资源简介

2.2基本不等式（精讲）
目录
第一部分：思维导图（总览全局）
第二部分：知识点精准记忆
第三部分：课前自我评估测试
第四部分：典 型 例 题 剖 析
重点题型一：对基本不等式的理解
重点题型二：利用基本不等式证明不等式
重点题型三：利用基本不等式求最值
角度1：和为定值求积的最值
角度2：积为定值求和的最值
角度3：常数代换法
角度4：消元法
角度5：二次与二次（或一次）商式
重点题型四：基本不等式在实际中的应用
重点题型五：与基本不等式有关的恒成立问题
第五部分：新定义问题
第六部分：高考（模拟）题体验
知识点一：基本不等式（一正，二定，三相等，特别注意“一正”，“三相等”这两类陷阱）
基本不等式:,,（当且仅当时，取“”号）其中叫做正数，的几何平均数；叫做正数，的算数平均数．
如果，有（当且仅当时，取“”号）
特别的，如果,用分别代替,代入，可得：，当且仅当时，“”号成立.
知识点二：利用基本不等式求最值
①已知，是正数，如果积等于定值，那么当且仅当时，和有最小值；
②已知，是正数，如果和等于定值，那么当且仅当时，积有最大值；
知识点三：基本不等式链
（其中，当且仅当时，取“”号）
知识点四：三个正数的基本不等式
如果，，，那么（当且仅当时，取“”号）
1．（2022·全国·高一课时练习）判断正误．
（1）对于任意均成立．( )
（2）若a，b同号，则．( )
（3）若，则恒成立．( )
（4）若，且，则．( )
2．（2022·全国·高一课时练习）设x，y满足，且x，y都是正数，则的最大值是( )
A．400 B．100 C．40 D．20
3．（2022·全国·模拟预测（文））若实数a，b满足，则ab的最大值为（ ）
A．2 B．1 C． D．
4．（2022·江西·赣州市赣县第三中学高一开学考试）下列说法正确的为（ ）
A．
B．函数的最小值为4
C．若则最大值为1
D．已知时，，当且仅当即时，取得最小值8
重点题型一：对基本不等式的理解
典型例题
例题1．（多选）下列说法正确的是（ ）
A．的最小值是 B．的最小值是
C．的最小值是 D．的最小值是
同类题型演练
1．（多选）已知正数a，b，则下列说法正确的是（ ）
A．的最小值为2 B．
C． D．
2．（多选）下列命题中正确的是（ ）
A．当时， B．当时，
C．当时， D．当时，
重点题型二：利用基本不等式证明不等式
典型例题
例题1．（2022·河南·夏邑第一高级中学高二期中（文））设，，且．求证：
(1)；
(2)与不可能同时成立．
例题2．（2022·全国·高三专题练习（文））设，求证：.
重点题型三：利用基本不等式求最值
角度1：和为定值求积的最值
典型例题
例题1．（2022·黑龙江·鹤岗一中高一期末）若，都为正实数，，则的最大值是（ ）
A． B． C． D．
例题2．（2022·全国·高三专题练习）的最大值为______________
同类题型演练
1．（2022·全国·高一期末）已知正实数a，b，满足条件2a+b=1，则ab的最大值为（ ）
A．4 B．8 C． D．
2．（2022·江苏·高一）已知正数x、y满足x+=4，则xy的最大值为_______.
3．（2022·全国·高三专题练习）若，则的最大值是 _______
4．（2022·全国·高三专题练习）若，则取最大值时的x的值为______.
角度2：积为定值求和的最值
典型例题
例题1．（2022·北京市第十一中学高二期末）已知，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
例题2．（2022·重庆八中高一期末）已知正实数，满足，则的最小值是___________.
同类题型演练
1．（2022·山东滨州·高二期中）若，则函数的最小值为（ ）
A． B． C．4 D．2.5
2．（2022·天津河东·高二学业考试）若正数a，b满足，则的最小值为___________.
3．（2022·广东汕头·高一期末）已知正实数a，b满足，则的最小值为______．
4．（2022·河北·深州长江中学高二阶段练习）已知，则函数的最大值为___________.
角度3：常数代换法
典型例题
例题1．（2022·湖北·安陆第一高中高一阶段练习）若、是两正实数，，则的最小值是（ ）
A． B．
C． D．
例题2．（2022·内蒙古·满洲里市教研培训中心模拟预测（文））若，其中，则的最小值为______．
例题3．（2022·四川·宜宾市叙州区第一中学校模拟预测（文））已知 为正实数， 且， 则 的最小值为___________．
同类题型演练
1．（2022·湖北·高二学业考试）已知正实数、满足，则的取值可能为（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·湖南·株洲二中高一期末）若，，且，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·浙江·金华市曙光学校高一阶段练习）已知 x，y＞0，当x+y＝2时，求的最小值（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·重庆·高二阶段练习）若，，且，则的最小值是______．
角度4：消元法
典型例题
例题1．（2021·江苏·高一专题练习）已知，则的最小值是（ ）
A．14 B． C．8 D．
例题2．（2022·全国·高三专题练习）已知，且，则的最小值为（ ）
A． B．8 C． D．10
同类题型演练
1．（2022·河南洛阳·高二阶段练习（理））已知，，则的最小值为_______．
2．（2022·湖北·石首市第一中学高一阶段练习）若，且，则的最小值为_________．
角度5：二次与二次（或一次）商式
典型例题
例题1．（2022·全国·高三专题练习）若，则有（ ）
A．最大值 B．最小值 C．最大值2 D．最小值2
例题2．（2022·全国·高三专题练习）已知，则的最小值是________．
同类题型演练
1．（2022·全国·高三专题练习（理））若 ，则有（ ）
A．最大值 B．最小值 C．最大值 D．最小值
2．（2022·全国·高三专题练习）若函数在处取最小值，则（ ）
A． B．2 C．4 D．6
重点题型四：基本不等式在实际中的应用
例题1．（2022·江西吉安·高二期末（文））春节期间，车流量较大，可以通过管控车流量，提高行车安全，在某高速公路上的某时间段内车流量（单位时间内经过测量点的车辆数，单位：万辆/小时）与汽车的平均速度（单位：千米/小时）、平均车长（单位：米）之间满足的函数关系（），已知某种车型的汽车的平均速度为100千米/小时时，车流量为1万辆/小时．
(1)求该车型的平均车长；
(2)该车型的汽车在该时间段内行驶，当汽车的平均速度为多少时车流量达到最大值？
例题2．（2022·江苏·高一）为宣传2022年北京冬奥会，某公益广告公司拟在一张矩形海报纸（记为矩形，如图）上设计三个等高的宣传栏（栏面分别为一个等腰三角形和两个全等的直角梯形），宣传栏（图中阴影部分）的面积之和为.为了美观，要求海报上所有水平方向和竖直方向的留空宽度均为.设直角梯形的高为.
(1)当时，求海报纸的面积；
(2)为节约成本，应如何选择海报纸的尺寸，可使用纸量最少（即矩形的面积最小）？
重点题型五：与基本不等式有关的恒成立问题
典型例题
例题1．(多选）（2022·河北保定·高二期末）已知正实数，满足，且恒成立，则的取值可能是（ ）
A． B． C．1 D．
例题2．（2023·全国·高三专题练习）已知，若不等式恒成立，则的最大值为________．
同类题型演练
1．（2022·江苏·高一）若两个正实数x，y满足，且不等式有解，则实数m的取值范围是______．
2．（2023·全国·高三专题练习）若对任意，恒成立，则实数的取值范围是___________.
3．（2021·河南·高一阶段练习）已知x、y为两个正实数，且不等式恒成立，则实数a的取值范围是______．
4．（2021·安徽·高一期中）不等式对一切恒成立，则实数的取值范围是___________.
1．（2022·江苏·高一）《几何原本》卷2的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有如图所示图形，点在半圆上，点在直径上，且，设，，则该图形可以完成的无字证明为（ ）
A． B．
C． D．
2．（2022·陕西·大荔县教学研究室高二期末（文））在中国，周朝时期的商高提出了“勾三股四弦五”的勾股定理的特例.在西方，最早提出并证明此定理的为公元前世纪古希腊的毕达哥拉斯学派，他们用演绎法证明了直角三角形斜边平方等于两直角边平方之和.若一个直角三角形的斜边长等于则这个直角三角形周长的最大值为（ ）
A． B．
C． D．
3．（多选）（2022·山西·榆次一中高一开学考试）早在西元前6世纪，毕达哥拉斯学派已经知道算术中项，几何中项以及调和中项，毕达哥拉斯学派哲学家阿契塔在《论音乐》中定义了上述三类中项，其中算术中项，几何中项的定义与今天大致相同．而今我们称为正数a，b的算术平均数，为正数a，b的几何平均数，并把这两者结合的不等式叫做基本不等式．下列与基本不等式有关的命题中正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则的最小值为
C．若，则
D．若实数a，b满足，则的最小值为2
4．（2022·山西·临汾第一中学校高一期末）中国南宋大数学家秦九韶提出了“三斜求积术”，即已知三角形的三条边长分别为、、，则三角形的面积可由公式求得，其中为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦一秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足，，则此三角形面积的最大值为___________.
1．（2022·上海市嘉定区第二中学模拟预测）若、，且，则的最小值为（ ）．
A． B． C． D．
2．（2022·上海黄浦·二模）若、均为非零实数，则不等式成立的一个充要条件为（ ）．
A． B． C． D．
3．（2021·天津·高考真题）若，则的最小值为____________．
4．（2020·天津·高考真题）已知，且，则的最小值为_________．
5．（2022·上海松江·二模）已知正实数、满足，则的最小值为_______．
2.2基本不等式（精讲）
目录
第一部分：思维导图（总览全局）
第二部分：知识点精准记忆
第三部分：课前自我评估测试
第四部分：典 型 例 题 剖 析
重点题型一：对基本不等式的理解
重点题型二：利用基本不等式证明不等式
重点题型三：利用基本不等式求最值
角度1：和为定值求积的最值
角度2：积为定值求和的最值
角度3：常数代换法
角度4：消元法
角度5：二次与二次（或一次）商式
重点题型四：基本不等式在实际中的应用
重点题型五：与基本不等式有关的恒成立问题
第五部分：新定义问题
第六部分：高考（模拟）题体验
知识点一：基本不等式（一正，二定，三相等，特别注意“一正”，“三相等”这两类陷阱）
基本不等式:,,（当且仅当时，取“”号）其中叫做正数，的几何平均数；叫做正数，的算数平均数．
如果，有（当且仅当时，取“”号）
特别的，如果,用分别代替,代入，可得：，当且仅当时，“”号成立.
知识点二：利用基本不等式求最值
①已知，是正数，如果积等于定值，那么当且仅当时，和有最小值；
②已知，是正数，如果和等于定值，那么当且仅当时，积有最大值；
知识点三：基本不等式链
（其中，当且仅当时，取“”号）
知识点四：三个正数的基本不等式
如果，，，那么（当且仅当时，取“”号）
1．（2022·全国·高一课时练习）判断正误．
（1）对于任意均成立．( )
（2）若a，b同号，则．( )
（3）若，则恒成立．( )
（4）若，且，则．( )
【答案】 错误 正确 错误 正确
（1）当，时，式子中的无意义，故该结论错误．
（2）∵，同号，
∴
∴，故该结论正确．
（3）当，时，明显不成立，故该结论错误．
（4）∵
∴时，，则成立，
故该结论正确．
2．（2022·全国·高一课时练习）设x，y满足，且x，y都是正数，则的最大值是( )
A．400 B．100 C．40 D．20
【答案】A
∵，当且仅当时，等号成立，
∴的最大值为400
故选：A．
3．（2022·全国·模拟预测（文））若实数a，b满足，则ab的最大值为（ ）
A．2 B．1 C． D．
【答案】D
∵，，
∴，即，当且仅当时等号成立，
∴．
故选：D．
4．（2022·江西·赣州市赣县第三中学高一开学考试）下列说法正确的为（ ）
A．
B．函数的最小值为4
C．若则最大值为1
D．已知时，，当且仅当即时，取得最小值8
【答案】C
对于选项,只有当时，才满足基本不等式的使用条件，则不正确；
对于选项,，令，
即在上单调递增，则最小值为,
则不正确；
对于选项,，则正确；
对于选项,当时，，当且仅当
时，即，等号成立，则不正确.
故选：.
重点题型一：对基本不等式的理解
典型例题
例题1．（多选）下列说法正确的是（ ）
A．的最小值是 B．的最小值是
C．的最小值是 D．的最小值是
【答案】AB
当时，（当且仅当，即时取等号），A正确；
，因为，所以，B正确；
，当且仅当，即时，等号成立，显然不成立，故C错误；
当时，，D错误.
故选:AB.
同类题型演练
1．（多选）已知正数a，b，则下列说法正确的是（ ）
A．的最小值为2 B．
C． D．
【答案】BC
解：A选项：，当且仅当时等号成立，而，故“等号”不成立，A不正确；
B选项：，当且仅当时等号成立，故B正确；
C选项：，当且仅当时等号成立，故C正确；
D选项：，当且仅当时等号成立，故D不正确；
故选：BC
2．（多选）下列命题中正确的是（ ）
A．当时， B．当时，
C．当时， D．当时，
【答案】ABCD
A中，因为，由基本不等式可知成立；
B中，因为，所以，所以，所以成立；
C中，因为，由基本不等式可知成立；
D中，因为，由基本不等式可得成立.
故选：ABCD
重点题型二：利用基本不等式证明不等式
典型例题
例题1．（2022·河南·夏邑第一高级中学高二期中（文））设，，且．求证：
(1)；
(2)与不可能同时成立．
【答案】(1)证明见解析；
(2)证明见解析.
(1)因为，且，
所以，
所以，即，
因为，则，
所以，得证．
(2)假设与同时成立，
由及得：；
由及得：，
从而，与相矛盾，故假设不成立．
故与不可能同时成立．
例题2．（2022·全国·高三专题练习（文））设，求证：.
【答案】证明见解析
因为，所以
.
所以.
重点题型三：利用基本不等式求最值
角度1：和为定值求积的最值
典型例题
例题1．（2022·黑龙江·鹤岗一中高一期末）若，都为正实数，，则的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
因为，都为正实数，，
所以，
当且仅当，即时，取最大值.
故选：D
例题2．（2022·全国·高三专题练习）的最大值为______________
【答案】
因为，所以 ，
由均值不等式可得： ，
当且仅当，即时，等号成立，
故答案为：.
同类题型演练
1．（2022·全国·高一期末）已知正实数a，b，满足条件2a+b=1，则ab的最大值为（ ）
A．4 B．8 C． D．
【答案】C
因为正实数a，b，满足2a+b=1，
所以，
当且仅当，即时，等号成立，
所以ab的最大值为.
故选：C
2．（2022·江苏·高一）已知正数x、y满足x+=4，则xy的最大值为_______.
【答案】8
解：，
当且仅当，即时，取等号，
所以xy的最大值为8.
故答案为：8.
3．（2022·全国·高三专题练习）若，则的最大值是 _______
【答案】
，故，则，
当且仅当即时取“=”，
故答案为：.
4．（2022·全国·高三专题练习）若，则取最大值时的x的值为______.
【答案】
，当且仅当，即时，等号成立.
故答案为：.
角度2：积为定值求和的最值
典型例题
例题1．（2022·北京市第十一中学高二期末）已知，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
解：，则，当且仅当即时取等号．
故选：D．
例题2．（2022·重庆八中高一期末）已知正实数，满足，则的最小值是___________.
【答案】4
正实数，满足，则,
当且仅当即时，取得等号，
故答案为：4
同类题型演练
1．（2022·山东滨州·高二期中）若，则函数的最小值为（ ）
A． B． C．4 D．2.5
【答案】D
解：因为，所以，
所以，当且仅当，即时等号成立，
所以函数的最小值为，
故选：D.
2．（2022·天津河东·高二学业考试）若正数a，b满足，则的最小值为___________.
【答案】
解：因为、且，
所以，当且仅当，即、时取等号；
故答案为：
3．（2022·广东汕头·高一期末）已知正实数a，b满足，则的最小值为______．
【答案】3
由题设，，当且仅当时等号成立.
故答案为：3
4．（2022·河北·深州长江中学高二阶段练习）已知，则函数的最大值为___________.
【答案】
因为，所以，,
当且仅当，即时，等号成立.故当时，
取最大值，即.
故答案为：3.
角度3：常数代换法
典型例题
例题1．（2022·湖北·安陆第一高中高一阶段练习）若、是两正实数，，则的最小值是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
因为、是两正实数，，
则，
当且仅当时，等号成立，故的最小值为.
故选：C.
例题2．（2022·内蒙古·满洲里市教研培训中心模拟预测（文））若，其中，则的最小值为______．
【答案】9
因，其中，即有，
则，当且仅当，即取“=”，
所以的最小值为9.
故答案为：9
例题3．（2022·四川·宜宾市叙州区第一中学校模拟预测（文））已知 为正实数， 且， 则 的最小值为___________．
【答案】
由题意
当且仅当即时等号成立，
故答案为：
同类题型演练
1．（2022·湖北·高二学业考试）已知正实数、满足，则的取值可能为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
解：因为正实数、满足，
所以，
，
当且仅当，即时，等号成立，
故选：D
2．（2022·湖南·株洲二中高一期末）若，，且，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
解：因为，，且，
所以，
当且仅当时等号成立，
所以，的最小值为.
故选：B
3．（2022·浙江·金华市曙光学校高一阶段练习）已知 x，y＞0，当x+y＝2时，求的最小值（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
由题，，当且仅当，即，即时取等号
故选：C
4．（2022·重庆·高二阶段练习）若，，且，则的最小值是______．
【答案】16
因为，，且，
所以，
当且仅当时，即时，等号成立，
所以的最小值是.
故答案为：.
角度4：消元法
典型例题
例题1．（2021·江苏·高一专题练习）已知，则的最小值是（ ）
A．14 B． C．8 D．
【答案】A
因为，则，
于是得，
当且仅当，即时取“=”，
所以当时，取最小值14.
故选：A
例题2．（2022·全国·高三专题练习）已知，且，则的最小值为（ ）
A． B．8 C． D．10
【答案】D
整理为：，由基本不等式得：，即，解得：或，由于，所以舍去，从而的最小值是10
故选：D
同类题型演练
1．（2022·河南洛阳·高二阶段练习（理））已知，，则的最小值为_______．
【答案】####
∵，，
∴，
当且仅当,即时取“等号”，
∴的最小值为,
故答案为：.
2．（2022·湖北·石首市第一中学高一阶段练习）若，且，则的最小值为_________．
【答案】3
因为，所以，
，当且仅当时，等号成立．
故答案为：3．
角度5：二次与二次（或一次）商式
典型例题
例题1．（2022·全国·高三专题练习）若，则有（ ）
A．最大值 B．最小值 C．最大值2 D．最小值2
【答案】D
∵，∴，
∴，
当且仅当，即时，等号成立，即有最小值2.
故选：D.
例题2．（2022·全国·高三专题练习）已知，则的最小值是________．
【答案】
当时，，，
当且仅当，即当时，等号成立，
因此，函数的最小值为.
故答案为：.
同类题型演练
1．（2022·全国·高三专题练习（理））若 ，则有（ ）
A．最大值 B．最小值 C．最大值 D．最小值
【答案】A
因，则，
于是得，当且仅当，即时取“=”，
所以当时，有最大值.
故选：A
2．（2022·全国·高三专题练习）若函数在处取最小值，则（ ）
A． B．2 C．4 D．6
【答案】C
由题意，，而，当且仅当，即时，等号成立，
所以.
故选：C.
重点题型四：基本不等式在实际中的应用
例题1．（2022·江西吉安·高二期末（文））春节期间，车流量较大，可以通过管控车流量，提高行车安全，在某高速公路上的某时间段内车流量（单位时间内经过测量点的车辆数，单位：万辆/小时）与汽车的平均速度（单位：千米/小时）、平均车长（单位：米）之间满足的函数关系（），已知某种车型的汽车的平均速度为100千米/小时时，车流量为1万辆/小时．
(1)求该车型的平均车长；
(2)该车型的汽车在该时间段内行驶，当汽车的平均速度为多少时车流量达到最大值？
【答案】(1)5(2)80千米/小时
(1)解：由题意：当时，，
，．
该车型的平均车长为5米．
(2)解：由（1）知，函数的表达式为（）．
，．
当且仅当，即时取等号．
故当汽车的平均速度为千米/小时时车流量达到最大值．
例题2．（2022·江苏·高一）为宣传2022年北京冬奥会，某公益广告公司拟在一张矩形海报纸（记为矩形，如图）上设计三个等高的宣传栏（栏面分别为一个等腰三角形和两个全等的直角梯形），宣传栏（图中阴影部分）的面积之和为.为了美观，要求海报上所有水平方向和竖直方向的留空宽度均为.设直角梯形的高为.
(1)当时，求海报纸的面积；
(2)为节约成本，应如何选择海报纸的尺寸，可使用纸量最少（即矩形的面积最小）？
【答案】(1)
(2)当海报纸宽为，长为，可使用纸量最少．
(1)宣传栏（图中阴影部分）的面积之和为，直角梯形的高为，
则梯形长的底边，
海报上所有水平方向和竖直方向的留空宽度均为，
，，
故海报面积为．
(2)直角梯形的高为，宣传栏（图中阴影部分）的面积之和为，
，
海报上所有水平方向和竖直方向的留空宽度均为，
海报宽，海报长，
故，
当且仅当，即，
故当海报纸宽为，长为，可使用纸量最少．
重点题型五：与基本不等式有关的恒成立问题
典型例题
例题1．(多选）（2022·河北保定·高二期末）已知正实数，满足，且恒成立，则的取值可能是（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】BCD
由，得，因为，所以，所以，则，
当且仅当时，等号成立，故，
因为恒成立，所以，解得.故A错.
故选：BCD.
例题2．（2023·全国·高三专题练习）已知，若不等式恒成立，则的最大值为________．
【答案】
由得．
又，当且仅当，即当时等号成立，
∴，∴的最大值为．
故答案为：
同类题型演练
1．（2022·江苏·高一）若两个正实数x，y满足，且不等式有解，则实数m的取值范围是______．
【答案】或
不等式有解，
，
，，且，
，
当且仅当，即，时取“”，
，
故，即，
解得或，
故答案为：或．
2．（2023·全国·高三专题练习）若对任意，恒成立，则实数的取值范围是___________.
【答案】
因为对任意，恒成立，只需满足，
因为，所以，当且仅当，即时取等号.
故实数的取值范围是.
故答案为：
3．（2021·河南·高一阶段练习）已知x、y为两个正实数，且不等式恒成立，则实数a的取值范围是______．
【答案】
因为x、y为两个正实数，由可得，
因为，
当且仅当时，等号成立．
所以，因此，实数a的取值范围是,
故答案为：
4．（2021·安徽·高一期中）不等式对一切恒成立，则实数的取值范围是___________.
【答案】
解：∵对一切恒成立，
∴对一切恒成立，
∵，∴
∴，当且仅当，
即时取等号.
∵不等式对一切恒成立，
∴.
∴实数的取值范围是
故答案为：
1．（2022·江苏·高一）《几何原本》卷2的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有如图所示图形，点在半圆上，点在直径上，且，设，，则该图形可以完成的无字证明为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
设，可得圆的半径为，
又由，
在直角中，可得，
因为，所以，当且仅当时取等号．
故选：D.
2．（2022·陕西·大荔县教学研究室高二期末（文））在中国，周朝时期的商高提出了“勾三股四弦五”的勾股定理的特例.在西方，最早提出并证明此定理的为公元前世纪古希腊的毕达哥拉斯学派，他们用演绎法证明了直角三角形斜边平方等于两直角边平方之和.若一个直角三角形的斜边长等于则这个直角三角形周长的最大值为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
设直角三角形的两条直角边边长分别为，则.
因为，
所以， 所以，
当且仅当时，等号成立.
故这个直角三角形周长的最大值为
故选：C
3．（多选）（2022·山西·榆次一中高一开学考试）早在西元前6世纪，毕达哥拉斯学派已经知道算术中项，几何中项以及调和中项，毕达哥拉斯学派哲学家阿契塔在《论音乐》中定义了上述三类中项，其中算术中项，几何中项的定义与今天大致相同．而今我们称为正数a，b的算术平均数，为正数a，b的几何平均数，并把这两者结合的不等式叫做基本不等式．下列与基本不等式有关的命题中正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则的最小值为
C．若，则
D．若实数a，b满足，则的最小值为2
【答案】CD
对于A，若，则，A错误；
对于B，∵，∴，，
∴
（当且仅当，即时取等号），即的最小值为4，B错误；
对于C，∵，∴，，又，
（当且仅当，即时取等号），C正确；
对于D，令，则，∴（当且仅当时取等号），即的最小值是2．D正确．
故选：CD
4．（2022·山西·临汾第一中学校高一期末）中国南宋大数学家秦九韶提出了“三斜求积术”，即已知三角形的三条边长分别为、、，则三角形的面积可由公式求得，其中为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦一秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足，，则此三角形面积的最大值为___________.
【答案】
由已知可得，所以
.
当且仅当时，等号成立.
故该三角形面积的最大值为.
故答案为：.
1．（2022·上海市嘉定区第二中学模拟预测）若、，且，则的最小值为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
因为、，所以，即，所以，即，当仅当，即时，等号成立.
故选：A.
2．（2022·上海黄浦·二模）若、均为非零实数，则不等式成立的一个充要条件为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
解：因为、均为非零实数且，所以，
因为，，所以，所以，
由，可得，，所以，当且仅当，即时取等号，
所以不等式成立的一个充要条件为；
故选：A
3．（2021·天津·高考真题）若，则的最小值为____________．
【答案】
，
，
当且仅当且，即时等号成立，
所以的最小值为.
故答案为：.
4．（2020·天津·高考真题）已知，且，则的最小值为_________．
【答案】4
，,
，当且仅当=4时取等号，
结合,解得，或时，等号成立.
故答案为：
5．（2022·上海松江·二模）已知正实数、满足，则的最小值为_______．
【答案】
因为，
所以，当且仅当时等号成立，
即，
解得或（舍去），
即的最小值为4，当且仅当时等号成立.
故答案为：4

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