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3.1.1函数的概念（精讲）
目录
第一部分：思维导图（总览全局）
第二部分：知识点精准记忆
第三部分：课前自我评估测试
第四部分：典 型 例 题 剖 析
重点题型一：函数关系的判断
重点题型二：集合与区间的转化
重点题型三：同一个函数
重点题型四：函数求值问题
重点题型五：求函数的定义域
角度1：求常规函数的定义域
角度2：求抽象函数、复合函数的定义域
重点题型五：函数的值域
角度1：一次、二次、反比例函数的值域
角度2：根式型值域
角度3：分式型值域
角度4：根据值域求参数
角度5：根据值域求定义域
第五部分：新定义问题
第六部分：高考（模拟）题体验
知识点一：函数的概念
1、初中学习的函数的传统定义
设在一个变化的过程中，有两个变量和，如果给定了一个值，相应地就有唯一确定的一个值与之对应，那么我们就称是的函数，其中是自变量，是因变量.它们描述的是两个变量之间的依赖关系.
2、函数的近代定义
一般地，设，是非空的实数集，如果对于集合中的任意一个数，按照某种确定的对应关系，在集合中都有唯一确定的数和它对应，那么就称为从集合到集合的一个函数(function)，记作，.其中，叫做自变量，的取值范围叫做函数的定义域；与的值相对应的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域．显然，值域是集合的子集.
函数的四个特征：
①非空性：，必须为非空数集（注意不仅非空，还要是数集），定义域或值域为空集的函数是不存在的.
②任意性：即定义域中的每一个元素都有函数值.
③单值性：每一个自变量有且仅有唯一的函数值与之对应（可以多对一，不能一对多）.
④方向性：函数是一个从定义域到值域的对应关系，如果改变这个对应方向，那么新的对应所确定
的关系就不一定是函数关系.
知识点二：函数的三要素
1、定义域：函数的定义域是自变量的取值范围．
2、对应关系：对应关系是函数的核心，它是对自变量实施“对应操作”的“程序”或者“方法”．
3、值域：与的值相对应的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域(range).
知识点三：函数相等
同一函数：只有当两个函数的定义域和对应关系都分别相同时,这两个函数才相等,即是同一个函数.
知识点四：区间的概念
1区间的概念
设 ， 是实数，且，满足的实数的全体，叫做闭区间，
记作，即，。如图：， 叫做区间的端点．在数轴上表示一个区间时，若区间包括端点，则端点用实心点表示；若区间不包括端点，则端点用空心点表示．
集合
区间
2含有无穷大的表示
全体实数也可用区间表示为，符号“”读作“正无穷大”，“”读作“负无穷大”，即。
集合
区间
1．（2022·全国·高一课时练习）判断正误．
（1）任何两个集合之间都可以建立函数关系．( )
（2）函数的定义域必须是数集，值域可以为其他集合．( )
（3）根据函数的定义，定义域中的任何一个x可以对应着值域中不同的y．( )
（4）在函数的定义中，集合B是函数的值域．( )
2．（2022·全国·高一课时练习）函数符号表示( )
A．y等于f与x的乘积 B．一定是一个式子
C．y是x的函数 D．对于不同的x，y也不同
3．（2022·全国·高一课时练习）区间等于( )
A． B． C． D．
4．（2022·全国·高一课时练习）下列区间与集合相对应的是( )
A． B．
C． D．
5．（2022·全国·高一课时练习）给出下列三组函数，其中表示同一函数的是___________（填序号）．
①；
②；
③．
6．（2022·全国·高一课时练习）函数的定义域是___________．
重点题型一：函数关系的判断
典型例题
例题1．（2022·全国·高一专题练习）下列图形中，不能表示以为自变量的函数图象的是（ ）
A． B．
C． D．
例题2．（2022·全国·高三专题练习）已知集合，，下列从到的各对应关系不是函数的是________．(填序号)
①；②；③；④
同类题型演练
1．（2022·江苏·高一）函数与轴的交点个数为（ ）
A．至少1个 B．至多一个
C．有且只有一个 D．与有关，不能确定
2．（2022·广东·梅州市梅江区梅州中学高一阶段练习）设集合，，给出如下四个图形，其中能表示从集合到集合的函数关系的是
A． B．
C． D．
3．（2022·全国·高一）若函数y＝f（x）的定义域为M＝{x|－2≤x≤2}，值域为N＝{y|0≤y≤2}，则函数y＝f（x）的图象可能是________．
重点题型二：集合与区间的转化
典型例题
例题1．（2022·湖南·高一课时练习）用区间表示下列集合：
(1)；
(2)且.
例题2．（2022·湖南·高一课时练习）用描述法写出下面这些区间的含义：
；；；．
同类题型演练
1．（2022·辽宁大连·高一期末）已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·全国·高一专题练习）将下列集合用区间表示出来．
(1)；
(2)；
(3)；
(4)或．
重点题型三：同一个函数
典型例题
例题1．（2022·内蒙古·阿拉善盟第一中学高一期中）下列函数中与函数表示同一函数的是（ ）
A． B． C． D．
例题2．（2022·全国·高一期末）已知四组函数：① ，；② ，；；④ .其中表示同一函数的是___________.
同类题型演练
1．（2022·全国·高一专题练习）下面各组函数中是同一函数的是（ ）
A．与
B．与
C．与
D．与
2．（2022·全国·高一）下列四组函数中，表示相同函数的一组是（ ）
A．，
B．，
C． ，
D．，
重点题型四：函数求值问题
典型例题
例题1．（2022·江苏·高一）已知函数，
(1)点在的图象上吗？
(2)当时，求的值；
(3)当时，求x的值；
(4)求的值.
同类题型演练
1．（2022·广东湛江·高一期末）若，则_________.
2．（2022·广西·高二学业考试）已知函数，那么=___________.
重点题型五：求函数的定义域
角度1：求常规函数的定义域
典型例题
例题1．（2022·全国·高一专题练习）函数的定义域为 _________.
例题2．（2022·北京·北理工附中高二阶段练习）函数的定义域为___________.
例题3．（2022·江西·贵溪市实验中学高二期末）函数的定义域为，则实数的取值范围是___________.
例题4．（2022·全国·高三专题练习）若函数的定义域为R，则实数a的取值范围为________.
同类题型演练
1．（2022·北京八中高二期末）函数的定义域为__________．
2．（2022·全国·高三专题练习）函数的定义域是__________．
3．（2022·江苏盐城·高一期末）函数的定义域为________．
4．（2022·福建·厦门一中高一期中）函数的定义域是，则实数a的取值范围为________．
角度2：求抽象函数、复合函数的定义域
典型例题
例题1．（2022·全国·高三专题练习）若函数的定义域是，则函数的定义域是（ ）
A． B． C． D．
例题2．（2022·江苏·高一）已知函数的定义域为，则函数的定义域为_________.
同类题型演练
1．（2022·江西·临川一中高一阶段练习）已知函数的定义域为，则函数的定义域为___________.（用区间或集合作答）
2．（2022·山东·高二期末）若函数的定义域为，则函数的定义域为___________.
3．（2022·全国·高三专题练习）若函数的定义域是，则函数的定义域是___________．
重点题型五：函数的值域
角度1：一次、二次、反比例函数的值域
典型例题
例题1．（2021·四川·棠湖中学高一阶段练习）函数，的值域是（ ）
A． B． C． D．
例题2．（2022·浙江·金华市曙光学校高二阶段练习）已知函数，，则函数的值域是（ ）
A． B． C． D．
例题3．（2021·江西·宁冈中学高一开学考试（理））函数，的值域是（ ）
A． B． C． D．
同类题型演练
1．（2022·全国·高三专题练习）函数，的值域是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·全国·高三专题练习）函数在上的值域为（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·全国·高一专题练习）函数的值域是（ ）
A．0，2，3 B． C． D．
4．（2021·全国·高一单元测试）函数的值域为（ ）
A． B． C． D．
5．（2022·江苏·高一）画出下列函数的图象，并说出函数的定义域 值域：
(1)；
(2)；
(3)；
(4).
角度2：根式型值域
典型例题
例题1．（2022·江西省定南中学高二阶段练习（文））函数的值域为 （ ）
A． B． C． D．
例题2．（2022·全国·高三专题练习）函数的值域是（ ）
A． B． C． D．
同类题型演练
1．（2022·全国·高三专题练习）函数的值域是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·全国·高三专题练习）函数的值域为（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·黑龙江·双鸭山一中高二阶段练习）函数的值域是（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·全国·高三专题练习）函数的值域为
A． B． C． D．
5．（2022·全国·高三专题练习）函数定义域和值域分别为、，则=（ ）
A．[-1，3] B．[-1，4] C．[0，3] D．[0，2]
角度3：分式型值域
典型例题
例题1．（2022·全国·高三专题练习）求函数的值域.
例题2．（2022·全国·高三专题练习）函数 的值域为________________．
例题3．（2022·全国·高三专题练习）函数的最大值与最小值的和是（ ）
A． B． C． D．
同类题型演练
1．（2022·全国·高一）函数的值域是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2022·全国·高一专题练习）若函数的值域是____.
3．（2022·全国·高三专题练习（文））函数在上的值域为___________.
角度4：根据值域求参数
典型例题
例题1．（2022·全国·高三专题练习）已知函数的值域为，，则的取值范围是_____
例题2．（2022·全国·高三专题练习）若函数的值域为，则的值为__________.
同类题型演练
1．（2022·贵州·遵义市南白中学高一期末）已知函数的定义域与值域均为，则（ ）
A． B． C． D．1
2．（2022·全国·高三专题练习）若函数的定义域为，值域为，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·全国·高三专题练习）已知函数的值域为，则的取值范围是
A． B． C． D．
角度5：根据值域求定义域
典型例题
例题1．（2022·全国·高三专题练习）若函数的值域为，则其定义域为_________．
同类题型演练
1．（2022·全国·高一专题练习）已知函数的值域是，那么函数的定义域是___________.
2．（2022·上海·高一专题练习）已知函数的值域为，则其定义域是________．
1．(多选）（2021·广东·金山中学高一期中）中国清朝数学学李善兰在1859年翻译《代数学》中首次将“function”译做：“函数”，沿用至今，为什么这么翻译，书中解释说“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”，1930年美国人给出了我们课本中所学的集合论的函数定义，已知集合，，给出下列四个对应法则，请由函数定义判断，其中能构成从到的函数的是（ ）
A． B． C． D．
2．（多选）（2021·浙江湖州·高一期中）在一个展现人脑智力的综艺节目中，一位参加节目的少年能将圆周率准确地记忆到小数点后面200位，更神奇的是，当主持人说出小数点后面的位数时，这位少年都能准确地说出该数位上的数字.如果记圆周率（=3.14159265358979323846264338327950288…）小数点后第位上的数字为，则是关于的函数，记为.设此函数定义域为A，值域为,则关于此函数，下列说法正确的有（ ）
A． B．
C． D．值域
3．（2021·湖北·荆门市龙泉中学高一阶段练习）解析式相同，定义域不同的两个函数称为“同族函数”．对于函数，值域为{1，2，4}的“同族函数”的个数为______个．
1．（2022·湖南·宁乡市教育研究中心模拟预测）函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·北京·高考真题）函数的定义域是_________．
3．（2022·安徽·合肥一中模拟预测（文））函数的定义域是___________.
3.1.1函数的概念（精讲）
目录
第一部分：思维导图（总览全局）
第二部分：知识点精准记忆
第三部分：课前自我评估测试
第四部分：典 型 例 题 剖 析
重点题型一：函数关系的判断
重点题型二：集合与区间的转化
重点题型三：同一个函数
重点题型四：函数求值问题
重点题型五：求函数的定义域
角度1：求常规函数的定义域
角度2：求抽象函数、复合函数的定义域
重点题型五：函数的值域
角度1：一次、二次、反比例函数的值域
角度2：根式型值域
角度3：分式型值域
角度4：根据值域求参数
角度5：根据值域求定义域
第五部分：新定义问题
第六部分：高考（模拟）题体验
知识点一：函数的概念
1、初中学习的函数的传统定义
设在一个变化的过程中，有两个变量和，如果给定了一个值，相应地就有唯一确定的一个值与之对应，那么我们就称是的函数，其中是自变量，是因变量.它们描述的是两个变量之间的依赖关系.
2、函数的近代定义
一般地，设，是非空的实数集，如果对于集合中的任意一个数，按照某种确定的对应关系，在集合中都有唯一确定的数和它对应，那么就称为从集合到集合的一个函数(function)，记作，.其中，叫做自变量，的取值范围叫做函数的定义域；与的值相对应的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域．显然，值域是集合的子集.
函数的四个特征：
①非空性：，必须为非空数集（注意不仅非空，还要是数集），定义域或值域为空集的函数是不存在的.
②任意性：即定义域中的每一个元素都有函数值.
③单值性：每一个自变量有且仅有唯一的函数值与之对应（可以多对一，不能一对多）.
④方向性：函数是一个从定义域到值域的对应关系，如果改变这个对应方向，那么新的对应所确定
的关系就不一定是函数关系.
知识点二：函数的三要素
1、定义域：函数的定义域是自变量的取值范围．
2、对应关系：对应关系是函数的核心，它是对自变量实施“对应操作”的“程序”或者“方法”．
3、值域：与的值相对应的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域(range).
知识点三：函数相等
同一函数：只有当两个函数的定义域和对应关系都分别相同时,这两个函数才相等,即是同一个函数.
知识点四：区间的概念
1区间的概念
设 ， 是实数，且，满足的实数的全体，叫做闭区间，
记作，即，。如图：， 叫做区间的端点．在数轴上表示一个区间时，若区间包括端点，则端点用实心点表示；若区间不包括端点，则端点用空心点表示．
集合
区间
2含有无穷大的表示
全体实数也可用区间表示为，符号“”读作“正无穷大”，“”读作“负无穷大”，即。
集合
区间
1．（2022·全国·高一课时练习）判断正误．
（1）任何两个集合之间都可以建立函数关系．( )
（2）函数的定义域必须是数集，值域可以为其他集合．( )
（3）根据函数的定义，定义域中的任何一个x可以对应着值域中不同的y．( )
（4）在函数的定义中，集合B是函数的值域．( )
【答案】 错误 错误 错误 错误
（1）根据函数的定义，需要是非空数集，而不是任何集合都可以，所以错误；
（2）函数的定义域和值域都是非空数集，而不是任何集合都可以，所以错误；
（3）根据函数定义，对于每一个数，在集合B中都有唯一的和它对应，所以错误；
（4）值域是集合B的子集，所以错误.
2．（2022·全国·高一课时练习）函数符号表示( )
A．y等于f与x的乘积 B．一定是一个式子
C．y是x的函数 D．对于不同的x，y也不同
【答案】C
解：对函数的理解为：
（1）表示一个含有的式子，故错误；
（2）表示由按法则f求出的结果，故错误；
（3）表示y是x的函数，故正确；
（4）不同的输入值x，对应的y可以相同
故选：C
3．（2022·全国·高一课时练习）区间等于( )
A． B． C． D．
【答案】C
区间表示由的实数组成的集合
故答案为：C
4．（2022·全国·高一课时练习）下列区间与集合相对应的是( )
A． B．
C． D．
【答案】C
集合中的可以表示为区间，
集合中的可以表示为区间，
或是并集关系，
所以集合表示为
故选：C
5．（2022·全国·高一课时练习）给出下列三组函数，其中表示同一函数的是___________（填序号）．
①；
②；
③．
【答案】③
对于①，与的定义域不同；
对于②，的对应关系不同；
对于③，其定义域相同，解析式化简后也相同，值域也相同，故是同一函数.
故答案为：③
6．（2022·全国·高一课时练习）函数的定义域是___________．
【答案】
由解得
则函数的定义域是
故答案为：
重点题型一：函数关系的判断
典型例题
例题1．（2022·全国·高一专题练习）下列图形中，不能表示以为自变量的函数图象的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
B中，当时，有两个值和对应，不满足函数y的唯一性，
A，C，D满足函数的定义，
故选：B
例题2．（2022·全国·高三专题练习）已知集合，，下列从到的各对应关系不是函数的是________．(填序号)
①；②；③；④
【答案】③
①②④满足函数的定义，所以是函数，
对于③，因为当x＝4时，，所以③不是函数．
故答案为：③
同类题型演练
1．（2022·江苏·高一）函数与轴的交点个数为（ ）
A．至少1个 B．至多一个
C．有且只有一个 D．与有关，不能确定
【答案】B
由函数定义可知，定义域包含时，则与轴有1个交点，当定义域不包含时，则与轴无交点，所以函数与轴的交点个数为0个.
故选：B
2．（2022·广东·梅州市梅江区梅州中学高一阶段练习）设集合，，给出如下四个图形，其中能表示从集合到集合的函数关系的是
A． B．
C． D．
【答案】D
由函数的定义，集合中的每一个x值，在N={y|0≤y≤2}中都有唯一确定的一个y值与之对应，结合图象得出结论．
从集合M到集合能构成函数关系时，对于集合中的每一个x值，在N={y|0≤y≤2}中都有唯一确定的一个y值与之对应．
图象A不满足条件，因为当时，N中没有y值与之对应．
图象B不满足条件，因为当x=2时，N中没有y值与之对应．
图象C不满足条件，因为对于集合中的每一个x值，在集合N中有2个y值与之对应，不满足函数的定义．
只有D中的图象满足对于集合中的每一个x值，在中都有唯一确定的一个y值与之对应．
3．（2022·全国·高一）若函数y＝f（x）的定义域为M＝{x|－2≤x≤2}，值域为N＝{y|0≤y≤2}，则函数y＝f（x）的图象可能是________．
【答案】②
根据定义域和值域可排除①④，
对于函数来说，对定义域内任意，都有唯一确定的与其对应，所以③错误.
故答案为：②
重点题型二：集合与区间的转化
典型例题
例题1．（2022·湖南·高一课时练习）用区间表示下列集合：
(1)；
(2)且.
【答案】(1)(2)
(1)由题意，
(2)由题意，且且
例题2．（2022·湖南·高一课时练习）用描述法写出下面这些区间的含义：
；；；．
【答案】；；；.
用描述法表示为：；用描述法表示为：；用描述法表示为：；用描述法表示为：.
同类题型演练
1．（2022·辽宁大连·高一期末）已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
因为，，
所以，
故选：A
2．（2022·全国·高一专题练习）将下列集合用区间表示出来．
(1)；
(2)；
(3)；
(4)或．
【答案】(1)；(2)；(3)；(4).
(1)解：用区间表示为；
(2)解：用区间表示为；
(3)解：用区间表示为；
(4)解：或用区间表示为.
3．（2022·湖南·高一课时练习）在什么条件下，有？
【答案】
根据并集的概念，只有当时，满足.
重点题型三：同一个函数
典型例题
例题1．（2022·内蒙古·阿拉善盟第一中学高一期中）下列函数中与函数表示同一函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
选项A. 函数的定义域为，和y＝x定义域,对应法则相同，是同一函数．
选项B.．函数的定义域为，和y＝x的对应法则不相同，不是同一函数．
选项C.．函数的定义域为 ，和y＝x的定义域不相同，不是同一函数．
选项D.．函数的定义域，和y＝x的对应法则不相同，不是同一函数．
故选: A．
例题2．（2022·全国·高一期末）已知四组函数：① ，；② ，；；④ .其中表示同一函数的是___________.
【答案】②③④
对于①：定义域为，的定义域为，定义域不相同，所以不是同一函数；
对于② ：定义域为，定义域为；定义域相同，对应关系也相同，所以是同一函数；
对于③ 定义域为，定义域为，定义域相同，对应关系也相同，所以是同一函数；
对于④ ：定义域相同，对应关系也相同，所以是同一函数；
故答案为：②③④.
同类题型演练
1．（2022·全国·高一专题练习）下面各组函数中是同一函数的是（ ）
A．与
B．与
C．与
D．与
【答案】C
A．函数的定义域为，，
两个函数的对应法则不相同，不是同一函数，
B．，定义域为，函数的定义域不相同，不是同一函数
C．两个函数的定义域和对应法则相同，是同一函数
D．由得得，由得或，两个函数的定义域不相同，不是同一函数，
故选：C．
2．（2022·全国·高一）下列四组函数中，表示相同函数的一组是（ ）
A．，
B．，
C． ，
D．，
【答案】C
解：由题意得：
对于选项A：的定义域为，的定义域为，所以这两个函数的定义域不同，不表示相同的函数，故A错误；
对于选项B：的定义域为，的定义域为，所以这两个函数的定义域不同，不表示相同的函数，故B错误；
对于选项C：的定义域为，的定义域为，这两函数的定义域相同，且对应关系也相同，所以表示相同的函数，故C正确；
对于选项D：的定义域为，的定义域为或，所以这两个函数的定义域不同，不表示相同的函数，故D错误.
故选：C
重点题型四：函数求值问题
典型例题
例题1．（2022·江苏·高一）已知函数，
(1)点在的图象上吗？
(2)当时，求的值；
(3)当时，求x的值；
(4)求的值.
【答案】(1)不在(2)(3)14(4)
(1)将x=3代入解析式得，故点（3,4）不在函数图像上；
(2)将x=4代入函数解析式得 ；
(3)若，则 ，解得x=14；
(4) ， .
同类题型演练
1．（2022·广东湛江·高一期末）若，则_________.
【答案】##-1.5
由题意得.
故答案为：
2．（2022·广西·高二学业考试）已知函数，那么=___________.
【答案】
因为，所以.
故答案为：.
重点题型五：求函数的定义域
角度1：求常规函数的定义域
典型例题
例题1．（2022·全国·高一专题练习）函数的定义域为 _________.
【答案】
解：由题可得，解得，，且；
的定义域为：．
故答案为：.
例题2．（2022·北京·北理工附中高二阶段练习）函数的定义域为___________.
【答案】
由题意得：，解得：或，
所以定义域为.
故答案为：
例题3．（2022·江西·贵溪市实验中学高二期末）函数的定义域为，则实数的取值范围是___________.
【答案】
因为函数的定义域为 R，所以的解为R，
即函数的图象与x轴没有交点，
（1）当时，函数与x轴没有交点，故成立；
（2）当时，要使函数的图象与x轴没有交点，则，解得.
综上：实数的取值范围是.
故答案为：
例题4．（2022·全国·高三专题练习）若函数的定义域为R，则实数a的取值范围为________.
【答案】.
的定义域为R，则恒成立，所以，所以实数a的取值范围为.
同类题型演练
1．（2022·北京八中高二期末）函数的定义域为__________．
【答案】
由题意，解得且，所以定义域为．
故答案为：．
2．（2022·全国·高三专题练习）函数的定义域是__________．
【答案】##
要使函数有意义，需满足，解得，
即函数的定义域为，
故答案为：.
3．（2022·江苏盐城·高一期末）函数的定义域为________．
【答案】
由，得，，
解得，
所以函数的定义域为
故答案为：
4．（2022·福建·厦门一中高一期中）函数的定义域是，则实数a的取值范围为________．
【答案】
解：因为函数的定义域是.
所以不等式恒成立．
所以，当时，不等式等价于，显然恒成立；
当时，则有，即，解得.
综上，实数a的取值范围为.
故答案为:
角度2：求抽象函数、复合函数的定义域
典型例题
例题1．（2022·全国·高三专题练习）若函数的定义域是，则函数的定义域是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
因为函数的定义域是，
所以.
故选：D.
例题2．（2022·江苏·高一）已知函数的定义域为，则函数的定义域为_________.
【答案】
函数的定义域为，即，所以，
所以，即，
所以函数的定义域为.
故答案为：.
同类题型演练
1．（2022·江西·临川一中高一阶段练习）已知函数的定义域为，则函数的定义域为___________.（用区间或集合作答）
【答案】##
由题设，，可得，
∴的定义域为.
故答案为：
2．（2022·山东·高二期末）若函数的定义域为，则函数的定义域为___________.
【答案】
因为，所以，所以的定义域为，
要使有意义，需满足，解得.
故答案为：
3．（2022·全国·高三专题练习）若函数的定义域是，则函数的定义域是___________．
【答案】
因为函数的定义域是，所以，
可得，解得，
所以函数的定义域是．
故答案为：
重点题型五：函数的值域
角度1：一次、二次、反比例函数的值域
典型例题
例题1．（2021·四川·棠湖中学高一阶段练习）函数，的值域是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
解：是定义域上的增函数
所以时，
，
所以值域为：
故选：A.
例题2．（2022·浙江·金华市曙光学校高二阶段练习）已知函数，，则函数的值域是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
,对称轴,当,又因为,
所以函数的值域为.
故选:D
例题3．（2021·江西·宁冈中学高一开学考试（理））函数，的值域是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
由题意，令，由于，故，
故，由反比例函数的性质，在单调递增，
故当时，；当时，，
故函数在的值域为：.
故选：A.
同类题型演练
1．（2022·全国·高三专题练习）函数，的值域是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
因为，故作出其函数图象如下所示：
由图，结合二次函数的性质，可知：
，，
故其值域为.
故选：B.
2．（2022·全国·高三专题练习）函数在上的值域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
函数的对称轴为，
由于二次函数的开口向上，
故函数在处取到最小值，
最大值为，
故所求值域为.
故选：D.
3．（2022·全国·高一专题练习）函数的值域是（ ）
A．0，2，3 B． C． D．
【答案】C
由题意，，．
∴值域为．
故选：C．
4．（2021·全国·高一单元测试）函数的值域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
因为为减函数，
所以，
故函数值域为.
故选：A
5．（2022·江苏·高一）画出下列函数的图象，并说出函数的定义域 值域：
(1)；
(2)；
(3)；
(4).
【答案】
(1)一次函数的图形如图所示，定义域为R，值域为R.
(2)反比例函数的图形如图所示，定义域为，值域为.
(3)一次函数的图形如图所示，定义域为R，值域为R.
(4)二次函数的图形如图所示，定义域为R，值域为.
角度2：根式型值域
典型例题
例题1．（2022·江西省定南中学高二阶段练习（文））函数的值域为 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
函数的定义域是，令，则， ，所以，
因为，所以，所以原函数的值域为．
故选：D.
例题2．（2022·全国·高三专题练习）函数的值域是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
，
，即函数的值域为.
故选：A.
同类题型演练
1．（2022·全国·高三专题练习）函数的值域是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
由得，得，
设，则，
所以，即函数的值域是.
故选：C
2．（2022·全国·高三专题练习）函数的值域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
解：设，则，则，
则函数等价为，
对称轴为，
则当时，函数取得最大值，
即，即函数的值域为，，
故选：．
3．（2022·黑龙江·双鸭山一中高二阶段练习）函数的值域是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
令，则，
设，
，所以，
即的值域是.
故选：B.
4．（2022·全国·高三专题练习）函数的值域为
A． B． C． D．
【答案】A
解：设，
则原函数可化为.
又∵，
∴，故，
∴的值域为.
故选：A.
5．（2022·全国·高三专题练习）函数定义域和值域分别为、，则=（ ）
A．[-1，3] B．[-1，4] C．[0，3] D．[0，2]
【答案】D
解:要使函数有意义,
则解得，
故；
由，
所以.故.
则选:D
角度3：分式型值域
典型例题
例题1．（2022·全国·高三专题练习）求函数的值域.
【答案】
解：因为，又，
所以，
所以函数的值域为.
例题2．（2022·全国·高三专题练习）函数 的值域为________________．
【答案】
定义域为，
当时，，
当且仅当即时等号成立，所以，
当时，，
当且仅当即时等号成立，所以，
所以函数的值域为，
故答案为：.
例题3．（2022·全国·高三专题练习）函数的最大值与最小值的和是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
设，则有，
当时，代入原式，解得．
当时，，
由，解得，于是的最大值为，最小值为，
所以函数的最大值与最小值的和为．
故选：B.
同类题型演练
1．（2022·全国·高一）函数的值域是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
，从而可知函数的值域为.
故选：C
2．（2022·全国·高一专题练习）若函数的值域是____.
【答案】
， ，函数的值域是：.
故答案为：
3．（2022·全国·高三专题练习（文））函数在上的值域为___________.
【答案】
，
因为，所以，
所以，则，
所以，所以，即，
所以函数的值域为，
故答案为：
角度4：根据值域求参数
典型例题
例题1．（2022·全国·高三专题练习）已知函数的值域为，，则的取值范围是_____
【答案】，
当时，对任意实数恒成立，不合题意；
要使函数的值域为，，
则，解得.
的取值范围是，.
故答案为：，
例题2．（2022·全国·高三专题练习）若函数的值域为，则的值为__________.
【答案】
设，可得，
由题意可知，关于的方程在上有解，
若，可得，则；
若，则，即，
由题意可知，关于的二次方程的两根为、，
由韦达定理可得，解得.
综上所述，.
故答案为：.
同类题型演练
1．（2022·贵州·遵义市南白中学高一期末）已知函数的定义域与值域均为，则（ ）
A． B． C． D．1
【答案】A
解：∵的解集为，
∴方程的解为或4，
则，，，
∴，
又因函数的值域为，
∴，∴.
故选：A.
2．（2022·全国·高三专题练习）若函数的定义域为，值域为，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
为开口方向向上，对称轴为的二次函数
令，解得：，
即实数的取值范围为
故选：
3．（2022·全国·高三专题练习）已知函数的值域为，则的取值范围是
A． B． C． D．
【答案】D
m＝0时，f（x）＝1，不合题意；
m≠0时，令g（x）＝mx2+mx+1，
只需，
解得：m≥4，
故选D．
角度5：根据值域求定义域
典型例题
例题1．（2022·全国·高三专题练习）若函数的值域为，则其定义域为_________．
【答案】
因为函数的值域为，
所以，化简得：，
当时，即当时，不等式成立；
当时，即当时，
由，
综上所述：函数的定义域为：.
故答案为：
同类题型演练
1．（2022·全国·高一专题练习）已知函数的值域是，那么函数的定义域是___________.
【答案】.
，由得，即，解得，所以的定义域是.
故答案为：.
2．（2022·上海·高一专题练习）已知函数的值域为，则其定义域是________．
【答案】
∵，且的值域为，
∴，解得，
∴函数的定义域为.
故答案为：.
1．(多选）（2021·广东·金山中学高一期中）中国清朝数学学李善兰在1859年翻译《代数学》中首次将“function”译做：“函数”，沿用至今，为什么这么翻译，书中解释说“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”，1930年美国人给出了我们课本中所学的集合论的函数定义，已知集合，，给出下列四个对应法则，请由函数定义判断，其中能构成从到的函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】BD
A.，当，但，A不是；
B.，任意，都有，B是；
C.，当，但，C不是；
D.，任意，都有，D是；
故选：BD.
2．（多选）（2021·浙江湖州·高一期中）在一个展现人脑智力的综艺节目中，一位参加节目的少年能将圆周率准确地记忆到小数点后面200位，更神奇的是，当主持人说出小数点后面的位数时，这位少年都能准确地说出该数位上的数字.如果记圆周率（=3.14159265358979323846264338327950288…）小数点后第位上的数字为，则是关于的函数，记为.设此函数定义域为A，值域为,则关于此函数，下列说法正确的有（ ）
A． B．
C． D．值域
【答案】ACD
根据题意可得函数的定义域，则，故A正确；
函数的值域，故B错误，D正确；
，故C正确.
故选：ACD.
3．（2021·湖北·荆门市龙泉中学高一阶段练习）解析式相同，定义域不同的两个函数称为“同族函数”．对于函数，值域为{1，2，4}的“同族函数”的个数为______个．
【答案】9
由题意知，问题的关键在于确定函数定义域的个数，函数解析式为，值域为{1，2，4}，
当时，，当时，，当时，，
则定义域可以为：，因此“同族函数"共有9个.
故答案为：9.
1．（2022·湖南·宁乡市教育研究中心模拟预测）函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
，
故选：C
2．（2022·北京·高考真题）函数的定义域是_________．
【答案】
解：因为，所以，解得且，
故函数的定义域为；
故答案为：
3．（2022·安徽·合肥一中模拟预测（文））函数的定义域是___________.
【答案】
的定义域需满足，
所以函数的定义域．
故答案为：

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