需国家每月至少补贴元，才能使该单位不亏损.
【点睛】本题考查函数实际应用、解一元二次不等式、二次函数最值，考查基本分析求解能力，属基础题.
答案第1页，共2页
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