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6.2.4向量的数量积运算
本节课知识点目录：
向量的数量积运算：给模求数量积；
向量的数量积运算：给模或者数量积求模。
向量的数量积运算：给夹角求模或者数量积
向量的数量积运算：给数量积或模求夹角
向量的数量积运算：垂直
投影向量
向量的数量积运算：图形中确定基底
数量积之求最值（难点）
联赛、联考与自主招生题选
一、向量的数量积运算：给模求数量积
1.已知两个非零向量a，b，它们的夹角为θ，我们把数量|a|·|b|cos θ叫做向量a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos θ.
规定：零向量与任一向量的数量积为0.
2.对于向量a，b，c和实数λ，有
(1)a·b＝b·a(交换律)．
(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(数乘结合律)．
(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律)．
【典型例题】
【例1】若向量满足，则（ ）
A． B． C．1 D．2
【例2】已知，，均为单位向量，且，则（ ）
A． B． C． D．
【例3】已知，则____________.
【例4】已知平面上三点、、满足，，，则值等于（ ）
A． B． C．25 D．
【对点实战】
1.平面向量，满足，，，则___________．
2.若非零向量，，满足，且，则（ ）
A．4 B．3 C．2 D．0
二、向量的数量积运算：给模或者数量积求模
【典型例题】
【例1】已知平面向量，的夹角为45°，且，，则（ ）
A．3 B．1 C． D．2
【例2】已知非零向满足，且，则向量的模长为（ ）
A．2 B． C． D．3
【例3】向量的夹角为，，则_________ .
【例4】已知向量满足，则（ ）
A．2 B． C．8 D．
【例5】已知非零向量满足，且，则向量的模长为（ ）
A．2 B． C． D．3
【例6】已知，为非零向量，则成立的条件是____________；成立的条件是____________.
【对点实战】
1.已知是半径为的圆的内接正方形，是圆上的任意一点，则的值为（ ）
A．8 B．16 C．32 D．与的位置有关
2.已知向量满足，则___________.
3.已知向量、满足，，，求.
4.若平面向量，，两两的夹角相等，且，，，则（ ）
A． B．2 C． D．5
三、向量数量积运算：给夹角求模或数量积
1.夹角：已知两个非零向量a，b，O是平面上的任意一点，作＝a，＝b，则∠AOB＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a与b的夹角(如图所示)．
当θ＝0时，a与b同向；当θ＝π时，a与b反向．
2.设向量a与b都是非零向量，它们的夹角为θ，e是与b方向相同的单位向量．则
(1)a·e＝e·a＝|a|cos θ.
(2)a⊥b a·b＝0.
(3)当a∥b时，a·b＝
特别地，a·a＝|a|2或|a|＝.
(4)|a·b|≤|a||b|.
【典型例题】
【例1】已知，，，则可等于（ ）
A． B．7 C． D．6
【例2】已知平面向量的夹角为，且，则（ ）
A．4 B．2 C．1 D．
【例3】设向量满足，则___________.
【例4】已知菱形中，，，则______．
【例5】若向量，满足||=1，||=2，且与的夹角为，则|2|=___________.
【对点实战】
1.已知，为单位向量，，的夹角为60°，向量满足，且，则实数______．
2.已知，是夹角为的两个单位向量，，，若，则实数k的值为______．
3.已知且与的夹角为，则___________
4.若的夹角为，则___________.
5.在长方形ABCD中，，，且，则___________，___________.
四、向量数量积运算：给数量积或模求夹角
【典型例题】
【例1】已知，均为单位向量，，则与的夹角为（ ）
A．30° B．45° C．135° D．150°
【例2】在中，，，，则（ ）
A． B． C． D．
【例3】若向量，满足，且，则向量与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
【例4】已知，，若，的夹角为120°，则（ ）
A．-12 B．12 C．8 D．-8
【例5】若向量，的夹角为，且，，则向量与向量的夹角为（ ）
A． B． C． D．
【例6】已知向量，的夹角为，且，，则与的夹角等于
A． B． C． D．
【例7】已知非零向量，，下列说法中正确的是（ ）
A．若，则与共线且反向
B．若，则
C．若，则与的夹角为
D．若，则的最大值为
【对点实战】
1.已知，满足，，，则与的夹角的余弦值为__________.
2.在中，，，，D是AC的中点，则与的夹角为______．
3.若单位向量，满足，则与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
4.已知向量，且，，，则与的夹角__________．
5.任意两个非零向量和，，定义：，若平面向量满足，与的夹角，且和都在集合中，则的值可能为（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
6.已知、是两个单位向量，它们的夹角是，设，则向量与的夹角大小是__________．
五、向量数量积运算：垂直
垂直：如果a与b的夹角是，则称a与b垂直，记作a⊥b.，
【典型例题】
【例1】已知非零向量满足，且，则与的夹角为（ ）
A． B．
C． D．
【例2】设，均为单位向量，则“”是“⊥”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【例3】如图所示，已知正六边形，下列给出的向量的数量积中最大的是（ ）
A． B． C． D．
【例4】已知、是非零向量且满足，，则与的夹角是（ ）
A． B． C． D．
【例5】已知，，且与相互垂直，则与的夹角为（ ）
A．45° B．60° C．90° D．120°
【例6】若向量，满足，，，则（ ）
A．2 B． C．1 D．
【对点实战】
1.已知，，且与互相垂直，则（ ）
A．0 B． C． D．2
2.已知非零向量，满足，则是，均为单位向量的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3.已知非零向量，满足，且，则与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
4,已知、、为三个非零平面向量，甲：，乙：，则甲是乙的（ ）．
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既非充分又非必要条件
5.已知，对，恒有，且点满足N为OA的中点，则的值为__________，的值为__________.
6.已知、是夹角为的两个单位向量，若和垂直，则实数_______．
六、投影向量
如图，设a，b是两个非零向量，＝a，＝b，我们考虑如下的变换：过的起点A和终点B，分别作所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，得到，我们称上述变换为向量a向向量b的投影，叫做向量a在向量b上的投影向量．|a|cos θ
【典型例题】
【例1】已知向量，均为非零向量，且在方向上的投影是2，则下列说法正确的是（ ）
A．在方向上的投影是－4 B．在方向上的投影是2
C．在方向上的投影是2 D．在方向上的投影是4
【例2】已知向量与的夹角为，且，，设，，则向量在方向上的投影向量的模为________．
【例3】已知，与的夹角为，则在上的数量投影为______．
【例4】已知，，且，则在上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
【例5】在等腰三角形ABC中，，，D为BC的中点．
（1）求在上的投影向量；
（2）求在上的投影向量．
七、向量数量积运算：图形中确定基底求数量积
引入基底即“坐标轴”这个思维
【典型例题】
【例1】．已知在中，为的中点，则（ ）
A． B． C． D．
【例2】在我国勾股定理最早的证明是东汉末数学家赵爽在为《周髀算经》作注时给出的．如图就是著名的赵爽弦图，它是由四个全等的直角三角形拼成了内、外都是正方形的美丽图案．若，则（ ）
A．9 B．13 C．18 D．24
【例3】已知为边长为2的正方形的边DC上任一点，则的最大值为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
【例4】已知在中，，，其外接圆的圆心为，则的值为________.
【例5】如图在边长为的菱形中，，为的中点，，与交于点，则___________.
【例6】已知是腰长为的等腰直角三角形，点是斜边的中点，点在上，且，则（ ）
A． B．
C． D．
【例7】如图的弦图中，四边形ABCD是边长为5的正方形，四边形EFGH是边长为1的正方形，四个三角形均为直角三角形，则的值为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
【对点实战】
1.已知O为所在平面内一点，且满足，，则________．
2.在菱形中，，，，则___________.
3.已知菱形ABCD的边长为1，，则___________.
4.已知正方形的边长为2，点满足，则的值是_________．
5.已知向量，，满足，，，，分别是线段，的中点，若，则向量与的夹角为
A． B． C． D．
6.如图，AB为半圆的直径，点C为的中点，点M为线段AB上的一点（含端点A，B），若，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
八、数量积之求最值（难点）
【典型例题】
【例1】已知正方形的边长为1，点是边上的动点．的最大值为______．
【例2】已知单位向量，的夹角为，则的最小值为________．
【例3】已知四边形中，，，，点在四边形上运动，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【例4】设，，为非零不共线向量，若，则（ ）
A． B．
C． D．
【例5】已知平面向量满足，，且的最小值，则的最小值为（ ）
【例6】已知是两个非零向量，且，，则的最大值为
A． B． C．4 D．
【例7】．已知、、是平面向量，是单位向量．若非零向量与的夹角为，向量满足，则的最小值是
A． B． C．2 D．
【例8】如图，在中，是的中点，、是上的两个三等分点，，，则的值是（ ）
A．4 B．8 C． D．
九、联赛、联考与自主招生题选
【例1】已知向量的夹角为，，向量，且，则向量夹角的余弦值的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【例2】对任意两个非零的平面向量和，定义．若平面向量满足，与的夹角，且和都在集合中，则=（ ）
A． B．1 C． D．
【例3】已知单位向量不共线，且向量满足若对任意实数λ都成立，则向量夹角的最大值是（ ）
A． B． C． D．
6.2.4向量的数量积运算
本节课知识点目录：
向量的数量积运算：给模求数量积；
向量的数量积运算：给模或者数量积求模。
向量的数量积运算：给夹角求模或者数量积
向量的数量积运算：给数量积或模求夹角
向量的数量积运算：垂直
投影向量
向量的数量积运算：图形中确定基底
数量积之求最值（难点）
联赛、联考与自主招生题选
一、向量的数量积运算：给模求数量积
1.已知两个非零向量a，b，它们的夹角为θ，我们把数量|a|·|b|cos θ叫做向量a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos θ.
规定：零向量与任一向量的数量积为0.
2.对于向量a，b，c和实数λ，有
(1)a·b＝b·a(交换律)．
(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(数乘结合律)．
(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律)．
【典型例题】
【例1】若向量满足，则（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】B
【分析】
已知向量的模，结合向量数量积的运算可得，即可求.
【详解】
由题设，，又，
∴，可得.
故选：B.
【例2】已知，，均为单位向量，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
将原等式转化为，平方后化简即可求解.
【详解】
,,,，
，，均为单位向量，，.
故选：C
【例3】已知，则____________.
【答案】
【分析】
已知，可借助两边平方带入、即可完成求解.
【详解】
将两边平方，得，得.
故答案为：.
【例4】已知平面上三点、、满足，，，则值等于（ ）
A． B． C．25 D．
【答案】A
【分析】
根据勾股定理逆定理可得，再由三角函数求出和的值，由数量积的定义即可求解.
【详解】
由已知，，，所以，
所以，并且，，
所以
；故选：A．
【对点实战】
1.平面向量，满足，，，则___________．
【答案】
【分析】
将两边同时平方，再将，代入即可求解.
【详解】
因为，所以，
因为，，所以，可得，
故答案为：.
2.若非零向量，，满足，且，则（ ）
A．4 B．3 C．2 D．0
【答案】D
【分析】
由平面向量共线定理可知存在实数使得，再进行向量数量积运算即可求解.
【详解】
因为非零向量，所以存在实数使得，
又因为，所以，故选：D．
二、向量的数量积运算：给模或者数量积求模
【典型例题】
【例1】已知平面向量，的夹角为45°，且，，则（ ）
A．3 B．1 C． D．2
【答案】B
【分析】给两边平方化简可求得答案
【详解】因为，所以，因为，平面向量，的夹角为45°，
所以，化简得，
解得或（舍去）.故选：B
【例2】已知非零向满足，且，则向量的模长为（ ）
A．2 B． C． D．3
【答案】B
【分析】
设，由向量数量积的运算律计算可得选项.
【详解】
解：设，因为，所以，
又，所以，解得.
故选：B.
【例3】向量的夹角为，，则_________ .
【答案】
【分析】
利于向量的运算法则求，进而求解
【详解】
， 所以
故答案为：
【例4】已知向量满足，则（ ）
A．2 B． C．8 D．
【答案】B
【分析】
利用向量的数量积运算和模的运算法则可得，由此根据已知条件可求得答案.
【详解】
∵,
又∵
∴，∴，∴，
故选：B.
【例5】已知非零向量满足，且，则向量的模长为（ ）
A．2 B． C． D．3
【答案】B
【分析】
将两边平方并化简，进而结合即可求得答案.
【详解】
设的夹角为，因为，所以，
所以．
故选：B.
【例6】已知，为非零向量，则成立的条件是____________；成立的条件是____________.
【答案】向量与方向相同 向量与方向相反
【分析】
设与的夹角为，由，两边平方化简可得，求得，即向量与方向相同；由，两边平方化简可得，求得，即向量与方向相反.
【详解】
设与的夹角为，
，两边平方可得：，
即，，
又，为非零向量，
，，即向量与方向相同.
所以成立的条件是向量与方向相同
，两边平方可得：
即，，
又，为非零向量，
，，即向量与方向相反.
所以成立的条件是向量与方向相反
故答案为：向量与方向相同，向量与方向相反
【对点实战】
1.已知是半径为的圆的内接正方形，是圆上的任意一点，则的值为（ ）
A．8 B．16 C．32 D．与的位置有关
【答案】B
【分析】
首先根据题意得到，再化简求解即可.
【详解】
如图所示：
.
故选：B
2.已知向量满足，则___________.
【答案】
【分析】
根据向量模的数量积表示计算即可得答案.
【详解】
解：因为，
所以.故答案为：
3.已知向量、满足，，，求.
【答案】
【分析】
根据平面向量数量积运算律计算可得.
【详解】
因为，，
所以，
故答案为：
4.若平面向量，，两两的夹角相等，且，，，则（ ）
A． B．2 C． D．5
【答案】BD
【分析】
由题意可知：，，两两的夹角为或，再根据平面向量数量积的运算计算的值即可求解.
【详解】
，
因为平面向量，，两两的夹角相等，所以夹角有两种情况，
即，，两两的夹角为或，
当夹角为时，
，，，
，
当夹角为时，
，，
，
，
所以或
故选：BD．
三、向量数量积运算：给夹角求模或数量积
1.夹角：已知两个非零向量a，b，O是平面上的任意一点，作＝a，＝b，则∠AOB＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a与b的夹角(如图所示)．
当θ＝0时，a与b同向；当θ＝π时，a与b反向．
2.设向量a与b都是非零向量，它们的夹角为θ，e是与b方向相同的单位向量．则
(1)a·e＝e·a＝|a|cos θ.
(2)a⊥b a·b＝0.
(3)当a∥b时，a·b＝
特别地，a·a＝|a|2或|a|＝.
(4)|a·b|≤|a||b|.
【典型例题】
【例1】已知，，，则可等于（ ）
A． B．7 C． D．6
【答案】A
【分析】
先求出，即可得出答案.
【详解】因为，，，所以，
所以.故选：A.
【例2】已知平面向量的夹角为，且，则（ ）
A．4 B．2 C．1 D．
【答案】B
【分析】
先求解的平方，因为，利用平面向量相关的运算法则求解出结果，开方后求得
【详解】
因为向量的夹角为，且，
所以，故选：B
【例3】设向量满足，则___________.
【答案】
【分析】
直接利用向量的模以及数量积的运算法则求解即可.
解：向量，满足，，，则，
则.故答案为：.
【例4】已知菱形中，，，则______．
【答案】2
【分析】
由题意可得，然后结合平面向量数量积的定义即可求出结果.
【详解】
由，得，，故为等边三角形，所以．
故答案为：2.
【例5】若向量，满足||=1，||=2，且与的夹角为，则|2|=___________.
【答案】2
【分析】
利用平面向量的数量积的运算律求出，从而求出模长.
【详解】
∵||=1，||=2，且与的夹角为，
∴44=4×12+4×1×2×cos22=4+4+4=12；
∴|2|2；故答案为：2.
【对点实战】
1.已知，为单位向量，，的夹角为60°，向量满足，且，则实数______．
【答案】
【分析】
由题可得，即，即求.
【详解】
∵，为单位向量，，的夹角为60°，向量满足，且，
∴，即，
∴，即.故答案为：.
2.已知，是夹角为的两个单位向量，，，若，则实数k的值为______．
【答案】
【分析】
由，结合数量积公式转化，即可求解值.
【详解】
因为，所以，即，又因为，是夹角为的两个单位向量，所以，所以.
故答案为：
3.已知且与的夹角为，则___________
【答案】
【分析】
根据数量积的定义先求出的值，再将变形为，便可求解.
【详解】
由题意可知，且与的夹角为，
所以，
所以.
故答案为：
4.若的夹角为，则___________.
【答案】
【分析】
先求出，进而由求出答案.
【详解】
因为的夹角为，所以，于是.
故答案为：.
5.在长方形ABCD中，，，且，则___________，___________.
【答案】
【分析】
由题可得，结合条件及数量积的运算可得，，即求.
【详解】
由题可知，，
，，
∵，∴，可得，
∴，∴.
故答案为：；2.
四、向量数量积运算：给数量积或模求夹角
【典型例题】
【例1】已知，均为单位向量，，则与的夹角为（ ）
A．30° B．45° C．135° D．150°
【答案】A
【分析】
设单位向量，的夹角为，利用平面向量的数量积的定义及运算法则进行求解.
【详解】
设单位向量，的夹角为，，则，||=1，；因为，
所以，即，即，所以，即与的夹角为30°.
故选：A.
【例2】在中，，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
利用向量数量积的定义即可求解，需要注意向量的夹角是两个非零向量起点相同时的夹角﹒
【详解】
∵
﹒故选：C
【例3】若向量，满足，且，则向量与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
由已知条件结合数量积公式化简即可求解.
【详解】
因为，，即，，求得，所以向量与的夹角为.
故选：B
【例4】已知，，若，的夹角为120°，则（ ）
A．-12 B．12 C．8 D．-8
【答案】A
【分析】
对两边平方，根据已知条件，求得，再求数量积即可.
【详解】
依题意，，
故，解得（负值舍），
故.
故选：.
【例5】若向量，的夹角为，且，，则向量与向量的夹角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
先利用向量的数量积公式求出，，再代入向量夹角公式进行求解
【详解】
因为向量，的夹角为，且，，
所以，
，
因为，所以故选：A
【例6】已知向量，的夹角为，且，，则与的夹角等于
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据条件即可求出，从而可求出，，，然后可设与的夹角为，从而可求出，根据向量夹角的范围即可求出夹角．
【详解】
，；
，，；
设与的夹角为，则；
又，，故选．
【例7】已知非零向量，，下列说法中正确的是（ ）
A．若，则与共线且反向
B．若，则
C．若，则与的夹角为
D．若，则的最大值为
【答案】ABD
【分析】
由等号成立的条件，可判断A；将两边平方可得，可判断B；如图构造以线段，为邻边的菱形，分析菱形的结构可判断C；将两边平方可得，可判断D
【详解】
对于：对非零向量，，由，当且仅当与共线且反向时取等号，可知正确；
对于：∵，∴，化简得，故正确；
对于：如图所示，，，且，以线段，为邻边作菱形，则，，又因为，即，所以，，所以与的夹角为，故C错误；
对于：∵，∴，解得或（舍），所以，当时，取得最大值，故正确
故选：ABD
【对点实战】
1.已知，满足，，，则与的夹角的余弦值为__________.
【答案】
【分析】
直接利用平面向量的夹角公式求解即可.
【详解】
解：设与的夹角为，因为，，，所以，
所以与的夹角的余弦值为．
故答案为：.
2.在中，，，，D是AC的中点，则与的夹角为______．
【答案】
【分析】
根据向量的夹角的定义求解．
【详解】
如图， 中，，所以，而，，，所以，是的中点，则，，所以与的夹角等于．
故答案为：．
3.若单位向量，满足，则与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
由已知条件可求出，从而求出的模，结合向量夹角的计算公式及数量积的运算律即可求出向量的夹角.
【详解】
因为，，所以，即，
所以，所以，
又，所以.故选:.
4.已知向量，且，，，则与的夹角__________．
【答案】##
【分析】
将两边平方可得的值，然后可得答案.
【详解】
由两边平方得，得，则与的夹角为．
故答案为：
5.任意两个非零向量和，，定义：，若平面向量满足，与的夹角，且和都在集合中，则的值可能为（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】CD
【分析】
由已知得集合的元素特征，再分析和的范围，再由定义计算后，可得答案.
【详解】
首先观察集合，从而分析和的范围如下：
因为，∴，而，且，
可得，
又∵中，∴，从而，
∴，又，所以．且也在集合中，
故有或．故选：CD.
6.已知、是两个单位向量，它们的夹角是，设，则向量与的夹角大小是__________．
【答案】
【分析】
根据题意，得出，，根据向量的数量积的定义求出和，根据向量模的求法，分别求出和，最后利用平面向量的数量的应用，求出，即可得出与的夹角大小.
【详解】已知、是两个单位向量，它们的夹角是，，，则，
因为，，则，
即：，则，
，，
所以向量与的夹角为.故答案为：.
五、向量数量积运算：垂直
垂直：如果a与b的夹角是，则称a与b垂直，记作a⊥b.，
【典型例题】
【例1】已知非零向量满足，且，则与的夹角为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】
由，求得，利用向量的夹角公式，即可求解.
【详解】
因为，所以，所以，
所以，所以与的夹角为.故选：B．
【例2】设，均为单位向量，则“”是“⊥”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】将化简，求出，结合充分、必要条件判断即可.
【详解】
由，
又，均为单位向量，所以，
所以，
所以“”是“⊥”的充分必要条件.
故选：C
【例3】如图所示，已知正六边形，下列给出的向量的数量积中最大的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
根据正六边形的性质及数量积的定义计算可得；
解：根据正六边形的几何性质，可知，，，．
，，，
．比较得最大，故选：A.
【例4】已知、是非零向量且满足，，则与的夹角是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
依题意可得，，根据平面向量数量积的运算律即可得到，，再根据夹角公式计算可得；
解：，，，，，，
，．设与的夹角为，，因为，．
故选：D．
【例5】已知，，且与相互垂直，则与的夹角为（ ）
A．45° B．60° C．90° D．120°
【答案】C
【分析】
利用向量垂直列方程，化简求得与的夹角.
【详解】
设与的夹角为，，由于与相互垂直，所以，
所以.故选：C
【例6】若向量，满足，，，则（ ）
A．2 B． C．1 D．
【答案】C
【分析】
由题意可得，，进而可得，即可求解.
【详解】
向量，满足，，，
所以，可
【对点实战】
1.已知，，且与互相垂直，则（ ）
A．0 B． C． D．2
【答案】B
【分析】
根据向量垂直数量积为0，即可得到答案；
【详解】
与互相垂直，
，
，故选：B.
2.已知非零向量，满足，则是，均为单位向量的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】先对式子两边平方化简，分别讨论当时，能否说明，均为单位向量，或者当，均为单位向量时，与是否垂直即可.
解：因为，所以，
则，即，
若，则，即，
则，不能说明，均为单位向量.
当，均为单位向量，即，则，
所以，
又因为，为非零向量，所以能说明.
综上所述，是，均为单位向量的必要不充分条件.
故选：B.
3.已知非零向量，满足，且，则与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
根据已知，由可得，然后利用向量夹角公式即可求解.
【详解】
解：因为，且，
所以，即，
所以，又，
所以与的夹角为，故选：D.
4,已知、、为三个非零平面向量，甲：，乙：，则甲是乙的（ ）．
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既非充分又非必要条件
【答案】B
【分析】
根据题意，结合数量积的运算律，以及充分、必要条件的判断方法，即可求解.
【详解】
根据题意，由，得，因为、、都为非零向量，所以或，因此甲是乙的必要非充分条件.故选：B.
5.已知，对，恒有，且点满足N为OA的中点，则的值为__________，的值为__________.
【答案】
【分析】
先根据得到，进而得到；将表示为，然后由模的定义求出答案.
【详解】
对，恒有，如示意图：
可得，所以
则
故答案为：
6.已知、是夹角为的两个单位向量，若和垂直，则实数_______．
【答案】
【分析】
由向量垂直的数量积表示列方程求解．
【详解】
由题意，
因为和垂直，
则，解得，
故答案为：．
六、投影向量
如图，设a，b是两个非零向量，＝a，＝b，我们考虑如下的变换：过的起点A和终点B，分别作所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，得到，我们称上述变换为向量a向向量b的投影，叫做向量a在向量b上的投影向量．|a|cos θ
【典型例题】
【例1】已知向量，均为非零向量，且在方向上的投影是2，则下列说法正确的是（ ）
A．在方向上的投影是－4 B．在方向上的投影是2
C．在方向上的投影是2 D．在方向上的投影是4
【答案】C
【分析】
根据向量的投影的概念可得结果.
【详解】
因为向量，均为非零向量，且在方向上的投影是2，
所以，而，，
所以在方向上的投影为，
在方向上的投影是.
故选：C.
【例2】已知向量与的夹角为，且，，设，，则向量在方向上的投影向量的模为________．
【答案】
【分析】
根据向量数量积公式的变形公式代入计算在方向上的投影向量的模长.
【详解】
在方向上的投影向量的模为．
故答案为：
【例3】已知，与的夹角为，则在上的数量投影为______．
【答案】
【分析】
利用平面向量的几何意义可得出结果.
【详解】
由题意可得，
所以，在上的数量投影为.
故答案为：.
【例4】已知，，且，则在上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
由先求出，先表示出在上的投影，再结合投影向量概念即可求解.
【详解】
因为，所以，即，又因为，设的夹角为，所以，在上的投影为：，所以在上的投影向量为.
故选：C
【例5】在等腰三角形ABC中，，，D为BC的中点．
（1）求在上的投影向量；
（2）求在上的投影向量．
【答案】
（1）（或）
（2）
【分析】
（1）先求出在上的投影，然后乘以与同向的单位向量即得；
（2）先求出在上的投影，然后乘以与同向的单位向量即得．
（1）
如图，，，D为BC的中点．则，，，
所以，
，
在上的投影为，
在上的投影向量为；
（2）
在上的投影为，
在上的投影向量为．
七、向量数量积运算：图形中确定基底求数量积
引入基底即“坐标轴”这个思维
【典型例题】
【例1】．已知在中，为的中点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
依题意，再根据平面向量数量积的运算律计算可得；
【详解】
解：
，故选：D
【例2】在我国勾股定理最早的证明是东汉末数学家赵爽在为《周髀算经》作注时给出的．如图就是著名的赵爽弦图，它是由四个全等的直角三角形拼成了内、外都是正方形的美丽图案．若，则（ ）
A．9 B．13 C．18 D．24
【答案】B
【分析】
根据向量数量积运算法则得即可求解．
【详解】
由题意知，，所以，
．
故选：B．
【例3】已知为边长为2的正方形的边DC上任一点，则的最大值为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
【答案】C
【分析】
选择向量为基底向量，根据平面向量定理及向量的数乘，化简 ，再求解其最大值即可.
【详解】如图，选向量为基底向量，则可设
， 的最大值为8，选项C正确.故选：C.
【例4】已知在中，，，其外接圆的圆心为，则的值为________.
【答案】8
【分析】
如图，作OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，根据向量数量积的几何意义即可得到答案．
【详解】如图，过O作OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，
可得D，E为AB，AC的中点，
则＝
＝×（25﹣9）＝8．故答案为：8
【例5】如图在边长为的菱形中，，为的中点，，与交于点，则___________.
【答案】##
【分析】
根据图形转化可得即可求解.
【详解】
如图所示，连接与交于点，连接，
则，则，
又，所以，
则，得，解得.
在中，，，，
由余弦定理得，
解得，又，则，
在中，，，，
由余弦定理得，
.
故答案为：.
【例6】已知是腰长为的等腰直角三角形，点是斜边的中点，点在上，且，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
根据向量的减法及数乘运算表示出，由向量的数量积运算法则化简转化为关于的表达式，再利用直角三角形性质求出即可得解.
【详解】由题意可知，,
，由点是斜边的中点，可知
故选：C
【例7】如图的弦图中，四边形ABCD是边长为5的正方形，四边形EFGH是边长为1的正方形，四个三角形均为直角三角形，则的值为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
【答案】D
【分析】
根据题意四个三角形均为全等的直角三角形，根据勾股定理可得，再利用和其夹角的余弦可以表示为进行化简即可得到答案.
【详解】
根据题意四个三角形均为全等的直角三角形，设，则，在直角三角形中，，即，
.
故选：D.
【对点实战】
1.已知O为所在平面内一点，且满足，，则________．
【答案】8
【分析】
根据题意可知O为的外心，再利用外心的概念，可知，再根据平面向量数量积的定义，即可求出结果.
【详解】
因为O为所在平面内一点，且满足，
所以O为的外心，
作，垂足为，则，
又，所以．故答案为：.
2.在菱形中，，，，则___________.
【答案】
【分析】
利用向量加减法的几何意义可得，，再应用向量数量积的运算律及已知条件求即可.
【详解】由题意知，，
故答案为：
3.已知菱形ABCD的边长为1，，则___________.
【答案】
【分析】
化简得到，结合向量的数量积的运算公式，即可求解.
【详解】
因为，所以，，
所以.故答案为：.
4.已知正方形的边长为2，点满足，则的值是_________．
【答案】
【分析】
根据题意转化为可求出.
【详解】，
.故答案为：.
5.已知向量，，满足，，，，分别是线段，的中点，若，则向量与的夹角为
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
依题意，四边形为平行四边形，因此，因此，，因此，可得，又，因此，故选B.
6.如图，AB为半圆的直径，点C为的中点，点M为线段AB上的一点（含端点A，B），若，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】
根据题意可得出，然后根据向量的运算得出，从而可求出答案.
【详解】
因为点C为的中点，，所以，
所以
，
因为点M为线段AB上的一点，所以，所以，
所以的取值范围是,故选：D.
八、数量积之求最值（难点）
【典型例题】
【例1】已知正方形的边长为1，点是边上的动点．的最大值为______．
【答案】1
【分析】
设，将用和表示，根据数量积的定义即可得结果.
【详解】设，所以，
所以，
所以的最大值为1.故答案为：1.
【例2】已知单位向量，的夹角为，则的最小值为________．
【答案】##
【分析】
根据已知条件求出，求，对其平方后研究即可.
【详解】
根据题意，单位向量的夹角为，则，则，
则，即的最小值为；故答案为：.
【例3】已知四边形中，，，，点在四边形上运动，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
由题意分析可知四线性关于直线对称，且，只需考虑点在边上的运动情况即可，然后分类讨论求出的最小值.
【详解】
如图所示，因为，且，所以垂直且平分，则△为等腰三角形，又，所以△为等边三角形.
则四边形关于直线对称，故点在四边形上运动时，只需考虑点在边上的运动情况即可，
因为，易知，即，则，
①当点在边上运动时，设，则，
∴，当时，的最小值为；
②当点在边上运动时，设，则，
∴，当时，的最小值为；
综上，的最小值为；故选：C .
【例4】设，，为非零不共线向量，若，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】
因为对任意的实数，不等式恒成立，所以把不等式整理成关于t一元二次不等式，根据二次不等式恒成立，等价转化即可求得结果.
【详解】
因为，，为非零不共线向量，若，则，
∴，化简得，，
即，
∴，
∴.故选：D.
【例5】已知平面向量满足，，且的最小值，则的最小值为（ ）
A． B．1 C．2 D．1或2
【答案】D
【分析】设，，则，由的最小值为，得，且，解得或，然后分2种情况考虑的最小值，即可得到本题答案.
【详解】设，，则
因为的最小值，
所以的最小值为，则，且，解得或，
当，即时，，所以的最小值为2；
当，即时，，
所以的最小值为1，
【例6】已知是两个非零向量，且，，则的最大值为
A． B． C．4 D．
【答案】B
【分析】
先根据向量的模将转化为关于的函数，再利用导数求极值，研究单调性，进而得最大值.
【详解】
,,,，
令,则，令，得当时， ，当时， ， 当时， 取得最大值，故选B.
【例7】．已知、、是平面向量，是单位向量．若非零向量与的夹角为，向量满足，则的最小值是
A． B． C．2 D．
【答案】A
【分析】
先确定向量、所表示的点的轨迹，一个为直线，一个为圆，再根据直线与圆的位置关系求最小值.
【详解】
设，
则由得，
由得
因此，的最小值为圆心到直线的距离减去半径1，为选A.
【例8】如图，在中，是的中点，、是上的两个三等分点，，，则的值是（ ）
A．4 B．8 C． D．
【答案】C
【分析】
根据平面向量的线性运算将，，，，，都用向量和表示，由向量数量积的运算可求出，的值，再进行数量积运算即可求出的值.
【详解】
因为是的中点，，是上的两个三等分点，
所以，，
，，
所以，
，
可得，，
又因为，
所以，
故选：C．
九、联赛、联考与自主招生题选
【例1】已知向量的夹角为，，向量，且，则向量夹角的余弦值的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】依题意可得，，
令，则，
通过换元可得，所以，当时，可得的 最小值.【详解】
依题意可得，，则，
，
，则，
所以，，
令，则，
令，由得，
则，所以，故
所以，当时，有最小值.
故选：A.
【例2】对任意两个非零的平面向量和，定义．若平面向量满足，与的夹角，且和都在集合中，则=（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】C
【分析】
由已知得集合的元素特征，再分析和的范围，由定义得， ，可得选项.
【详解】
首先观察集合，从而分析和的范围如下：
因为，∴，而，且，可得，
又∵中，∴，从而，
∴，又，所以．且也在集合中，
故有．故选：C.
【例3】已知单位向量不共线，且向量满足若对任意实数λ都成立，则向量夹角的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
对两边平方化简可得，再平方化简整理得恒成立，然后由可求出的范围，从而可求出的最大值
【详解】设向量夹角为，设向量与的夹角为，
，
由，得，
所以，所以，
所以所以，所以对任意实数λ都成立，
即恒成立，当，即，得，上式恒成立，
当时，即，，
，所以得，因为，所以
综上，，
所以向量夹角的最大值是，故选：B

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