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第三章 幂、指数与对数-【满分全攻略】（沪教版2020必修第一册）
第三章 幂、指数与对数（知识清单+典型例题+提升训练）
【知识导图】
【知识清单】
考点1：幂与指数
1．根式及相关概念
（1）a的n次方根定义
如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*.
（2）a的n次方根的表示
n的奇偶性 a的n次方根的表示符号 a的取值范围
n为奇数 R
n为偶数 ± [0，＋∞）
（3）根式
式子叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数．
2．根式的性质（n>1，且n∈N*）
（1）n为奇数时，＝a.
（2）n为偶数时，＝|a|＝
（3）＝0.
（4）负数没有偶次方根．
3．分数指数幂的意义
分数指数幂 正分数指数幂 规定：a＝（a>0，m，n∈N*，且n>1）
负分数指数幂 规定：a－＝＝ （a>0，m，n∈N*，且n>1）
0的分数指数幂 0的正分数指数幂等于0， 0的负分数指数幂没有意义
提示：①若a＝0，0的正分数指数幂恒等于0，即＝a＝0，无研究价值．
②若a<0，a＝不一定成立，如（－2）＝无意义，故为了避免上述情况规定了a>0.
4．有理数指数幂的运算性质
（1）aras＝ar＋s（a>0，r，s∈Q）．
（2）（ar）s＝ars（a>0，r，s∈Q）．
（3）（ab）r＝arbr（a>0，b>0，r∈Q）．
5．无理数指数幂
一般地，无理数指数幂aα（a>0，α是无理数）是一个确定的实数．有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂．
题型一：n次方根的概念问题
【例1】　
1．（1）27的立方根是 ．
（2）已知，则x＝ ．
（3）若有意义，则实数x的取值范围为 ．
【规律方法】n次方根的个数及符号的确定
（1）n的奇偶性决定了n次方根的个数；
（2）n为奇数时，a的正负决定着n次方根的符号.
【变式】
2．已知，，给出下列4个式子：①；②；③；④，其中无意义的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．0个
题型二：利用根式的性质化简求值
【例2】　
3．化简下列各式：
（1）；
（2）；
（3）.
【规律方法】正确区分与（）n
（1）（）n已暗含了有意义，据n的奇偶性可知a的范围；
（2）中的a可以是全体实数，的值取决于n的奇偶性．
【变式】
4．若，求的取值范围．
题型三：有限制条件的根式的运算
【例3】　
5．若，则＝ .
6．若－3【规律方法】带条件根式的化简
（1）有条件根式的化简问题，是指被开方数或被开方的表达式可以通过配方、拆分等方式进行化简.
（2）有条件根式的化简经常用到配方的方法.当根指数为偶数时，在利用公式化简时，要考虑被开方数或被开方的表达式的正负.
题型四：根式与分数指数幂的互化
【例4】．（2023春·上海金山·高一统考阶段练习）
7．将化为有理数指数幂的形式为 ．
【规律方法】根式与分数指数幂互化的规律
（1）根指数分数指数的分母，被开方数（式）的指数分数指数的分子．
（2）在具体计算时，通常会把根式转化成分数指数幂的形式，然后利用有理数指数幂的运算性质解题．
【变式1】（2022秋·上海浦东新·高一统考期末）
8．用有理数指数幂的形式表示（其中） .
【变式】（2022秋·上海徐汇·高一上海中学校考期中）
9．化简 .
题型五：利用分数指数幂的运算性质化简求解
【例5】（2023·全国·高一专题练习）
10． .
【规律方法】指数幂运算的常用技巧
1有括号先算括号里的，无括号先进行指数运算.
2负指数幂化为正指数幂的倒数.
3底数是小数，先要化成分数；底数是带分数，要先化成假分数，然后要尽可能用幂的形式表示，便于用指数幂的运算性质.
提醒：化简的结果不能同时含有根式和分数指数，也不能既含有分母又含有负指数.
题型六：指数幂运算中的条件求值
【例6】　
11．已知，求下列各式的值：
（1）a＋a－1；
（2）a2＋a－2.
【规律方法】解决条件求值的思路
1在利用条件等式求值时，往往先将所求式子进行有目的的变形，或先对条件式加以变形，沟通所求式子与条件等式的联系，以便用整体代入法求值.
2在利用整体代入的方法求值时，要注意完全平方公式的应用.
题型七：无理数指数幂运算
【例7】（2022秋·上海普陀·高一曹杨二中校考阶段练习）
12．已知，则化简的结果是（ ）
A． B． C． D．
【变式】．（2022春 宝山区校级期末）
13．已知，化简 .
【提升训练】
（2022秋·上海浦东新·高一上海市进才中学校考期中）
14．设，表示不超过的最大整数，若存在实数，使得，，…，同时成立，则正整数的最大值是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
（2022秋 奉贤区校级期末）
15．化简∶= .
（2022秋 浦东新区校级期中）
16．对于，， ．
（2022秋·上海黄浦·高一上海市光明中学校考期中）
17．已知，且，则 ．
（2023春·上海嘉定·高一统考阶段练习）
18．当时，化简 .
（2022秋·上海浦东新·高一华师大二附中校考阶段练习）
19．已知，化简： .
（2022秋·上海黄浦·高一上海市光明中学校考期中）
20．已知，且，则的最小值是 ．
（2022秋·上海长宁·高一上海市延安中学校考期末）
21．用有理数指数幂的形式表示 ．
（2023秋·上海普陀·高一校考期末）
22．将化成有理数指数幂的形式为 ．
（2022秋·上海宝山·高一上海市行知中学校考期中）
23．化简 .
（2022秋·上海浦东新·高一华师大二附中校考期中）
24．方程的两根、，满足，则
（2022秋·上海浦东新·高一校考期中）
25．已知，且，若，则m的值为 ．
（2022秋·上海浦东新·高一上海市进才中学校考期中）
26．对于，， ．
考点2：对数
1．对数
（1）指数式与对数式的互化及有关概念：
（2）底数a的范围是a>0，且a≠1.
2．常用对数与自然对数
3．对数的基本性质
（1）负数和零没有对数．
（2）loga 1＝0（a>0，且a≠1）．
（3）logaa＝1（a>0，且a≠1）．
4．对数的运算性质
如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么：
（1）loga（MN）＝logaM＋logaN；
（2）loga＝logaM－logaN；
（3）logaMn＝nlogaM（n∈R）．
题型8：指数式与对数式的互化
【例8】
27．将下列对数形式化为指数形式或将指数形式化为对数形式：
(1)2－7＝；
(2)；
(3)lg1000＝3；
(4)
【规律方法】指数式与对数式互化的方法
（1）将指数式化为对数式，只需要将幂作为真数，指数当成对数值，底数不变，写出对数式；
（2）将对数式化为指数式，只需将真数作为幂，对数作为指数，底数不变，写出指数式.
【变式】
28．将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式．
(1)；
(2)；
(3)；
(4).
题型9：利用指数式与对数式的关系求值
【例9】
29．求下列各式中x的值.
①；②logx8＝6；③lg 100＝x；④－ln e2＝x.
【规律方法】求对数式logaNa>0，且a≠1，N>0的值的步骤
（1）设logaN＝m；
（2）将logaN＝m写成指数式am＝N；
（3）将N写成以a为底的指数幂N＝ab，则m＝b，即logaN＝b.
【变式】
30．计算：
(1)log927；
(2)；
(3)
题型10：应用对数的基本性质求值
【例10】
31．设，则x的值等于（ ）
A．10 B．13
C．100 D．
32．若，则x的值等于 ．
【规律方法】1．利用对数性质求解的两类问题的解法
（1）求多重对数式的值解题方法是由内到外，如求loga（logbc）的值，先求logbc的值，再求loga（logbc）的值．
（2）已知多重对数式的值，求变量值，应从外到内求，逐步脱去“log”后再求解．
2．性质alogaN＝N与logaab＝b的作用
（1）alogaN＝N的作用在于能把任意一个正实数转化为以a为底的指数形式．
（2）logaab＝b的作用在于能把以a为底的指数转化为一个实数．
题型11：对数运算性质的应用
【例11】
33．计算下列各式的值：
（1）；
（2）；
（3）.
【规律方法】1．利用对数性质求值的解题关键是化异为同，先使各项底数相同，再找真数间的联系．
2．对于复杂的运算式，可先化简再计算．化简问题的常用方法：
（1）“拆”：将积（商）的对数拆成两对数之和（差）；
（2）“收”：将同底对数的和（差）收成积（商）的对数．
【变式】
34．求下列各式的值：
(1)lg25＋lg 2·lg 50；
(2)lg 8＋lg25＋lg 2·lg 50＋lg 25.
题型12：对数的换底公式
【例12】
35．（1）计算：；
（2）已知log189＝a，18b＝5，求log3645（用a，b表示）.
【规律方法】1．在化简带有对数的表达式时，若对数的底不同，需利用换底公式．
2．常用的公式有：logab·logba＝1，loganbm＝logab，logab＝等．
【变式】
36．求值：（1）log23·log35·log516；
（2）(log32＋log92)(log43＋log83).
题型13：对数运算性质的综合应用
【例13】
37．已知，且，求实数的值
【规律方法】应用换底公式应注意的两个方面
（1）化成同底的对数时，要注意换底公式的正用、逆用以及变形应用.
（2）题目中有指数式和对数式时，要注意将指数式与对数式统一成一种形式.
【提升训练】
（2023春·上海嘉定·高一统考阶段练习）
38．若与互为相反数，则（ ）
A． B． C． D．以上答案均不对
（2023秋·上海松江·高一校考期末）
39．已知，则 .（用表示）
（2022秋·上海静安·高一上海市回民中学校考期中）
40．已知则（用含的式子表示）
（2022秋·上海宝山·高一上海交大附中校考阶段练习）
41．方程的实数解为 .
（2022秋·上海徐汇·高一上海市南洋模范中学校考期末）
42．已知，，用a及b表示 ．
（2023秋·上海徐汇·高一统考期末）
43．已知（a为常数，且，），则 ．（用a表示）
（2023春·上海金山·高一统考阶段练习）
44．已知，用m表示为 ．
（2023春·上海宝山·高一统考期末）
45．若，则 （用含的式子表示）.
（2022秋·上海浦东新·高一校考期中）
46．若代数式有意义，则实数的取值范围是 .
（2022秋·上海浦东新·高一华师大二附中校考阶段练习）
47．已知，求出方程组的所有解 .
（2022秋·上海长宁·高一上海市延安中学校考期末）
48．已知，用表示 ．
（2023秋·上海松江·高一上海市松江二中校考期末）
49．已知，，则的值为
（2023秋·上海青浦·高一上海市青浦高级中学校考期末）
50．已知，则 （用m表示）．
（2023秋·上海闵行·高一统考期末）
51．已知，且，则实数m的值为 ．
（2022秋·上海宝山·高一校考期末）
52．已知，试用表示为 .
（2023秋·上海徐汇·高一上海市西南位育中学校考期末）
53．已知，则的值为 ．
（2022秋·上海徐汇·高一校考期末）
54．已知，则的值等于 （用表示）.
（2023秋·上海徐汇·高一位育中学校考期末）
55．若，则 （用a、b表示）
（2023秋·上海松江·高一校考期末）
56．若，则 （用字母表示）.
（2022秋·上海杨浦·高一复旦附中校考期末）
57．已知，，则 .
（2022秋·上海青浦·高一上海市青浦高级中学校考阶段练习）
58．已知，，用及表示及．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1． 3
【分析】（1）根据立方根的定义可直接求得；（2）方程两边开次方，即可求得；（3）根据分式有意义列出不等式，求解即可.
【详解】（1）根据题意，27的立方根是3；
（2）因为，
所以；
（3）要使有意义，则需要，即，
所以实数x的取值范围是．
故答案为：（1）；（2）；（3）.
2．A
【分析】根据题意，由根式的定义，对选项逐一判断，即可得到结果.
【详解】①中，所以有意义；
②中5为奇数，所以有意义；
③中，因此无意义；
④9为奇数，所以有意义．
故选：A．
3．（1）-4；（2）4；（3）当x≥-2时，原式=x+2，当x<-2时，原式=-x-2.
【分析】（1）利用有理数指数幂的运算性质以及有理数指数幂与根式的互化对各个关系式化简即可求解；（2利用有理数指数幂的运算性质以及有理数指数幂与根式的互化对各个关系式化简即可求解；（3）利用有理数指数幂的运算性质以及有理数指数幂与根式的互化分情况化简即可求解.
【详解】（1）原式=（-2）+（-2）=-4.
（2）原式=|-2|+2=2+2=4.
（3）原式=|x+2|=
4．
【分析】化简方程左边根式，解绝对值方程，即可求出的取值范围.
【详解】由题意，
∵，
由可知，∴．
故a的取值范围为．
5．-1
【解析】利用绝对值和开偶次方根的运算法则化简即可.
【详解】∵，∴ ，，∴＝x－x－1＝－1.
故答案为：-1
【点睛】本题考查了绝对值和开偶次方根的运算法则，属于基础题.
6．原式＝
【解析】利用开偶次方根和绝对值的运算法则，分类讨论计算即可.
【详解】－＝－＝|x－1|－|x＋3|，－3当－3当1所以，原式＝
【点睛】本题考查了绝对值和开偶次方根的运算法则，分类讨论的思想，属于基础题.
7．
【分析】根据分数指数幂的定义与运算求解.
【详解】由题意可得：.
故答案为：.
8．
【分析】根据幂指数和根式之间的互化即可求解.
【详解】，
故答案为：
9．##
【分析】根据根式与分数幂之间的互化以及立方和公式即可求解.
【详解】，
故答案为：
10．1
【分析】根据指数幂的运算法则与性质求解.
【详解】
.
11．（1）14；（2）194
【解析】（1）利用平方关系，求解即可；
（2）利用（1）的结果，再平方计算即可.
【详解】（1）将两边平方，得a＋a－1＋2＝16，故a＋a－1＝14.
（2）由（1）将a＋a－1＝14两边平方，得a2＋a－2＋2＝196，故a2＋a－2＝194.
【点睛】本题考查有理指数幂的运算法则的应用，化简求值计算能力，属于基础题.
12．D
【分析】根据指数幂的运算公式化简计算即可.
【详解】因为，所以，
所以，
故选：D.
13．
【分析】由幂的运算法则即可求解.
【详解】解：因为，
所以由幂的运算法则得，
故答案为：.
14．A
【分析】根据取整函数的定义，分别求出满足条件，， ，，的的范围，研究它们的交集即可确定的最大值.
【详解】，，，，
当时，，，
因为，所以，即
当时，，，，
因为，所以，
当时，，，，，
因为，所以，所以若则，此时，，故不存在满足，， ，，同时成立，
正整数的最大值为4，
故选：A．
15．
【分析】利用指数幂的运算性质及平方差公式即可求解.
【详解】.
故答案为:.
16．##
【分析】根据指数幂的运算性质，即可得出结果.
【详解】∵，，
故答案为：
17．1
【分析】根据根式和指数幂的运算化简即可求解.
【详解】因为，，
所以，
所以，，
所以．
故答案为：1．
18．
【分析】利用根式的性质化简可得结果.
【详解】因为，则.
故答案为：.
19．
【分析】根据的运算性质，结合即可求解.
【详解】因为，，
所以，.
故答案为：.
20．
【分析】利用均值不等式结合取等条件可得出答案.
【详解】解：，且，
，当且仅当，即，时，等号成立，
即的最小值是．
故答案为：．
21．
【分析】直接根据分数指数幂与根式的互化以及其运算法则即可得到答案.
【详解】，
故答案为：.
22．
【分析】根据根式与指数幂的关系直接转化
【详解】
故答案为：
23．1
【分析】利用指数幂的运算性质即可得出．
【详解】
故答案为：1．
24．
【分析】由题意，结合韦达定理代入运算即可.
【详解】由题意，，
由韦达定理，，
，
即，即，
故，即.
故答案为：.
25．
【分析】将两边平方后可求m的值.
【详解】因为，则且，
故，故，
故答案为：
26．##
【分析】根据指数幂的运算性质，即可得出结果.
【详解】∵，，
故答案为：
27．(1)log2
(2)
(3)103＝1 000
(4)
【分析】根据对数和指数互化公式得到相应结果即可.
【详解】（1）由2－7＝，可得log2＝－7.
（2）由，可得＝32.
（3）由lg 1 000＝3，可得103＝1 000.
（4）由，可得e2＝x.
28．(1)；
(2)；
(3)；
(4).
【分析】（1）根据指数式与对数式的关系化简可得；
（2）根据指数式与对数式的关系化简可得；
（3）根据对数式与指数式的关系化简可得；
（4）根据对数式与指数式的关系化简可得.
【详解】（1）由，可得；
（2）由，可得；
（3）由，可得；
（4）由，可得.
29．①x＝；②x＝；；③x＝2；④x＝－2.
【分析】根据对数式与指数式的转化，即可求解.
【详解】①由log64x＝得x＝；
②由logx8＝6，得x6＝8，又x>0，即x＝＝；
③由lg 100＝x，得10x＝100＝102，即x＝2；
④由－ln e2＝x，得ln e2＝－x，所以e－x＝e2，所以－x＝2，即x＝－2.
【点睛】本题主要考查了对数式与指数式的互化，对数的定义，属于容易题.
30．(1)
(2)16
(3)3
【分析】根据对数运算法则依次进行运算即可.
【详解】（1）设x＝log9 27，则9x＝27，32x＝33，∴x＝
（2）设x＝
（3）令
31．B
【分析】由公式指数性质和对数的性质即即得.
【详解】由得，所以.
故选：B.
32．
【分析】通过指对互化即可求解．
【详解】因为，所以，
所以
故答案为：.
33．（1）；（2）3；（3）.
【分析】（1）本小题运用对数的运算直接计算即可；
（2）本小题运用对数的运算直接计算即可；
（3）本小题运用对数的运算直接计算即可.
【详解】解：（1）
（2）
（3）
【点睛】本题考查对数的运算，是基础题.
34．(1)1
(2)3
【分析】根据对数运算法则分别化简求值即可.
【详解】（1）原式＝lg25＋(1－lg 5)(1＋lg 5)＝lg25＋1－lg25＝1.
（2）lg 8＋lg25＋lg 2·lg 50＋lg 25
＝2lg 2＋lg25＋lg 2(1＋lg 5)＋2lg 5
＝2(lg 2＋lg 5)＋lg2 5＋lg 2＋lg 2·lg 5
＝2＋lg 5(lg 5＋lg 2)＋lg 2
＝2＋lg 5＋lg 2＝3.
35．（1）13；（2）
【解析】（1）根据对数的运算性质和运算法则求解即可；
（2）使用换底公式和对数运算性质得出.
【详解】（1）
=
=
=
=
=13
（2）∵18b＝5，∴b＝log185，又log189＝a，∴log3645＝＝＝＝.
【点睛】本题考查了对数的运算性质和运算法则，以及换底公式的运用，属于中档题.
36．（1）4；（2）
【解析】利用对数的换底公式和运算法则求解即可.
【详解】（1）原式＝··＝＝＝4.
（2）原式＝＝＝·＝.
【点睛】本题考查对数的换底公式和运算法则的求值，注意指数式和对数式的运算法则的合理运用，属于基础题．
37．
【分析】由指数与对数互化得，进而结合换底公式与对数运算性质求解即可.
【详解】解：∵，
∴，.
∵，∴，
∴.
∴，∴（舍去）.
即实数的值为
38．C
【分析】利用对数运算的基本性质可得出结论.
【详解】因为与互为相反数，则，因此，.
故选：C.
39．
【分析】利用换底公式求解即可.
【详解】因为，
所以.
故答案为：
40．
【分析】指数式化为对数式，再利用换底公式进行求解.
【详解】因为，所以，
故
故答案为：
41．
【分析】分、两种情况化简方程，求出的值，解之即可.
【详解】当时，则，由可得，可得（舍）；
当时，则，由可得，可得，解得.
故答案为：.
42．
【分析】先把转化为，再利用对数的运算性质即可求解．
【详解】因为，所以，所以．
故答案为：．
43．
【分析】先利用指数式和对数式互化得到所以，再利用换底公式得到，然后利用对数运算求解.
【详解】因为，
所以，
则，
所以，
故答案为：
44．##
【分析】先根据指对互化可得，再结合对数运算求解.
【详解】∵，则，
∴.
故答案为：.
45．
【分析】利用对数的换底公式，结合对数运算性质求解作答.
【详解】由，得，即，
所以.
故答案为：
46．
【分析】由题得，解出即可.
【详解】根据真数大于0得，解得，
故答案为：.
47．，或，
【分析】利用取对数法，结合对数的运算性质、换底公式进行求解即可.
【详解】当时，因为，所以由，显然满足，
同理当时，得，
当且时，
由，
由，
于是有，
当时，得，代入中，得
，或舍去，所以；
当时，得，代入中，得
，因为，所以，所以方程无实数根，
综上所述：方程组的所有解 ，或，
故答案为：，或，
48．##
【分析】根据换底公式，结合对数的运算性质进行求解即可.
【详解】，
故答案为：
49．##
【分析】利用对数运算和指对数互换可化简，，即可求得答案
【详解】由可得，
由可得，
所以
故答案为：
50．
【分析】由对数的换底公式及运算法则求解．
【详解】由题意．
故答案为：．
51．45
【分析】根据已知结合换底公式可得，，代入整理可得，即可得出结果.
【详解】由可知，，显然.
则，，
所以，，则由
可得，，所以.
故答案为：45.
52．
【分析】指对互化可得，由换底公式可得，由可得答案.
【详解】因为，所以，可得，
.
故答案为：.
53．
【分析】由对数的运算法则可得，进而可得.
【详解】解：因为，
所以，
所以.
故答案为：
54．
【分析】由指数式与对数式的互化，结合对数的运算求解即可.
【详解】因为，所以，所以.
故答案为：
55．##
【分析】根据指数式与对数式的互化公式，结合对数的运算性质进行求解即可.
【详解】，
，
故答案为：
56．
【分析】根据指对数互化可得，进而结合对数的运算求解.
【详解】因为，可得，
所以.
故答案为：.
57．
【分析】由题知，，再根据换底公式计算即可；
【详解】解：因为，，所以，，
所以.
故答案为：
58．，
【分析】根据换底公式求解即可.
【详解】由换底公式，，.
即，
答案第1页，共2页
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