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第二章 等式与不等式（知识清单+典型例题）-【满分全攻略】（沪教版2020必修第一册）
第二章 等式与不等式（知识清单+典型例题）
【知识导图】
【知识清单】
【考点1：等式与不等式的性质】
1.等式的性质
（1）传递性 设、、均为实数，如果，，那么；、
（2）加法性质 设、、均为实数，如果，那么；
（3）乘法性质 设、、均为实数，如果，那么；
还可以“验证”与“推广”得性质与推论：
（4）如果，那么；
（5）如果，那么；
（6）如果，，那么；
【注意】等式性质成立的条件，特别是性质（6）中的“”；
2.不等式的性质
（1）传递性 设、、均为实数，如果，那么；
（2）加法性质 设、、均为实数，如果a>b，那么；
（3）乘法性质 设、、均为实数，
如果，那么；如果，那么；
（4）性质 设、均为实数，如果那么a；
（5）性质 设、、均为实数，如果，则a>c－b；
(不等式的移项法则)
（6）性质 设、、、均为实数，如果，，那么；
(同向可加性)
（7）性质 设均为实数，如果，，那么；
（8）性质 设、均为实数，如果，那么；
（9）性质 设、均为实数，如果，那么
【注意】（1）性质（5）表明，不等式中的任意一项都可以把它的符号变成相反的符号后，从不等式的一边移到另一边；
（2）性质（6）表明，两个同向不等式的两边分别相加，所得到的不等式与原不等式同向；
（3）性质（8）表明， n个两边都是正数的同向不等式的两边分别相乘，所得到的不等式与原不等式同向；
题型一：等式的性质
1．已知等式ax＝ay，下列变形不正确的是（ ）
A．x＝y B．ax＋1＝ay＋1
C．2ax＝2ay D．3－ax＝3－ay
2．下列式子中变形错误的是（ ）
A．，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
题型二：方程
（2022·上海·高一专题练习）
3．设，求关于的方程的解集．
（2022·上海·高一专题练习）
4．设，求方程组的解集．
（2022秋·上海徐汇·高一校考阶段练习）
5．已知且，求关于，的方程组的解集．
（2023·上海·高一专题练习）
6．解关于，的方程组：．
7．用因式分解法求下列方程的解集．
（1）6x(x＋1)＝5(x＋1)；
（2）(2x－1)2－(x＋1)2＝0；
（3）(x＋3)(x＋1)＝6x＋2.
（2022秋·上海浦东新·高一校考阶段练习）
8．已知关于x的方程（m、）.
(1)求方程的解集A.
(2)若，关于上述方程仅有正整数解，求m的所有取值组成的集合B.
题型三：一元二次方程的解集及根与系数的关系
9．已知关于的一元二次方程，根据下列条件，分别求出的范围：
（1）方程有两个不相等的实数根；
（2）方程有两个相等的实数根；
（3）方程有实数根；
（4）方程无实数根．
10．若x1，x2是方程x2＋2x－2007＝0的两个根，试求下列各式的值：
（1）；
（2）；
（3）(x1－5)(x2－5)；
（4）
11．已知关于的方程，根据下列条件，分别求出的值．
（1）方程两实根的积为5；
（2）方程的两实根，满足．
（2022秋·上海浦东新·高一校考阶段练习）
12．已知，是一元二次方程的两个实数根.
(1)求的值；（用表示）
(2)是否存在实数，使成立？若存在，求出的值，若不存在，请你说明理由；
(3)求使的值为整数的实数的整数值.
题型四：不等式的性质
13．已知；
(1)求的取值范围；
(2)求的取值范围；
14．已知-2（1）|a|；（2）a+b；（3）a-b；（4）2a-3b．
15．（1）已知，求证：；
（2）已知，求证：
（3）已知，求证：
16．若，，，求证：
【考点2：不等式的求解】
一、 不等式的解集与不等式组的解集
1、在含有未知数的不等式中，能使此不等式成立的未知数的值称为该不等式的解.
2、一般地，不等式的所有解组成的集合称为不等式的解集；
3、一个不等式的解的全体所组成的集合称为此不等式的解集；
4、求不等式解集的过程称为不等式的求解，或解不等式；
5、将多个含有同样的未知数的不等式联立起来，即得到不等式组.
6、对于由若干个不等式联立得到的不等式组来说，这些不等式的解集的交集称为不等式组的解集；
【注意】若不等式中所含不等式解集的交集为时，则不等式组的解集为；
二.一元二次不等式；形如
1、一元二次不等式的概念
一般地，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式；
【注意】一元二次不等式中的不等号也可以是“<”“≥”“≤”等，即：一元二次不等式的一般形式
（1）ax2＋bx＋c＞0(a≠0)；（2）ax2＋bx＋c≥0(a≠0)；（3）ax2＋bx＋c＜0(a≠0)；（4）ax2＋bx＋c≤0(a≠0)；
都是一元二次不等式；
2、用因式分解法解一元二次不等式
一般地，如果x1则不等式(x－x1)(x－x2)<0的解集是(x1，x2)，不等式(x－x1)(x－x2)>0的解集是(－∞，x1)∪(x2，＋∞)；
3、用配方法解一元二次不等式
一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)通过配方总是可以变为(x－h)2>k或(x－h)2三.一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系.
判别式Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0
方程ax2＋bx＋c＝0 (a>0)的根 有两相异实根 x1，x2(不妨设x1ax2＋bx＋c>0 (a>0)的解集 {x|xx2} {x|x∈R}
ax2＋bx＋c<0 (a>0)的解集 {x|x1< x二次函数y＝ax2＋bx＋c (a>0)的图像
四.一元二次不等式在求解时应当注意事项
（1）化标准：通过对不等式的变形，使不等式右侧为0，使二次项系数为正；
（2）①因式分解；②判别式：对不等式左侧因式分解，若不易分解，则计算对应方程的判别式；
（3）求实根：求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程有无实根；
（4）画草图：根据一元二次方程根的情况画出对应的二次函数的草图；
（5）写解集：根据图象写出不等式的解集.
五、分式不等式的解法
1、分式不等式的定义：
分母中含有未知数字母的有理不等式叫做分式不等式.
只含有一个未知数的分式不等式叫做一元分式不等式.
即：型如或（其中、为整式且）的不等式称为分式不等式.
分式方程：将所求分式方程转化为整式方程，利用整式方程的解法或是一元二次方程的根的求解来解决即可，注意求解后根的检验，要使得方程是有意义的.
2、分式不等式的解法：
基本思路：应用同号相乘（除）得正，异号同号相乘（除）得负，将其转化为同解整式不等式.在此过程中，变形的等价性尤为重要.
基本方法：①通过移项，将分式不等式右边化为零；②左边进行通分，化为形如的形式；
③同解变形：；；
；；
六、简单绝对值不等式的解法
1、绝对值不等式
（1）绝对值不等式的概念：一般地，含有绝对值的不等式称为绝对值不等式；
（2）数轴上两点之间的距离公式及中点坐标公式：一般地，如果实数a，b在数轴上对应的点分别为A，B，即A(a)，B(b)，则线段AB的长为|AB|＝|a－b|，线段AB的中点M对应的数x＝．
【注意】（1）求线段AB的长|AB|时，不要忽视绝对值；（2）线段AB的中点坐标与A、B两点的顺序无关.
2、含绝对值不等式的解法
（1）通法：根据绝对值的代数意义，对绝对值内的数（式）的符号分类讨论去绝对值；
关键在于去掉绝对值符号，一般有三种方法：①几何含义；②两边平方；③分段讨论.
（2）根据绝对值的几何意义，将绝对值转化为数轴上的距离，进而去绝对值或求最值；
（3）不等式两边均恒为非负数时，可以通过平方法去绝对值.
【注意】去绝对值符号，化绝对值不等式为整式不等式时要保持同解性.
3、常见绝对值不等式的解法与结论：
①几个基本不等式的解集
（1）|x|0) x2a(a>0) x2>a2 x>a,或x<-a；
（3）|x-m|0) -aa(a>0) x-m>a,或x-m<-a x>m+a,或x②几种主要的基本类型
（1）|f(x)|>|g(x)| f2(x)>g2(x)(平方法)；（2）|f(x)|>g(x)(g(x)>0) f(x)>g(x),或f(x)<-g(x)；
（3）|f(x)|0) -g(x)（4）含两个或两个以上绝对值符号的不等式可用“按零点分区间讨论”的方法脱去绝对值符号求解.
题型五：一元一次不等式（组）的求解
17．解下列不等式组：
(1)
(2)
18．（1）设为实数，求一元一次不等式的解集；
（2）设为实数，解一元一次不等式组；
19．已知关于x的不等式组无解，求a的取值范围；
题型六：一元二次不等式的求解
20．若00的解集是 ．
21．设，则关于的不等式的解集为 .
22．解不等式：－223．利用函数求下列不等式的解集：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
24．解关于的不等式．
25．解关于x的不等式ax2﹣（a+1）x+1＜0（a＞0）．
题型七：分式不等式的求解
26．若不等式ax2＋bx＋c > 0的解集为{x|－1 < x < 2}，则不等式＋c > bx的解集为
27．若实数a，b满足a＋b<0，则不等式的解集为 ．
28．解下列不等式：
(1)；
(2)；
(3)；
29．若不等式的解为，求的值
题型八：含绝对值不等式的求解
30．解下列不等式
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
31．解不等式：
32．解不等式：.
【考点3：基本不等式及其应用】
1.算术平均值与几何平均值
给定两个正数a、b，数称为a、b，的算术平均值；数称为a、b的几何平均值；
2.平均值不等式
定理（平均值不等式）：两个正数的算术平均值大于等于它们的几何平均值，即对于任意的正数a、b，有，且等号当且仅当a＝b时成立；
定理：对于任意的实数a、b，有，且等号当且仅当a＝b时成立；
【注意】（1）两个不等式与成立的条件是不同的；前者要求a、b，是实数即可，而后者要求a，b都是正实数（实际上后者只要a≥0，b≥0即可）；
（2）两个不等式a2＋b2≥2ab和≥都是带有等号的不等式，都是“当且仅当a＝b时，等号成立”；
3.几个重要的不等式的变形
①(a、b∈R)．；②(a、b同号)；③(a、b∈R)．
4.平均值不等式与最值
已知x＞0，y＞0，则
（1）若x＋y＝s(和为定值)，则当x＝y时，积xy取得最大值；
（2）若xy＝p(积为定值)，则当x＝y时，和x＋y取得最小值2；
即：两个正数的积为常数时，它们的和有最小值；
两个正数的和为常数时，它们的积有最大值.
5.三角不等式
定理（三角不等式）：如果、是实数，那么；当且仅当时，等号成立.
证明：定理 对任意的实数、；有，且等号当且仅当时成立；
【证明】（方法1：分析法）为证明，只需证明，
即，也就是，所以，等号当且仅当时成立；
（方法2）
由①与②两式相加就有③，
将（）看作一个整体时，上面的③式逆用，即可证明；
证明：对任意的实数、；证明：，并指出等号成立的条件；
方法1：分|或或三种可能.
当 时，显然成立；
当 时，，即，等号成立的条件；
方法2：将取成代入定理.
证明：对任意的实数、；证明：，并指出等号成立的条件；
方法1：分|或或三种可能.
当 时，显然成立；
当 时，，即；
方法2：将取成代入定理.
题型九：平均值不等式及其应用
33．下列不等式中，正确的是（ ）
A．a＋≥4 B．a2＋b2≥4ab
C．≥ D．x2＋≥2
34．已知，且，则下列不等式中，恒成立的序号是 .
①；②；③；④.
35．已知，，则m，n之间的大小关系是
36．已知a，，求证：．
37．已知a，b，c∈(0，＋∞)，且a＋b＋c＝1.求证：.
38．（1）已知，且，求的最小值；
（2）已知正实数满足，求的最小值；
（3）已知实数满足，求的最大值.
39．是否存在正实数a和b，同时满足下列条件：①；②(x>0，y>0)且的最小值为18，若存在，求出a，b的值；若不存在，说明理由．
40．已知、为正实数，且，求的最小值.
41．运货卡车以每小时x千米的速度匀速行驶130千米，按交通法规限制50≤x≤100(单位：千米/时).假设汽油的价格是每升2元，而汽车每小时耗油升，司机的工资是每小时14元.
(1)求这次行车总费用y关于x的表达式；
(2)当x为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值.
题型十：三角不等式
42．对于实数，若，，则的最大值为 .
43．若对任意，存在实数，使得成立，则实数的最小值是 .
44．[选修4—5：不等式选讲]
设a＞0，|x-1|＜ ，|y-2|＜ ，求证：|2x+y-4|＜a.
45．设，，求证：．
46．（1）证明：对所有实数恒成立，并求等号成立时的范围.
（2）设不等式的解集为A，且，；
①求a的值；
②求函数的最小值，
47．已知函数.
(1)时，解不等式；
(2)若不等式对一切实数x恒成立，求实数a的取值范围；
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．A
【分析】根据等式的性质可判断.
【详解】A.∵ax＝ay，∴当a≠0时，x＝y，故此选项错误，符合题意；
B.∵ax＝ay，∴ax＋1＝ay＋1，故此选项正确，不合题意；
C.∵ax＝ay，∴2ax＝2ay，故此选项正确，不合题意；
D.∵ax＝ay，∴3－ax＝3－ay，故此选项正确，不合题意.
故选：A.
【点睛】本题考查等式的性质，属于基础题.
2．B
【分析】根据等式的性质，逐项验证即可.
【详解】对于选项，两边同时减，得到，故正确；
对于选项，没有说明，故不正确；
对于选项，在等式两边同时乘以，得到，故正确；
对于选项，在等式两边同时乘以5得到，故正确；
故选：.
3．当时，解集为；当时，解集为．
【分析】移项得，再分，两种情况讨论求解即可.
【详解】解:移项，得，
当时，，故解集为；
当时，方程有无数个解，全体实数均可以，所以解集为．
综上，当时，解集为；当时，解集为．
4．当时，解集为；当时，解集为．
【分析】两式作差得到，再对与分两种情况讨论，即可得解；
【详解】解：因为
两式相减，得到，
当时，，代入方程组中的第一式，得到，此时，原方程组的解集为．
当时，方程，无解，从而原方程组无解，其解集为．
5．
【分析】直接解方程组即可.
【详解】由，
得（），得，
所以，
即
所以方程组的解集为
6．见解析
【分析】分别讨论、、时的解即可.
【详解】（1）当时，，方程组解为；
（2）当时，，方程组无解；
（3）当时，两式相加得，两式相减得，方程组解为.
7．（1）；（2）{0，2}；（3）{1}．
【分析】（1）移项后提取公因式后易得解；
（2）用平方差公式分解因式后易得解；
（3）移项后把方程左边化为二次式，再由完全平方公式因式分解后可得解．
【详解】（1）分解因式，得(6x－5)(x＋1)＝0，
所以6x－5＝0或x＋1＝0，所以x1＝，x2＝－1.
所以方程的解集为.
（2）分解因式，得
[(2x－1)＋(x＋1)][(2x－1)－(x＋1)]＝0，
所以3x(x－2)＝0，所以x1＝0，x2＝2.
所以方程的解集为{0，2}．
（3）整理，得x2－2x＋1＝0.即(x－1)2＝0，所以x1＝x2＝1.
所以方程的解集为{1}．
【点睛】本题考查解一元二次方程，因式分解法是解一元二次方程的基本方法．注意写成解集时相同的解只能作为一个元素．
8．(1)答案见解析
(2)
【分析】（1）分；，；，三种情况讨论即可求解；
（2）由题意及（1）问结论知，，且，从而即可求解.
【详解】（1）解：由题意，可得，
①当时，解集为；
②当，时，解集为；
③当，时，解集为.
（2）解：由题意及（1）问结论知，，且，
所以或2或4或8，所以.
9．（1）；（2）；（3）；（4）.
【分析】由条件利用一元二次方程根的判别式，求得相应的取值范围．
【详解】解：关于的一元二次方程，
（1）若方程有两个不相等的实数根，则，．
（2）方程有两个相等的实数根，则，．
（3）方程有实数根，则，．
（4）方程无实数根，则，．
【点睛】本题主要考查一元二次方程根的分布与系数的关系，二次函数的性质，体现了转化的数学思想，属于基础题．
10．（1）4018；（2）；（3）－1972；（4）.
【分析】由一元二次方程根与系数的关系可得，
（1）将变形为，再代入计算即可求得结果；
（2）将变形为，再代入计算即可求得结果；
（3）将变形为，再代入计算即可求得结果；
（4）将变形为，再代入计算即可求得结果．
【详解】是方程的两个根，
．
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
【点睛】此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．
11．（1）；（2）.
【分析】（1）根据二次函数的性质和根的判别式即可求出的值，
（2）分两种情况讨论，①当时，②当时，求出的值．
【详解】解：（1）方程两实根的积为5，
，．
当时，方程两实根的积为5．
（2）由得知：
①当时，，故方程有两相等的实数根，故，
②当时，，即，则，解得，由于时，，
故不合题意，舍去，
故方程有两相等的实数根，故△，
综上可得，时，方程的两实根，满足．
【点睛】本题考查了二次函数的性质和方程根的情况，属于基础题．
12．(1)
(2)不存在，理由见详解
(3)
【分析】（1）通分后，利用韦达定理代入可得；
（2）利用韦达定理代入后解方程可得k，然后可判断；
（3）利用韦达定理化简，然后根据k和分式都为整数值验证可得.
【详解】（1）因为一元二次方程，
所以，解得
由韦达定理可得
当时，，无意义；
当时，
综上，的值为
（2）由韦达定理可知
，
令，整理得，，
由（1）可知，
所以不存在实数，使成立.
（3）
因为为整数，所以必为整数，所以，即
又，所以，
因为为整数，所以，经检验时，为整数，
所以使的值为整数的实数的整数值为.
13．(1)；
(2)；
【分析】由不等式的基本性质求解即可.
【详解】（1）因为，得，所以；
（2）因为，得，所以.
14．（1）；（2）-1【分析】(1)利用绝对值的意义求解即得；
(2)利用不等式加法法则求解即得；
(3)先由不等式性质求出-b的范围，再用不等式加法法则求解即得；
(4)先由不等式性质求出2a和-3b的范围，再用不等式加法法则求解即得.
【详解】（1）因-2所以|a|∈[0，3]；
（2）因-2所以-1（3）因1≤b<2，则-2<-b≤-1，又-2所以-4（4）由-2所以-10<2a-3b≤3.
15．（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析.
【分析】根据不等式的基本性质，逐项推理、运算，即可求解.
【详解】（1）因为，可得，所以，
又因为，可得.
（2）因为，所以，
又因为，所以，可得，
因为，根据不等式的性质，可得，即以.
（3）因为，要证，只需证明，
展开得，即，即，
又因为，所以.
16．证明见解析
【分析】先根据不等式性质判断的大小关系，然后结合不等式性质可判断的大小关系，由此即可证明的大小关系.
【详解】证明：，．
又，．
则，即．
又，．
17．(1)
(2)
【分析】（1）解不等式组可得答案；
（2）解不等式组可得答案.
【详解】（1）解不等式①，得，解不等式②，得，
把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：
由图可知，解集没有公共部分，不等式组无解，即不等式组的解集为；
（2）解不等式①，得，解不等式②，得，
把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：
由图可知不等式组的解集为.
18．（1）答案见解析；（2）答案见解析
【分析】（1）分类讨论，，三种情况，从而求解；
（2）先利用不等式性质求出关于的解值，然后再分类对讨论，从而求解.
【详解】（1）由题意知，的取值与的取值有关且有，，三种情况：
当时，解集为；
当时，解集为；
当时，解集为.
（2）根据不等式的性质，原不等式组等价于：
；整理得：；
当时，解集为；
当时，解集为.
19．
【分析】分别求出两个不等式的解，结合数轴图分析即可求解.
【详解】解得x≤3，解得，
因为该不等式组无解，
所以两不等式的解集在数轴上的表示如图所示：
所以满足，
当a＝3时，代入不等式组，得x≤3，且，
此时，不等式组也无解，满足题意，所以a的取值范围为.
20．
【分析】将原不等式化为，再根据的取值范围，得到与的关系，从而得解；
【详解】解:原不等式即，
由，得，所以．
所以不等式的解集为．
故答案为：．
【点睛】本题考查含参的一元二次不等式的解法，属于基础题.
21．或
【分析】将原不等式变形为，比较与的大小关系，由此可得出原不等式的解集.
【详解】因为，由，可得，
，，
所以，原不等式的解集为或.
故答案为：或.
【点睛】本题考查一元二次不等式的求解，考查计算能力，属于基础题.
22．{x|－2≤x<1或2【分析】原不等式等价于不等式组，分别解各个不等式，再取交集；
【详解】解：原不等式等价于不等式组
不等式①可化为x2－3x＋2>0，解得x>2或x<1.
不等式②可化为x2－3x－10≤0，解得－2≤x≤5.
故原不等式的解集为{x|－2≤x<1或2【点睛】本题考查一元二次不等式组的解法，属于基础题.
23．(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）根据一元二次不等式的解法，求得不等式的解集.
（2）根据一元二次不等式的解法，求得不等式的解集.
（3）根据一元二次不等式的解法，求得不等式的解集.
（4）根据一元二次不等式的解法，求得不等式的解集.
【详解】（1）设，令，得，解得或．
从而的图象与x轴相交于点和，并且的图象开口向上，
根据函数的图象，可知所求不等式的解集为．
（2）设，令，得，解得或，
从而的图象与x轴相交于点和，并且的图象开口向下，
所以根据函数的图象，可知所求不等式的解集为．
（3）设．令，得，解得，
从而的图象与x轴相交于点，函数的图象开口向上，
所以根据函数的图象，可知所求不等式的解集为．
（4）设，令，得，即，该方程无解，
从而函数的图象与x轴没有公共点，又函数的图象开口向下，
所以根据函数的图象，可知所求不等式的解集为．
24．答案见解析.
【分析】将原不等式化为，再对与分类讨论，分别求出不等式的解集；
【详解】解：原不等式可化为： ，令 可得：
当或时，， ；
当或时， ，不等式无解；
当或 时，，
综上所述，当或时，不等式解集为；
当或时，不等式的解集为；
当或时，不等式解集为．
25．答案见解析.
【分析】由a＞0，把不等式化为，求出不等式对应方程的实数根，讨论两根的大小，写出对应不等式的解集．
【详解】解：由ax2﹣（a+1）x+1＜0，得（ax﹣1）（x﹣1）＜0；
∵a＞0，∴不等式化为，
令，
解得；
∴当0＜a＜1时，即，原不等式的解集为{x|1＜x}；
当a＝1时，即，原不等式的解集为；
当a＞1时，即，原不等式的解集为．
26．{x| x < 0}
【分析】由不等式的解集知其对应方程ax2＋bx＋c＝0的根为-1和2且a < 0，由解的性质得到系数间的等量关系，进而带入分式不等式化简求解即可
【详解】由不等式的解集可知：－1和2都是方程ax2＋bx＋c＝0的根，且a < 0
因此，即
于是，不等式＋c > bx可化为－2a > －ax.
又a < 0，故－2 < －x，即
解得：x < 0
故答案为：{x| x < 0}
【点睛】本题考查了一元二次不等式的应用，由一元二次不等式的解集确定对应一元二次方程的根及系数间的关系，进而求解分式不等式
27．
【分析】原不等式等价于(x＋a)(b－x)<0，即(x－b)(x＋a)>0，即可得解.
【详解】原不等式等价于(x＋a)(b－x)<0，即(x－b)(x＋a)>0.
因为a＋b<0，所以b<－a.
所以原不等式的解集为．
28．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）先将原不等式等价转化为，再结合一元二次不等式的解法即可求解；
（2）先将原不等式等价转化为，再等价转化为，再结合一元二次不等式的解法即可求解；
（3）先判断分母大于0，再将原不等式等价转化为，再结合一元二次不等式的解法即可求解．
【详解】（1）原不等式，解得，
所以原不等式的解集为．
（2）原不等式
，
解得，
所以原不等式的解集为．
（3）由，
则原不等式，
解得或，
所以原不等式的解集为．
29．.
【分析】分析可得两个分式的分母都大于0，化简可得，又方程解集为，根据一元二次不等式解法，即可得答案.
【详解】因为，，
所以原不等式可化简为：，
整理得，
又方程的解为，
所以为方程的两个根，
所以，解得，
故答案为.
【点睛】本题考查一元二次不等式的解法，韦达定理的应用，考查分析理解，计算化简的能力，属中档题.
30．(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）由绝对值定义去绝对值，再根据分式不等式求解即可；
（2）将不等式化为或，分别求解一元二次不等式即可；
（3）将原不等式化为，因式分解得，求解即可；
（4）将原不等式化为，根据绝对值不等式的解法，两边平方，即可求解．
【详解】（1）由绝对值定义得，，
所以，原不等式的解集为．
（2）或或
不存在或或，
所以，原不等式的解集为．
（3）或或或，
所以，原不等式的解集为．
（4）
解得或且，
所以，原不等式的解集为．
31．
【分析】解法1：根据绝对值的几何意义，去掉绝对值符合，即可得到结果；解法2：两边同时平方，代入计算，即可得到结果.
【详解】解法1：等价于：，两边同时加上3：，同时乘以有：，
所以原不等式的解集为；
解法2：两边同时平方：，化简得：
这里可以因式分解：， ，
从而原不等式的解集为；
32．{x|x}
【分析】通过对x≤﹣2、﹣2＜x＜1、x≥1的分类讨论，去掉绝对值符号，可求得对应情况下的解集，最后取其并集即可．
【详解】解：①x≤﹣2时，|x+2|+|x﹣1|＜4
﹣2﹣x+1﹣x＜4 ﹣2x＜5 x．
所以不等式组的解集为{x|x≤﹣2}．
②﹣2＜x＜1时，|x+2|+|x﹣1|＜4
x+2+1﹣x＜4 3＜4．所以不等式组的解集为{x|﹣2＜x＜1}．
③x≥1时，|x+2|+|x﹣1|＜4 x+2+x﹣1＜4 2x＜3 x．
所以不等式组的解集为{x|1≤x}．
因此原不等式的解集为①②③的并集：
{x|x}．
【点睛】本题考查绝对值不等式的解法，通过对x≤﹣2、﹣2＜x＜1、x≥1的分类讨论，去掉绝对值符号是关键，考查等价转化思想与运算求解能力，属于中档题
33．D
【分析】举例说明ABC错误，利用基本不等式证明D成立.
【详解】a＜0，则a＋≥4不成立，故A错；
a＝1，b＝1，a2＋b2＜4ab，故B错，
a＝4，b＝16，则＜，故C错；
由基本不等式得x2＋≥2可知D项正确.
故选：D.
【点睛】本题考查基本不等式应用及其使用条件，考查基本分析求解能力，属基础题.
34．④
【分析】由重要不等式可得，当时，等号成立，所以①错误；显然若时，②和③均错误；利用基本不等式可知④正确.
【详解】易知因为对于恒成立，当且仅当时，等号成立，所以①错误；
对于②，③，显然时，不等式均不成立，即②和③错误；
对于④，因为，所以，由基本不等式可得，当且仅当a=b成立即④正确；
故答案为：④
35．##
【分析】根据给定条件，利用基本不等式及指数函数性质，借助媒介数比较大小即可.
【详解】当时，，当且仅当，即时取等号，
而当时，，又在上单调递增，因此，
所以.
故选：
36．见解析
【分析】展开并运用基本不等式即可得证.
【详解】，当且仅当即时等号成立.
【点睛】本题考查基本不等式的应用，属于基础题.
37．证明见解析
【分析】根据基本不等式可得，，，然后根据不等式的性质相乘可证不等式成立
【详解】因为a，b，c∈(0，＋∞)，a＋b＋c＝1，
所以，
同理，.
上述三个不等式两边均为正，分别相乘，
得.
当且仅当a＝b＝c＝时，等号成立.
【点睛】本题考查了利用基本不等式和不等式的性质证明不等式，属于基础题.
38．（1）16；（2）18；（3）
【分析】应用基本不等式即可.
【详解】（1），
，
当且仅当，即时，上式取等号．
故当时，.
（2），，
当且仅当时，等号成立，∴的最小值为18.
（3）因为，
所以，即，
当且仅当，且，即时，等号成立，
∴的最大值为.
39．存在，a＝2，b＝8或a＝8，b＝2
【分析】利用进行转化，利用基本不等式求最值，并求得取最值的条件，即得到结论
【详解】因为(x>0，y>0),
所以，
又的最小值为18，所以.
由得或,
故存在实数a＝2，b＝8或a＝8，b＝2满足条件．
【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，关键是运用“乘1”法转化为利用基本不等式求最值，属中档题.
40．
【分析】将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值.
【详解】因为、为正实数，且，则，
.
当且仅当时，等号成立，
因此，的最小值为.
【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，考查计算能力，属于基础题.
41．(1) y＝＋x，x∈[50，100] (或y＝＋x，x∈[50，100]).(2) 当x＝18千米/时，这次行车的总费用最低，最低费用的值为26元.
【分析】（1）先确定所用时间，再乘以每小时耗油与每小时工资的和得到总费用表达式，（2）利用基本不等式求最值即得结果.
【详解】(1)设所用时间为t＝ (h)，
y＝×2×＋14×，x∈[50，100].
所以，这次行车总费用y关于x的表达式是y＝＋x，x∈[50，100]
(或y＝＋x，x∈[50，100]).
(2)y＝＋x≥26，
当且仅当＝x，
即x＝18时等号成立.
故当x＝18千米/时，这次行车的总费用最低，最低费用的值为26元.
【点睛】本题考查函数解析式以及利用基本不等式求最值，考查综合分析求解能力，属中档题.
42．5
【分析】根据几何概型的方法，作出可行域，先分析的范围，再求解即可.
【详解】由题意，，，故，作出可行域，设目标函数，则.易得过时取得最大值，过时取得最小值.故，，故 .
故的最大值为5.
故答案为：5
43．
【分析】根据题意得对任意，存在实数，使得成立，再结合将问题转化为对任意恒成立，进而利用基本不等式求解即可.
【详解】解：因为对任意，存在实数，使得成立，
所以对任意，存在实数，使得成立，
因为，当且仅当时等号成立，
所以有对任意恒成立，
即对任意恒成立，
由于，当且仅当，即时等号成立；
所以，即.
所以实数的最小值是
故答案为：
【点睛】本题考查不等式恒恒成立问题与存在性问题的解法，考查运算求解能力，化归转化思想，是中档题.本题解题的关键在于注意运用绝对值三角不等式的性质和基本不等式求最值.
44．详见解析
【详解】试题分析：利用含绝对值的不等式进行放缩证明
试题解析：证明：因为
所以
考点：含绝对值的不等式证明
45．证明见解析
【分析】确定，利用绝对值不等式计算得到证明.
【详解】证明：，
故|
；
故．
46．（1）证明见解析，的范围是；（2）①1；②3.
【分析】（1）根据已知条件，结合绝对值三角不等式的公式，即可求解.
（2）①根据属于关系得到关于的不等式，解出即可.
②根据绝对值不等式的性质求出函数的最小值即可.
【详解】（1）因为，由三角不等式，有，
所以，且等号当且仅当，即时成立.
因此，对所有实数恒成立，当且仅当时，等号成立.
（2）①因为，且，所以，且，解得，
又因为，所以.
②因为；
当且仅当即时取到等号，
所以的最小值为3.
47．(1)
(2)
【分析】（1）利用分段函数求不等式即可；
（2）利用绝对值不等式先求得，再解一元二次不等式即可.
【详解】（1）当时，求得，
当时，由，
当时，由，
所以不等式的解集是；
（2）因为，所以，
要使对一切实数x恒成立，
只要即可，
解之得，所以实数a的取值范围为；
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

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