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第三章 函数的概念与性质（知识清单）-【满分全攻略】（人教A版2019必修第一册）
第三章 函数的概念与性质（知识清单）（13个考点梳理+典型例题+变式练习）
【知识导图】
【知识清单】
考点1.函数的概念
函数的概念
定义 一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数
【例1】
1．下列四个图象中，不是函数图象的是（ ）
A． B． C． D．
【例2】　
2．下列各组函数是同一函数的是
①与 ②与
③与 ④与．
A．① ② B．① ③ C．③ ④ D．① ④
【变式】
3．下列各组函数中是相等函数的是（ ）
A．与
B．与
C．与
D．与
考点2.函数的三要素
三要素 对应关系 y＝f（x），x∈A
定义域 自变量x的取值范围
值域 与x的值相对应的y的函数值的集合{f（x）|x∈A}
【例3】
4．判断下列对应是不是从集合A到集合B的函数.
(1)，，对应法则f：对集合A中的元素取绝对值与B中元素对应；
(2)，，对应法则，，；
(3)，，对应法则，，；
(4)三角形，，对应法则f：对A中元素求面积与B中元素对应.
【例4】
5．求下列函数的定义域：
(1)；
(2)；
(3)；
(4).
【例5】　
6．设，，
（1）求，，，．
（2）求．
考点3.函数的三种表示法
【例6】　
7．公司生产了10台机器，每台售价3000元，试求售出台数x与收款数y之间的函数关系，分别用列表法、图象法、解析法表示出来.
【变式】
8．某学生离家去学校，一开始跑步前进，跑累了再走余下的路程.下列图中纵轴表示离校的距离，横轴表示出发后的时间，则较符合该学生走法的是（ ）
A． B．
C． D．
9．由下表给出函数y＝f(x)，则f(f(1))等于（ ）
x 1 2 3 4 5
y 4 5 3 2 1
A．1 B．2
C．4 D．5
考点4.分段函数
如果函数y＝f（x），x∈A，根据自变量x在A中不同的取值范围，有着不同的对应关系，则称这样的函数为分段函数．
【例7】
10．已知函数，.
(1)求，，的值；
(2)若，求实数a的值.
【变式】
11．已知函数（）.
（1）用分段函数的形式表示该函数；
（2）画出该函数的图象；
（3）写出该函数的值域.
考点5.函数的单调性
增函数与减函数的定义
条件 一般地，设函数f（x）的定义域为I，区间D I：如果 x1，x2∈D，当x1＜x2时
都有f（x1）＜f（x2） 都有f（x1）＞f（x2）
结论 那么就说函数f（x）在区间D上是增函数 那么就说函数f（x）在区间D上是减函数
图示
【例8】　
12．证明函数f(x)＝x＋在(0,1)上为减函数.
【变式】
13．试用函数单调性的定义证明：在上是减函数．
考点6函数的单调区间
如果函数y＝f（x）在区间D上单调递增或单调递减，那么就说函数y＝f（x）在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做y＝f（x）的单调区间．
【例9】　
14．求下列函数的单调区间，并指出该函数在其单调区间上是增函数还是减函数.
（1）f(x)＝－；
（2）f(x)＝；
（3）f(x)＝－x2＋2|x|＋3.
【变式】
15．（1）根据如图所示，写出函数在每一单调区间上函数是单调递增还是单调递减；

（2）写出的单调区间．
【例10】　
16．（1）若函数在区间上是单调递增，则实数a的取值范围是 ．
（2）已知函数是上的增函数，且，则实数x的取值范围为 ．
考点7.函数的最大（小）值
函数最大值与最小值
最大值 最小值
条件 设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M满足： x∈I，都有
f（x）≤M f（x）≥M
x0∈I，使得f（x0）＝M
结论 M是函数y＝f（x）的最大值 M是函数y＝f（x）的最小值
几何意义 f（x）图象上最高点的纵坐标 f（x）图象上最低点的纵坐标
【例11】
17．已知函数
(1)在直角坐标系内画出的图象；
(2)根据函数的图象写出函数的单调区间和值域．
【变式】
18．已知函数f(x)＝求f(x)的最大值、最小值．
【例12】
19．已知函数f（x）＝.
（1）判断函数在区间(－1，＋∞)上的单调性，并用定义证明你的结论；
（2）求该函数在区间[2，4]上的最大值和最小值．
【变式】
20．求函数在上的最值．
【例13】
21．一个工厂生产某种产品每年需要固定投资100万元,此外每生产1件该产品还需要增加投资1万元,年产量为（）件.当时，年销售总收入为（）万元；当时，年销售总收入为万元.记该工厂生产并销售这种产品所得的年利润为万元.(年利润=年销售总收入一年总投资)
(1)求(万元)与(件)的函数关系式；
(2)当该工厂的年产量为多少件时,所得年利润最大 最大年利润是多少
【变式】
22．将进货单价为40元的商品按50元一个出售时，能卖出500个，已知这种商品每涨价1元，其销售量就减少10个，为得到最大利润，售价应为多少元？最大利润为多少？
【例14】
23．已知函数f(x)＝x2－ax＋1，求f(x)在[0，1]上的最大值.
考点8.函数奇偶性的定义
函数的奇偶性
奇偶性 偶函数 奇函数
条件 设函数f（x）的定义域为I，如果 x∈I，都有－x∈I
结论 f（－x）＝f（x） f（－x）＝－f（x）
图象特点 关于y轴对称 关于原点对称
【例15】
24．判断下列函数的奇偶性：
（1）f（x）＝x3＋x；
（2）；
（3）；
（4）
【变式】
25．下列函数中，是偶函数的有 ．(填序号)
①f(x)＝x3；②f(x)＝|x|＋1；③f(x)＝；
④f(x)＝x＋；⑤f(x)＝x2，x∈[－1，2]．
题型9.函数奇偶性的应用
【例16】　
26．已知奇函数f(x)的定义域为[－5，5]，且在区间[0，5]上的图象如图所示.
（1）画出f(x)在区间[－5，0]上的图象；
（2）写出使f(x)<0的x的取值集合.
【变式】
27．如图是函数f(x)＝在区间[0，＋∞)上的图象，请据此在该坐标系中补全函数f(x)在定义域内的图象，请说明你的作图依据．
【例17】
28．(1)若函数是偶函数，定义域为，则 ， ；
(2)已知，若，则 .
【变式】
29．若为偶函数，则实数 .
考点10.幂函数的定义
一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．
【例18】
30．已知是幂函数，求m，n的值．
【变式1】
31．若函数是幂函数，且满足，则的值等于 .
【变式2】
32．已知幂函数是偶函数，且在上是减函数，求函数的解析式．
考点11.常见幂函数的图象
在同一平面直角坐标系中，画出幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x，y＝x－1的图象如图所示：
【例19】
33．点(，2)与点分别在幂函数f(x)，g(x)的图象上，问：当x为何值时，有：①f(x)>g(x)？②f(x)＝g(x)？③f(x)【变式1】
34．若四个幂函数，，，在同一坐标系中的图象如图，则、、、的大小关系是　　
A． B． C． D．
【变式2】
35．函数 的图象关于x轴对称的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
考点12.幂函数的性质
y＝x y＝x2 y＝x3 y＝x y＝x－1
定义域 R R R [0，＋∞） {x|x≠0}
值域 R [0，＋∞） R [0，＋∞） {y|y≠0}
奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇
单调性 增函数 x∈[0，＋∞）时，增函数 x∈（－∞，0] 时，减函数 增函数 增函数 x∈（0，＋∞）时，减函数 x∈（－∞，0） 时，减函数
【例20】
36．比较下列各组中幂值的大小：
（1）0.213，0.233；（2），，.
【变式1】
37．比较下列各组数的大小：
（1）与；
（2），， .
【变式2】
38．比较下列各组数的大小：
(1)，；
(2)，；
(3)，，．
考点13.解决函数应用问题的基本步骤
常见的数学模型
（1）一次函数模型:f（x）=kx+b（k，b为常数，k≠0）;
（2）反比例函数模型:f（x）=+b（k，b为常数，k≠0）;
（3）二次函数模型:f（x）=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）;
（4）幂函数模型:f（x）=axn+b（a，b，n为常数，a≠0，n≠1）;
（5）分段函数模型:这个模型实则是以上两种或多种模型的综合，因此应用也十分广泛.
解答函数实际应用问题时，一般要分四步进行
第一步:分析、联想、转化、抽象;
第二步:建立函数模型，把实际应用问题转化为数学问题;
第三步:解答数学问题，求得结果;
第四步:把数学结果转译成具体问题的结论，做出解答.
而这四步中，最为关键的是把第二步处理好.只要把函数模型建立妥当，所有的问题即可在此基础上迎刃而解.
【例21】
39．某通信公司为了配合客户的不同需要，现设计A，B两种优惠方案，这两种方案的应付话费y（元）与通话时间x(分钟)之间的关系如图所示(实线部分)．(注：图中MN∥CD)
（1）若通话时间为2小时，则按方案A，B各付话费多少元？
（2）方案B从500分钟以后，每分钟收费多少元？
（3）通话时间在什么范围内，方案B才会比方案A优惠？
【变式】
40．在扶贫活动中，为了尽快脱贫（无债务）致富，企业甲将经营情况良好的某种消费品专卖店以万元的优惠价转让给了尚有万元无息贷款没有偿还的小型企业乙，并约定从该店经营的利润中，首先保证企业乙的全体职工每月最低生活费的开支元后，逐步偿还转让费（不计息）．在甲提供的资料中有：①这种消费品的进价为每件元；②该店月销量（百件）与销售价格（元）的关系如图所示；③每月需各种开支元．
（1）当商品的价格为每件多少元时，月利润扣除职工最低生活费的余额最大？并求最大余额；
（2）企业乙只依靠该店，最早可望在几年后脱贫？
【例22】　
41．某水果批发商销售进价为每箱40元的苹果，假设每箱售价不低于50元且不得高于55元，市场调查发现，若每箱以50元的价格销售，平均每天销售90箱，价格每提高1元，平均每天少销售3箱.
（1）求平均每天的销售量y（箱）与销售单价x（元/箱）之间的函数关系式.
（2）求该批发商平均每天的销售利润w（元）与销售单价x（元/箱）之间的函数关系式.
（3）当每箱苹果的售价为多少元时，每天可以获得最大利润？最大利润是多少？
【变式】
42．甲、乙两城相距100km，在两城之间距甲城xkm处的丙地建一核电站给甲、乙两城供电，为保证城市安全，核电站距两地的距离不少于10km．已知各城供电费用（元）与供电距离（km）的平方和供电量（亿千瓦时）之积都成正比，比例系数均是=0.25，若甲城供电量为20亿千瓦时/月，乙城供电量为10亿千瓦时/月，
(1)把月供电总费用y（元）表示成x（km）的函数，并求其定义域；
(2)求核电站建在距甲城多远处，才能使月供电总费用最小．
【例23】
43．某公司生产一种产品，每年投入固定成本0.5万元，此外每生产100件这种产品还需要增加投资0.25万元，经预测可知，市场对这种产品的年需求量为500件，当出售的这种产品的数量为t(单位：百件)时，销售所得的收入约为(万元)．
（1）若该公司的年产量为x(单位：百件)，试把该公司生产并销售这种产品所得的年利润表示为年产量x的函数；
（2）当这种产品的年产量为多少时，当年所得利润最大？
【变式1】
44．已知A B两地相距150千米，某人开汽车以60千米/时的速度从A地到B地，在B地停留1小时后再以50千米/时的速度返回A地.
(1)把汽车离开A地的距离x（千米）表示为时间t（小时）的函数；
(2)求汽车行驶5小时与A地的距离.
【变式2】
45．大气中的温度随着高度的上升而降低，根据实测的结果上升到12 km为止温度的降低大体上与升高的距离成正比，在12 km以上温度一定，保持在-55℃.
(1)当地球表面大气的温度是a℃时，在x km的上空为y℃，求a、x、y间的函数关系式；
(2)问当地表的温度是29℃时，3 km上空的温度是多少？
【例24】
46．经市场调查，某门市部的一种小商品在过去的20天内的日销售量（件）与价格（元）均为时间（天）的函数，且日销售量近似满足函数（件），而且销售价格近似满足于（元）．
（1）试写出该种商品的日销售额与时间的函数表达式；
（2）求该种商品的日销售额的最大值与最小值．
【变式】
47．某种商品在30天内每件的销售价格P(元)与时间t(t∈N＋)(天)的函数关系用如图的两条线段表示，该商品在30天内日销售量Q(件)与时间t(t∈N＋)(天)之间的关系如下表：
t/天 5 10 20 30
Q/件 35 30 20 10
(1)根据提供的图象(如图)，写出该商品每件的销售价格P与时间t的函数关系式；
(2)根据上表提供的数据，写出日销售量Q与时间t的一个函数关系式；
(3)求该商品日销售金额的最大值，并指出日销售金额最大的一天是30天中的第几天(日销售金额＝每件的销售价格×日销售量).
【例25】
48．某药厂研制出一种新型药剂，投放市场后其广告投入x(万元)与药品利润y(万元)存在的关系为 (为常数)，其中x不超过5万元.已知去年投入广告费用为3万元时，药品利润为27万元，若今年投入广告费用5万元，预计今年药品利润为 万元.
49．商场销售某一品牌的羊毛衫，购买人数是羊毛衫标价的一次函数，标价越高，购买人数越少.把购买人数为零时的最低标价称为无效价格，已知无效价格为每件300元.现在这种羊毛衫的成本价是100元/ 件，商场以高于成本价的价格（标价）出售. 问：
（1）商场要获取最大利润，羊毛衫的标价应定为每件多少元？
（2）通常情况下，获取最大利润只是一种“理想结果”，如果商场要获得最大利润的75%，那么羊毛衫的标价为每件多少元？
【变式】
50．据市场分析，南雄市精细化工园某公司生产一种化工产品，当月产量在10吨至25吨时，月生产总成本y(万元)可以看成月产量x(吨)的二次函数；当月产量为10吨时，月总成本为20万元；当月产量为15吨时，月总成本最低为17.5万元，为二次函数的顶点．写出月总成本y(万元)关于月产量x(吨)的函数关系．已知该产品销售价为每吨1.6万元，那么月产量为多少时，可获最大利润？
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．B
【解析】根据函数定义知y是x的函数中，x确定一个值，y就随之确定一个值，对比图像得到答案.
【详解】根据函数的定义知：y是x的函数中，x确定一个值，y就随之确定一个值，
体现在图象上，图象与平行于y轴的直线最多只能有一个交点，
对照选项，可知只有B不符合此条件.
故选：B.
【点睛】本题考查了函数图像，意在考查学生对于函数的理解和掌握.
2．C
【分析】判断两个函数的定义域与对应法则是否相同，即可作出判断.
【详解】①与的定义域是{x|x≤0}；而①x，故这两个函数不是同一函数；
②f（x）＝x与的定义域都是R，|x|，这两个函数的定义域相同，对应法则不相同，故这两个函数不是同一函数；
③f（x）＝x0的定义域是{x|x≠0}，而g（x）＝1的定义域是{x|x≠0}，故这两个函数是同一函数；
④f（x）＝x2﹣2x﹣1与g（t）＝t2﹣2t﹣1．是同一函数．
故选C．
【点睛】判断两个函数是否为同一函数的关键是要看定义域和对应法则，只有两者完全一致才能说明这两个函数是同一函数．属基础题．
3．B
【解析】根据相等函数的定义，判断函数定义域和对应关系，即可判断.
【详解】解:选项中， 的定义域为：；的定义域为：，
所以两函数的定义域不同，则不是相等函数；
选项中，的定义域为：；定义域为：，
所以两函数的定义域不同，则不是相等函数；
选项中两函数的对应关系不同，所以不是相等函数；
故错误，
故选：B.
【点睛】本题考查相等函数的定义：两个函数相等，要求定义域和化到最简后的对应关系都要相等，两者缺一不可.
4．(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】根据函数的定义，可依次判断得解.
【详解】（1）对于A中的元素0，在f的作用下得0，但0不属于B，即A中的元素0在B中没有元素与之对应，所以不是函数.
（2）对于A中的元素，在f的作用下与B中的1对应，A中的元素，在f的作用下与B中的4对应，所以满足A中的任一元素与B中唯一元素对应，是“多对一”的对应，故是函数.
（3）对于A中的任一元素，在对应关系f的作用下，B中都有唯一的元素与之对应，如对应1，对应4，所以是函数.
（4）集合A不是数集，故不是函数.
5．(1).
(2)且.
(3).
(4)且.
【分析】（1）根据分母不为0，列式可求出；
（2）根据底数不为0以及二次根式的被开方数大于等于0且分母不为0，列式可求出；
（3）根据二次根式的被开方数大于等于0，列式可得出；
（4）根据分母不为0和二次根式的被开方数大于等于0，即可求出定义域.
【详解】（1）由题意知，，即：，所以这个函数的定义域为.
（2）由题意知，，解得：且，所以这个函数的定义域为且.
（3）由题意知，，解得：，所以这个函数的定义域为.
（4）由题意知，，解得：且，所以这个函数定义域为且.
6．（1）f(2)＝10，f(a＋3)＝2a2＋12a＋20，g(a)＋g(0)＝ (a≠－2)，g(f(2))＝；（2）.
【分析】（1）根据函数解析式，依次代入计算即可；
（2）将f(x)作为自变量代入g(x)的解析式，计算即可.
【详解】(1)因为f(x)＝2x2＋2，所以f(2)＝2×22＋2＝10，
f(a＋3)＝2(a＋3)2＋2＝2a2＋12a＋20，
因为g(x)＝，所以g(a)＋g(0)＝＝ (a≠－2)，
g(f(2))＝g(10)＝＝；
(2) ．
【点睛】本题考查了函数值的计算和函数解析式，属于基础题.
7．答案见解析.
【分析】结合题设条件和根据函数的表示方法，即可求解.
【详解】①列表法
x (台) 1 2 3 4 5
y(元) 3000 6000 9000 12000 15000
x(台) 6 7 8 9 10
y(元) 18000 21000 24000 27000 30000
②图象法：如图所示.
③解析法：售出台数x与收款数y之间的函数关系.
【点睛】本题主要考查了函数的表示方法，其中解答中熟记函数表示方法——列表法、图象法和解析法是解答的关键，属于基础题.
8．D
【分析】根据学生的走法情况，先跑步（快速），再步行（慢速），从离校的距离与出发时间的函数图象来看，先陡后平缓，且随着的增大而减小，由此可作出判断.
【详解】由题意可知，一开始速度较快，后来速度变慢，所以开始曲线比较陡峭，
后来曲线比较平缓，又纵轴表示离校的距离，所以开始时距离最大，
最后距离为，故符合要求的图象为D选项中的图象.
故选：D.
【点睛】本题主要考查实际问题中函数图象的识别，属于基础题.
9．B
【分析】根据表格提供数据计算出正确答案.
【详解】由题意可知，f(1)＝4，f(4)＝2，∴f(f(1))＝f(4)＝2.
故选：B
10．(1)，，
(2)或
【分析】（1），代入直接计算，然后先求出再计算；
（2）按分段函数定义分类讨论解方程．
【详解】（1）由题可得，
，
因为，
所以；
（2）①当时，，
解得，不合题意，舍去；
②当时，，即，
解得或，
因为，，所以符合题意；
③当时， ，
解得，符合题意；
综合①②③知，当时，或．
11．（1）；（2）答案见解析；（3）.
【分析】（1）去掉绝对值号，即可求出函数的解析式；
（2）画出函数的图象即可；
（3）利用函数的图象，写出函数的值域．
【详解】（1）当时，；当时，.
∴
（2）函数的图象如图所示，

（3）由（1）知，在上的值域为.
12．根据函数单调性的定义法，设出任意两个变量，得到对应的函数值的差，定号，下结论．
【详解】证明：(1)设0＜x1＜x2＜1，则x2－x1＞0，
f(x2)－f(x1)＝(x2＋)－(x1＋)
＝(x2－x1)＋(－)＝(x2－x1)＋
＝(x2－x1)(1－)＝，
若0＜x1＜x2＜1，则x1x2－1＜0，
故f(x2)－f(x1)＜0，∴f(x2)＜f(x1)．
∴f(x)＝x＋在(0,1)上是减函数．
13．见解析
【分析】先将原函数变成，根据减函数的定义，设，通过作差证明即可．
【详解】证明：，
设，
则，
∵，
∴，，
∴，即，
∴在上是单调减函数．
【点睛】本题考查利用定义法证明函数的单调性，属于简单题.
14．（1）和为增区间；（2）为减区间，为增区间；（3）和为减区间，和为增区间.
【分析】（1）根据反比例函数的单调性判断即可；
（2）分段函数逐段判断即可；
（3）函数去绝对值，作图观察即可.
【详解】(1)函数f(x)＝－的单调区间为(－∞，0)，(0，＋∞)，其在(－∞，0)，(0，＋∞)上都是增函数.
(2)当x≥1时，f(x)是增函数，当x<1时，f(x)是减函数，所以f(x)的单调区间为(－∞，1)，[1，＋∞)，并且函数f(x)在(－∞，1)上是减函数，在[1，＋∞)上是增函数.
(3)因为f(x)＝－x2＋2|x|＋3＝
根据解析式可作出函数的图象如图所示，由图象可知，
函数f(x)的单调区间为(－∞，－1]，(－1，0)，[0，1)，[1，＋∞).

f(x)在(－∞，－1]，[0，1)上是增函数，在(－1，0)，[1，＋∞)上是减函数.
【点睛】本题考查了函数的单调性，属于基础题.
15．（1）函数在上是单调递减，在上是单调递增；（2）单调减区间为；单调增区间为．
【分析】（1）利用函数图象变化趋势可直接得到其在不同区间上的单调性；
（2）利用分段函数形式写出函数的解析式，画出函数图象即可得其单调区间.
【详解】（1）由函数图象易知函数在上是单调递减，在上是单调递增；
（2）根据题意可知，当或时，，
此时;
当时，，此时，
所以可得
先画出其图象如图所示：
由图可知，的单调减区间为，单调增区间为.
16．
【分析】（1）根据题意分析出对称轴与区间的关系，利用二次函数性质建立关于的不等式，即可求得实数a的取值范围；
（2）利用函数单调性即可得出关于的不等式，解不等式即可求得实数x的取值范围.
【详解】（1）由二次函数性质可知的开口向下，对称轴为，
要使在区间上是单调递增，
只需，可得.
所以实数a的取值范围为.
（2）因为函数是上的增函数，且，
所以，解得，
因此实数x的取值范围为.
故答案为：；.
17．(1)答案见解析
(2)单调递增区间为，单调递减区间为，值域为．
【分析】（1）根据分段函数中两段函数的解析式，结合二次函数和一次函数的图象特征，即可画出函数的图象；（2）根据图象直接求函数的单调区间和值域.
【详解】（1）图象如图所示：

（2）由图可知的单调递增区间为，单调递减区间为，值域为．
18．最大值为1，最小值为0.
【分析】根据题意作出函数的图象，进而根据图象得到函数的最值.
【详解】作出函数f(x)的图象(如图)．

由图象可知，当x＝±1时，f(x)取最大值为f(±1)＝1.当x＝0时，f(x)取最小值f(0)＝0，
故f(x)的最大值为1，最小值为0.
19．（1）增函数；（2）最小值，最大值.
【解析】（1）根据函数单调性定义，任取－1（2）根据（1）的结论，即可求出最值.
【详解】（1）f（x）在(－1，＋∞)上为增函数，证明如下：任取－1则,
因为－10，x2＋1>0，x1－x2<0，
所以f(x1)－f(x2)<0 f(x1)所以f（x）在(－1，＋∞)上为增函数．
（2）由（1）知f（x）在[2，4]上单调递增，
所以f（x）的最小值为，
最大值.
【点睛】本题考查函数单调性的证明，以及应用单调性求最值，属于基础题.
20．最小值4，最大值5
【分析】先判断函数的单调性，再根据单调性求最值即可．
【详解】设，则
，
∵，∴，，，
∴，∴在上是减函数．
同理在上是增函数．
∴当时，取得最小值4；当 或时，取得最大值5．
【点睛】本题主要考查函数的单调性和最值，属于常规题．
21．（1）（）；（2）当年产量为件时，所得年利润最大，最大年利润为万元.
【分析】（1）根据已知条件，分当时和当时两种情况，分别求出年利润的表达式，综合可得答案；
（2）根据（1）中函数的解析式，求出最大值点和最大值即可．
【详解】（1）由题意得：当时，，
当时，，
故（）；
（2）当时，，
当时，，
而当时，，
故当年产量为件时，所得年利润最大，最大年利润为万元.
【点睛】本题主要考查函数模型及最值的求法，正确建立函数关系是解题的关键，属于常考题.
22．售价为70元时，利润最大值为9 000元.
【分析】根据总利润销售量每个利润．设售价为元，总利润为元，则销售量为，每个利润为，据此表示总利润，然后根据函数性质求最大值．
【详解】设售价为元，总利润为元，
则，
当时，最大，最大的利润元；
即售价为70元时可获得最大利润，最大的利润是9000元．
23．
【解析】的对称轴，分类讨论与关系，即可求解.
【详解】因为函数f(x)＝x2－ax＋1的图象开口向上，其对称轴为，
当，即a≤1时，f(x)的最大值为f（1）＝2－a；
当>，即a>1时，f(x)的最大值为f(0)＝1，
综上.
【点睛】本题考查二次函数的性质，考查分类讨论思想，要熟练掌握基本初等函数的性质，属于基础题.
24．（1）奇函数；（2）既是奇函数又是偶函数；（3）既不是奇函数也不是偶函数；（4）奇函数.
【分析】首先求出函数的定义域，判断定义域是否关于原点对称，再利用函数的奇偶性定义即可判断.
【详解】（1）函数的定义域为R，关于原点对称．
又f(－x)＝(－x)3＋(－x)＝－(x3＋x)＝－f（x），
因此函数f（x）是奇函数．
（2）由 得x2＝1，即x＝±1.
因此函数的定义域为{－1，1}，关于原点对称．
又f（1）＝f(－1)＝－f(－1)＝0，
所以f（x）既是奇函数又是偶函数．
（3）函数f（x）的定义域是(－∞，－1)∪(－1，＋∞)，
不关于原点对称，所以f（x）既不是奇函数也不是偶函数．
（4）函数f（x）的定义域为R，关于原点对称．
f(－x)＝，于是有f(－x)＝－f（x）．
所以f（x）为奇函数．
【点睛】本题考查了函数奇偶性的定义，注意判断函数的奇偶性需判断函数的定义域，属于基础题.
25．②③
【分析】利用奇偶函数的定义判断每一个函数的奇偶性得，①④为奇函数，②③为偶函数，⑤为非奇非偶函数.
【详解】对于①，f(－x)＝－x3＝－f(x)，则为奇函数；
对于②，f(－x)＝|－x|＋1＝|x|＋1，则为偶函数；
对于③，定义域为{x|x≠0}，关于原点对称，f(－x)＝＝＝f(x)，则为偶函数；
对于④，定义域为{x|x≠0}，关于原点对称，f(－x)＝－x－＝－f(x)，则为奇函数；
对于⑤，定义域为[－1，2]，不关于原点对称，不具有奇偶性，则为非奇非偶函数．
故答案为：②③
26．（1）答案见解析；（2）(－2，0)∪(2，5).
【分析】（1）根据函数的奇偶性，作出函数的图象；
（2）根据图象解不等式.
【详解】(1)因为函数f(x)是奇函数，所以y＝f(x)在[－5，5]上的图象关于原点对称.
由y＝f(x)在[0，5]上的图象，可知它在[－5，0]上的图象，如图所示.
(2)由图象知，使函数值f(x)<0的x的取值集合为(－2，0)∪(2，5).
27．作图见解析；说明见解析.
【分析】先证明函数f(x)为偶函数．所以f(x)的图象关于y轴对称，再根据对称性作图即得解.
【详解】因为f(x)＝所以f(x)的定义域为R．
又对任意x∈R，都有f(－x)＝＝＝f(x)，
所以f(x)为偶函数．
所以f(x)的图象关于y轴对称，其图象如图所示．
28． 0 7
【分析】（1）根据偶函数定义域关于原点对称可解得，再利用偶函数定义可得；
（2）易知为奇函数，利用奇函数性质即可计算得出.
【详解】(1)因为偶函数的定义域关于原点对称，
所以，解得，
又函数为二次函数，
结合偶函数定义由，易得；
(2)令，则是奇函数，
又，可得，
所以.
又，可得.
故答案为：，0，7
29．4
【分析】方法一：根据偶函数的定义即可解出．
【详解】［方法一］：【最优解】定义法
偶函数对任意恒成立
．
故答案为：4．
［方法二］：利用二次函数与偶函数图象特征
因为函数是二次函数且为偶函数，所以函数图象的对称轴是，即．
故答案为：4．
［方法三］：利用极值点特征
从另一个角度来看待偶函数的图象：既然图象关于轴对称，说明该函数在处取得极值，因此是该函数的极值点，由导数性质可得，即．
故答案为：4．
［方法四］：导数的性质
因为偶函数的导函数必为奇函数，因此为偶函数为奇函数（这是一次函数），必为正比例函数．
故答案为：4．
【整体点评】方法一：从偶函数的定义出发，并结合特殊值，这样运算量很小，尤其对一些运算量较大的问题特别有效，是该题的通性通法，也是最优解；
方法二：根据偶函数和二次函数的特征求出；
方法三：利用二次函数的极值点在对称轴上求出；
方法四：根据具有奇偶性的函数的导函数奇偶性求出．
30．m＝－3，n＝
【解析】根据幂函数满足形式求解即可.
【详解】由题意得解得所以m＝－3,n＝.
【点睛】本题主要考查了根据幂函数的基本形式求参数的问题,属于基础题.
31．
【分析】由幂函数定义可设，利用已知等式得到，由可求得结果.
【详解】设，则
故答案为：
【点睛】本题考查幂函数函数值的求解问题，关键是能够利用待定系数的方式构造方程得到等量关系，属于基础题.
32．
【分析】根据幂函数的单调性，可知，又，则，再根据函数是偶函数，将分别代入验证可得答案.
【详解】因为幂函数在区间上单调递减，则，得，
又∵，∴或1．
因为函数是偶函数，将分别代入，
当时，，函数为是偶函数，满足条件.
当时，，函数为是偶函数，满足条件.
的解析式为．
33．详见解析.
【详解】试题分析:由幂函数的定义设函数f(x)＝xα，g(x)＝xβ,将点(，2)与点分别代入,可得两个函数的解析式,画出函数图象即可求解不等式.
试题解析:
设f(x)＝xα，g(x)＝xβ.
∵()α＝2，(－2)β＝－，∴α＝2，β＝－1.∴f(x)＝x2，g(x)＝x－1.
分别作出它们的图象，如图所示．由图象知，
当x∈(－∞，0)∪(1，＋∞)时，f(x)>g(x)；
当x＝1时，f(x)＝g(x)；
当x∈(0,1)时，f(x)
34．B
【分析】根据幂函数的性质，在第一象限内，的右侧部分的图象，图象由下至上，幂指数增大，即可判断；
【详解】解：幂函数，，，的图象，正好和题目所给的形式相符合，
在第一象限内，的右侧部分的图象，图象由下至上，幂指数增大，所以．
故选：．
【点睛】本题考查幂函数的基本知识，在第一象限内，时，图象由下至上，幂指数增大，属于基础题．
35．B
【解析】先根据幂函数性质得的函数图象，向下平移得到的图象，根据对称性即可得解.
【详解】的图象位于第一象限且为增函数，所以函数图象是上升的，
函数的图象可看作由的图象向下平移一个单位得到的(如选项A中的图所示)，
将的图象关于x轴对称后即为选项B.
故选：B
【点睛】此题考查函数图象的辨析，关键在于熟练掌握常见基本初等函数图象，根据平移变换法则结合对称性得解.
36．（1）0.213<0.233；（2）>>.
【解析】(1)根据为增函数判断即可.
(2)根据幂函数的单调性判断即可.
【详解】（1）∵函数y＝x3是增函数,且0.21＜0.23,
∴0.213<0.233.
（2）＝,.
∵1.2>>1.1,且在[0,＋∞)上单调递增,
∴,即.
【点睛】本题主要考查了根据幂函数的单调性判断函数值大小的关系,属于基础题.
37．（1）＞；（2）＞＞ .
【解析】（1）根据函数y＝在(0，＋∞)上为减函数，即可得解；
（2）根据＞=1，0<<＝1，而<0，即可得解.
【详解】（1）因为函数y＝在(0，＋∞)上为减函数，
又3<3.1，所以＞；
（2）＞=1，
在(0，＋∞)上为减函数，0<<＝1，
而<0，所以＞＞ .
【点睛】此题考查指数幂的大小比较，关键在于熟练掌握指数函数和幂函数的性质，结合中间值特殊值进行比较.
38．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）利用幂函数的单调性进行比较大小.
（2）利用幂函数的单调性、不等式的性质进行比较大小.
（3）利用幂函数的单调性、分数指数幂的性质进行大小比较.
【详解】（1）因为幂函数在上单调递减，且，所以．
（2）因为幂函数在上为增函数，且，，所以，所以，所以．
（3），，，因为幂函数在上单调递增，所以．
39．（1）分别为116元，168元；（2）0.3元；（3）通话时间在时，方案B才会比方案A优惠.
【解析】根据函数图象写出函数解析式，（1）代入求值；（2）根据计算即可；（3）分别比较当0≤x≤60时，当x>500时，当60【详解】由图可知M(60，98)，N(500，230)，C(500，168)，MN∥CD.
设这两种方案的应付话费与通话时间的函数关系分别为fA（x），fB（x），
则fA（x）＝,
fB（x）＝.
（1）通话2小时，, ,
两种方案的话费分别为116元，168元．
（2）因为fB(n＋1)－fB（n）＝ (n＋1)＋18－n－18＝0.3，(n>500)，
所以方案B从500分钟以后，每分钟收费0.3元．
（3）由图可知，当0≤x≤60时，有fA（x）当x>500时，fA（x）>fB（x）．
当60当60fA（x）；
当≤x≤500时，fA（x）>fB（x）．
即当通话时间在时，方案B才会比方案A优惠．
【点睛】本题主要考查了分段函数的解析式，函数值的求法，分段函数的图象，属于中档题.
40．（1）当P＝19.5元，最大余额为450元；（2）20年后
【分析】（1）根据条件关系建立函数关系，根据二次函数的图象和性质即可求出函数的最值；
（2）根据函数的表达式，解不等式即可得到结论．
【详解】设该店月利润余额为L，则由题设得L＝Q（P﹣14）×100﹣3600﹣2000，①
由销量图，易得Q＝
代入①式得L＝
（1）当14≤P≤20时，，当P＝19.5元，Lmax＝450元，
当20＜P≤26时，，当P＝元时，Lmax＝元.
综上：月利润余额最大，为450元，
（2）设可在n年内脱贫，依题意有12n×450﹣50000﹣58000≥0，解得n≥20，即最早可望在20年后脱贫．
【点睛】本题主要考查实际函数的应用问题，根据条件建立函数关系，利用二次函数的图象和性质是即可得到结论，属于中档题．
41．（1）；
（2）；
（3）55元时，最大利润为1125
【解析】（1）由题意可得，化简即可.
（2）因为该批发商平均每天的销售利润=平均每天的销售量×每箱销售利润，列出表达式即可.
（3）由（2）的表达式配方即可求出最值.
【详解】解：（1）根据题意，得，化简得.
（2）因为该批发商平均每天的销售利润=平均每天的销售量×每箱销售利润，
所以.
（3）因为，
所以当时，随x的增大而增大.
又，，所以当时，有最大值，最大值为1125.
所以当每箱苹果的售价为55元时，每天可以获得最大利润，最大利润为1125元.
【点睛】本题考查了二次函数的模型应用，同时考查了二次函数的性质，属于基础题.
42．(1)；
(2).
【分析】（1）甲城供电费用，乙城供电费用，总费用，整理即可，因为核电站距甲城km，则距乙城km，由，且，得的范围；
（2）因为函数是二次函数，由二次函数的性质可得，时，函数取得最小值
【详解】（1）由题意知：
经化简为，定义域为.
（2）将（1）中函数配方为，
所以当即核电站距甲城时，月供电总费用最小，为元．．
43．（1）f(x)＝；（2）475件．
【分析】（1）根据年需求量为500件，由05时，产品只能售出500件和固定成本0.5万元，每生产100件这种产品还需要增加投资0.25万元求解.
（2）根据（1）的结果，分别利用二次函数和一次函数的性质求得值域，再取并集.
【详解】（1）当05时，产品只能售出500件．
所以,
即f(x)＝.
（2）当0所以当x＝4.75(百件)时，f(x)有最大值，
f(x)max＝10.781 25(万元)．
当x>5时，f(x)<12－0.25×5＝10.75(万元)．
故当年产量为475件时，当年所得利润最大．
【点睛】方法点睛：（1）很多实际问题中，变量间的关系不能用一个关系式给出，这时就需要构建分段函数模型，如本题．（2）求函数最值常利用基本函数法，基本不等式法、导数法、函数的单调性等方法．在求分段函数的值域时，应先求每一段上的值域，然后取并集．
44．(1)；
(2)75千米.
【分析】（1）对分三种情况讨论得解；
（2）把代入函数的解析式即得解.
【详解】（1）由题意得A，B两地相距150km，某人开汽车以60km/h的速度从A地到达B地，可得从A到B须要2.5小时，以50km/h的速度返回A地，从B到A需要3小时.
∴当0≤t≤2.5时，x=60t；
当2.5＜t≤3.5时，x=150；
当3.5＜t≤6.5时，x=15050（t3.5）；
故
（2）当t=5时，x=50×5+325=75，即汽车行驶5小时离A地75千米.
45．(1)；
(2)8℃.
【分析】(1)根据给定条件设出函数关系，利用待定系数法求解即得.
(2)利用(1)的结论求出函数值即可作答.
【详解】（1）依题意，当时，设(k<0)，即，
而当时，，即，解得，
因此，当时，，又当时，，
所以所求的函数关系式为.
（2）当，时，，
所以3 km上空的温度为8℃.
46．（1）（2），
【分析】（1），写成分段函数的形式，并且化简可得函数表达式；（2）根据（1）的结果，可得分段函数的每段都是二次函数，所以分别求两段函数的最值，再进行比较，最大的就是最大值，最小的就是最小值.
【详解】解：（1）由已知得：
=
（2）由（1）知①当时，.
该函数在[0,5]递增，在（5,10]递减．
，．
②当时，.
该函数在（10,20]递减，．
由①②知，
考点：1.函数的实际应用；2.分段函数的最值.
47．(1)
(2)
(3)第25天时，该商品日销售金额的最大值为1125元
【分析】（1）根据图象为两条线段，设出函数解析式，利用待定系数法求解即可；
（2）根据散点图猜想销售量Q为时间t的一次函数，设出函数解析式，利用待定系数法求解检验即可；
（3）先根据日销售金额＝每件的销售价格×日销售量列出日销售金额函数，再利用二次函数性质分别求各段最值，最后比较两个最值取较大者即可.
【详解】（1）根据图象，设，
当时，代入点，求得；
当时，代入点，求得，
所以每件的销售价格P与时间t的函数关系式为.
（2）描出实数对的对应点(如图)，
.
从图中可以发现，点(5,35)，(10,30)，(20,20)，(30,10)基本上分布在一条直线上，
设这条直线为l：，代入点(5,35)，(30,10)，求得，
所以直线l为，
通过检验可知：点(10,30)，(20,20)也在直线l上，
所以日销售量Q与时间t的函数关系式为．
（3）设日销售金额为(元)，则，
若当时，则当时，；
若时，则当时，；
由于，所以，
故这种商品日销售金额的最大值为1125元，30天中的第25天的日销售金额最大．
48．125
【分析】利用代入法，结合指数幂的运算定义进行求解即可.
【详解】因为投入广告费用为3万元时，药品利润为27万元，
所以，即
当今年投入广告费用5万元，预计今年药品利润为，
故答案为：
49．（1）200元；（2）250元或150元.
【分析】（1）求利润和价格的函数关系，列出利润的二次函数求最值即可，（2）解二次不等式即可
【详解】（1）设购买人数为n人，羊毛衫的标价为每件x元，利润为y元，
则
∵k＜0，∴x=200时，ymax= － 10000k，
即商场要获取最大利润，羊毛衫的标价应定为每件200元.
（2）由题意得，k（x－100）（x－ 300）=－ 10000k·75%
50．；当月产量为23吨时，可获最大利润12.9万元.
【详解】试题分析：(1)设出函数解析式,代入,可得函数解析式；(2)列出函数解析式,利用配方法,可求最大利润.
试题解析：20.（1）
将代入上式得：
解得
（2）设利润为，
则
因为，所以月产量为吨时，可获得最大利润万元.
考点：函数的应用.
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